Следствия из подобия треугольников

Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников
Следствия из подобия треугольниковПодобные треугольники
Следствия из подобия треугольниковПризнаки подобия треугольников
Следствия из подобия треугольниковПризнаки подобия прямоугольных треугольников

Следствия из подобия треугольников

Содержание
  1. Подобные треугольники
  2. Признаки подобия треугольников
  3. Признаки подобия прямоугольных треугольников
  4. Подобные треугольники
  5. Определение
  6. Признаки подобия треугольников
  7. Свойства подобных треугольников
  8. Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников
  9. Подобие треугольников — признаки и свойства с доказательствами и примерами решения
  10. Подобные треугольники
  11. Первый признак подобия треугольников
  12. Пример №1
  13. Теорема Менелая
  14. Теорема Птолемея
  15. Второй и третий признаки подобия треугольников
  16. Пример №4
  17. Прямая Эйлера
  18. Обобщенная теорема Фалеса
  19. Пример №5
  20. Подобные треугольники
  21. Пример №6
  22. Пример №7
  23. Признаки подобия треугольников
  24. Пример №8
  25. Пример №9
  26. Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  27. Пример №10
  28. Пример №11
  29. Свойство биссектрисы треугольника
  30. Пример №12
  31. Пример №13
  32. Применение подобия треугольников к решению задач
  33. Пример №14
  34. Пример №15
  35. Подобие треугольников
  36. Определение подобных треугольники
  37. Пример №16
  38. Вычисление подобных треугольников
  39. Подобие треугольников по двум углам
  40. Пример №17
  41. Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними
  42. Пример №18
  43. Подобие треугольников по трем сторонам
  44. Подобие прямоугольных треугольников
  45. Пример №19
  46. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  47. Пример №20
  48. Теорема Пифагора и ее следствия
  49. Пример №21
  50. Теорема, обратная теореме Пифагора
  51. Перпендикуляр и наклонная
  52. Применение подобия треугольников
  53. Свойство биссектрисы треугольника
  54. Пример №22
  55. Метрические соотношения в окружности
  56. Метод подобия
  57. Пример №23
  58. Пример №24
  59. Справочный материал по подобию треугольников
  60. Теорема о пропорциональных отрезках
  61. Подобие треугольников
  62. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
  63. Признак подобия треугольников по трем сторонам
  64. Признак подобия прямоугольных треугольников
  65. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
  66. Теорема Пифагора и ее следствия
  67. Перпендикуляр и наклонная
  68. Свойство биссектрисы треугольника
  69. Метрические соотношения в окружности
  70. Подробно о подобных треугольниках
  71. Пример №25
  72. Пример №26
  73. Обобщённая теорема Фалеса
  74. Пример №27
  75. Пример №28
  76. Второй и трети и признаки подобия треугольников
  77. Пример №29
  78. Применение подобия треугольников
  79. Пример №30 (свойство биссектрисы треугольника).
  80. Пример №31
  81. 🎬 Видео

Видео:Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой РепетиторСкачать

Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой Репетитор

Подобные треугольники

Рассмотрим два треугольника KLM и TRP (рис.1) и введём следующие обозначения.

Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

длины сторон треугольника KLM , расположенные в порядке возрастания.

длины сторон треугольника TRP , расположенные в порядке возрастания.

Переобозначим вершины треугольников KLM и TRP так, как показано на рисунке 2.

Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

На рисунке 2 треугольник KLM обозначается как треугольник A1B1C1 , а треугольник TRP обозначается как треугольник A2B2C2 .

  • вершины A1 и A2 , B1 и B2 , C1 и C2 называют сходственными вершинами ,
  • стороны A1B1 и A2B2 , A1C1 и A2C2 , B1C1 и B2C2 называют сходственными сторонами ,
  • углы A1 и A2 , B1 и B2 , C1 и C2 называют сходственными углами

Определение 2 . Треугольники A1B1C1 и A2B2C2 называют подобными треугольниками, если их сходственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

а, во-вторых, существует положительное число k , такое, что справедливы равенства:

a1 = k a2 , b1 = k b2 , c1 = k c2 .(1)

Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Признаки подобия треугольников

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Следствия из подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по двум углам

Следствия из подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по трём сторонам

Следствия из подобия треугольников

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Название признакаРисунокФормулировка признака

Формулировка признака подобия:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
Признак подобия треугольников по двум углам

Формулировка признака подобия:

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Признак подобия треугольников по трём сторонам

Формулировка признака подобия:

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Признак подобия прямоугольных треугольников по двум катетам

Следствия из подобия треугольников

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу

Следствия из подобия треугольников

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Следствия из подобия треугольников

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Название признакаРисунокФормулировка признака

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Признак подобия прямоугольных треугольников по двум катетам
Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Следствие 1 . Прямая, пересекающая треугольник и параллельная стороне треугольника, отсекает от этого треугольника подобный треугольник (рис. 3).

Следствия из подобия треугольников

Следствие 2 . Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (рис. 4)

Видео:Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать

Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | Математика

Подобные треугольники

Видео:8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольниковСкачать

8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольников

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Следствия из подобия треугольников

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Следствия из подобия треугольников

Видео:Задача на подобие треугольников 1частьСкачать

Задача на подобие треугольников 1часть

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Следствия из подобия треугольников II признак подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Следствия из подобия треугольников

Видео:Подобные треугольникиСкачать

Подобные треугольники

Свойства подобных треугольников

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  • Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Следствия из подобия треугольников
  • Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Видео:Первый признак подобия треугольников. Доказательство. 8 класс.Скачать

Первый признак подобия треугольников. Доказательство. 8 класс.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Следствия из подобия треугольников

2. Треугольники Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Видео:Геометрия 8 класс. Первый признак подобия треугольниковСкачать

Геометрия 8 класс. Первый признак подобия треугольников

Подобие треугольников — признаки и свойства с доказательствами и примерами решения

Содержание:

Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках

Теорема 11.1 (теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Пусть дан угол АОВ (рис. 112). Известно, что Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Докажем, что Следствия из подобия треугольников

Предположим, что Следствия из подобия треугольниковПусть серединой отрезка Следствия из подобия треугольниковявляется некоторая точка Следствия из подобия треугольниковТогда отрезок Следствия из подобия треугольников— средняя линия треугольника Следствия из подобия треугольников

Отсюда
Следствия из подобия треугольниковЗначит, через точку Следствия из подобия треугольниковпроходят две прямые, параллельные прямой Следствия из подобия треугольниковчто противоречит аксиоме параллельности прямых. Мы получили противоречие. Следовательно, Следствия из подобия треугольников

Предположим, что Следствия из подобия треугольниковПусть серединой отрезка Следствия из подобия треугольниковявляется некоторая точка Следствия из подобия треугольниковТогда отрезок Следствия из подобия треугольников— средняя линия трапеции Следствия из подобия треугольниковОтсюда Следствия из подобия треугольниковЗначит, через точку Следствия из подобия треугольниковпроходят две прямые, параллельные прямой Следствия из подобия треугольниковМы пришли к противоречию. Следовательно, Следствия из подобия треугольников
Аналогично можно доказать, что Следствия из подобия треугольникови т. д.

Определение. Отношением двух отрезков называют отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения.

Фалес Милетский
(ок. 625 — ок. 547 до н. э.)

Следствия из подобия треугольников
Древнегреческий философ, ученый, купец и государственный деятель. Родом из Милета — порта в Малой Азии на побережье Эгейского моря.

Если, например, АВ = 8 см, CD = 6 см, то отношение отрезка АВ к отрезку CD равно Следствия из подобия треугольниковЗаписывают: Следствия из подобия треугольников
Если Следствия из подобия треугольниковто говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны соответственно отрезкам Следствия из подобия треугольников

Аналогично можно говорить о пропорциональности большего количества отрезков. Например, если Следствия из подобия треугольниковто говорят, что отрезки АВ, CD, MN пропорциональны соответственно отрезкам Следствия из подобия треугольников

Теорема 11.2 (теорема о пропорциональных отрезках). Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Следствия из подобия треугольников

Доказательство этой теоремы выходит за рамки школьного курса геометрии. Мы приведем доказательство для частного случая.

Пусть стороны угла MON пересечены параллельными прямыми Следствия из подобия треугольников(рис. 113). Докажем, что: Следствия из подобия треугольников
Докажем первое из этих равенств (остальные два можно доказать аналогично).

Пусть для отрезков ОА и АВ существует такой отрезок длиной Следствия из подобия треугольников, который укладывается целое число раз в каждом из них. Имеем: Следствия из подобия треугольников— некоторые натуральные числа.

Тогда отрезки ОА и АВ можно разделить соответственно на Следствия из подобия треугольниковравных отрезков, каждый из которых равен Следствия из подобия треугольников.

Следствия из подобия треугольников

Через концы полученных отрезков проведем прямые, параллельные прямой Следствия из подобия треугольников
(рис. 114). По теореме Фалеса эти прямые делят отрезки Следствия из подобия треугольниковсоответственно на Следствия из подобия треугольниковравных отрезков. Пусть каждый из этих отрезков равен Следствия из подобия треугольниковОтсюда Следствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольников

Имеем: Следствия из подобия треугольниковОтсюда Следствия из подобия треугольниковТогда Следствия из подобия треугольников

Почему же приведенные рассуждения нельзя считать полным доказательством теоремы? Дело в том, что не для любых двух отрезков существует отрезок, который укладывается в каждом из них целое число раз. В частности, для отрезков ОА и АВ такой отрезок может и не существовать. Доказательство для этого случая выходит за пределы рассматриваемого курса.

Если рисунок 113 дополнить прямой Следствия из подобия треугольниковпараллельной прямой Следствия из подобия треугольников(рис. 115), то, рассуждая аналогично, получим, например, что Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Теорема 11.2 остается справедливой, если вместо сторон угла взять две любые прямые.

Теорема 11.3. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Доказательство. На рисунке 116 медианы Следствия из подобия треугольниковтреугольника АВС пересекаются в точке М. Докажем, что медиана Следствия из подобия треугольниковтакже проходит через точку М и Следствия из подобия треугольников
Проведем Следствия из подобия треугольниковПоскольку Следствия из подобия треугольниковто по теореме Фалеса Следствия из подобия треугольниковто есть Следствия из подобия треугольниковПоскольку Следствия из подобия треугольников

По теореме о пропорциональных отрезках Следствия из подобия треугольников

Таким образом, медиана Следствия из подобия треугольниковпересекая медиану Следствия из подобия треугольниковделит ее в отношении 2:1, считая от вершины В.
Аналогично можно доказать (сделайте это самостоятельно), что медиана Следствия из подобия треугольниковтакже делит медиану Следствия из подобия треугольниковв отношении 2:1, считая от вершины В (рис. 117).

Следствия из подобия треугольников

А это означает, что все три медианы треугольника АВС проходят через одну точку. Мы доказали, что эта точка делит медиану Следствия из подобия треугольниковв отношении 2:1.

Аналогично можно доказать, что эта точка делит в отношении 2 : 1 также медианы Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников

На рисунке 118 изображен треугольник АВС. Точка D принадлежит стороне АС. В этом случае говорят, что стороны АВ и ВС прилежат соответственно к отрезкам AD и DC.

Теорема 11.4 (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Доказательство. На рисунке 119 отрезок BD — биссектриса треугольника АВС. Докажем, что Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Через точку С проведем прямую СЕ, параллельную прямой BD. Пусть проведенная прямая пересекает прямую АВ в точке Е. Углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых BD и СЕ и секущей ВС; утлы 3 и 4 равны как соответственные при параллельных прямых BD и СЕ и секущей АЕ. Поскольку BD — биссектриса треугольника АВС, то Следствия из подобия треугольниковОтсюда Следствия из подобия треугольниковТогда треугольник СВЕ — равнобедренный с равными сторонами ВС и BE. По теореме о пропорциональных отрезках Следствия из подобия треугольниковПоскольку BE = ВС, то Следствия из подобия треугольников

Пример:

Разделите данный отрезок на три равных отрезка.

Решение:

Через конец А данного отрезка АВ проведем луч АС, не принадлежащий прямой АВ (рис. 120). Отметим на луче АС произвольную точку А1. Затем отметим точки Следствия из подобия треугольниковтак, чтобы Следствия из подобия треугольников Следствия из подобия треугольниковПроведем отрезок А2В. Через точки A1 и А2 проведем прямые, параллельные прямой Следствия из подобия треугольниковОни пересекут отрезок АВ в точках В1 и В2 соответственно. По теореме Фалеса Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Видео:Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnline

Подобные треугольники

На рисунке 128 вы видите уменьшенное изображение обложки учебника по геометрии. Вообще в повседневной жизни часто встречаются объекты, имеющие одинаковую форму, но разные размеры (рис. 129).

Следствия из подобия треугольников

Геометрические фигуры, которые имеют одинаковую форму, называют подобными. Например, подобными являются любые две окружности, два квадрата, два равносторонних треугольника (рис. 130).

Следствия из подобия треугольников

На рисунке 131 изображены треугольники Следствия из подобия треугольникову которых равны углы: Следствия из подобия треугольников

Стороны Следствия из подобия треугольниковлежат против равных углов Следствия из подобия треугольниковТакие стороны называют соответственными. Соответственными также являются стороны Следствия из подобия треугольников

Определение. Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Например, на рисунке 132 изображены треугольники Следствия из подобия треугольникову которых Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковПо определению эти треугольники подобны. Пишут: Следствия из подобия треугольников(читают: «треугольник АВС подобен треугольнику Следствия из подобия треугольников»).

Число 2, которому равно отношение соответственных сторон, называют коэффициентом подобия. Говорят, что треугольник АВС подобен треугольнику Следствия из подобия треугольниковс коэффициентом подобия, равным 2.
Пишут: Следствия из подобия треугольников
Поскольку Следствия из подобия треугольниковто можно также сказать, что треугольник Следствия из подобия треугольниковподобен треугольнику АВС с коэффициентом Следствия из подобия треугольниковПишут: Следствия из подобия треугольников

Из определения равных треугольников следует, что любые два равных треугольника подобны с коэффициентом подобия, равным 1.

Если Следствия из подобия треугольников

Докажите это свойство самостоятельно.

Следствия из подобия треугольников

Лемма 1 о подобных треугольниках. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

1 Леммой называют вспомогательную теорему, которую используют для доказательства других теорем.

Доказательство. На рисунке 133 изображен треугольник АВС, отрезок Следствия из подобия треугольниковпараллелен стороне АС. Докажем, что Следствия из подобия треугольников

Углы Следствия из подобия треугольниковравны как соответственные при параллельных прямых Следствия из подобия треугольникови секущих АВ и СВ соответственно. Следовательно, углы рассматриваемых треугольников соответственно равны.

Покажем, что стороны ВА и ВС пропорциональны соответственно сторонам Следствия из подобия треугольников
Из теоремы о пропорциональных отрезках (теорема 11.2) следует, что Следствия из подобия треугольниковОтсюда Следствия из подобия треугольников

Проведем Следствия из подобия треугольниковПолучаем: Следствия из подобия треугольниковПо определению четырехугольник Следствия из подобия треугольников— параллелограмм. Тогда Следствия из подобия треугольниковОтсюда Следствия из подобия треугольников
Таким образом, мы доказали, что Следствия из подобия треугольников
Следовательно, в треугольниках Следствия из подобия треугольниковуглы соответственно равны и соответственные стороны пропорциональны. Поэтому по определению эти треугольники подобны.

Пример:

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Решение:

Пусть треугольник Следствия из подобия треугольниковподобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия k. Тогда Следствия из подобия треугольниковоткудаСледствия из подобия треугольников

Пусть Р1 — периметр треугольника Следствия из подобия треугольниковР — периметр треугольника АВС. Имеем: Следствия из подобия треугольниковто есть Следствия из подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Если для треугольников Следствия из подобия треугольниковвыполняются условия Следствия из подобия треугольниковто по определению эти треугольники подобны.

Можно ли по меньшему количеству условий определять подобие треугольников? На этот вопрос отвечают признаки подобия треугольников.

Теорема 13.1 (первый признак подобия треугольников: по двум углам). Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Следствия из подобия треугольников, у которых Следствия из подобия треугольниковДокажем, что Следствия из подобия треугольников

Если Следствия из подобия треугольниковто треугольники Следствия из подобия треугольниковравны по второму признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, Следствия из подобия треугольниковОтложим на стороне ВА отрезок Следствия из подобия треугольниковравный стороне Следствия из подобия треугольниковЧерез точку Следствия из подобия треугольниковпроведем прямую Следствия из подобия треугольниковпараллельную стороне АС (рис. 140).

Следствия из подобия треугольников

Углы Следствия из подобия треугольников— соответственные при параллельных прямых Следствия из подобия треугольникови секущей Следствия из подобия треугольниковОтсюда Следствия из подобия треугольниковАле Следствия из подобия треугольниковПолучаем, что Следствия из подобия треугольниковТаким образом, треугольники Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковравны по второму признаку равенства треугольников. По лемме о подобных треугольниках Следствия из подобия треугольниковСледовательно, Следствия из подобия треугольников

Пример №1

Средняя линия трапеции Следствия из подобия треугольниковравна 24 см, а ее диагонали пересекаются в точке О. Найдите основания трапеции, если АО : ОС = 5:3.

Решение:

Рассмотрим треугольники AOD и СОВ (рис. 141). Углы AOD и ВОС равны как вертикальные, углы CAD и АСВ равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС. Следовательно, треугольники AOD и СОВ подобны по двум углам.
Тогда Следствия из подобия треугольников
Пусть ВС = Зх см, тогда AD = 5х см.
Поскольку средняя линия трапеции равна 24 см, то ВС + AD = 48 см.
Имеем: Зх + 5х = 48. Отсюда х = 6.
Следовательно, ВС = 18 см, AD = 30 см.
Ответ: 18 см, 30 см.

Следствия из подобия треугольников

Пример №2 (свойство пересекающихся хорд)

Докажите, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, то AM • МВ = DM • МС (рис. 142).

Решение:

Рассмотрим треугольники АСМ и DBM. Углы 3 и 4 равны как вертикальные, углы 1 и 2 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АСМ и DBM подобны по первому признаку подобия треугольников.

Тогда Следствия из подобия треугольников
Отсюда AM • МВ = DM • МС.

Пример №3 (свойство касательной и секущей)

Докажите, что если через точку А к окружности проведены касательная AM (М — точка касания) и прямая (секущая), пересекающая окружность в точках В и С (рис. 143), то Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Решение:

Рассмотрим треугольники AMВ и АСМ. У них угол А общий. По свойству угла между касательной и хордой (см. ключевую задачу 1 п. 9) Следствия из подобия треугольниковУгол МСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу МВ, поэтому Следствия из подобия треугольниковОтсюда Следствия из подобия треугольниковСледовательно, треугольники АМВ и АСМ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда Следствия из подобия треугольников
Отсюда Следствия из подобия треугольников

Теорема Менелая

Точки, принадлежащие одной прямой, называют коллинеарными. Две точки коллинеарны всегда.

В этом рассказе вы узнаете об одной знаменитой теореме, которая служит критерием коллинеарности трех точек. Эта теорема носит имя древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского ( Следствия из подобия треугольниковвв. н. э.).

Теорема Менелая. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки Следствия из подобия треугольников а на продолжении стороны АС — точку Следствия из подобия треугольников Для того чтобы точки Следствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольников лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Следствия из подобия треугольников

Доказательство. Сначала докажем необходимое условие коллинеарности: если точки Следствия из подобия треугольниковлежат на одной прямой, то выполняется равенство (*).
Из вершин треугольника АВС опустим перпендикуляры AM, BN и СР на прямую Следствия из подобия треугольников(рис. 153, а). Поскольку Следствия из подобия треугольниковто треугольники АМС1 и BNC1 подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Следствия из подобия треугольников
Из подобия треугольников BNA1 и СРА1 получаем: Следствия из подобия треугольников
Из подобия треугольников Следствия из подобия треугольниковследует равенство Следствия из подобия треугольников

Перемножив почленно левые и правые части пропорции
Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольниковполучаем равенство

Следствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольников

Теперь докажем достаточное условие коллинеарности: если выполняется равенство (*), то точки Следствия из подобия треугольниковлежат на одной прямой.
Пусть прямая Следствия из подобия треугольниковпересекает сторону ВС треугольника АВС в некоторой точке A2 (рис. 153, б). Поскольку точки Следствия из подобия треугольниковлежат на одной прямой, то из доказанного выше можно записать: Следствия из подобия треугольников

Сопоставляя это равенство с равенством (*), приходим к выводу, что Следствия из подобия треугольниковто есть точки Следствия из подобия треугольниковделят отрезок ВС в одном и том же отношении, а значит, эти точки совпадают. Отсюда следует, что прямая Следствия из подобия треугольниковпересекает сторону ВС в точке Следствия из подобия треугольников
Заметим, что теорема остается справедливой и тогда, когда точки Следствия из подобия треугольниковлежат не на сторонах треугольника АВС, а на их продолжениях (рис. 154).

Следствия из подобия треугольников

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.

Клавдий Птолемей
(ок. 100 — ок. 178)

Следствия из подобия треугольников

Древнегреческий математик и астроном. Автор геоцентрической модели мира. Разработал математическую теорию движения планет, позволяющую вычислять
их положение. Создал прообраз современной системы координат.

Доказательство. На рисунке 158 изображен вписанный в окружность четырехугольник ABCD. Докажем, что Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

На диагонали АС отметим точку К так, что Следствия из подобия треугольниковУглы 3 и 4 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АВК и DBC подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Следствия из подобия треугольниковто есть Следствия из подобия треугольников

Поскольку Следствия из подобия треугольниковУглы 5 и 6 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому Следствия из подобия треугольниковОтсюда Следствия из подобия треугольниковто есть Следствия из подобия треугольников

Сложив равенства (1) и (2), получаем:

Следствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольников

Второй и третий признаки подобия треугольников

Теорема 14.1 (второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Следствия из подобия треугольниковв которых Следствия из подобия треугольниковДокажем, что Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Если k = 1, то Следствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольникова следовательно, треугольники Следствия из подобия треугольников Следствия из подобия треугольниковравны по первому признаку равенства треугольников, поэтому эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1, то есть Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковНа сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Следствия из подобия треугольниковтак, что Следствия из подобия треугольников(рис. 160). Тогда Следствия из подобия треугольников

Покажем, что Следствия из подобия треугольниковПредположим, что это не так. Тогда на стороне ВС отметим точку М такую, что Следствия из подобия треугольников
Имеем: Следствия из подобия треугольниковтогда Следствия из подобия треугольниковто есть Следствия из подобия треугольников
Следовательно, буквами М и С2 обозначена одна и та же точка. Тогда Следствия из подобия треугольников
По лемме о подобных треугольниках получаем, что Следствия из подобия треугольников

Треугольники Следствия из подобия треугольниковравны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда Следствия из подобия треугольников

Теорема 14.2 (третий признак подобия треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Следствия из подобия треугольниковв которых Следствия из подобия треугольниковДокажем, что Следствия из подобия треугольников

Если k = 1, то треугольники Следствия из подобия треугольниковравны по третьему признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1. На сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Следствия из подобия треугольниковтакие, что Следствия из подобия треугольников(рис. 161). Тогда Следствия из подобия треугольников

В треугольниках Следствия из подобия треугольниковугол В общий, прилежащие к нему стороны пропорциональны. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников эти треугольники подобны, причем коэффициент подобия равен k. Тогда Следствия из подобия треугольников

Учитывая, что по условию Следствия из подобия треугольниковполучаем: Следствия из подобия треугольников
Следовательно, треугольники Следствия из подобия треугольниковравны по третьему признаку равенства треугольников. С учетом того, что Следствия из подобия треугольниковполучаем: Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Пример №4

Докажите, что отрезок, соединяющим основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Решение:

На рисунке 162 отрезки Следствия из подобия треугольников— высоты треугольника АВС. Докажем, что Следствия из подобия треугольников
В прямоугольных треугольниках Следствия из подобия треугольниковострый угол В общий. Следовательно, треугольники Следствия из подобия треугольниковподобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Следствия из подобия треугольников

Тогда Следствия из подобия треугольниковУгол В — общий для треугольников Следствия из подобия треугольниковСледовательно, треугольники АВС и Следствия из подобия треугольниковподобны по второму признаку подобия треугольников.

Прямая Эйлера

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника — это центр окружности, описанной около треугольника. Обозначим эту точку буквой О.

Точка пересечения биссектрис треугольника — это центр вписанной окружности. Обозначим эту точку буквой J.

Точку пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, называют ортоцентром треугольника. Обозначим эту точку буквой Н.

Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника. Обозначим эту точку буквой М.

Точки О, J, Н, М называют замечательными точками треугольника.

Использование такого эмоционального эпитета вполне обосновано. Ведь эти точки обладают целым рядом красивых свойств. Разве не замечательно уже хотя бы то, что они существуют в любом треугольнике?

Рассмотрим одну из многих теорем о замечательных точках треугольника.

Теорема. В любом треугольнике центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой.

Эту прямую называют прямой Эйлера.

Леонард Эйлер (1707-1783)
Выдающийся математик, физик, механик, астроном.

Следствия из подобия треугольников

Доказательство. Для равнобедренного треугольника доказываемое утверждение очевидно.
Если данный треугольник АВС прямоугольный Следствия из подобия треугольниковто его ортоцентр — это точка С, центр описанной окружности — середина гипотенузы АВ. Тогда понятно, что все три точки, о которых идет речь в теореме, принадлежат медиане, проведенной к гипотенузе.

Докажем теорему для остроугольного разностороннего треугольника.

Лемма. Если Н — ортоцентр треугольника ABC, Следствия из подобия треугольников — перпендикуляр, опущенный из центра О описанной окружности на сторону ВС, то АН = Следствия из подобия треугольников(рис. 167).

Следствия из подобия треугольников

Доказательство. Выполним дополнительное построение, уже знакомое вам из решения ключевой задачи пункта 2: через каждую вершину треугольника АВС проведем прямую, параллельную противолежащей стороне. Получим треугольник Следствия из подобия треугольников(рис. 167). В указанной ключевой задаче было показано, что ортоцентр Н треугольника АВС является центром описанной окружности треугольника Следствия из подобия треугольников. Для этой окружности угол Следствия из подобия треугольниковявляется центральным, а угол Следствия из подобия треугольников— вписанным. Поскольку оба угла опираются на одну и ту же дугу, то Следствия из подобия треугольниковУглы ВАС и Следствия из подобия треугольниковравны как противолежащие углы параллелограмма Следствия из подобия треугольниковпоэтому Следствия из подобия треугольниковПоскольку Следствия из подобия треугольниковто равнобедренные треугольники Следствия из подобия треугольниковподобны с коэффициентом подобия 2. Поскольку отрезки АН и Следствия из подобия треугольников— соответственные высоты подобных треугольников, то АН = Следствия из подобия треугольников
Докажем теперь основную теорему.

Следствия из подобия треугольников

Поскольку точка М1 — середина стороны ВС, то отрезок AM1 — медиана треугольника АВС (рис. 168). Пусть М — точка пересечения отрезков Следствия из подобия треугольниковПоскольку Следствия из подобия треугольниковто Следствия из подобия треугольниковУглы Следствия из подобия треугольниковравны как вертикальные. Следовательно, треугольники Следствия из подобия треугольниковподобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Следствия из подобия треугольниковЗначит, точка М делит медиану Следствия из подобия треугольниковв отношении 2:1, считая от вершины А. Отсюда точка М — центроид треугольника АВС.
Доказательство для случая тупоугольного треугольника аналогично.

Обратим внимание на то, что мы не только установили факт принадлежности точек О, М, Н одной прямой, но и доказали равенство НМ = 2МО,
которое является еще одним свойством замечательных точек треугольника.

Напомню:

Теорема Фалеса

  • Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Теорема о пропорциональных отрезках

  • Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Свойство медиан треугольника

  • Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Свойство биссектрисы треугольника

  • Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Подобные треугольники

  • Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Лемма о подобных треугольниках

  • Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Первый признак подобия треугольников: по двум углам

  • Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними

  • Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников: по трем сторонам

  • Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним, что отношением отрезков Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковназывают отношение их длин, то есть Следствия из подобия треугольников

Говорят, что отрезки Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковпропорциональные отрезкам Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Например, если Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольниковто Следствия из подобия треугольниковдействительно Следствия из подобия треугольников

Понятие пропорциональности применили и к большему количеству отрезков. Например, три отрезка Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковпропорциональны трем отрезкам Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковесли

Следствия из подобия треугольников

Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Доказательство:

Пусть параллельные прямые Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковпересекают стороны угла Следствия из подобия треугольников(рис. 123). Докажем, что

Следствия из подобия треугольников

1) Рассмотрим случай, когда длины отрезков Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковявляются рациональными числами (целыми или дробными). Тогда существует отрезок длины Следствия из подобия треугольниковкоторый можно отложить целое число раз и на отрезке Следствия из подобия треугольникови на отрезке Следствия из подобия треугольников

Пусть Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников— рациональные числа. Запишем их в виде дробей с одинаковыми знаменателями: Следствия из подобия треугольниковПоэтому Следствия из подобия треугольников

Имеем: Следствия из подобия треугольников

2) Разделим отрезок Следствия из подобия треугольниковна Следствия из подобия треугольниковравных частей длины Следствия из подобия треугольникова отрезок Следствия из подобия треугольников— на Следствия из подобия треугольниковравных частей длины Следствия из подобия треугольниковПроведем через точки деления прямые, параллельные прямой Следствия из подобия треугольников(рис. 123). По теореме Фалеса они разобьют отрезок Следствия из подобия треугольниковна Следствия из подобия треугольниковравных отрезков длины Следствия из подобия треугольниковпричем Следствия из подобия треугольниковбудет состоять из Следствия из подобия треугольниковтаких отрезков, а Следствия из подобия треугольников— из Следствия из подобия треугольниковтаких отрезков.

Имеем: Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

3) Найдем отношение Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковБудем иметь:

Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников

Следовательно, Следствия из подобия треугольников

Учитывая, что в пропорции средние члены можно поменять местами, из доказанного равенства приходим к следующему.

Следствие 1. Следствия из подобия треугольников

Следствие 2. Следствия из подобия треугольников

Доказательство:

Поскольку Следствия из подобия треугольниковто Следствия из подобия треугольников

Прибавим к обеим частям этого равенства по единице:

Следствия из подобия треугольниковто есть Следствия из подобия треугольников

Учитывая, что Следствия из подобия треугольников

будем иметь: Следствия из подобия треугольников

Откуда Следствия из подобия треугольников

Рассмотрим, как построить один из четырех отрезков, образующих пропорцию, если известны три из них.

Пример №5

Дано отрезки Следствия из подобия треугольниковПостройте отрезок Следствия из подобия треугольников

Решение:

Поскольку Следствия из подобия треугольниковто Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Для построения отрезка Следствия из подобия треугольниковможно использовать как обобщенную теорему Фалеса, так и одно из ее следствий. Используем, например, следствие 1.

1) Строим неразвернутый угол с вершиной Следствия из подобия треугольников(рис. 124). Откладываем на одной его стороне отрезок Следствия из подобия треугольникова на другой — отрезки Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников

2) Проведем прямую Следствия из подобия треугольниковЧерез точку Следствия из подобия треугольниковпараллельно Следствия из подобия треугольниковпроведем прямую, точку пересечения которой со стороной Следствия из подобия треугольниковугла обозначим через Следствия из подобия треугольниковто есть Следствия из подобия треугольников

3) По следствию 1 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Следствия из подобия треугольниковоткуда Следствия из подобия треугольниковСледовательно, Следствия из подобия треугольников

Построенный отрезок Следствия из подобия треугольниковназывают четвертым пропорциональным отрезков Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковтак как для этих отрезков верно равенство: Следствия из подобия треугольников

Отношения и пропорции в геометрии использовались с давних времен. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы Менеса в Накаде и знаменитых пирамид в Гизе (III тысячелетие до н. э.), персидские дворцы, древнеиндийские достопримечательности и другие памятники древности.

Следствия из подобия треугольников

В седьмой книге «Начал» Евклид изложил арифметическую теорию учения об отношениях, которую применил только к соразмерным величинам и целым числам. Эта теория создана на основе практики действий с дробями и применялась для исследования свойств целых чисел.

В пятой книге Евклид изложил общую теорию отношений и пропорций, которую примерно за 100 лет до него разработал древнегреческий математик, механик и астроном Евдокс (408 г. — 355 г. до н. э.). Эта теория легла в основу учения о подобии фигур, изложенного Евклидом в шестой книге «Начал», где также была решена и задача о делении отрезка в данном отношении.

Пропорциональность отрезков прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна еще вавилонским ученым, хотя многие историки-математики заслугу данного открытия приписывают Фалесу Милетскому.

Подобные треугольники

В повседневной жизни нам встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный мяч и металлический шарик, картина и ее фотоснимок, самолет и его модель, географические карты разного масштаба. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются все квадраты, все окружности, все отрезки.

Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

Это значит, что если треугольники Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковподобны (рис. 127), то

Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Пусть значение каждого из полученных отношений соответствующих сторон равно Следствия из подобия треугольниковЧисло Следствия из подобия треугольниковназывают коэффициентом подобия треугольника Следствия из подобия треугольниковк треугольнику Следствия из подобия треугольниковили коэффициентом подобия треугольников Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников

Подобие треугольников принято обозначать символом Следствия из подобия треугольниковВ нашем случае Следствия из подобия треугольниковЗаметим, что из соотношения Следствия из подобия треугольниковследует соотношение

Следствия из подобия треугольников

Пример №6

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон этих треугольников.

Доказательство:

Пусть Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников

Тогда Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Пример №7

Стороны треугольника Следствия из подобия треугольниковотносятся как 4 : 7 : 9, а большая сторона подобного ему треугольника Следствия из подобия треугольниковравна 27 см. Найдите две другие стороны второго треугольника.

Решение:

Так как по условию Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковто Следствия из подобия треугольников

Обозначим Следствия из подобия треугольниковПо условию Следствия из подобия треугольниковтогда Следствия из подобия треугольников(см). Имеем: Следствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольников

Ответ. 12 см, 21 см.

Заметим, что подобные треугольники легко создавать с помощью современных компьютерных программ, в частности графических редакторов. Для этого достаточно построенный треугольник растянуть или сжать, «потянув» за один из угловых маркеров.

Одинаковые по форме, но разные по величине фигуры использовались еще в вавилонской и египетской архитектурах. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамзеса II есть стена, покрытая сеткой квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в V-IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и других. Обобщил эти сведения Евклид в шестой книге «Начал». Начинается теория подобия следующим определением:

«Подобные прямолинейные фигуры — суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны».

Видео:8 класс, 23 урок, Второй признак подобия треугольниковСкачать

8 класс, 23 урок, Второй признак подобия треугольников

Признаки подобия треугольников

Подобие треугольников, как и равенство треугольников, можно установить с помощью признаков.

Прежде чем их рассмотреть, сформулируем и докажем лемму, то есть вспомогательное утверждение, являющееся верным и используемое для доказательства одной или нескольких теорем.

Лемма. Прямая, параллельная стороне треугольника, отрезает от него подобный ему треугольник.

Доказательство:

Пусть прямая Следствия из подобия треугольниковпересекает стороны Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковтреугольника Следствия из подобия треугольниковсоответственно в точках Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников(рис. 129). Докажем, что Следствия из подобия треугольников

1) Следствия из подобия треугольников— общий для обоих треугольников, Следствия из подобия треугольников(как соответственные углы при параллельных прямых Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольникови секущей Следствия из подобия треугольников(аналогично, но для секущей Следствия из подобия треугольниковСледовательно, три угла треугольника Следствия из подобия треугольниковравны трем углам треугольника Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Следствия из подобия треугольников

3) Докажем, что Следствия из подобия треугольников

Через точку Следствия из подобия треугольниковпроведем прямую, параллельную Следствия из подобия треугольникови пересекающую Следствия из подобия треугольниковв точке Следствия из подобия треугольниковТак как Следствия из подобия треугольников— параллелограмм, то Следствия из подобия треугольниковПо обобщенной теореме Фалеса: Следствия из подобия треугольников

Прибавим число 1 к обеим частям этого равенства. Получим:

Следствия из подобия треугольников

Но Следствия из подобия треугольниковСледовательно, Следствия из подобия треугольников

4) Окончательно имеем: Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольникова значит, Следствия из подобия треугольников

Теорема 1 (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольникову которых Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников(рис. 130). Докажем, что Следствия из подобия треугольников

1) Отложим на стороне Следствия из подобия треугольниковтреугольника Следствия из подобия треугольниковотрезок Следствия из подобия треугольникови проведем через Следствия из подобия треугольниковпрямую, параллельную Следствия из подобия треугольников(рис. 131). Тогда Следствия из подобия треугольников(по лемме).

Следствия из подобия треугольников

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса Следствия из подобия треугольниковНо Следствия из подобия треугольников(по построению). Поэтому Следствия из подобия треугольниковПо условию Следствия из подобия треугольниковследовательно, Следствия из подобия треугольниковоткуда Следствия из подобия треугольников

3) Так как Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковто Следствия из подобия треугольников(по двум сторонам между ними).

AAjBjCj (по двум сторонам и углу между ними).

4) Но Следствия из подобия треугольниковследовательно, Следствия из подобия треугольников

Следствие 1. Два прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного пропорциональны катетам другого.

Следствие 2. Если угол при вершине одного равнобедренного треугольника равен углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 2 (признак подобия треугольников по двум углам). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольникову которых Следствия из подобия треугольников(рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: Следствия из подобия треугольников

2) Следствия из подобия треугольниковно Следствия из подобия треугольниковПоэтому Следствия из подобия треугольников

3) Тогда Следствия из подобия треугольников(по стороне и двум прилежащим углам).

4) Следовательно, Следствия из подобия треугольников

Следствие 1. Равносторонние треугольники подобны.

Следствие 2. Если угол при основании одного равнобедренного треугольника равен углу при основании другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Следствие 3. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 3 (признак подобия треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольникову которых Следствия из подобия треугольников(рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: Следствия из подобия треугольников

2) Тогда Следствия из подобия треугольниковно Следствия из подобия треугольниковпоэтому

Следствия из подобия треугольниковУчитывая, что

Следствия из подобия треугольниковимеем: Следствия из подобия треугольников

3) Тогда Следствия из подобия треугольников(по трем сторонам).

4) Следовательно, Следствия из подобия треугольников

Пример №8

Стороны одного треугольника равны 9 см, 15 см и 18 см, а стороны другого относятся как 3:5:6. Подобны ли эти треугольники?

Решение:

Обозначим стороны второго треугольника Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковНо Следствия из подобия треугольниковзначит, треугольники подобны (по трем сторонам).

Пример №9

Стороны параллелограмма равны 15 см и 10 см, а высота, проведенная к большей стороне, — 8 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.

Решение:

Пусть Следствия из подобия треугольников— параллелограмм (рис. 132). Следствия из подобия треугольников— высота параллелограмма. Проведем Следствия из подобия треугольников— вторую высоту параллелограмма.

Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников(как прямоугольные с общим острым углом). Тогда Следствия из подобия треугольниковто есть Следствия из подобия треугольниковоткуда Следствия из подобия треугольников

Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных друг другу прямоугольных треугольника, каждый из которых подобный данному треугольнику.

Доказательство:

Пусть Следствия из подобия треугольников— прямоугольный треугольник Следствия из подобия треугольников— высота треугольника (рис. 145). Докажем, что Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

1) У прямоугольных треугольников Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковугол Следствия из подобия треугольников— общий. Поэтому Следствия из подобия треугольников(по острому углу).

2) Аналогично Следствия из подобия треугольников-общий, Следствия из подобия треугольниковОткуда Следствия из подобия треугольников

3) У треугольников Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников

Поэтому Следствия из подобия треугольников(по острому углу).

Отрезок Следствия из подобия треугольниковназывают проекцией катета Следствия из подобия треугольниковна гипотенузу Следствия из подобия треугольникова отрезок Следствия из подобия треугольниковпроекцией катета Следствия из подобия треугольниковна гипотенузу Следствия из подобия треугольников

Отрезок Следствия из подобия треугольниковназывают средним пропорциональным (или средним геометрическим) отрезков Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников, если Следствия из подобия треугольников

Теорема (о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике). 1) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу. 2) Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145.

1) Следствия из подобия треугольников(по лемме). Поэтому Следствия из подобия треугольниковили Следствия из подобия треугольников

2) Следствия из подобия треугольников(по лемме). Поэтому Следствия из подобия треугольниковили Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников(по лемме). Поэтому Следствия из подобия треугольниковили Следствия из подобия треугольников

Пример №10

Следствия из подобия треугольников— высота прямоугольного треугольника Следствия из подобия треугольников

с прямым углом Следствия из подобия треугольниковДокажите, что Следствия из подобия треугольников

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145. Так как

Следствия из подобия треугольниковто Следствия из подобия треугольникова так как Следствия из подобия треугольниковто

Следствия из подобия треугольниковПоэтому Следствия из подобия треугольниковоткуда Следствия из подобия треугольников

Пример №11

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Рассмотрим рисунок 145, где Следствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольников

1) Следствия из подобия треугольников

2) Следствия из подобия треугольниковто есть Следствия из подобия треугольниковТак как Следствия из подобия треугольниковто Следствия из подобия треугольников

3) Следствия из подобия треугольниковТак как Следствия из подобия треугольниковто Следствия из подобия треугольников

4) Следствия из подобия треугольников

При решении задач этого параграфа советуем использовать таблицу квадратов натуральных чисел.

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Доказательство:

Пусть Следствия из подобия треугольников— биссектриса треугольника Следствия из подобия треугольников(рис. 147). Докажем, что Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

1) Проведем через точку Следствия из подобия треугольниковпрямую, параллельную Следствия из подобия треугольникови продлим биссектрису Следствия из подобия треугольниковдо пересечения с этой прямой в точке Следствия из подобия треугольниковТогда Следствия из подобия треугольников(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольникови секущей Следствия из подобия треугольников

2) Следствия из подобия треугольников— равнобедренный (так как Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковто Следствия из подобия треугольникова значит, Следствия из подобия треугольников

3) Следствия из подобия треугольников(как вертикальные), поэтому Следствия из подобия треугольников(по двум углам). Следовательно, Следствия из подобия треугольников

Но Следствия из подобия треугольниковтаким образом Следствия из подобия треугольников

Из пропорции Следствия из подобия треугольниковможно получить и такую: Следствия из подобия треугольников

Пример №12

В треугольнике Следствия из подобия треугольников Следствия из подобия треугольников— биссектриса треугольника. Найдите Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников

Решение:

Рассмотрим Следствия из подобия треугольников(рис. 147). Пусть Следствия из подобия треугольников

тогда Следствия из подобия треугольниковТак как Следствия из подобия треугольниковимеем уравнение: Следствия из подобия треугольниковоткуда Следствия из подобия треугольников

Следовательно, Следствия из подобия треугольников

Ответ. 6 см, 3 см.

Пример №13

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 24 см, а боковая сторона относится к основанию как 3 : 2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

Пусть в треугольнике Следствия из подобия треугольниковмедиана (рис. 148).

Следствия из подобия треугольников

Тогда Следствия из подобия треугольниковявляется также высотой и биссектрисой. Поскольку точка Следствия из подобия треугольников— центр вписанной окружности — является точкой пересечения биссектрис треугольника, то Следствия из подобия треугольников— радиус окружности.

Учитывая, что Следствия из подобия треугольниковобозначим Следствия из подобия треугольниковТак как Следствия из подобия треугольников— середина Следствия из подобия треугольниковто Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников— биссектриса треугольника Следствия из подобия треугольниковпоэтому Следствия из подобия треугольников

Пусть Следствия из подобия треугольниковТогда Следствия из подобия треугольниковИмеем: Следствия из подобия треугольниковоткуда Следствия из подобия треугольников

Применение подобия треугольников к решению задач

Рассмотрим некоторые интересные свойства геометрических фигур, которые легко получить из подобия треугольников, и применим подобие к решению практических задач.

1. Пропорциональность отрезков хорд.

Теорема 1 (о пропорциональности отрезков хорд). Если хорды Следствия из подобия треугольников и Следствия из подобия треугольников пересекаются в точке Следствия из подобия треугольниковто

Следствия из подобия треугольников

Доказательство:

Пусть хорды Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковпересекаются в точке Следствия из подобия треугольников(рис. 150). Рассмотрим Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольникову которых Следствия из подобия треугольников(как вертикальные), Следствия из подобия треугольников(как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).

Следствия из подобия треугольников

Тогда Следствия из подобия треугольников(по двум углам), а значит, Следствия из подобия треугольниковоткуда

Следствия из подобия треугольников

Следствие. Если Следствия из подобия треугольников— центр окружности, Следствия из подобия треугольников— ее радиус, Следствия из подобия треугольников— хорда, Следствия из подобия треугольниковто Следствия из подобия треугольниковгде Следствия из подобия треугольников

Доказательство:

Проведем через точку Следствия из подобия треугольниковдиаметр Следствия из подобия треугольников(рис. 151). Тогда Следствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Пример №14

AL — биссектриса треугольника Следствия из подобия треугольниковДокажите формулу биссектрисы: Следствия из подобия треугольников

Доказательство:

Опишем около треугольника Следствия из подобия треугольниковокружность и продлим Следствия из подобия треугольниковдо пересечения с окружностью в точке Следствия из подобия треугольников(рис. 152).

1) Следствия из подобия треугольников(как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу Следствия из подобия треугольников Следствия из подобия треугольников(по условию). Поэтому Следствия из подобия треугольников(по двум углам).

2) Имеем: Следствия из подобия треугольниковоткуда Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Но по теореме о пропорциональности отрезков хорд:

Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольниковто есть Следствия из подобия треугольников

2. Пропорциональность отрезков секущей и касательной.

Теорема 2 (о пропорциональности отрезков секущей и касательной). Если из точки Следствия из подобия треугольниковлежащей вне круга, провести секущую, пересекающую окружность в точках Следствия из подобия треугольников и Следствия из подобия треугольникови касательную Следствия из подобия треугольниковгде Следствия из подобия треугольников — точка касания, то Следствия из подобия треугольников

Доказательство:

Рассмотрим рис. 153. Следствия из подобия треугольников(как вписанный угол), Следствия из подобия треугольников, то

есть Следствия из подобия треугольниковПоэтому Следствия из подобия треугольников(по двум углам),

значит, Следствия из подобия треугольниковОткуда Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Следствие 1. Если из точки Следствия из подобия треугольниковпровести две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольникова другая — в точках Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковто Следствия из подобия треугольников

Так как по теореме каждое из произведений Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковравно Следствия из подобия треугольниковто следствие очевидно.

Следствие 2. Если Следствия из подобия треугольников— центр окружности, Следствия из подобия треугольников— ее радиус, Следствия из подобия треугольников— касательная, Следствия из подобия треугольников— точка касания, то Следствия из подобия треугольниковгде Следствия из подобия треугольников

Доказательство:

Проведем из точки Следствия из подобия треугольниковчерез центр окружности Следствия из подобия треугольниковсекущую (рис. 154), Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников— точки ее пересечения с окружностью. Тогда по теореме:

Следствия из подобия треугольниковно Следствия из подобия треугольниковпоэтому Следствия из подобия треугольников

3. Измерительные работы на местности.

Предположим, что нам необходимо измерить высоту некоторого предмета, например высоту ели Следствия из подобия треугольников(рис. 155). Для этого установим на некотором расстоянии от ели жердь Следствия из подобия треугольниковс планкой, которая вращается вокруг точки Следствия из подобия треугольниковНаправим планку на верхнюю точку Следствия из подобия треугольниковели, как показано на рисунке 155. На земле отметим точку Следствия из подобия треугольниковв которой планка упирается в поверхность земли.

Следствия из подобия треугольников

Рассмотрим Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольникову них общий, поэтому Следствия из подобия треугольников(по острому углу).

Тогда Следствия из подобия треугольниковоткуда Следствия из подобия треугольников

Если, например, Следствия из подобия треугольниковто Следствия из подобия треугольников

4. Задачи на построение.

Пример №15

Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

На рисунке 156 изображены два данных угла и данный отрезок. Построим треугольник, у которого два угла соответственно равны двум данным углам, а медиана, проведенная из вершины третьего угла, равна данному отрезку.

Следствия из подобия треугольников

1) Строим некоторый треугольник, подобный искомому. Для этого построим произвольный треугольник Следствия из подобия треугольникову которого углы Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковравны данным (рис. 157).

2) Проводим медиану Следствия из подобия треугольниковтреугольника Следствия из подобия треугольникови откладываем на прямой Следствия из подобия треугольниковотрезок Следствия из подобия треугольниковравный данному.

3) Через точку Следствия из подобия треугольниковпроводим прямую, параллельную Следствия из подобия треугольниковОна пересекает стороны угла Следствия из подобия треугольниковв некоторых точках Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников(рис. 157).

4) Так как Следствия из подобия треугольниковто Следствия из подобия треугольниковЗначит, два угла треугольника Следствия из подобия треугольниковравны данным.

Докажем, что Следствия из подобия треугольников— середина Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников(по двум углам). Поэтому Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников(по двум углам). Поэтому Следствия из подобия треугольников

Получаем, что Следствия из подобия треугольниковто есть Следствия из подобия треугольниковНо Следствия из подобия треугольников(по построению), поэтому Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников

Следовательно, Следствия из подобия треугольников— медиана треугольника Следствия из подобия треугольникови треугольник Следствия из подобия треугольников— искомый.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№15 - Признаки подобия треугольников.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№15 - Признаки подобия треугольников.)

Подобие треугольников

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а второе — деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, а второе больше напоминает драгоценный камень.

Иоганн Кеплер, немецкий астроном и математик

В этой главе вы начнете знакомиться с подобием фигур. Отношение подобия является одной из важнейших характеристик евклидовой геометрии. Проявления подобия часто встречаются и в повседневной жизни. Например, авиамодели самолетов подобны реальным машинам, а репродукции классических картин подобны оригиналам.

В основе теории подобия лежит обобщение теоремы Фалеса. Благодаря свойствам подобных треугольников устанавливаются важные геометрические соотношения. В частности, с помощью подобия будет доказана знаменитая теорема Пифагора. Правда, такое доказательство не является классическим, ведь во времена Пифагора некоторые геометрические факты, которые мы будем рассматривать, еще не были открыты. Но сегодня даже обычный школьник может овладеть знаниями, неизвестными великому Пифагору.

Определение подобных треугольники

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним некоторые понятия, связанные с делением и пропорциями, которые понадобятся нам для дальнейших рассуждений.

Отношением отрезков длиной Следствия из подобия треугольниковназывается частное их длин, т.е. число Следствия из подобия треугольников

Иначе говоря, отношение Следствия из подобия треугольниковпоказывает, сколько раз отрезок Следствия из подобия треугольникови его части укладываются в отрезке Следствия из подобия треугольниковДействительно, если отрезок Следствия из подобия треугольниковпринять за единицу измерения, то данное отношение будет равняться длине отрезка Следствия из подобия треугольников

Отрезки длиной Следствия из подобия треугольниковпропорциональны отрезкам длиной Следствия из подобия треугольниковесли Следствия из подобия треугольников

Например, отрезки длиной 8 см и 12 см пропорциональны отрезкам длиной 10 см и 15 см, поскольку Следствия из подобия треугольников

Сформулируем обобщенную теорему Фалеса для неравных отрезков, которые отсекаются параллельными прямыми на сторонах угла.

Теорема (о пропорциональных отрезках)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки: Следствия из подобия треугольников

Утверждение теоремы иллюстрирует рисунок 90.

Следствия из подобия треугольников

Приведем рассуждения, на которых основывается доказательство этой теоремы.

Отношение Следствия из подобия треугольниковпоказывает, сколько раз отрезок Следствия из подобия треугольниковукладывается в отрезке Следствия из подобия треугольникова отношение Следствия из подобия треугольниковсколько раз отрезок Следствия из подобия треугольниковукладывается в отрезке Следствия из подобия треугольниковТеорема Фалеса устанавливает соответствие между процессами измерения отрезков Следствия из подобия треугольниковДействительно, прямые, параллельные Следствия из подобия треугольников«переводят» равные отрезки на одной стороне угла в равные отрезки на другой его стороне: отрезок Следствия из подобия треугольников«переходит» в отрезок Следствия из подобия треугольниковдесятая часть отрезка Следствия из подобия треугольников— в десятую часть отрезка Следствия из подобия треугольникови т.д. Поэтому если отрезок Следствия из подобия треугольниковукладывается в отрезке Следствия из подобия треугольниковраз, то отрезок Следствия из подобия треугольниковукладывается в отрезке Следствия из подобия треугольниковтакже Следствия из подобия треугольниковраз.

Полное доказательство этой теоремы представлено в Приложении 1.
Замечание.
Поскольку Следствия из подобия треугольниковто Следствия из подобия треугольникови следствие данной теоремы можно записать в виде Следствия из подобия треугольниковНа такое равенство мы также будем ссылаться как на теорему о пропорциональных отрезках.

Пример №16

Даны отрезки Следствия из подобия треугольниковПостройте отрезок Следствия из подобия треугольников

Решение:

Построим произвольный неразвернутый угол Следствия из подобия треугольникови отложим на одной его стороне отрезки Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольникова на другой стороне — отрезок Следствия из подобия треугольников(рис. 91).

Следствия из подобия треугольников

Проведем прямую Следствия из подобия треугольникови прямую, которая параллельна Следствия из подобия треугольниковпроходит через точку Следствия из подобия треугольникови пересекает другую сторону угла в точке Следствия из подобия треугольниковПо теореме о пропорциональных отрезках Следствия из подобия треугольниковоткуда Следствия из подобия треугольниковСледовательно, отрезок Следствия из подобия треугольников— искомый.

Заметим, что в задаче величина Следствия из подобия треугольниковявляется четвертым членом пропорции Следствия из подобия треугольниковПоэтому построенный отрезок называют четвертым пропорциональным отрезком.

Вычисление подобных треугольников

Равные фигуры представляются в нашем воображении как фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры. Но в повседневной жизни часто встречаются вещи, у которых одинаковая форма, но разные размеры: например, чайное блюдце и тарелка, одинаковые модели обуви разных размеров и т. п. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Например, подобными друг другу являются любые два квадрата, любые две окружности. Введем для начала понятие о подобных треугольниках. Определение

Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

На рисунке 92 изображены подобные треугольники Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Подобие этих треугольников кратко обозначают так: Следствия из подобия треугольниковВ этой записи, как и в записи равенства треугольников, названия треугольников будем записывать так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает:

Следствия из подобия треугольников

Число Следствия из подобия треугольниковравное отношению соответствующих сторон подобных треугольников, называют коэффициентом подобия.

Очевидно, что два равных треугольника являются подобными с коэффициентом подобия 1.

Опорная задача

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите.

Решение:

Пусть Следствия из подобия треугольниковс коэффициентом подобия Следствия из подобия треугольниковЭто означает, что Следствия из подобия треугольниковт.е. Следствия из подобия треугольниковИмеем:

Следствия из подобия треугольников

Отметим также, что отношение соответствующих линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и т.п.) подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите это самостоятельно.

Подобие треугольников по двум углам

Для доказательства подобия двух треугольников, как и для доказательства их равенства, не обязательно проверять все соотношения сторон и углов согласно определению — достаточно проверить лишь некоторые из них. Какие именно? Ответ на этот вопрос дают три признака подобия треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковв которых Следствия из подобия треугольников, (рис. 99).

Следствия из подобия треугольников

Докажем подобие этих треугольников. Из теоремы о сумме углов треугольника очевидно следует, что Следствия из подобия треугольниковОтложим на луче Следствия из подобия треугольниковотрезок Следствия из подобия треугольниковравный Следствия из подобия треугольникови проведем прямую Следствия из подобия треугольниковпараллельную Следствия из подобия треугольниковТогда Следствия из подобия треугольниковкак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Следствия из подобия треугольниковпо второму признаку, откуда Следствия из подобия треугольниковПо теореме о пропорциональных отрезках Следствия из подобия треугольниковследовательно Следствия из подобия треугольниковАналогично доказываем что Следствия из подобия треугольниковТаким образом по определению подобных треугольников Следствия из подобия треугольниковТеорема доказана.

Пример №17

Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них на отрезки длиной 4 см и 7 см. Меньшее основание трапеции равно 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть в трапеции Следствия из подобия треугольниковдиагонали пересекаются в точке Следствия из подобия треугольников(рис. 100).

Следствия из подобия треугольников

Рассмотрим треугольники Следствия из подобия треугольниковВ них углы при вершине Следствия из подобия треугольниковравны как вертикальные, Следствия из подобия треугольников Следствия из подобия треугольниковкак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Следствия из подобия треугольникови секущей Следствия из подобия треугольниковТогда Следствия из подобия треугольниковпо двум углам. Отсюда следует, что Следствия из подобия треугольниковПо скольку по условию Следствия из подобия треугольниковзначит, Следствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольниковТогда Следствия из подобия треугольников
Средняя линия трапеции равна полусумме ее основании, т.е. Следствия из подобия треугольников

Ответ: 11 см.

Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники Следствия из подобия треугольниковв которых Следствия из подобия треугольников(рис. 101).

Следствия из подобия треугольников

Докажем подобие этих треугольников. Отложим на луче Следствия из подобия треугольниковотрезок Следствия из подобия треугольниковравный Следствия из подобия треугольникови проведем прямую Следствия из подобия треугольниковпараллельную Следствия из подобия треугольниковТогда Следствия из подобия треугольниковкак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Следствия из подобия треугольниковпо двум углам. Отсюда Следствия из подобия треугольникова поскольку Следствия из подобия треугольниковТогда Следствия из подобия треугольниковпо первому признаку равенства треугольников, следовательно, Следствия из подобия треугольников Следствия из подобия треугольниковпо двум углам. Теорема доказана.

Пример №18

Прямая, пересекающая стороны Следствия из подобия треугольниковтреугольника Следствия из подобия треугольниковделит каждую из них в отношении Следствия из подобия треугольниковначиная от вершины Следствия из подобия треугольниковДокажите, что эта прямая параллельна Следствия из подобия треугольников

Решение:

Следствия из подобия треугольников

Пусть прямая Следствия из подобия треугольниковпересекает стороны Следствия из подобия треугольниковтреугольника Следствия из подобия треугольниковв точках Следствия из подобия треугольниковсоответственно (рис. 102). Поскольку по условию задачи Следствия из подобия треугольниковТогда треугольники Следствия из подобия треугольниковподобны по двум сторонам и углу между ними. Из подобия треугольников следует, что Следствия из подобия треугольниковНо эти углы являются соответственными при прямых Следствия из подобия треугольникови секущей Следствия из подобия треугольниковСледовательно, Следствия из подобия треугольниковпо признаку параллельности прямых.

Подобие треугольников по трем сторонам

Теорема (признак подобия треугольников по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть в треугольниках Следствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольников(рис. 103).

Следствия из подобия треугольников

Докажем подобие этих треугольников. Как и в предыдущих теоремах, отложим на луче Следствия из подобия треугольниковотрезок Следствия из подобия треугольниковравный отрезку Следствия из подобия треугольникови проведем прямую Следствия из подобия треугольниковпараллельную Следствия из подобия треугольниковТогда Следствия из подобия треугольниковкак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Следствия из подобия треугольниковпо двум углам. Отсюда Следствия из подобия треугольникова поскольку Следствия из подобия треугольниковто Следствия из подобия треугольниковУчитывая, что Следствия из подобия треугольниковимеем Следствия из подобия треугольниковАналогично доказываем, что Следствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольниковТогда Следствия из подобия треугольниковпо третьему признаку равенства треугольников, следовательно, Следствия из подобия треугольников Следствия из подобия треугольниковпо двум углам. Теорема доказана.

Таким образом, для доказательства всех трех признаков подобия треугольников использован один и тот же подход, а доказательство каждого из признаков подобия основывается на соответствующем признаке равенства треугольников.

В ходе доказательства признаков подобия треугольников мы показали также, что прямая, которая параллельна стороне треугольника и пересекает две другие стороны, отсекает от данного треугольника подобный.

Видео:8 класс, 27 урок, Практические приложения подобия треугольниковСкачать

8 класс, 27 урок, Практические приложения подобия треугольников

Подобие прямоугольных треугольников

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Признаки подобия прямоугольных треугольников являются следствиями соответствующих признаков подобия произвольных треугольников. Наиболее важным признаком подобия прямоугольных треугольников является следующий.

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны.

Действительно, поскольку в прямоугольном треугольнике один угол прямой, этот признак следует из признака подобия треугольников по двум углам.

Другие признаки подобия прямоугольных треугольников сформулируйте и докажите самостоятельно (задачи № 395, 413).

Пример №19

В треугольнике Следствия из подобия треугольниковс острым углом Следствия из подобия треугольниковпроведены высоты Следствия из подобия треугольников(рис. 110). Докажите, что Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Решение:

Рассмотрим прямоугольные треугольники Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковПоскольку они имеют общий острый угол Следствия из подобия треугольниковони подобны. Из этого следует, что соответствующие катеты и гипотенузы этих треугольников пропорциональны, т.е. Следствия из подобия треугольников

Рассмотрим теперь треугольники Следствия из подобия треугольниковУ них также общий угол Следствия из подобия треугольников, а по только что доказанному стороны, прилегающие к этому углу, пропорциональны. Следовательно, Следствия из подобия треугольниковпо двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Подобие треугольников позволяет установить ряд соотношений между длинами некоторых отрезков в треугольнике и окружности (такие соотношения называют метрическими). Сначала введем несколько вспомогательных понятий.

Отрезок Следствия из подобия треугольниковназывается средним пропорциональным между отрезками Следствия из подобия треугольниковесли Следствия из подобия треугольников

В прямоугольном треугольнике Следствия из подобия треугольниковс катетами Следствия из подобия треугольникови гипотенузой Следствия из подобия треугольниковпроведем высоту Следствия из подобия треугольникови обозначим ее Следствия из подобия треугольников(рис. 111).

Следствия из подобия треугольников

Отрезки Следствия из подобия треугольниковна которые эта высота делит гипотенузу, называют проекциями катетов на гипотенузу. Проекции катетов Следствия из подобия треугольниковна гипотенузу Следствия из подобия треугольниковобозначают Следствия из подобия треугольниковсоответственно.

Теорема (метрические соотношения в прямоугольном треугольнике) В прямоугольном треугольнике:

1) высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу:

Следствия из подобия треугольников

2) катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

Следствия из подобия треугольников

3) высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу:

Следствия из подобия треугольников

По признаку подобия прямоугольных треугольников Следствия из подобия треугольников(у этих треугольников общий острый угол Следствия из подобия треугольников Следствия из подобия треугольников(у этих треугольников общий острый угол Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников(острые углы этих треугольников равны острым углам треугольника Следствия из подобия треугольниковИз подобия треугольников Следствия из подобия треугольниковимеем: Следствия из подобия треугольниковоткуда Следствия из подобия треугольниковАналогично из подобия треугольников Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковполучаем Следствия из подобия треугольниковИ наконец, из подобия треугольников Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковимеем Следствия из подобия треугольниковоткуда Следствия из подобия треугольниковТеорема доказана.

В ходе доказательства теоремы мы установили интересный факт: высота прямоугольного треугольника делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Среди всех видов треугольников такое свойство имеет лишь прямоугольный.

Пример №20

Найдите периметр прямоугольного треугольника, в котором катет равен 15 см, а его проекция на гипотенузу равна 9 см.

Решение:

Пусть в треугольнике Следствия из подобия треугольников Следствия из подобия треугольников(рис. 112).

Следствия из подобия треугольников

Из метрического соотношения в треугольнике Следствия из подобия треугольниковполучаем: Следствия из подобия треугольниковоткуда Следствия из подобия треугольниковтогда Следствия из подобия треугольниковИз соотношения Следствия из подобия треугольниковимеем: Следствия из подобия треугольниковоткуда Следствия из подобия треугольниковСледовательно, Следствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольников

Ответ: 60 см.

Теорема Пифагора и ее следствия

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему Пифагора.

Теорема (Пифагора)

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Следствия из подобия треугольников

Согласно доказанным метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике с катетами Следствия из подобия треугольникови гипотенузой Следствия из подобия треугольников(рис. 117) Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Складывая эти равенства почленно, имеем:

Следствия из подобия треугольников

Соотношение между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника было известно задолго до Пифагора. Но именно Пифагору удалось доказать его, опираясь на понятие площади (к этому доказательству мы вернемся в следующей главе). Всего же на сегодня известно более 150 способов доказательства теоремы Пифагора. С некоторыми из них вы сможете познакомиться в п. 18.3.

Доказательство, которое мы рассмотрели, является по сути алгебраическим. Собственно, важность теоремы Пифагора заключается, в частности, в том, что она значительно расширяет возможности применения алгебры в геометрии.

С ее помощью можно найти любую сторону прямоугольного треугольника, зная две другие стороны. Например, если Следствия из подобия треугольниковто

Следствия из подобия треугольников

Теорема Пифагора позволяет использовать для решения геометрических задач и другие алгебраические приемы, например составление уравнений.

Пример №21

Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к наибольшей стороне.

Решение:

Пусть Следствия из подобия треугольников— высота треугольника Следствия из подобия треугольниковв котором Следствия из подобия треугольников(рис. 118).

Следствия из подобия треугольников

Поскольку Следствия из подобия треугольников— наибольшая сторона треугольника, то точка Следствия из подобия треугольниковлежит на этой стороне (докажите это самостоятельно). Примем длину отрезка Следствия из подобия треугольниковравной Следствия из подобия треугольниковсм, тогда Следствия из подобия треугольниковПо теореме Пифагора из прямоугольного треугольника Следствия из подобия треугольниковимеем: Следствия из подобия треугольникова из прямоугольного треугольника Следствия из подобия треугольниковимеем: Следствия из подобия треугольниковт.е. Следствия из подобия треугольниковПриравнивая два выражения для Следствия из подобия треугольниковполучаем:

Следствия из подобия треугольников

Таким образом, Следствия из подобия треугольников

Тогда из треугольника Следствия из подобия треугольниковпо теореме Пифагора имеем: Следствия из подобия треугольников

Ответ: 12 см.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Наряду с теоремой Пифагора не менее важной является обратная теорема. Эту теорему можно рассматривать как признак прямоугольного треугольника.

Теорема (обратная теореме Пифагора)

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный: если Следствия из подобия треугольников

Пусть в треугольнике Следствия из подобия треугольников(рис. 119, а) Следствия из подобия треугольниковДокажем, что угол Следствия из подобия треугольниковпрямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник Следствия из подобия треугольниковс прямым углом Следствия из подобия треугольниковв котором Следствия из подобия треугольников(рис. 119, б). По теореме Пифагора Следствия из подобия треугольникова с учетом равенства двух сторон рассматриваемых треугольников Следствия из подобия треугольниковТогда Следствия из подобия треугольниковпо трем сторонам, откуда Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Из доказанной теоремы, в частности, следует, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — прямоугольный: Следствия из подобия треугольниковОб этом знали еще древние египтяне: для построения прямых углов на местности они делили бечевку на 12 равных частей, связывали ее концы, а потом с помощью кольев натягивали ее так, чтобы получился прямоугольный треугольник (рис. 120). Именно поэтому прямоугольные треугольники со сторонами, пропорциональными числам 3, 4 и 5, называют египетскими треугольниками. Вообще, тройки чисел Следствия из подобия треугольниковдля которых выполняется равенство Следствия из подобия треугольниковпринято называть пифагоровыми тройками, а треугольники, длины сторон которых являются пифагоровыми тройками,— пифагоровыми треугольниками. Попробуйте самостоятельно составить несколько пифагоровых троек чисел (поможет в этом решение задачи № 443).

Перпендикуляр и наклонная

Пусть точка Следствия из подобия треугольниковне лежит на прямой Следствия из подобия треугольников Следствия из подобия треугольников— перпендикуляр к этой прямой (рис. 121). Любой отрезок, соединяющий точку Следствия из подобия треугольниковс точкой прямой Следствия из подобия треугольникови не совпадающий с перпендикуляром, называют наклонной к прямой Следствия из подобия треугольниковНа рисунке 121 отрезок Следствия из подобия треугольников— наклонная к прямой Следствия из подобия треугольниковточка Следствия из подобия треугольников— основание наклонной. При этом отрезок Следствия из подобия треугольниковпрямой Следствия из подобия треугольниковограниченный основаниями перпендикуляра и наклонной, называют проекцией наклонной Следствия из подобия треугольниковна данную прямую.

Следствия из подобия треугольников

Понятия наклонной и ее проекции взаимосвязаны с понятием перпендикуляра к прямой: невозможно указать проекцию данной наклонной, не построив перпендикуляр. Очевидно, что перпендикуляр и наклонная, проведенные из одной точки, вместе с проекцией наклонной образуют прямоугольный треугольник, в котором наклонная является гипотенузой.

Сформулируем свойства перпендикуляра, наклонных и проекций.

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

  1. любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую (рис. 122, а):
  2. равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные (рис. 122, б);
  3. большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию (рис. 122, в).

Все эти свойства следуют из теоремы Пифагора (самостоятельно объясните почему). Но некоторые из них можно также получить и из других свойств прямоугольного треугольника.

Следствия из подобия треугольников

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольников

Применение подобия треугольников

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника)

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Следствия из подобия треугольников

По данным рисунка 123 это означает, что

Следствия из подобия треугольников

Пусть Следствия из подобия треугольников— биссектриса треугольника Следствия из подобия треугольниковДокажем, что Следствия из подобия треугольников

В случае, если Следствия из подобия треугольниковутверждение теоремы очевидно, поскольку биссектриса Следствия из подобия треугольниковявляется одновременно и медианой. Рассмотрим случай, когда Следствия из подобия треугольников

Проведем перпендикуляры Следствия из подобия треугольниковк прямой Следствия из подобия треугольников(рис. 124). Прямоугольные треугольники Следствия из подобия треугольниковподобны, поскольку их острые углы при вершине Следствия из подобия треугольниковравны как вертикальные. Из подобия этих треугольников имеем: Следствия из подобия треугольников

С другой стороны, прямоугольные треугольники Следствия из подобия треугольниковтакже подобны, поскольку имеют равные острые углы при вершине Следствия из подобия треугольниковОтсюда следует что Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Сравнивая это равенство с предыдущем Следствия из подобия треугольниковчто и требовалось доказать.

Пример №22

Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его биссектриса делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см.

Решение:

Пусть Следствия из подобия треугольников— биссектриса прямоугольного треугольника Следствия из подобия треугольниковс гипотенузой Следствия из подобия треугольников Следствия из подобия треугольников(рис. 125).

Следствия из подобия треугольников

По свойству биссектрисы треугольника Следствия из подобия треугольников

Тогда если Следствия из подобия треугольникови по теореме Пифагора имеем:

Следствия из подобия треугольников

Следовательно, Следствия из подобия треугольников

тогда Следствия из подобия треугольников

Ответ: 84 см.

Метрические соотношения в окружности

Теорема (о пропорциональности отрезков хорд)

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

По данным рисунка 126 это означает, что Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Пусть хорды Следствия из подобия треугольниковпересекаются в точке Следствия из подобия треугольниковПроведем хорды Следствия из подобия треугольниковТреугольники Следствия из подобия треугольниковподобны по двум углам: Следствия из подобия треугольниковкак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, а углы при вершине Следствия из подобия треугольниковравны как вертикальные. Из подобия треугольников следует, что Следствия из подобия треугольниковт.е. Следствия из подобия треугольников

Теорема (о пропорциональности отрезков секущей и касательной)

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки.

По данным рисунка 127 это означает, что Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Пусть из точки Следствия из подобия треугольниковк окружности проведены секущая, которая пересекает окружность в точках Следствия из подобия треугольникови касательная Следствия из подобия треугольников— точка касания). Проведем хорды Следствия из подобия треугольниковТреугольники Следствия из подобия треугольниковподобны по двум углам: у них общий угол Следствия из подобия треугольникова углы Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольниковизмеряются половиной дуги Следствия из подобия треугольников(см. опорную задачу № 230). Следовательно, из подобия треугольников получаем: Следствия из подобия треугольниковт.е. Следствия из подобия треугольников

Следствие

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно.

По данным рисунка 128 это означает, что Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Метод подобия

Подобие треугольников дает ключ к решению задач на доказательство и вычисление, которые содержат соотношения между произведениями некоторых отрезков. Для этого соответствующие равенства превращают в пропорции, благодаря которым можно доказать подобие соответствующих треугольников.

Пример №23

Диагонали четырехугольника Следствия из подобия треугольниковпересекаются в точке Следствия из подобия треугольниковДокажите, что Следствия из подобия треугольников

Решение:

Перепишем данное равенство в виде пропорции Следствия из подобия треугольниковЭлементы этой пропорции являются соответствующими сторонами треугольников Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников(рис. 129). Поскольку Следствия из подобия треугольниковкак вертикальные, то эти треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними поэтому Следствия из подобия треугольниковНо углы Следствия из подобия треугольниковвнутренние накрест лежащие при прямых Следствия из подобия треугольникови секущей Следствия из подобия треугольниковСледовательно, по признаку параллельности прямых Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Подобие треугольников может использоваться не только как инструмент геометрических доказательств или вычислений, но и как средство для решения задач на построение. Метод подобия для решения задач на построение заключается в построении вспомогательной фигуры, подобной искомой.

Пример №24

Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

Анализ

Обратим внимание на то, что два данных угла (пусть они равны Следствия из подобия треугольниковопределяют форму искомого треугольника, а длина данной биссектрисы (пусть она равна Следствия из подобия треугольников— его размеры.

При этом искомый треугольник будет подобен любому треугольнику с углами Следствия из подобия треугольниковОтсюда следует план построения: строим сначала произвольный треугольник с углами Следствия из подобия треугольниковпроводим в нем биссектрису и, пользуясь подобием треугольников, строим искомый треугольник (рис. 130).

Следствия из подобия треугольников

Построение:

1.Построим треугольник Следствия из подобия треугольниковв котором Следствия из подобия треугольников

2.Построим биссектрису угла Следствия из подобия треугольников

3.Отложим на построенной биссектрисе отрезок Следствия из подобия треугольников

4.Проведем через точку Следствия из подобия треугольниковпрямую, параллельную Следствия из подобия треугольниковПусть Следствия из подобия треугольников— точки ее пересечения со сторонами угла Следствия из подобия треугольниковТреугольник Следствия из подобия треугольниковискомый.

Поскольку по построению Следствия из подобия треугольниковкак соответственные углы при параллельных прямых. Значит, в треугольнике Следствия из подобия треугольников Следствия из подобия треугольников— биссектриса и Следствия из подобия треугольниковпо построению, Следствия из подобия треугольников

Исследование

Задача имеет единственное решение при условии Следствия из подобия треугольникови ни одного, если Следствия из подобия треугольников

Итак, при решении задач на построение методом подобия следует придерживаться следующего плана.

1. Выделить из условий задачи те, которые определяют форму искомой фигуры.

2. Построить по этим данным фигуру, подобную искомой.

3. Используя условия задачи, определяющие размеры искомой фигуры, построить эту фигуру.

Среди задач на построение, связанных с подобием, одной из наиболее интересных является задача деления отрезка на две части таким образом, чтобы одна из них была средним пропорциональным между второй частью и всем отрезком. Такое деление отрезка называют делением в среднем и крайнем отношениях, или золотым сечением. Подробнее о таком делении вы можете узнать в Приложении 2.

Видео:8 класс, 24 урок, Третий признак подобия треугольниковСкачать

8 класс, 24 урок, Третий признак подобия треугольников

Справочный материал по подобию треугольников

Теорема о пропорциональных отрезках

Следствия из подобия треугольников

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки:

Следствия из подобия треугольников

Подобие треугольников

Следствия из подобия треугольников
Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Признак подобия треугольников по двум углам

Следствия из подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Следствия из подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по трем сторонам

Следствия из подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия прямоугольных треугольников

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны

Следствия из подобия треугольников

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Следствия из подобия треугольников

Высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу: Следствия из подобия треугольников

Катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу: Следствия из подобия треугольникови Следствия из подобия треугольников

Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу: Следствия из подобия треугольников

Теорема Пифагора и ее следствия

Теорема Пифагора

Следствия из подобия треугольников

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Следствия из подобия треугольников

Теорема, обратная теореме Пифагора

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный:

если Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Перпендикуляр и наклонная

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

  • любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую
  • равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные
  • большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию

Следствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольников

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Метрические соотношения в окружности

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны:

Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки:

Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно:

Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Теории подобия треугольников посвящен шестой раздел «Начал» Евклида. Интересно, что, например, в геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников, которые не были бы равны. Оказывается, что аксиома параллельных прямых в евклидовой геометрии равносильна предположению о существовании подобных, но неравных треугольников. Центральное место в евклидовой геометрии занимает теорема Пифагора. Пифагор Самосский (ок. 580-500 гг. до н. э.) долгое время жил в Египте Евклид и Вавилоне, потом поселился в городе Кротон (греческая

колония на юге Италии) и основал там так называемый пифагорийский союз. Считается, что именно от пифагорейцев происходит слово «математика» (греческое «матема» означает «наука», «познание»). Свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 были известны древним египтянам и китайским ученым. Пифагор начал исследовать другие прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Рассмотрев равнобедренный прямоугольный треугольник с единичными катетами, он увидел, что длина его гипотенузы не выражается целым числом — так были открыты иррациональные числа. Вскоре Пифагору удалось доказать, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе,— именно так выглядела теорема Пифагора в классической формулировке. По легенде, в честь своего открытия он принес богам в жертву сто быков.

Сегодня нельзя с уверенностью сказать, какие из открытий пифагорейцев принадлежат самому Пифагору, а какие — его ученикам. Вообще, школа Пифагора существовала достаточно закрыто и обособленно от общества. Это породило ненависть к пифагорейцам, и школа была разгромлена, а сам Пифагор вынужден был спасаться бегством, но в дороге был убит. После смерти Пифагора его ученики разбрелись по всей Греции и стали распространять его учение, которое дошло и до наших дней.

Пифагорейский союз был одновременно и философской школой, и научным сообществом, и религиозным братством, и даже политической партией. Исследования пифагорейцев охватывали и арифметику, и философию, и музыку, и астрономию.

Подробно о подобных треугольниках

Вы знаете, что в равных треугольниках равны соответственные стороны и углы. Посмотрите на рисунок 243. Углы Следствия из подобия треугольниковравны соответственным углам Δ ABC: Следствия из подобия треугольников. Но стороны Следствия из подобия треугольниковв два раза больше соответственных сторон Δ ABC: Следствия из подобия треугольников. Следовательно, треугольник Следствия из подобия треугольниковне равен треугольнику ABC. Треугольники Следствия из подобия треугольникови ABC — подобные.

Следствия из подобия треугольников

Поскольку Следствия из подобия треугольников= 2АВ, составим отношение этих сторон: Следствия из подобия треугольников

Аналогично получим: Следствия из подобия треугольников. Каждое из этих отношений равно числу 2. Следовательно, их можно приравнять: Следствия из подобия треугольников

Из этого двойного равенства составим три пропорции: Следствия из подобия треугольников

Именно поэтому говорят, что соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны. Их называют сходственными.

Два треугольника называются подобными, если в них соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Число, которому равно отношение сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. Его обозначают буквой h.

Записываем: Следствия из подобия треугольникови говорим: «Треугольник Следствия из подобия треугольниковподобен треугольнику ABC*. Знак Следствия из подобия треугольниковзаменяет слово «подобный». Если коэффициент подобия треугольников известен, то записываем:

Следствия из подобия треугольников

Для подобных треугольников, как и для равных треугольников, имеет значение порядок записи вершин. Для треугольников на рисунке 243 запись Следствия из подобия треугольников— неверна.

Пример №25

Два треугольника на рисунке 244 подобны. Найдите длину их неизвестных сторон.

Следствия из подобия треугольников

Решение:

В данных треугольниках: ے A = ے ,N ےB = ے K, ے C= ے P. Составим отношение сходственных сторон: Следствия из подобия треугольников

Подставим известные длины сторон: Следствия из подобия треугольников

Приравняем первое и третье отношения, а затем — второе и третье.

Получаем: Следствия из подобия треугольников, отсюда АВ = 5,6 см; Следствия из подобия треугольников

Для того чтобы составить отношение сходственных сторон подобных треугольников:

  1. определите соответственно равные углы треугольников;
  2. выясните, какие их стороны являются сходственными;
  3. запишите равенство трёх дробей, в их числителях — стороны одного треугольника, а в знаменателях — сходственные стороны другого.

Может ли коэффициент подобия быть равным 1? Да, может. В этом случае подобные треугольники имеют равные стороны, следовательно, они равны.

Равенство треугольников — это частный случай подобия треугольников с коэффициентом k = 1.

Пример №26

Отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Докажите это.

Решение:

Пусть треугольники АВС и Следствия из подобия треугольников(рис. 245) подобны с коэффициентом k.

Следствия из подобия треугольников

Докажем, что Следствия из подобия треугольников

Поскольку Следствия из подобия треугольниковто Следствия из подобия треугольников

Запишем периметры подобных треугольников АВС и Следствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольников

1. Слово «подобный» означает «имеющий общие черты с кем-либо, чем-либо; похожий на кого-либо, что-либо». Этот термин часто используют в быту, науке, производстве. Например, эскиз треугольной косынки в масштабе 1: 10 и её выкройка в натуральную величину — это подобные треугольники. А вот выкройка и сама косынка — равные треугольники.

2. Древнегреческие математики вместо термина «подобный» употребляли слово «похожий». В отечественной математической литературе русский термин «подобие» используется с 1739 г. Знак ввёл в 1679 г. немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646 — 1716).

Следствия из подобия треугольников

3. На рисунке 246 вы видите подобные треугольники АВС и НТР. Они расположены так, что их стороны параллельны, а прямые АН, ВТ и CP, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке О. Говорят, что такие подобные треугольники ABC и НТР имеют перспективное расположение.

Понятие перспективы известно с древности, но собственно научная теория начинает интенсивно развиваться только в эпоху Возрождения. Посредством перспективы художники достигали эффекта объёмности своих холстов. Первым, кому это удалось сделать, был выдающийся флорентийский художник Джотто ди Бон-доне (1266 — 1337). Одновременно начинается поиск научных основ перспективы. Здесь первенство принадлежит также флорентийцу Филиппо Брунеллески (1377 — 1446). Учение о перспективе развивали и активно использовали в своём творчестве выдающиеся художники Леонардо да Винчи (Италия, 1452 — 1519), Альбрехт Дюрер (Германия, 1471 — 1528) и другие. Со временем из первых геометрических ростков учения о перспективе возникла новая наука — проективная геометрия. Её основателем был французский геометр, архитектор и инженер Жерар Дезарг (1591 — 1661), а развил до уровня стройной математической теории французский математик Жан Виктор Понселе (1788 — 1867).

Обобщённая теорема Фалеса

В теореме Фалеса утверждается, что параллельные прямые отсекают на сторонах угла соответственно равные отрезки. Обобщённым является случай, когда параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки (рис. 253). Соответствующая теорема называется обобщённой теоремой Фалеса. Приведём её без доказательства.

Теорема (обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Обобщённую теорему Фалеса иначе называют теоремой о пропорциональных отрезках.

Следствие. Прямая, параллельная любой стороне треугольника, отсекает от него подобный треугольник.

Следствия из подобия треугольников

Действительно, в треугольниках ABC и MNC (рис. 254) общий угол С. Его пересекают параллельные прямые АВ и MN. С секущей АС они образуют равные соответственные углы CAB и CMN. Третьи углы треугольников также равны. Докажем пропорциональность сторон треугольников.

Следствия из подобия треугольников

Из обобщенной теоремы Фалеса, Следствия из подобия треугольников

поэтому Следствия из подобия треугольников

Проводим прямую NK || АС, аналогично получаем: Следствия из подобия треугольников. Но КА = MN, поэтому Следствия из подобия треугольников

Итак, в треугольниках ABC и MNC соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: Следствия из подобия треугольников‘ Данные треугольники подобны по определению.

Для того чтобы доказать подобие треугольников:

  1. докажите равенство соответственных углов данных треугольников;
  2. докажите пропорциональность сходственных сторон данных треугольников;
  3. сделайте вывод: треугольники подобны по определению.

1. Может возникнуть вопрос: Как доказать обобщённую теорему Фалеса? Разделим отрезок АВ на п равных отрезков (рис. 255).

Следствия из подобия треугольников

Пусть длина каждого из них равна d. Тогда АВ = dn. Отложим от точки В на луче ВМ отрезки длиной d. Через все точки деления проведём прямые, параллельные ВС. Из теоремы Фалеса следует, что эти прямые отсекают равные отрезки и на стороне АС данного угла. Обозначим их длины Следствия из подобия треугольниковНа отрезке АС их будет одинаковое количество п, поэтому АС = Следствия из подобия треугольниковn. Пусть на отрезке ВМ помещается целое количество m таких отрезков (рис. 255). На отрезке CN их также будет m. Тогда ВМ = dm, a CN = Следствия из подобия треугольниковm. Найдём отношение отрезков на двух сторонах угла:

Следствия из подобия треугольников

Мы видим, что два отношения равны одному и тому же числу Следствия из подобия треугольников

Следовательно, их можно приравнять: Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Пусть на отрезке ВМ помещаются т отрезков длиной dn остаётся отрезок меньшей длины, чем d (рис. 256). Это означает, что отрезок из m частей длиной d меньше отрезка ВМ, а отрезок из m + 1 частей длиной d — больше этого отрезка. Пришли к неравенству: dm ے А = ے Ау Тогда стороны АВ и АС будут лежать соответственно на лучах Следствия из подобия треугольников. Прямые ВС и Следствия из подобия треугольниковcообразуют с секущей Следствия из подобия треугольниковравные соответственные углы: Следствия из подобия треугольниковИз признака параллельности прямых следует, что, Следствия из подобия треугольников

По следствию из обобщённой теоремы Фалеса, прямая ВС параллельная стороне Следствия из подобия треугольников, отсекает от треугольника Следствия из подобия треугольниковподобный треугольник. Поэтому Следствия из подобия треугольников

Следствие. Равносторонние треугольники подобны. Действительно, в равносторонних треугольниках все углы — по 60′. Поэтому треугольники подобны по двум углам.

Пример №27

В трапеции ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О (рис. 274). Докажите, что ∆АОВ

Следствия из подобия треугольников

Решение:

Рассмотрим треугольники АОВ и COD. В них: ے АОВ = ے COD как вертикальные, ے ОАВ = ے OCD как внутренние разносторонние при параллельных прямых АВ и CD и секущей АС. Следовательно, ∆АОВ

∆COD по двум углам.

Для того чтобы доказать подобие двух треугольников:

  1. выделите их на рисунке;
  2. докажите равенство двух пар соответственных углов;
  3. сделайте вывод: треугольники подобны по двум углам.

1. На свойствах подобных треугольников базируется принцип построения номограммы — специального чертежа, при помощи которого, не выполняя расчётов, можно найти корни некоторого уравнения. Рассмотрим задачу.

Пример №28

К заданному отрезку АВ в его концах и с М одной стороны от него проведены два перпендикуляра AM = а и BN = by а также отрезки MB и NA, пересекающиеся в точке О. Расстояние от О до АВ равно х. Найдите зависимость х от а и b.

Решение:

Пусть точка К (рис. 275) — основание перпендикуляра, проведённого из точки О к прямой АВ. По условию задачи, Следствия из подобия треугольников. Тогда:

Следствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольников

Получили уравнение, выражающее искомую зависимость. Для его приближённого решения можно на листе в клеточку или миллиметровой бумаге построить (аналогично рис. 275) отрезки о и b заданной длины и измерить расстояние х— это и будет искомый корень уравнения. Такие номограммы можно использовать в задачах по физике, в частности в разделе «Оптика».

Второй и трети и признаки подобия треугольников

Вы уже знаете, что равенство треугольников можно установить по двум сторонам и углу между ними либо по трём сторонам. Признаки подобия треугольников аналогичны. Но в данном случае нужно определить не равенство, а пропорциональность соответственных сторон двух треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними).

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано: Следствия из подобия треугольников

Доказать: Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольников

Доказательство. Пусть Следствия из подобия треугольников. Отложим на стороне Следствия из подобия треугольниковтреугольника Следствия из подобия треугольниковотрезок Следствия из подобия треугольников= АВ = с (рис. 288). Через точку В2 проведём прямую Следствия из подобия треугольниковИмеем треугольник Следствия из подобия треугольников, который по следствию из теоремы Фалеса, подобен треугольнику Следствия из подобия треугольников.

Следовательно, Следствия из подобия треугольниковОтсюда Следствия из подобия треугольников

Подставим в эту пропорцию известные длины сторон и сократим полученные дроби.

Имеем: Следствия из подобия треугольников. Отсюда Следствия из подобия треугольниковИз равенства треугольников Следствия из подобия треугольниковподобия треугольников Следствия из подобия треугольниковследует, что Следствия из подобия треугольников.

Пример №29

В каждом из треугольников ABC и /?5Г(рис. 291) медиана, проведённая к большей стороне, равна половине этой стороны. Подобны ли заданные треугольники, если АС = 9, АК= 7,5, RT = б, MR = 5?

Следствия из подобия треугольников

Решение:

Медианы СK и ТМ отсекают от треугольников АВС и RSТсоответственно ∆АСК и ∆RTM. В каждом из них известны три стороны: АС= 9, АК= КС— 7,5; RT= 6, RM= МТ= 5.

Выясним, пропорциональны ли сходственные стороны этих треугольников: Следствия из подобия треугольников

Следовательно, AACK ARTM по трём сторонам. Из подобия этих треугольников следует, что ے A = ے R.

Рассмотрим ∆АВС и ∆RST. У них: ے A= ے R, Следствия из подобия треугольников

∆RSTno двум сторонам и углу между ними.

Решая задачи, помните:

  1. если на рисунке нет нужной пары треугольников, то для их получения проведите вспомогательные отрезки;
  2. иногда необходимо доказать подобие нескольких треугольников.

1. Вы, наверное, заметили, что признаки подобия и признаки равенства треугольников имеют много общего.

Пользуясь таблицей 19, сформулируйте попарно признак равенства и признак подобия треугольников. Чем отличаются соответствующие признаки?

Следствия из подобия треугольников

2. Используя признаки подобия треугольников, можно доказать, что точка пересечения высот треугольника Н, точка пересечения его медиан М и центр описанной окружности Олежат на одной прямой (рис. 292).

Следствия из подобия треугольников

Эту прямую называют прямой Эйлера в честь великого математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707 — 1783). Он родился в Базеле (Швейцария), в 1727 — 1741 гг. работал в Петербурге, затем — в Берлине, а с 1766 г. — снова в Петербурге. С его работами связаны выдающиеся достижения во всех областях математики, в механике, физике, астрономии. Теорему о прямой, получившей его имя, Л. Эйлер сформулировал, доказал и опубликовал в 1765 г.

Применение подобия треугольников

Проведём высоту CD к гипотенузе ЛВ в прямоугольном треугольнике АБС (рис. 300). Она делит гипотенузу на отрезки AD и BD, которые называются проекциями катетов на гипотенузу.

Если стороны треугольника обозначены А малыми буквами (рис. 300), то проекции катетов а и b на гипотенузу с обозначают соответственно: Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Существуют ли зависимости между проекциями катетов на гипотенузу и сторонами прямоугольного треугольника? Да, существуют.

Одна из этих зависимостей очевидна: Следствия из подобия треугольников. Другие зависимости требуют доказательства.

Отрезок x называется средним пропорциональным между отрезками а и b, если выполняется равенство а : х = х : b.

Из определения следует, что Следствия из подобия треугольников. То есть квадрат среднего пропорционального между двумя отрезками равен произведению этих отрезков. В прямоугольном треугольнике можно выделить три средних пропорциональных: высоту, проведённую к гипотенузе, и оба катета.

Теорема (о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике).

В прямоугольном треугольнике:

  1. высота, проведённая к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу;
  2. катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Дано: ∆АСВ (рис. 301), ے C= 90°, СH— высота.

Доказать: Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Доказательство.

1) Следствия из подобия треугольниковпо двум углам.

Действительно, они имеют по прямому углу и ے ACH— ے CBH

Из подобия треугольников следует: Следствия из подобия треугольниковОтсюда Следствия из подобия треугольников= Следствия из подобия треугольников.

2) Каждый из треугольников АНС и СНВ подобен заданному треугольнику АСВ. Это следует из равенства их соответственных углов. Тогда получим:

Следствия из подобия треугольников

Следствие. Проекции катетов на гипотенузу относятся, как квадраты катетов.

Действительно, по теореме о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике, квадраты катетов соответственно равны Следствия из подобия треугольников(рис. 302).

Следствия из подобия треугольников

Поэтому Следствия из подобия треугольников

Вы знаете, что биссектриса треугольника делит его угол пополам. Существует ли зависимость между отрезками, на которые биссектриса делит противолежащую сторону треугольника? Да, существует.

Пример №30 (свойство биссектрисы треугольника).

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Докажите это.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 303) проведена биссектриса AL АС

Надо доказать, что Следствия из подобия треугольников

Следствия из подобия треугольников

Из точек А и В проводим перпендикуляры AM и BN к прямой CL.

Следствия из подобия треугольниковno двум углам. В них: Следствия из подобия треугольников, поскольку CL — биссектриса ے С. Отсюда Следствия из подобия треугольников Следствия из подобия треугольниковпо двум углам.

В них: ے AML = ے BNL = 90°, ے ALM— ے BLN как вертикальные.

Отсюда Следствия из подобия треугольников(2)

Из равенств (1) и (2) получим: Следствия из подобия треугольников

Подобие треугольников используют не только в задачах на доказательство или вычисление, но и на построение.

Пример №31

Постройте треугольник по двум углам А и С и биссектрисе I угла В.

Следствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольников

Решение:

Анализ (рис. 304). Углы А и С определяют треугольники, подобные искомому, а биссектриса — размеры искомого треугольника.

Пусть Следствия из подобия треугольников— искомый. Опустим требование задачи, что I — биссектриса ے B, то есть Следствия из подобия треугольников= I. Тогда можно построить вспомогательный Следствия из подобия треугольниковпо двум заданным углам А и С. Через точку Следствия из подобия треугольниковна биссектрисе ے В ( Следствия из подобия треугольников= I) проходит прямая Следствия из подобия треугольников, отсекающая от треугольника ABC подобный ему треугольник. Следовательно, вершины Следствия из подобия треугольников, искомого треугольника являются точками пересечения прямой С, со сторонами ВА и несоответственно вспомогательного Следствия из подобия треугольниковАВС.

Построение.

  1. Строим вспомогательный ∆ABC двум углам А и С.
  2. Проводим биссектрису BL угла В.
  3. На луче BL откладываем отрезок Следствия из подобия треугольников= I.
  4. Через точку Следствия из подобия треугольников, проводим прямую Следствия из подобия треугольников.

Доказательство.

По построению, в треугольнике Следствия из подобия треугольников: ے At = ے A, ے CX = ے C, BLy — биссектриса угла В и Следствия из подобия треугольников= I. Следовательно, Следствия из подобия треугольников, — искомый.

Дано:

Способ применения подобия треугольников в задачах на построение называют методом подобия.

Для того чтобы решить задачу на построение треугольника методом подобия:

  1. выделите из условия задачи те данные, которые определяют форму искомого треугольника;
  2. постройте по этим данным вспомогательный треугольник, подобный искомому;
  3. постройте искомый треугольник, используя те заданные условия, которые определяют его размеры.

1. Важные свойства имеет биссектриса внешнего угла треугольника.

Если треугольник равнобедренный, то биссектриса внешнего угла параллельна основанию (рис. 305). Если треугольник не равнобедренный, то биссектриса его внешнего ума пересекает противолежащую сторону в точке, расстояния от которой до вершин этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника.

Пусть ABC — заданный треугольник (рис. 306), биссектриса его внешнего угла КВС пересекает продолжение стороны АС в точке D. Докажем, что DC: DA= ВС: ВА. Выполним вспомогательное построение: проведём СМ || BD. Две параллельные прямые пересекают стороны угла А, поэтому, по обобщённой теореме Фалеса, А С : CD = А М: MB, либо AD: CD=AB: MB.

Следствия из подобия треугольниковСледствия из подобия треугольников

Но МВ= СВ, поскольку ∆ВСМ— равнобедренный.

Действительно, в нём ے 3 = ے 4, так как ے 1 = ے 2 (BD— биссектриса ے KBC);

ے 1 = ے 3 как соответственные (BD II СМ, АВ — секущая);

ے 2 = ے 4 как внутренние накрест лежащие (BD || СМ, ВС — секущая).

Следовательно, AD : CD = АВ : СВ, то есть DC: DA = ВС: ВА.

Рассмотрите самостоятельно случаи, когда треугольник ABC— остроугольный

2. Значительный вклад в развитие теории геометрических построений сделал известный украинский математик Александр Степанович Смогоржевский.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Трапеция и ее свойства
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎬 Видео

Геометрия 8 класс. Второй признак подобия треугольниковСкачать

Геометрия 8 класс. Второй признак подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников. Найти подобные по рисунку. Задачи на подобиеСкачать

Первый признак подобия треугольников. Найти подобные по рисунку. Задачи на подобие

Найти высоту дерева Задача на подобие треугольников 2 частьСкачать

Найти высоту дерева Задача на подобие треугольников 2 часть

Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Геометрия 8 класс. Третий признак подобия треугольниковСкачать

Геометрия 8 класс. Третий признак подобия треугольников
Поделиться или сохранить к себе: