Скрещивающиеся прямые в треугольнике (7 видео)

Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые – прямые, которые невозможно поместить в одну плоскость, то есть они не параллельны и не пересекаются.

Содержание

Признак скрещивающихся прямых
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым
Угол между скрещивающимися прямыми
Скрещивающиеся прямые — определение, теорема и примеры
Общая характеристика
Основные понятия и теоремы
Прочие условия
Практическое применение
Типовые задачи
Сложные задания
Скрещивающиеся прямые. Проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой
🎥 Видео

Видео:10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

Признак скрещивающихся прямых

Если одна из прямых лежит в плоскости, а вторая пересекает эту плоскость в точке, отличной от точек первой прямой, то такие прямые – скрещивающиеся .

Видео:10 класс - Геометрия - Скрещивающиеся прямыеСкачать

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Через две скрещивающиеся прямые можно провести две параллельные плоскости (единственным образом).

Расстояние между скрещивающимися прямыми – есть расстояние между этими плоскостями.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым

Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок, перпендикулярный каждой из двух скрещивающихся прямых, концы которого лежат на этих прямых.

Длина общего перпендикуляра равна расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Видео:Скрещивающиеся прямые - геометрия 10 АтанасянСкачать

Угол между скрещивающимися прямыми

Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.

(Одну из прямых можно вполне и не переносить параллельно самой себе, а ограничиться только параллельным переносом одной из прямых до пересечения со второй).

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ 10 класс стереометрияСкачать

Скрещивающиеся прямые — определение, теорема и примеры

Видео:7. Скрещивающиеся прямыеСкачать

Общая характеристика

Алгоритм определения того, что прямые линии (ПЛ) могут называться скрещивающимися, описывает расположение вне бесконечной поверхности. Существует несколько теорем и доказательств пересечения прямых в одной точке.

Основные понятия и теоремы

Из курса планиметрии известно, что две ПЛ в плоскости пересекаются, имеют одну точку или располагаются параллельно по отношению друг к другу.

Произвести вычисления, необходимые расчеты и графическое построение можно, изучив главные особенности и характеристику понятий. Когда прямые заданы векторными параметрическими уравнениями, выполняется равенство (формула) р = р0+SU и r = r0+tv.

Вычисление удаленности между ними определяется смешанным и векторным произведением D = (r 0 — p 0, u, v)/u, v.

Существует первая теорема, доказывающая признаки скрещивающихся ПЛ. Ее смысл заключается в теоретическом аспекте, указывающим на то, что когда одна из двух ПЛ расположена в плоскости, а другая ПЛ пересекает пространство в точке, не находящейся на отрезке, то эти ПЛ являются скрещивающимися. Данные можно доказать графически, используя методы черчения и рисования фигур, углов и перпендикуляров.

Например, дана плоскость α, в ней находится АВ, а прямая CD пересекается с плоскостью в т. С, расположенной на АВ. Для доказательства скрещивания прямых используется метод от обратного. Предполагается, что существует вторая плоскость, в которой расположены AB и DC. Во второй плоскости лежит отрезок АВ и т. С. Через ПЛ и точку, не лежащую на ней, проходит плоскость альфа. Второй плоскости бета не существует. Прямые скрещиваются.

Существует три положения прямых. В первом случае линии a и b пересекаются в т. С. Сквозь 2 ПЛ, которые пересекаются, проходит плоскость. ПЛ А II В, лежат в едином пространстве и не смогут пересечься. Прямые скрещиваются, когда не находятся в едином поле.

Вторая теорема о скрещивающихся прямых гласит, что через каждую из пары скрещивающихся ПЛ проходит одна плоскость, параллельная другой. Для подтверждения даны две ПЛ AB и CD. Требуется доказать, что через линию АВ проложена плоскость, параллельная СД.

Для этого через точку А проводится линия АЕ, расположенная параллельно DC. Согласно теореме о параллельных ПЛ, эта линия является единственной. Пересечение двух линий АВ и АЕ позволяет проложить плоскость альфа. Прямая DC, не лежащая в пространстве альфа, II АЕ, значит, DC параллельна пространству α.

Для доказательства единства такого пространства предполагается, что существует другая плоскость бета (β), проходящая через АВ, и является параллельной по отношению к DC.

Особенности ПЛ:

Отрезок АЕ пересекает пространство бета, линия DC пересекает β.
Отрезок DC не расположен параллельно бета.

Возникло противоречие, а плоскость α является единственной.

Прочие условия

У отрезков, которые скрещиваются, нет общей точки соприкосновения, потому что тогда они бы располагались в едином пространстве.

Признаки скрещивающихся прямых:

Если на двух ПЛ имеются 4 точки, не находящиеся в одной плоскости, то линии будут скрещены. Если бы данные ПЛ были пересекающимися или параллельными по отношении друг к другу, то они лежали в единой плоскости.
Чтобы сонаправить линии (сделать их параллельными по отношению друг к другу), угол между скрещивающимися прямыми должен быть 0 градусов. Величина, наименьшая из 2 пересекающихся линий, представляет собой угол. Когда все углы одинаковы, образуется его 90-градусный параметр и перпендикулярность.

Угол между скрещивающимися ПЛ — когда из одной точки выходят 2 луча между двумя ПЛ, которые пересекаются, а также параллельны данным линиям.

В тригонометрии еще существует понятие обозначения косинуса — это отношение длины стороны, прилежащей к острому углу, к гипотенузе. Осуществить нахождение ПЛ параллельно скрещивающимся можно через произвольную точку. Это официальное утверждение. Две ПЛ могут быть параллельными или пресекать плоскость, значит, они находятся в едином пространстве координат.

Видео:Урок 15. Все способы расстояние между скрещивающимися прямыми. Стереометрия с нуля.Скачать

Практическое применение

Теоретические основы, понятия на уроках геометрии в режиме онлайн понятны, но для закрепления материала в классе решаются разные задачи с доказательствами. Сначала нужно найти в пространстве линии, углы и охарактеризовать их вид.

Типовые задачи

Чтобы на практике понять действие теорем, нужно использовать пример решения и наглядный рисунок. Например, точка D не лежит в плоскости АВС, точки M, N, P будут центром DA, DB и DC. Точка К расположена на прямой ВС. Требуется определить взаимное расположение линий.

Линии будут обозначаться буквами АВ и BD, они находятся в плоскости АВD и пересекаются.

Эти две линии расположены в единой плоскости, поэтому являются параллельными или пересекающимися. Нужно провести среднюю линию NP, где N, P являются серединой отрезка DB и DC. По свойству средней линии, NP II (знак параллельности) ВС. Через т. Р проводится отрезок, II ВС, и это NP. Любая другая линия, проходящая через т. Р, не II ВС, поэтому PK и ВС пересекаются.

В треугольнике ABD точки M и N являются центрами сторон АD и ВD, значит, МN — средняя линия. Основываясь на типовых свойствах, МN II АВ.

В ADС точки M и Р будут серединами АD и СD. Значит, МР является средней линией. МР IIАС.

Прямопроходящая линия КN и ВD являются одной и той же прямой. АС располагается в плоскости АВС, линия ВD пересекает АВС в точке, не расположенной на АС. По признаку ВD и АС являются скрещивающимися, КN и АС — такая же.

MD и АD будут одинаковой ПЛ по всем характеристикам и параметрам. Линия ВС располагается в плоскости АВС, прямая АD пересекает АВС в точке, расположенной в стороне от ВС. АD и ВС относятся к скрещиванию, а МD и ВС такие же.

Сложные задания

В нижней части пирамиды SABC расположена геометрическая фигура с прямым углом при вершине С, гипотенузой АВ = 13 и катетом АС = 12 (когда 1 из 2 сторон прямоугольного треугольника образует прямой угол). Максимальная точка пирамиды S проектируется в основании В. Боковое ребро CS равняется 5*корень из 5. Требуется выяснить расстояние между ребрами AS и ВС.

Для решения нужно определить расстояние между отрезками AS и ВС. Они лежат на скрещивающихся прямых (СП). Точка s не принадлежит отрезку АВС, а точка А принадлежит АВС. AS пересекает АВС, ВС включает отрезок АВС и А не принадлежит ВС.

Расстояние между 1 из СП и плоскостью, проложенной через другую II первой, называется промежутком между СП. Нужно построить такое пространство, проходящее через 1 из СП, параллельно другой, и добавить перпендикуляр к пространству из точки, принадлежащей другой линии.

Выбрав прямую AS, нужно провести через нее плоскость, II ВС.

Пирамиду нужно достроить до параллелепипеда, через т. А на плоскости АВС проведя параллельную ВС и через т. В — АС. Точку пересечения ПЛ обозначают буквой D. Через А, С, D нужно провести прямые II SB, на каждой отложить отрезки, равные BS, а точки соединить линиями.

Определение скрещивающихся прямых подтверждено теоремами, также существует условие, описывающее, что через каждую пару ПЛ, которые скрещены, проложена плоскость, II другой линии. Изучены случаи расположения ПЛ в пространстве: они пересекаются, являются параллельными или скрещиваются.

Видео:ЕГЭ по математике - Угол между скрещивающимися прямымиСкачать

Скрещивающиеся прямые. Проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы рассмотрим определение скрещивающихся прямых и докажем теорему – признак скрещивающихся прямых. Далее рассмотрим три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве. Докажем теорему о том, что через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.
В конце урока решим несколько задач в тетраэдре на скрещиваемость прямых.