Сумма углов правильного треугольника

Сумма углов треугольника

Сумма углов правильного треугольника

Сумма углов треугольника — это сумма
всех внутренних углов треугольника.

Так, как углы измеряются в градусах, соответственно значение
суммы углов треугольника также измеряется в градусах.

Сумма углов треугольника есть величина постоянная,
неизменяемая, она равна 180 градусам, вне зависимости
от вида рассматриваемого треугольника.

Сумма углов правильного треугольника

На рисунке 1 изображены равносторонний,
разносторонний и прямоугольный треугольники,
их суммы внутренних углов равны 180 градусам.

Также, существует теорема, которая доказывает
утверждение о том, что сумма углов треугольника
180 градусов, она называется теоремой
о сумме углов треугольника.

Теорема о сумме углов треугольника — это теорема в
геометрии о сумме углов произвольного треугольника на плоскости.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Сумма углов треугольника — определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Сумма углов треугольника:

Великий французский ученый XVII в. Блез Паскаль (1623—1662) еще в детстве любил изучать геометрические фигуры, открывать их свойства, измерять углы транспортиром.

Сумма углов правильного треугольника

Юный исследователь заметил, что у любого треугольника сумма углов одна и та Ж6 180°. «Как же это объяснить?» — думал Паскаль. Тогда он отрезал у треугольника два уголка и приложил их к третьему (рис. 219). Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие! Дальнейшая судьба мальчика была предопределена.

Сумма углов правильного треугольника

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: Сумма углов правильного треугольникаАВС (рис. 220).

Сумма углов правильного треугольника

Доказать: Сумма углов правильного треугольникаA+Сумма углов правильного треугольникаB +Сумма углов правильного треугольникаC = 180°.

Доказательство:

Через вершину В треугольника ABC проведем прямую КМ, параллельную стороне АС. Тогда Сумма углов правильного треугольникаKBA =Сумма углов правильного треугольникаA как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей АВ, aСумма углов правильного треугольникаMBC =Сумма углов правильного треугольникаC как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей ВС. Так как углы КВА, ABC и МВС образуют развернутый угол, то

Сумма углов правильного треугольникаKBA +Сумма углов правильного треугольникаABC +Сумма углов правильного треугольникаMBC = 180°. ОтсюдаСумма углов правильного треугольникаA +Сумма углов правильного треугольникаB +Сумма углов правильного треугольникаC = 180°. Теорема доказана.

Следствия.

1. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. (рис. 221).

Сумма углов правильного треугольника

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (рис. 222).

Сумма углов правильного треугольника

В прямоугольном треугольнике стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (см. рис. 222).

Проведем в прямоугольном треугольнике ABC высоту СН к гипотенузе АВ (рис. 223). Так как в треугольнике ABC угол 1 дополняет угол В до 90°, а в треугольнике СНВ угол 2 также дополняет угол В до 90°, тоСумма углов правильного треугольника1 =Сумма углов правильного треугольника2.

Сумма углов правильного треугольника

Доказано свойство: «Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и катетом равен углу между другим катетом и гипотенузой».

Пример:

В треугольнике ABC градусные меры углов А, В и С относятся соответственно как 5:7:3. Найти углы треугольника (рис. 224).

Сумма углов правильного треугольника

Решение:

Пусть Сумма углов правильного треугольника( Сумма углов правильного треугольника— градусная мера одной части).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

Сумма углов правильного треугольника

Тогда Сумма углов правильного треугольника

Сумма углов правильного треугольника

Ответ: Сумма углов правильного треугольника

Пример:

В треугольнике ABC (рис. 225) угол В равен 70°, АК и СМ — биссектрисы, О — точка их пересечения. Найти угол АОС между биссектрисами.

Сумма углов правильного треугольника

Решение:

Сумма углов А и С треугольника ABC равна 180° — 70° = 110°. Так как биссектриса делит угол пополам, то

Сумма углов правильного треугольникаСумма углов правильного треугольника

Из треугольника АОС находим: Сумма углов правильного треугольника

Замечание. Если Сумма углов правильного треугольникато, рассуждая аналогично, получим формулу: Сумма углов правильного треугольникаЕсли, например, Сумма углов правильного треугольника

Пример:

Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник — прямоугольный.

Доказательство:

Пусть СМ — медиана, Сумма углов правильного треугольника(рис. 226).

Сумма углов правильного треугольника

Докажем, чтоСумма углов правильного треугольникаACB = 90°. Обозначим Сумма углов правильного треугольникаA = Сумма углов правильного треугольника,Сумма углов правильного треугольникаВ = Сумма углов правильного треугольника. Так как медиана делит сторону пополам, то AM = MB = Сумма углов правильного треугольникаАВ. Тогда СМ=АМ=МВ. Так как Сумма углов правильного треугольникаАМС — равнобедренный, тоСумма углов правильного треугольникаA =Сумма углов правильного треугольникаACM = Сумма углов правильного треугольникакак углы при основании равнобедренного треугольника. Аналогично, Сумма углов правильного треугольникаСМВ — равнобедренный и Сумма углов правильного треугольникаB =Сумма углов правильного треугольникаBCM = Сумма углов правильного треугольника. Сумма углов треугольника ABC, с одной стороны, равна 2 Сумма углов правильного треугольника+ 2Сумма углов правильного треугольника, с другой — равна 180°. Отсюда 2 Сумма углов правильного треугольника+ 2 Сумма углов правильного треугольника= 180°, 2( Сумма углов правильного треугольника+ Сумма углов правильного треугольника) = 180°, Сумма углов правильного треугольника+ Сумма углов правильного треугольника= 90°. НоСумма углов правильного треугольникаACB = Сумма углов правильного треугольника+ Сумма углов правильного треугольника, поэтому

Сумма углов правильного треугольникаACB = 90°.

Замечание. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. На рисунке 227 это угол АСВ. Из задачи 3 следует свойство: «Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой».

Сумма углов правильного треугольника

Пример:

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 228) Сумма углов правильного треугольникаC=90°,Сумма углов правильного треугольникаA=Сумма углов правильного треугольника,Сумма углов правильного треугольникаB=Сумма углов правильного треугольника.

Сумма углов правильного треугольника

Проведем отрезок СМ так, чтоСумма углов правильного треугольникаACM=Сумма углов правильного треугольника, и докажем, что СМ — медиана и что СМ=Сумма углов правильного треугольникаАВ. Угол В дополняет угол А до 90°, aСумма углов правильного треугольникаBCM дополняетСумма углов правильного треугольникаACM до 90°. Поскольку Сумма углов правильного треугольникаACM =Сумма углов правильного треугольникаA = Сумма углов правильного треугольника, тоСумма углов правильного треугольникаBCM =Сумма углов правильного треугольника. Треугольники АМС и ВМС — равнобедренные по признаку равнобедренного треугольника. Тогда AM = МС и МВ = МС. Отсюда СМ — медиана и СМ = Сумма углов правильного треугольникаАВ.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Внешний угол треугольника
  • Свойство точек биссектрисы угла
  • Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
  • Четырехугольник и его элементы
  • Перпендикулярные прямые в геометрии
  • Признаки равенства треугольников
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников
  • Соотношения в прямоугольном треугольнике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Сумма углов треугольника

Сумма треугольника равна 180 градусов.

Это легко доказать. Нарисуйте треугольник. Через одну из его вершин проведите прямую, параллельную противоположной стороне, и найдите на рисунке равные углы. Сравните с решением в конце статьи.

Сумма углов правильного треугольника

А мы разберем задачи ЕГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.

1. Один из внешних углов треугольника равен 85 градусов. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85 градусов, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х. Получим уравнение

2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98 градусов. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98 градусов?

Нет, конечно! Ведь сумма углов треугольника равна 180 градусов. Значит, один из углов треугольника равен , а два других равны .

3. На рисунке угол равен , угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Сумма углов правильного треугольника

Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

Сумма углов правильного треугольника

Сначала найдем угол .

Угол , смежный с углом равен .

Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

4. Углы треугольника относятся как . Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

Пусть углы треугольника равны , и . Запишем, чему равна сумма углов этого треугольника.

Как же все-таки доказать, что сумма углов треугольника равна 180 градусов? Очень просто. На нашем рисунке угол равен углу (они накрест лежащие). Угол равен углу (тоже накрест лежащие). Развернутый угол равен . Значит, и сумма углов треугольника тоже равна 180 градусов.

🌟 Видео

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.

№1082. Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, если при каждой вершинеСкачать

№1082. Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, если при каждой вершине

№256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетовСкачать

№256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольникаСкачать

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника

#635 НАУКА Структура вакуума. Устройство Мироздания: версия Межзвездного Союза. Юмор в разных мирах.Скачать

#635 НАУКА Структура вакуума. Устройство Мироздания: версия Межзвездного Союза. Юмор в разных мирах.

Как найти величины углов всех треугольников. Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Как найти величины углов всех треугольников. Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс.

Геометрия 7 класс. Сумма углов треугольникаСкачать

Геометрия 7 класс. Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольникаСкачать

Сумма углов треугольника

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Угольник Свенсона. 7 функций в домашних условиях.Скачать

Угольник Свенсона. 7 функций в домашних условиях.

Как с угольником Свенсона запиливать доски под любой уголСкачать

Как с угольником Свенсона запиливать доски под любой угол

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольникСкачать

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольник

Теория. Сумма внутренних углов многоугольника. Величина внутреннего угла правильного многоугольникаСкачать

Теория. Сумма внутренних углов многоугольника. Величина внутреннего угла правильного многоугольника

Сумма углов n угольника #14Скачать

Сумма углов n угольника #14

Почему сумма углов треугольника 180 градусов?Скачать

Почему сумма углов треугольника 180 градусов?
Поделиться или сохранить к себе: