Прямоугольный равнобедренный треугольник фото (7 видео)

Прямоугольный треугольник и его свойства

Прямоугольный треугольник – треугольник, один угол которого прямой (равен 90 0 ). Следовательно, два других угла в сумме дают 90 0 .

Стороны прямоугольного треугольника

Сторона, которая располагается напротив угла в девяносто градусов, называется гипотенузой. Две другие стороны именуются катетами. Гипотенуза всегда длиннее, чем катеты, но короче их суммы.

Прямоугольный треугольник. Свойства треугольника

Если катет находится напротив угла в тридцать градусов, то его длина соответствует половине длины гипотенузы. Отсюда вытекает, что угол, противоположный катету, длина которого соответствует половине гипотенузы, равен тридцати градусам. Катет равняется среднему пропорциональному гипотенузы и проекции, которую дает катет на гипотенузу.

Теорема Пифагора

Любой прямоугольный треугольник подчиняется теореме Пифагора. Эта теорема гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Если принять, что катеты равны а и в, а гипотенуза – с, то запишем: а 2 +в 2 =с 2 . Теорема Пифагора применяется для решения всех геометрических задач, в которых фигурируют прямоугольные треугольники. Также она поможет начертить прямой угол при отсутствии необходимых инструментов.

Высота и медиана

Прямоугольный треугольник характеризуется тем, что две его высоты совмещаются с катетами. Чтобы найти третью сторону, нужно найти сумму проекций катетов на гипотенузу и разделить на два. Если из вершины прямого угла провести медиану, то она окажется радиусом окружности, которую описали вокруг треугольника. Центром этой окружности будет середина гипотенузы.

Прямоугольный треугольник. Площадь и ее вычисление

Площадь прямоугольных треугольников вычисляется по любой формуле нахождения площади треугольника. Помимо этого, можно использовать еще одну формулу: S=а*в/2, которая гласит, что для нахождения площади нужно произведение длин катетов разделить на два.

Косинус, синус и тангенс прямоугольного треугольника

Косинусом острого угла именуют отношение катета, прилегающего к углу, к гипотенузе. Он всегда меньше, чем единица. Синус – это отношение катета, который лежит напротив угла, к гипотенузе. Тангенс – отношение катета, лежащего против угла, к катету, прилегающему к этому углу. Котангенсом называют отношение катета, прилегающего к углу, к катету, находящемуся напротив угла. Косинус, синус, тангенс и котангенс не являются зависимыми от размеров треугольника. На их значение влияет только градусная мера угла.

Решение треугольника

Чтобы вычислить значение катета, противолежащего углу, нужно умножить длину гипотенузы на синус этого угла или размер второго катета на тангенс угла. Для нахождения катета, прилежащего к углу, необходимо посчитать произведение гипотенузы на косинус угла.

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Если треугольник имеет прямой угол и равные катеты, то его называют равнобедренным прямоугольным треугольником. Острые углы такого треугольника тоже равны — по 45 0 . Медиана, биссектриса и высота, проведенные из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника, совпадают.

Содержание

Равнобедренный прямоугольный треугольник
Определение
Свойства
Что мы узнали?
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Определение равнобедренного треугольника
Признаки равнобедренного треугольника
Свойства равнобедренного треугольника
Примеры решения задач
📸 Видео

Видео:№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.Скачать

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 265.

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 265.

И равнобедренный, и прямоугольный треугольник достаточно привычны любому, кто знаком с геометрией. Сочетание этих признаков встречается довольно редко и плохо поддается визуальному восприятию. Не всегда можно представить полный набор свойств такого треугольника, поэтому поговорим о нем более подробно.

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Определение

Равнобедренный треугольник – это треугольник, боковые стороны которого равны. Прямоугольный треугольник содержит в себе прямой угол. Значит равнобедренный прямоугольный треугольник – это прямоугольный треугольник, катеты которого равны.

Гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше катета. Это следует из теоремы о соотношениях сторон и углов треугольника. Значит, в прямоугольном треугольнике только гипотенуза может быть основанием, а величина гипотенузы будет соответствовать длине основания.

Видео:Прямоугольный равнобедренный треугольникСкачать

Свойства

Поговорим подробнее о свойствах и формулах. Не совсем ясно, как будут проходить высоты в таком треугольнике, все привыкли пользоваться свойством, которое говорит о том, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике такая высота всегда будет направлена из прямого угла к гипотенузе. А две другие высоты будут совпадать с катетами.

Рис. 2. Высота прямоугольного равнобедренного треугольника

Если к гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника провести высоту, то она разделит треугольник на два, равных между собой, равнобедренных прямоугольных треугольника.

Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника выглядит немного упрощенной:

Квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату катета. Это значительно упрощает решение.

Вообще, любые задачи, связанные с прямоугольными равнобедренными треугольниками, решаются очень просто. Любого значения достаточно, чтобы определить все остальное. Значения любого из катетов достаточно, чтобы определить гипотенузу через упрощенную теорему Пифагора, а затем найти периметр и площадь прямоугольного равнобедренного треугольника.

Через гипотенузу можно найти катет и через тригонометрическую функцию, так как все углы прямоугольного равнобедренного треугольника заранее известны: один угол 90 градусов и два по 45.

Рис. 3. Углы прямоугольного равнобедренного треугольника

Разберем подробно, почему известны все углы. В любом прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусам. Это следует из общей суммы углов в треугольнике, которая всегда равна 180 градусам.

При этом углы при основании равнобедренного треугольника, а в нашем случае это всегда гипотенуза, всегда равны. Значит, чтобы найти каждый из острых углов при гипотенузе, нужно их сумму, т.е. 90 градусов, разделить пополам. Получается, что каждый из углов при гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника будет равен 45 градусам.

Можно рассмотреть это свойство и с другой стороны: если сумма двух углов треугольника равняется 90 градусам и эти углы равны между собой, то этот треугольник является равнобедренным и прямоугольным.

Из этого же свойства вытекает равенство синусов и косинусов острых углов прямоугольного равнобедренного треугольника между собой, а также равенство их тангенсов и котангенсов.

То есть, синус любого острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника равен косинусу любого острого угла данного треугольника и равен $$<sqrtover2>$$. Тангенс любого острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника равен котангенсу любого острого угла данного треугольника и равен 1.

Видео:Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, площадь которого равна 1Скачать

Что мы узнали?

Мы подробно поговорили о всех взаимосвязях свойств прямоугольного и равнобедренного треугольника. А также о том, как эти связи проявляются в равнобедренном прямоугольном треугольнике. Разобрали в подробностях, почему любые задачи на нахождение параметров прямоугольного равнобедренного треугольника легко решаются и выделили основную и единственную проблему в решениях таких задач: трудность визуального восприятия.

Видео:№412. Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С, катетом АС = 12 смСкачать

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Видео:Построение равнобедренного треугольникаСкачать

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Видео:Главный лайфхак прямоугольного равнобедренного треугольника #shortsСкачать

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.