Противолежащие углы в треугольнике

Содержание
  1. Треугольник
  2. Типы треугольников
  3. По величине углов
  4. Остроугольный треугольник
  5. Тупоугольный треугольник
  6. Прямоугольный треугольник
  7. По числу равных сторон
  8. Разносторонний треугольник
  9. Равнобедренный треугольник
  10. Равносторонний (правильный) треугольник
  11. Вершины, углы и стороны треугольника
  12. Свойства углов и сторон треугольника
  13. Сумма углов треугольника равна 180°
  14. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы
  15. Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны
  16. Теорема синусов
  17. Теорема косинусов
  18. Теорема о проекциях
  19. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  20. Формулы сторон через медианы
  21. Медианы треугольника
  22. Свойства медиан треугольника
  23. Формулы медиан треугольника
  24. Формулы медиан треугольника через стороны
  25. Биссектрисы треугольника
  26. Свойства биссектрис треугольника
  27. Формулы биссектрис треугольника
  28. Формулы биссектрис треугольника через стороны
  29. Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол
  30. Высоты треугольника
  31. Свойства высот треугольника
  32. Формулы высот треугольника
  33. Формулы высот треугольника через сторону и угол
  34. Формулы высот треугольника через сторону и площадь
  35. Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности
  36. Окружность вписанная в треугольник
  37. Свойства окружности вписанной в треугольник
  38. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  39. Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру
  40. Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны
  41. Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности
  42. Окружность описанная вокруг треугольника
  43. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  44. Свойства углов
  45. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  46. Радиус описанной окружности через три стороны и площадь
  47. Радиус описанной окружности через площадь и три угла
  48. Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)
  49. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  50. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  51. Радиус описанной окружности через площадь и три угла
  52. Средняя линия треугольника
  53. Свойства средней линии треугольника
  54. Признаки
  55. Периметр треугольника
  56. Формулы площади треугольника
  57. Формула площади треугольника по стороне и высоте
  58. Формула площади треугольника по трем сторонам
  59. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
  60. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  61. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
  62. Равенство треугольников
  63. Определение
  64. Свойства
  65. Признаки равенства треугольников
  66. По двум сторонам и углу между ними
  67. По стороне и двум прилежащим углам
  68. По трем сторонам
  69. Подобие треугольников
  70. Определение
  71. Признаки подобия треугольников
  72. Свойства
  73. Прямоугольные треугольники
  74. Свойства прямоугольного треугольника
  75. Признаки равенства прямоугольных треугольников
  76. Свойства
  77. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  78. Типы треугольников
  79. По величине углов
  80. По числу равных сторон
  81. Вершины углы и стороны треугольника
  82. Свойства углов и сторон треугольника
  83. Теорема синусов
  84. Теорема косинусов
  85. Теорема о проекциях
  86. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  87. Медианы треугольника
  88. Свойства медиан треугольника:
  89. Формулы медиан треугольника
  90. Биссектрисы треугольника
  91. Свойства биссектрис треугольника:
  92. Формулы биссектрис треугольника
  93. Высоты треугольника
  94. Свойства высот треугольника
  95. Формулы высот треугольника
  96. Окружность вписанная в треугольник
  97. Свойства окружности вписанной в треугольник
  98. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  99. Окружность описанная вокруг треугольника
  100. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  101. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  102. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  103. Средняя линия треугольника
  104. Свойства средней линии треугольника
  105. Периметр треугольника
  106. Формулы площади треугольника
  107. Формула Герона
  108. Равенство треугольников
  109. Признаки равенства треугольников
  110. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  111. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  112. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  113. Подобие треугольников
  114. Признаки подобия треугольников
  115. Первый признак подобия треугольников
  116. Второй признак подобия треугольников
  117. Третий признак подобия треугольников
  118. Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением
  119. Что такое треугольник
  120. Определение треугольника
  121. Сумма углов треугольника
  122. Пример №1
  123. Пример №2
  124. О равенстве геометрических фигур
  125. Пример №3
  126. Пример №4
  127. Признаки равенства треугольников
  128. Пример №5
  129. Пример №6
  130. Равнобедренный треугольник
  131. Пример №7
  132. Пример №10
  133. Прямоугольный треугольник
  134. Первый признак равенства треугольников и его применение
  135. Пример №14
  136. Опровержение утверждений. Контрпример
  137. Перпендикуляр к прямой
  138. Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой
  139. Пример №15
  140. Второй признак равенства треугольников и его применение
  141. Решение геометрических задач «от конца к началу»
  142. Пример №16
  143. Пример №17
  144. Признак равнобедренного треугольника
  145. Пример №18
  146. Прямая и обратная теоремы
  147. Медиана, биссектриса и высота треугольника
  148. Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника
  149. Пример №19
  150. Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .
  151. Пример №20
  152. Третий признак равенства треугольников и его применение
  153. Пример №21
  154. Свойства и признаки
  155. Признаки параллельности прямых
  156. Пример №22
  157. О существовании прямой, параллельной данной
  158. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.
  159. Пример №23
  160. Расстояние между параллельными прямыми
  161. Сумма углов треугольника
  162. Пример №24
  163. Виды треугольников по величине углов. Классификация
  164. Внешний угол треугольника
  165. Прямоугольные треугольники
  166. Прямоугольный треугольник с углом 30°
  167. Сравнение сторон и углов треугольника
  168. Неравенство треугольника
  169. Пример №25
  170. Справочный материал по треугольнику
  171. Треугольники
  172. Средняя линия треугольника и ее свойства
  173. Пример №26
  174. Треугольник и его элементы
  175. Признаки равенства треугольников
  176. Виды треугольников
  177. Внешний угол треугольника
  178. Прямоугольные треугольники
  179. Всё о треугольнике
  180. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника
  181. Первый и второй признаки равенства треугольников
  182. Пример №27
  183. Равнобедренный треугольник и его свойства
  184. Пример №28
  185. Признаки равнобедренного треугольника
  186. Пример №29
  187. Третий признак равенства треугольников
  188. Теоремы
  189. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника
  190. Параллельные прямые
  191. Пример №30
  192. Признаки параллельности двух прямых
  193. Пример №31
  194. Пятый постулат Евклида
  195. Пример №34
  196. Прямоугольный треугольник
  197. Пример №35
  198. Свойства прямоугольного треугольника
  199. Пример №36
  200. Пример №37

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Треугольник

Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Типы треугольников

Противолежащие углы в треугольнике

По величине углов

Остроугольный треугольник

Противолежащие углы в треугольнике

— все углы треугольника острые.

Тупоугольный треугольник

Противолежащие углы в треугольнике

— один из углов треугольника тупой (больше 90°).

Прямоугольный треугольник

Противолежащие углы в треугольнике

— один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

Разносторонний треугольник

Противолежащие углы в треугольнике

— все три стороны не равны.

Равнобедренный треугольник

Противолежащие углы в треугольнике

— две стороны равны.

Равносторонний (правильный) треугольник

Противолежащие углы в треугольнике

— все три стороны равны.

Видео:В параллелограмме противоположные углы равны 8кл теоремаСкачать

В параллелограмме противоположные углы равны 8кл теорема

Вершины, углы и стороны треугольника

Противолежащие углы в треугольнике

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы

  • если α > β , тогда a > b
  • если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin α = b sin β = c sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 b c · cos α
b 2 = a 2 + c 2 — 2 a c · cos β
c 2 = a 2 + b 2 — 2 a b · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α;
c = a cos β + b cos α;

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

a = 2 3 2 m b 2 + m c 2 — m a 2

b = 2 3 2 m a 2 + m c 2 — m b 2

c = 2 3 2 m a 2 + m b 2 — m c 2

Видео:7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать

7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»

Медианы треугольника

Медиана треугольника — отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Противолежащие углы в треугольнике

Свойства медиан треугольника

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан называется центроидом.

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
AO OD = BO OE = CO OF = 2 1

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников

S ∆AOF = S ∆AOE = S ∆BOF = S ∆BOD = S ∆COD = S ∆COE

  • Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник
  • Формулы медиан треугольника

    Формулы медиан треугольника через стороны

    m a = 1 2 2 b 2 + 2 c 2 — a 2

    m b = 1 2 2 a 2 + 2 c 2 — b 2

    m c = 1 2 2 a 2 + 2 b 2 — c 2

    Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

    Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

    Биссектрисы треугольника

    Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Свойства биссектрис треугольника

    1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.

    Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
    AE AB = EC BC

    Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°

    Угол между l c и l c ‘ = 90°

  • Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.
  • Формулы биссектрис треугольника

    Формулы биссектрис треугольника через стороны

    l a = 2 b c p p — a b + c

    l b = 2 a c p p — b a + c

    l c = 2 a b p p — c a + b

    где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника.

    Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол

    l a = 2 b c cos α 2 b + c

    l b = 2 a c cos β 2 a + c

    l c = 2 a b cos γ 2 a + b

    Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

    ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

    Высоты треугольника

    Противолежащие углы в треугольнике

    Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

    В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:

    • внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
    • совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
    • проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

    Свойства высот треугольника

    1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

  • Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.
  • h a : h b : h c = 1 a : 1 b : 1 c = BC : AC : AB

    1 h a : 1 h b : 1 h c = 1 r

    Формулы высот треугольника

    Формулы высот треугольника через сторону и угол

    h a = b sin γ = c sin β

    h b = c sin α = a sin γ

    h c = a sin β = b sin α

    Формулы высот треугольника через сторону и площадь

    Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

    Видео:7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольникаСкачать

    7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

    Окружность вписанная в треугольник

    Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Свойства окружности вписанной в треугольник

    • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
    • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

    Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

    Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру

    Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны

    Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

    Видео:№259. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведеннаяСкачать

    №259. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведенная

    Окружность описанная вокруг треугольника

    Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Свойства окружности описанной вокруг треугольника

    • Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.
    • Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

    Свойства углов

    Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

    Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

    Радиус описанной окружности через три стороны и площадь

    Радиус описанной окружности через площадь и три угла

    Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)

    Видео:Что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Часть 1Скачать

    Что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Часть 1

    Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

    Противолежащие углы в треугольнике

    Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

    Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то

    d 2 = R 2 — 2 R r

    Радиус описанной окружности через площадь и три угла

    Видео:ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. Задачи. Противолежащие углы равны.Скачать

    ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. Задачи. Противолежащие углы равны.

    Средняя линия треугольника

    Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Свойства средней линии треугольника

    • Любой треугольник имеет три средних линии.
    • Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
      MN = 1 2 AC ; KN = 1 2 AB ; KM = 1 2 BC

    MN || AC ; KN || AB ; KM || BC

  • Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника.
    S ∆MBN = 1 4 S ∆ABC ; S ∆MAK = 1 4 S ∆ABC ; S ∆NCK = 1 4 S ∆ABC
  • При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
    ∆MBN

    Признаки

    Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

    Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

    7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

    Периметр треугольника

    Противолежащие углы в треугольнике

    Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон.

    Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Формулы площади треугольника

    Противолежащие углы в треугольнике

    Формула площади треугольника по стороне и высоте

    Противолежащие углы в треугольнике

    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

    S = 1 2 a · h a ,
    S = 1 2 b · h b ,
    S = 1 2 c · h c ,

    где a, b, c — стороны треугольника,
    ha, hb, hc — высоты, проведенные к сторонам a, b, c треугольника.

    Формула площади треугольника по трем сторонам

    Противолежащие углы в треугольнике

    Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c .

    S = p p — a p — b p — c ,

    где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
    a, b, c — стороны треугольника.

    Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

    Противолежащие углы в треугольнике

    Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

    S = 1 2 a · b · sin γ ,
    S = 1 2 b · c · sin α ,
    S = 1 2 a · c · sin β ,

    где a, b, c — стороны треугольника,
    γ — угол между сторонами a и b ,
    α — угол между сторонами b и c ,
    β — угол между сторонами a и c .

    Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

    a, b, c — стороны треугольника,
    R — радиус описанной окружности.

    Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

    Противолежащие углы в треугольнике

    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

    где S — площадь треугольника,
    r — радиус вписанной окружности,
    p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2

    Видео:ВНЕШНИЕ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА 😉 #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

    ВНЕШНИЕ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА 😉  #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ

    Равенство треугольников

    Противолежащие углы в треугольнике

    Определение

    Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.

    Свойства

    У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны).

    Признаки равенства треугольников

    По двум сторонам и углу между ними

    Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

    По стороне и двум прилежащим углам

    Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    По трем сторонам

    Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Видео:33. Соотношения между сторонами и углами треугольникаСкачать

    33. Соотношения между сторонами и углами треугольника

    Подобие треугольников

    Противолежащие углы в треугольнике

    Определение

    Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

    ∆MNK => α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k

    где k — коэффициент подобия.

    Признаки подобия треугольников

    1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
    2. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
    3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

    Свойства

    Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

    S ∆АВС S ∆MNK = k 2

    Видео:СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА 9 классСкачать

    СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА 9 класс

    Прямоугольные треугольники

    Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

    Свойства прямоугольного треугольника

    • Противолежащие углы в треугольнике Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
      Сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника ∠ 1 + ∠ 2 = 90° .
    • Противолежащие углы в треугольнике

    Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в 30°).

    Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ A — прямой, ∠ B = 30°, и значит, что ∠ C = 60°.

    Докажем, что BC=2AC.
    Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD , как показано на рисунке.
    Получим треугольник BCD, в котором ∠ B = ∠ D = 60° , поэтому DC = BC. Но DC = 2AC. Следовательно, BC = 2AC.

    Справедливо и обратное суждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

    Признаки равенства прямоугольных треугольников

    Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из общих признаков равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.

    1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
    2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
    3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
    4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

    Свойства

    Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

    Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

    Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

    Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

    Видео:№227. Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в два разаСкачать

    №227. Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в два раза

    Типы треугольников

    По величине углов

    Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    По числу равных сторон

    Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Видео:Геометрия Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120, а высотаСкачать

    Геометрия Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120, а высота

    Вершины углы и стороны треугольника

    Свойства углов и сторон треугольника

    Противолежащие углы в треугольнике

    Сумма углов треугольника равна 180°:

    В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

    если α > β , тогда a > b

    если α = β , тогда a = b

    Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

    a + b > c
    b + c > a
    c + a > b

    Теорема синусов

    Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    a=b=c= 2R
    sin αsin βsin γ

    Теорема косинусов

    Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

    a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

    b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

    c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

    Теорема о проекциях

    Для остроугольного треугольника:

    a = b cos γ + c cos β

    b = a cos γ + c cos α

    c = a cos β + b cos α

    Формулы для вычисления длин сторон треугольника

    Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

    Медианы треугольника

    Противолежащие углы в треугольнике

    Свойства медиан треугольника:

    В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

    Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

    Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

    Формулы медиан треугольника

    Формулы медиан треугольника через стороны

    ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

    mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

    mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

    Видео:Противоположные стороны и углыСкачать

    Противоположные стороны и углы

    Биссектрисы треугольника

    Противолежащие углы в треугольнике

    Свойства биссектрис треугольника:

    Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

    Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

    Формулы биссектрис треугольника

    Формулы биссектрис треугольника через стороны:

    la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

    lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

    lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

    где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

    Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

    la = 2 bc cos α 2 b + c

    lb = 2 ac cos β 2 a + c

    lc = 2 ab cos γ 2 a + b

    Высоты треугольника

    Противолежащие углы в треугольнике

    Свойства высот треугольника

    Формулы высот треугольника

    ha = b sin γ = c sin β

    hb = c sin α = a sin γ

    hc = a sin β = b sin α

    Окружность вписанная в треугольник

    Противолежащие углы в треугольнике

    Свойства окружности вписанной в треугольник

    Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

    r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

    Окружность описанная вокруг треугольника

    Противолежащие углы в треугольнике

    Свойства окружности описанной вокруг треугольника

    Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

    R = S 2 sin α sin β sin γ

    R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

    Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

    Средняя линия треугольника

    Свойства средней линии треугольника

    Противолежащие углы в треугольнике

    MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

    MN || AC KN || AB KM || BC

    Периметр треугольника

    Противолежащие углы в треугольнике

    Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

    Формулы площади треугольника

    Противолежащие углы в треугольнике

    Формула Герона

    S =a · b · с
    4R

    Равенство треугольников

    Признаки равенства треугольников

    Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

    Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

    Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

    Подобие треугольников

    Противолежащие углы в треугольнике

    ∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

    где k — коэффициент подобия

    Признаки подобия треугольников

    Первый признак подобия треугольников

    Второй признак подобия треугольников

    Третий признак подобия треугольников

    Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

    Добро пожаловать на OnlineMSchool.
    Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

    Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением

    Содержание:

    Треугольники и его элементы:

    Определение: Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин треугольника), не лежащих на одной прямой, и трех отрезков (сторон треугольника), попарно соединяющих эти точки.

    Треугольник обозначается знаком Противолежащие углы в треугольнике

    На рисунке 54 изображен треугольник с вершинами А, B, С и сторонами АВ, ВС, АС. Этот треугольник можно обозначить так: Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Определение: Углом треугольника ABC при вершине А называется угол ВАС.

    Угол треугольника обозначают тремя буквами (например, «угол ABC») или одной буквой, которая указывает его вершину (например, «угол А треугольника ABC »).

    Если вершина данного угла треугольника не принадлежит стороне, то говорят, что данный угол противолежащий этой стороне. В противном случае угол является прилежащим к стороне. Так, в треугольнике ABC угол А — прилежащий к сторонам АВ и АС и противолежащий стороне ВС. Стороны и углы треугольника часто называют его элементами

    Определение: Периметром треугольника называется сумма всех его сторон.

    Периметр — от греческого «пери» — вокруг и «метрео» — измеряю, измеренный вокруг.

    Периметр обозначается буквой Р. По определению — Противолежащие углы в треугольникеЛюбой треугольник ограничивает часть плоскости. Будем считать, что точки, принадлежащие этой части, расположены внутри треугольника, а точки, которые ей не принадлежат,— вне треугольника.

    Роль треугольника в геометрии трудно переоценить. Ученые не зря называют треугольники клетками организма геометрии. Действительно, многие более сложные геометрические фигуры можно разбить на треугольники.

    В этой главе мы не только изучим «внутрен нее устройство» треугольников и выделим их виды, но и докажем признаки, по которым можно установить равенство треугольников, сравнивая их стороны и углы. Полученные в ходе наших рассуждений теоремы и соотношения расширят ваши представления об отрезках и углах, параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

    В процессе решения задач и доказательства теорем о свойствах треугольников вам предстоит освоить важные геометрические методы, которые помогут в ходе дальнейшего изучения геометрии.

    Что такое треугольник

    Рассмотрим понятие треугольника. Пусть на плоскости дана трехзвенная замкнутая ломаная. Тогда эта ломаная разделяет множество оставшихся точек плоскости на ограниченную и неограниченную фигуры. При этом ограниченная фигура называется частью плоскости, ограниченной данной ломаной. Например, на рисунке 59, а изображена часть плоскости, ограниченная трехзвенной замкнутой ломаной ABC.

    Определение. Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трехзвенной замкнутой ломаной и части плоскости, ограниченной этой ломаной.

    Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а звенья ломаной — сторонами треугольника.

    Точки треугольника, не принадлежащие его сторонам, называются внутренними.

    Треугольник, вершинами которого являются точки А, В и С, обозначается следующим образом: Противолежащие углы в треугольникеАВС (читают: «Треугольник ABC»). Этот же треугольник можно обозначать и так: Противолежащие углы в треугольникеBСА или Противолежащие углы в треугольникеCАВ.

    На рисунке 59, а изображен треугольник ABC. Точки А, В и С — вершины этого треугольника, а отрезки AB, ВС и АС — его стороны. На рисунке 59, B показан треугольник AFD, содержащийся в грани куба.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Углы АBС, АСВ и САВ (см. рис. 59, а) называются внутренними углами треугольника ABC или просто углами треугольника. Иногда они обозначаются одной буквой: Противолежащие углы в треугольникеA, Противолежащие углы в треугольникеB, Противолежащие углы в треугольникеC. Стороны и углы треугольника называются его элементами.

    На рисунке 59, в изображены треугольники ABC и ACD, у которых общая сторона АС. Угол ВАС — внутренний угол треугольника ВАС, Противолежащие углы в треугольникеACD — внутренний угол треугольника ACD.

    Периметром треугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр треугольника ABC обозначается PABC.

    Конструкции, имеющие треугольную форму, применяются при строительстве архитектурных сооружений, мостов и жилых зданий. Например, при постройке крыш некоторых домов используются стропила, имеющие форму треугольников (рис. 60, а).

    Для треугольников, как и любых геометрических фигур, определяется понятие их равенства.

    Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением, т. е. можно совместить их вершины, стороны и углы.

    Рассмотрим пример. Если лист бумаги, имеющий форму прямоугольника, разрезать на две части, как показано на рисунке 60, б, то мы получим модели равных треугольников. Непосредственно можно убедиться, что полученные части можно наложить одна на другую так, что они совместятся.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Два равных треугольника ABC и A1B1C1 (рис. 60, в) можно совместить так, что попарно совместятся их вершины, стороны и углы. Другими словами, если два треугольника равны, то стороны и углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого треугольника. Подчеркнем, что:

    • в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы;
    • в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны.

    Например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1 , изображенных на рисунке 60, в, против равных сторон ВС и В1С1 лежат равные углы А и А1. Против равных углов С и С1 лежат равные стороны AB и A1B1.

    Если треугольники ABC и A1B1C1 равны, то это обозначается следующим образом: Противолежащие углы в треугольникеABC = Противолежащие углы в треугольникеA1B1C1

    Заметим, что для установления равенства треугольников необязательно их совмещать один с другим, а достаточно сравнить некоторые их элементы (стороны и углы).

    Для доказательства равенства треугольников пользуются соответствующими теоремами (признаками), которые позволяют на основании равенства некоторых элементов треугольников делать вывод о равенстве самих треугольников.

    Определение треугольника

    Треугольник — замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев. Или часть плоскости, ограниченная этой ломаной. У каждого треугольника три стороны, три вершины и три угла. Сумма длин сторон треугольника — его периметр.

    Сумма углов треугольника равна 180°.

    Важную роль в геометрии играют признаки равенства треугольников. Две фигуры называются равными, если их можно совместить. ЕслиПротиволежащие углы в треугольнике, тоПротиволежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике

    Три признака равенства треугольников:

    Два треугольника равны, если: две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника (I); или если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника (II); или если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (III).

    Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны равнобедренного треугольники называются боковыми сторонами, а третья — его основанием.

    В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

    Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

    Если у треугольника все стороны равны, его называют равно сторонним треугольником. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

    В зависимости от углов треугольники делят на остроуголь ные, прямоугольные, и тупоугольные. Сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой, а две другие — катетами.

    Каждая сторона треугольника меньше суммы двух другим его сторон и больше их разности. Какие бы ни были три точки плоскости А, В и С, всегда АВ + ВС > АС.

    В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.

    Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, получится треугольник. Другими словами: треугольник — это замкнутая ломаная из трех звеньев. На рисунке 119 изображён треугольник ABC (пишут: Противолежащие углы в треугольнике). Точки А, В, С — вершины, отрезки АВ, ВС и СА — стороны этого треугольника. Каждый треугольник имеет три вершины и три стороны.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Много разных моделей треугольников можно увидеть в подъемных кранах, заводских конструкциях, различных архитектурных строениях (рис. 120).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром.

    Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Почему?Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой его противолежащей стороны, — медиана треугольника. Отрезок биссектрисы угла треугольника от его вершины до противолежащей стороны — биссектриса треугольника. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, которой принадлежит его противолежащая сторона, — высота треугольника. На рисунке 121 изображен Противолежащие углы в треугольнике, в котором из вершины С проведены: медиана СМ, биссектриса CL и высота СН.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Каждый треугольник имеет три медианы, три биссектрисы и три высоты.

    Треугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Фигура, состоящая из треугольника и его внутренней области, также называется треугольником.

    Углами треугольника ABC называют углы ВАС, ABC и АСИ. Их обозначают еще так: Противолежащие углы в треугольнике. Каждый треугольник имеет три угла.

    Если треугольник имеет прямой или тупой угол, его называют соответственно прямоугольным или тупоугольным треугольником. Треугольник, все углы которого острые, называется остроугольным. На рисунке 122 изображены остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Их внутренние области закрашены.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Словом треугольник геометры называют два разных понятия: и замкнутую ломаную из трех звеньев, и такую ломаную вместе с ограниченной ею внутренней частью плоскости. Подобно тому, как стороной треугольника иногда называют отрезок, иногда — длину этого отрезка, высотой треугольника называют и определенный отрезок, и его длину.

    Так делают для удобства: чтобы каждый раз не говорить, например, «длина высоты треугольника равна 5 см», договорились говорить проще: «высота треугольника равна 5 см».

    Каждый многоугольник можно разрезать на несколько треугольников. Поэтому треугольники в геометрии играют такую важную роль, как атомы в физике, как кирпичи в доме. Существует даже отдельная часть геометрии, интересная и содержательная: геометрия треугольника.

    Пример:

    На сколько частей могут разбивать плоскость два ее треугольника?

    Решение:

    Если два треугольника расположены в одной плоскости, то они могут разбить ее максимум на 8 частей (рис. 123). Мысленно передвигая один из двух данных треугольников так, чтобы сначала один из образованных их пересечением треугольник превратился в точку, потом-второй и т. д., убеждаемся, что два треугольника могут разбивать плоскость на 3, 4, 5, 6, 7, 8 частей (рис. 124). Лишь когда два треугольника равны и совмещены друг с другом, они разбивают плоскость на 2 части.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Пример:

    Среднее арифметическое всех сторон треугольника равно т. Найдите периметр треугольника.

    Решение:

    Если a, b, c — стороны треугольника, а Р — его периметр , то
    Противолежащие углы в треугольнике

    Сумма углов треугольника

    Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°

    Доказательство:

    Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 127). Через его вершину С проведем прямую КР, параллельную АВ.

    Противолежащие углы в треугольнике

    11олученные углы АСК и ВСР обозначим цифрами 1 и 2. ТогдаПротиволежащие углы в треугольникекак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и КР и секущих АС и ВС. Углы 1, 2 и С в сумме равны развернутому углу, то есть 180°. Поэтому

    Противолежащие углы в треугольнике

    В доказанной теореме 8 речь идет о сумме мер углов треугольника. Но для упрощения формулировок вместо «мера угла» часто употребляют слово «угол».

    Треугольник не может иметь два прямых или два тупых угла, В каждом треугольнике по крайней мере два угла — острые.

    Иногда кроме углов треугольника (внутренних) рассматривают также его внешние углы. Внешним углом треугольника называют угол, образованный стороной треугольника и продолжением его другой стороны. Например, внешним углом треугольника ABC при вершине А является угол КАС (рис. 128).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольникеВНИМАНИЕ! При каждой вершине треугольника можно построить два внешних угла, продлив ту или иную его сторону. Например, каждый из углов КАС и РАВ — внешний угол треугольника ABC при вершине А (рис. 129). Такие два внешних угла — вертикальные, поэтому равны друг другу.

    Теорему о сумме углов треугольника можно обобщить и распространить на произвольные многоугольники.

    Каждый четырехугольник можно разрезать на два треугольника, соединив его противолежащие вершины отрезком. (Если один из углов четырехугольника больше развернутого, то именно его вершину следует соединить с противолежащей, как на рисунке 130.) Сумма всех углов четырех- ‘ угольника равна сумме всех углов двух образованных треугольников, то есть 180° • 2. Таким образом, сумма углов любого четырехугольника равна 360°.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Произвольный пятиугольник можно разрезать на четырехугольник и треугольник или на 3 треугольника (рис. 131). Таким образом, сумма углов пятиугольника равна 180° • 3, то есть 540°.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Попробуйте написать формулу, по которой можно вычислить сумму углов произвольного n-угольника.

    Пример №1

    Чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых при каждой вершине по одному?

    Решение:

    Пусть ABC — произвольный треугольник. Обозначим его внешние углы 1, 2 и 3 (рис. 132). Согласно теореме о внешнем угле треугольника

    Противолежащие углы в треугольнике

    Сложив отдельно левые и правые части этих равенств, получим:

    Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Пример №2

    Докажите, что в каждом треугольнике есть угол не больше 60° и угол не меньше 60°.

    Решение:

    Если бы каждый угол треугольника был меньше 60°, то сумма всех его углов составляла бы меньше 180°, а это невозможно. Если бы каждый угол треугольника был больше 60°, то сумма всех его углов была бы больше 180°, что также невозможно.

    Следовательно, в каждом треугольнике есть угол не ‘ больше 60° и угол не меньше 60°.

    О равенстве геометрических фигур

    На рисунке 136 изображены два треугольника. Представьте, что один из них начерчен на бумаге, и второй — на прозрачной пленке. Передвигая пленку, второй треугольник можно совместить с первым. Говорят: если данные треугольники можно совместить движением, то они равны. Равными друг другу бывают не только треугольники, но и отрезки, углы, окружности и другие фигуры.

    Изображенные на рисунке 137 фигуры тоже равны, потому что их можно совместить, согнув лист бумаги по прямой I. Л фигуры, изображенные на рисунке 138, не равны, их нельзя Совместить.
    Для обозначения равных фигур используют знак равенства Противолежащие углы в треугольнике. Например, Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Если каждая из двух фигур равна третьей, то первая и вторая фигуры также равны.

    С равными фигурами часто приходится иметь дело многим специалистам. В форме равных прямоугольников изготовляют листы жести, фанеры, стекла, облицовочную плитку, паркетины и т. д. Равны все листы бумаги из одной пачки, соответствующие детали двух машин одной марки.Чтобы выяснить, равны ли две фигуры, можно попробовать их совместить. Но на практике это не всегда удается осуществить. Например, таким способом нельзя определить, равны ли два земельных участка. Поэтому приходится искать другие способы, выявлять признаки равенства тех или иных фигур. Например, если радиусы двух окружностей равны, то равны и сами окружности. Это — признак равенства окружностей. В следующем параграфе мы рассмотрим признаки равенства треугольников.

    Треугольник с вершинами А, В и С можно обозначать по-разному: Противолежащие углы в треугольникеи т. д. Однако для удобства договоримся, что когда пишут Противолежащие углы в треугольнике, то подразумевают, что Противолежащие углы в треугольникеАВ = КР, АС = КТ, ВС = РТ.

    Слово равенство в математике и других науках употребляется достаточно часто. Говорят, в частности, о равенстве чисел, равенстве выражений, равенстве значений величин. Равенство геометрических фигур — это отношение. Оно имеет следующие свойства:

    1. каждая фигура равна самой себе;
    2. если фигура А равна фигуре В, то и фигура В равна А;
    3. если фигура А равна В, а фигура В равна С, то фигуры А и С также равны.

    Нередко из равенства одних фигур либо величин следует и равенство других фигур либо величин, но — не всегда. Например, если треугольники равны, то и их периметры равны. Однако если периметры двух треугольников равны, то это еще не значит, что равны и сами треугольники. То же самое: если треугольники равны, то и их площади равны. Но если площади двух треугольников равны, это еще не означает, что и треугольники равны.

    Очень часто для обоснования равенства тех или иных фигур необходимо обосновать равенство некоторых треугольников. Вот почему вопросу о равенстве треугольников в геометрии придают такое важное значение: большинство теорем школьной геометрии доказывают, используя признаки равенства треугольников.

    Пример №3

    Равны ли углы, изображенные на рисунке 139?

    Решение:

    Стороны угла — лучи. Хотя на рисунке они изображены неравными отрезками, но следует представить их в виде бесконечных лучей. Поскольку каждый из этих углов имеет 35° (проверьте), то они равны.

    Пример №4

    Докажите, что треугольники не могут быть равными, если не равны их наибольшие углы.

    Решение:

    Пусть у треугольников ABC и КРТ

    Противолежащие углы в треугольнике. Если бы данные треугольники были равны, их можно было бы совместить. Тогда наибольший угол А треугольника ABC совместился бы с наибольшим углом К треугольника КРТ. Это невозможно, поскольку Противолежащие углы в треугольнике. Значит, данные треугольники не могут быть равными.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Признаки равенства треугольников

    Если треугольники ABC и Противолежащие углы в треугольникевины друг другу, то их можно совместить. При этом если совместятся вершины Противолежащие углы в треугольникеи то совместятся и стороны:Противолежащие углы в треугольнике Противолежащие углы в треугольникеЗначит, если Противолежащие углы в треугольникето Противолежащие углы в треугольнике,Противолежащие углы в треугольникеЧтобы доказать, что данные треугольники равны, не обязательно убеждаться в истинности всех шести равенств.

    Теорема: (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Доказательство:

    Пусть Противолежащие углы в треугольнике— два треугольника, у которыхПротиволежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике(рис. 1;46). Докажем, что Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике

    Наложим Противолежащие углы в треугольникетаким образом, чтобы вершина Противолежащие углы в треугольникесовместилась А, вершина Противолежащие углы в треугольнике— с В, а сторона Противолежащие углы в треугольникеналожилась на луч АС. Это можно сделать, потому что по условиюПротиволежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике. Поскольку Противолежащие углы в треугольнике, то при таком положении точка Противолежащие углы в треугольникесовместится с С. В результате все вершины Противолежащие углы в треугольникесовместятся с соответствующими вершинами

    Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Теорема: (второй признак равенства треугольников). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Доказательство:

    Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике

    *Существуют также и другие признаки равенства треугольников (см. теорему 14).
    На признаки равенства треугольников нам придется ссылаться часто. Чтобы не путать, какой из них назвали первым, какой — вторым и т. д., их лучше всего различать по смыслу, говорить о признаке равенства треугольников:

    1. по двум сторонам и углу между ними;
    2. по стороне и двум прилежащим углам,
    3. по трем сторонам (его докажем позже).

    Эти признаки равенства треугольников называют общими признаками, поскольку они верны для любых треугольников. Кроме них, есть еще признаки равенства прямоугольных треугольников, равнобедренных треугольников и др.

    Два равносторонних треугольника равны, если сторона одного из них равна стороне другого.

    Попробуйте доказать этот признак, воспользовавшись общими признаками.

    Пример №5

    Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = OD и СО = ОВ. Докажите, что АС = BD.

    Решение:

    Рассмотрим треугольники АСО и DBO (рис. 148). Их углы при вершине О вертикальные, значит, равны. Соответственные стороны тоже равны:

    АО = OD, СО = ОВ. По первому признаку равенства треугольников Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольникеСтороны АС и BD этих треугольников соответственные, поскольку лежат против равных углов при вершине О. Следовательно, АС = BD.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Пример №6

    Две стороны треугольника равны. Докажите, что и медианы, проведенные к этим сторонам, также равны.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Решение:

    Пусть у Противолежащие углы в треугольникесторона АВ = АС, а ВК и СР — медианы (рис. 149). АР = = АК, как половины равных сторон. Противолежащие углы в треугольнике, поскольку АВ = = АС, АК = АР и угол А общий. Следовательно, ВК = СР.

    Равнобедренный треугольник

    Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью его сторону — основанием.

    Треугольник, не являющийся равнобедренным, называют разносторонним. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним. Это отдельный вид равнобедренного треугольника (рис. 161).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.

    Доказательство:

    Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием ВС (рис. 162). Биссектриса AL разбивает его на треугольники ABL и ACL. Поскольку АВ = AC, AL — общая сторона, Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике, то по двум сторонам и углу между ними Противолежащие углы в треугольнике. Из равенства этих треугольников следует:

    а) Противолежащие углы в треугольнике, то есть углы при основании Противолежащие углы в треугольникеравны;

    б) BL = CL, то есть AL — медиана Противолежащие углы в треугольнике

    в) Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Теорема: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

    Доказательство:

    Пусть в Противолежащие углы в треугольнике(рис. 162). Докажем, что АВ =АС. Проведем биссектрису AL. Она делит данный треугольник И я два: Противолежащие углы в треугольникеУ нихПротиволежащие углы в треугольнике, Поэтому Противолежащие углы в треугольнике. По стороне AL и прилежащим к ней углам Противолежащие углы в треугольнике. Следовательно, Противолежащие углы в треугольнике

    Из теорем 9 и 10 вытекает такое следствие.

    В треугольнике против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны.

    Равнобедренный — это имеющий равные бедра. Равные стороны — словно ноги.

    Как соотносятся между собой треугольники и равнобедренные треугольники? Равнобедренные треугольники составляют только часть всех треугольников. Говорят, что объем понятия «треугольники» больше объема понятия «равнобедренные треугольники». Такие соотношения принято наглядно изображать диаграммами Эйлера (рис. 163). Те треугольники, которые не являются равнобедренными, называют разносторонними треугольниками. Следовательно, общее понятие «треугольники»можно разделить на два класса: треугольники равнобедренные и треугольники разносторонние (рис. 164):
    Противолежащие углы в треугольнике

    Пример №7

    Две стороны равнобедренного треугольника равны соответственно 2 см и б см. Найдите длину третьей его стороны.

    Решение:

    Основание данного треугольника не может быть равно б см, поскольку 2 см + 2 см против равных сторон лежат равны’ углы. Поэтому Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Равенство углов BAD и BCD можно доказать двумя способами: либо показать, что каждый из них состоит из двух равных углов Противолежащие углы в треугольнике Противолежащие углы в треугольнике(рис. 175), либо проведя отрезок BD.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Пример №10

    На окружности с центром О обозначены точки А, В, К и Р такие, что АВ = КР (рис. 176). Докажите, что Противолежащие углы в треугольнике

    Решение:

    Проведя в данные точки радиусы, получим треугольники АОВ и КОР. Они равны по трем сторонам, поскольку АВ = КР по условию и ОА = OB = OK = ОР — как радиусы. Поэтому Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Прямоугольный треугольник

    Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой Сумма двух других его углов равна 90° поскольку 180° — 90° = 90°.

    Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, — эп гипотенуза, две другие его стороны катеты (рис. 182). На рисунке прямо! угол иногда обозначают квадратиком. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого из катетов.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Позже нам будут необходимы признаки равенства прямо угольных треугольников. Из первого и второго признаков равенства треугольников (§ 12) непосредственно следуют таки АС.

    Стороны АВ и АС не могут быть равными, потому что тогда данный треугольник был бы равнобедренным и один из его углов при основании не мог бы быть больше другого.

    Не может сторона АВ быть и меньше АС, поскольку тогда угол С был бы меньше угла В. А поскольку сторона АВ не равна АС и не меньше АС, то она больше АС.Противолежащие углы в треугольнике

    1. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее каждого катета.
    2. Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки к прямой, короче любой наклонной, проведенной и: Противолежащие углы в треугольнике. Если представить, что фигура Противолежащие углы в треугольникеизображена на прозрачной пленке, то с помощью наложения этой пленки на фигуру Противолежащие углы в треугольнике(той или другой стороной (рис. 55, а, б) можно совместить фигуры Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике. В таком случае фигуры Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникепо определению равны.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Для обозначения равенства фигур используют знак математического равенства Противолежащие углы в треугольникеЗапись Противолежащие углы в треугольникеозначает «фигура Противолежащие углы в треугольникеравна фигуре Противолежащие углы в треугольнике »

    Рассмотрим равные треугольники Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике(рис. 56).

    По определению, такие треугольники можно совместить наложением. Очевидно, что при наложении соответственно совместятся стороны и углы этих треугольников, то есть каждому эле менту треугольника Противолежащие углы в треугольникебудет соответствовать равный элемент треугольника Противолежащие углы в треугольнике. Условимся, что в записи Противолежащие углы в треугольникемы будем упорядочивать названия треугольников так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает: если Противолежащие углы в треугольнике, то Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике

    Таким образом, из равенства двух треугольников вытекают шесть равенств соответствующих элементов: три — для углов и три — для сторон. На рисунках соответственно равные стороны обычно обозначают одинаковым количеством черточек, Рис. 56. Треугольники а соответственно равные углы — одинаковым ко личеством дужек (рис. 56).

    Противолежащие углы в треугольнике

    А верно ли, что треугольники, имеющие соответственно равные стороны и углы, совмещаются наложением? Можно ли по равенству некоторых соответствующих элементов доказать равенство самих треугольников? Ответить на эти вопросы мы попытаемся в дальнейшем.

    [1] Существование треугольника, равного данному, является одной из аксиом планиметрии. Эта аксиома приведена в Приложении 1.

    Первый признак равенства треугольников и его применение

    Первый признак равенства треугольников

    В соответствии с определением равных фигур, два треугольника равны, если они совмещаются наложением. Но на практике наложить один треугольник на другой не всегда возможно. Например, таким образом невозможно сравнить два земельных участка. Значит, возникает необходимость свести вопрос о равенстве треугольников к сравнению их сторон и углов. Но нужно ли для установления равенства сравнивать все шесть элементов данных треугольников? Бели нет, то какие именно элементы двух треугольников должны быть соответственно равными, чтобы данные треугольники были равны? Ответ на этот вопрос дают признаки равенства треугольников.

    Докажем первый из этих признаков.

    Теорема: (первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними)

    Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Доказательство:

    Пусть даны треугольники Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, у которых Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике(рис. 58). Докажем, что Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Поскольку Противолежащие углы в треугольникето треугольник Противолежащие углы в треугольникеможно наложить на треугольник Противолежащие углы в треугольникетак, чтобы точки Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникесовместились, а стороны Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеналожились на лучи Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникесоответственно. По условию Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, следовательно, сторона Противолежащие углы в треугольникесовместится со стороной Противолежащие углы в треугольнике, а сторона Противолежащие углы в треугольнике— со стороной Противолежащие углы в треугольнике. Таким образом, точка Противолежащие углы в треугольникесовместится с точкой Противолежащие углы в треугольнике, а точка Противолежащие углы в треугольнике— с точкой Противолежащие углы в треугольнике, то есть стороны Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникетакже совместятся. Значит, при наложении треугольники Противолежащие углы в треугольнике, совместятся полностью. Итак, Противолежащие углы в треугольникепо определению. Теорема доказана.

    Пример №14

    Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников АОС и BOD (рис. 59).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Решение:

    В треугольниках АОС и BOD АО = ВО и СО = DO по условию, Противолежащие углы в треугольникепо теореме о вертикальных углах. Таким образом, Противолежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников.

    Практическое значение доказанной теоремы очевидно из такого примера.

    Пусть на местности необходимо определить расстояние между точками А и С, прямой проход между которыми невозможен (рис. 60). Один из способов измерения следующий: на местности выбирают некоторую точку О, к которой можно пройти из точек А , С, В, D, и на лучах АО и СО откладывают отрезки ВО=АО и DO = СО.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Тогда, согласно предыдущей задаче, Противолежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что искомое расстояние АС равно расстоянию BD, которое можно измерить.

    Опровержение утверждений. Контрпример

    Проанализируем первый признак равенства треугольников. Согласно ему для доказательства равенства двух треугольников достаточно доказать равенство трех пар соответствующих элементов — двух сторон и угла между ними. Требование того, чтобы равные углы обязательно лежали между равными сторонами, является очень важным.

    Действительно, рассмотрим треугольники ABC и А1В1С1 (рис. 61). Они имеют две пары соответственно равных сторон (АВ = А1В1, ВС = В1С1), но равные углы Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникележат не между равными сторонами, поэтому данные треугольники не равны.

    Противолежащие углы в треугольнике

    С помощью приведенного примера мы показали, что утверждение «Если две стороны и некоторый угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и некоторому углу другого треугольника, то такие треугольники равны» является ошибочным. Иначе говоря, мы опровергли это утверждение конкретным примером. Такой пример, с помощью которого можно показать, что некоторое общее утверждение является неправильным, называется контрпримером. Принцип построения контрпримера для опровержения неправильного утверждения довольно прост: нужно смоделировать ситуацию, когда условие утверждения выполняется, а заключение — нет.

    Контрпример — от латинского «контра» — против

    Изобразим схематически опровержение утверждения с помощью контрпримера.

    УТВЕРЖДЕНИЕ Если А, то В

    КОНТРПРИМЕР А, но не В

    Контрпримеры используются только для опровержения неправильных утверждений, но не для доказательства правильных. Заметим также, что не всякое ошибочное утверждение можно опровергнуть контрпримером. Если для опровержения некоторого утверждения не удалось подобрать контрпример, это не означает, что данное утверждение верно.

    Опровержение утверждений с помощью контрпримеров применяется не только в математике. Пусть, например, некто утверждает, что все птицы, которые водятся в Украине, осенью улетают на юг. Это утверждение можно опровергнуть, приведя в качестве контрпримера воробьев. А опровергнуть утверждение «В русском языке нет существительного, в котором содержались бы пять согласных подряд» можно с помощью самого слова «контрпример » .

    Перпендикуляр к прямой

    9.1. Существование и единственность прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

    Признаки равенства треугольников применяются не только для решения задач, но и для доказательства новых геометрических утверждений, в частности и тех, в формулировках которых не упоминается треугольник. Докажем с помощью первого признака равенства треугольников теорему о прямой, проходящей через данную точку плоскости перпендикулярно данной прямой.

    Теорема (о существовании и единственности перпендикулярной прямой) Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной, и только одну.

    Перед началом доказательства теоремы проанализируем ее формулировку. Теорема содержит два утверждения:

    1. существует прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная данной прямой;
    2. такая прямая единственна.

    Первое утверждение теоремы говорит о существовании прямой с описанными свойствами, второе — о ее единственности. Каждое из этих утверждений необходимо доказать отдельно.

    Рассмотрим сначала случай, когда данная точка не лежит на данной прямой.

    1) Существование. Пусть даны прямая Противолежащие углы в треугольникеи точка А , не лежащая на данной прямой. Выберем на прямой Противолежащие углы в треугольникеточки В и М так, чтобы угол АВМ был острым (рис. 67).

    Противолежащие углы в треугольнике

    С помощью транспортира отложим от луча ВМ угол СВМ, равный углу АВМ так, чтобы точки А и С лежали по разные стороны от прямой Противолежащие углы в треугольнике. На луче ВС отложим отрезок ВА1 , равный отрезку ВА , и соединим точки А и D. Пусть D — точка пересечения отрезка Противолежащие углы в треугольнике, с прямой Противолежащие углы в треугольнике.

    Рассмотрим треугольники Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике. Они имеют общую сторону BD, a Противолежащие углы в треугольнике Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникепо построению. Таким образом, Противолежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Противолежащие углы в треугольникеНо эти углы смежные, поэтому по теореме о смежных углах Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике. Итак, прямая Противолежащие углы в треугольникеперпендикулярна прямой Противолежащие углы в треугольнике.

    2) Единственность. Применим метод доказательства от противного.

    Пусть через точку А проходят две прямые Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеперпендикулярные прямой Противолежащие углы в треугольнике(рис. 68). Тогда по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Противолежащие углы в треугольнике. Но это невозможно, поскольку прямые Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеимеют общую точку А. Итак, наше предположение неверно, то есть прямая, проходящая через точку А перпендикулярно прямой Противолежащие углы в треугольнике, единственна.

    Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике

    Теперь рассмотрим случай, когда точка А лежит на прямой Противолежащие углы в треугольнике. От любой полупрямой прямой Противолежащие углы в треугольникес начальной точкой А можно отложить прямой угол (рис. 69). Отсюда вытекает существование перпендикулярной прямой, содержащей сторону этого угла.

    Доказательство единственности такой прямой повторяет доказательство, представленное выше. Теорема доказана.

    Утверждения о существовании и единственности уже встречались нам в аксиомах, но необходимость доказывать их возникла впервые. В математике существует целый ряд теорем, аналогичных доказанной (их называют теоремами существования и единственности). Общий подход к таким теоремам состоит в отдельном доказательстве каждого из двух утверждений.

    Необходимость двух отдельных этапов доказательства в шутку можно пояснить так: утверждение «У дракона есть голова» не означает, что эта голова единственная. Доказательство существования определенного объекта чаще всего сводится к описанию способа его получения. Единственность обычно доказывают методом от противного.

    Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой

    Определение:

    Перпендикуляром к данной прямой, проведенным из точки А, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, одним из концов которого является точка А а вторым (основанием перпендикуляра) — точка пересечения этих прямых.

    На рисунке 70 отрезок АВ является перпендикуляром к прямой а, проведенным из точки А . Точка В — основание этого перпендикуляра. Поскольку по предыдущей теореме через точку А можно провести единственную прямую, перпендикулярную прямой а, то отрезок АВ — единственный перпендикуляр к прямой а, проведенный из точки А.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Из доказанной теоремы следует, что из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

    Это утверждение называют теоремой о существовании и единственности перпендикуляра к прямой.

    Определение:

    Расстоянием от точки до прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

    Иногда расстоянием от точки до прямой называют сам этот перпендикуляр. Таким образом, отрезок АВ (см. рис. 70) является расстоянием от точки А до прямой а.

    Пример №15

    Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а, АВ и CD — расстояние от данных точек до прямой а, причем АВ = CD (рис. 71). Докажите, что AD = СВ.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Решение:

    Рассмотрим треугольники ABD и CDB. У них сторона ВD общая, АВ = CD по условию. По определению расстояния от точки до прямой АВ и CD — перпендикуляры к прямой а, то есть Противолежащие углы в треугольникеТогда Противолежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что AD = СВ, что и требовалось доказать.

    Второй признак равенства треугольников и его применение

    Второй признак равенства треугольников

    В первом признаке равенства треугольников равенство двух треугольников было доказано по трем элементам: двум сторонам и углу между ними. Однако это не единственный возможный набор элементов, равенство которых гарантирует равенство треугольников. Еще один такой набор — это сторона и прилежащие к ней углы.

    Теорема: (второй признак равенства треугольников — по стороне и прилежащим к ней углам)

    Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Доказательство:

    Пусть даны треугольники Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, у которых Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике(рис. 72). Докажем, что Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Поскольку Противолежащие углы в треугольнике, то треугольник Противолежащие углы в треугольникеможно наложить на треугольник Противолежащие углы в треугольникетак, чтобы сторона АС совместилась со стороной Противолежащие углы в треугольнике, а точки Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникележали по одну сторону от прямой Противолежащие углы в треугольнике. По условию Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, поэтому сторона Противолежащие углы в треугольникеналожится на луч Противолежащие углы в треугольнике, а сторона Противолежащие углы в треугольнике— на луч Противолежащие углы в треугольнике. Тогда точка Противолежащие углы в треугольнике— общая точка сторон Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике— будет лежать как на луче Противолежащие углы в треугольнике, так и на луче Противолежащие углы в треугольнике, то есть совместится с общей точкой этих лучей — точкой В. Таким образом, совместятся стороны Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, а также Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике. Значит, при наложении треугольники Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, совместятся полностью, то есть по определению Противолежащие углы в треугольнике. Теорема доказана.

    Решение геометрических задач «от конца к началу»

    Рассмотрим пример применения второго признака равенства треугольников для решения задачи.

    Пример №16

    На рисунке 73 Противолежащие углы в треугольникеНайдите угол D если Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Прежде чем привести решение этой задачи, попытаемся ответить на вопрос: как именно надо рассуждать, чтобы найти путь к нему?

    1. Сначала проанализируем вопрос задачи. Нам необходимо найти градусную меру угла D. Очевидно, что для этого должны быть использованы числовые данные. Мы имеем лишь одно такое условие: Противолежащие углы в треугольнике. Таким образом, можно предположить, что углы B и D должны быть как-то связаны. Как именно?
    2. Заметим, что углы В и D являются углами треугольников ABC и ADC соответственно, причем оба эти угла противолежат стороне АС . Отсюда возникает идея о том, что углы B и D могут быть равными, и их равенство может следовать из равенства треугольников ABC и ADC .
    3. Следующий шаг рассуждений: действительно ли треугольники ABC и ADC равны? Если да, то на основании какого признака можно доказать их равенство? Здесь на помощь приходят другие данные задачи — равенства углов: Противолежащие углы в треугольнике. Как вы уже знаете, две пары соответственно равных углов рассматриваются в формулировке второго признака равенства треугольников, то есть следует попробовать применить именно его.
    4. Для окончательного определения хода решения задачи осталось ответить на вопрос: каких еще данных нам не достает для применения второго признака равенства треугольников? Откуда их можно получить? Отметим, что углы 1 и 3 треугольника ABC, а также углы 2 и 4 треугольника ADC являются прилежащими к сторонеАС, которая, кроме того, является общей стороной данных треугольников.

    Итак, путь определен, и остается лишь записать решение, повторяя рассуждения в обратном порядке — от 4-го к 1-му пункту.

    Решение:

    Рассмотрим треугольники ABC и АDС . В них сторона АС общая, Противолежащие углы в треугольникепо условию, и эти углы прилежат к стороне АС. Таким образом, Противолежащие углы в треугольникепо второму признаку равенства треугольников.

    Углы В и D — соответственно равные углы равных треугольников.

    Значит, Противолежащие углы в треугольнике

    Ответ: 110°.

    Отметим, что в рассуждениях 1) — 4) мы начинали с вопроса задачи, а затем использовали ее условия, то есть шли «от конца к началу». Во многих геометрических задачах именно такой способ рассуждений позволяет найти правильный путь к решению.

    Пример №17

    Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

    Решение:

    Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС, точки D , Е, F — середины сторон АВ, ВС и АС соответственно (рис. 84). Докажем, что треугольник D EF равнобедренный. Рассмотрим треугольники DAF и ECF. У них AD = СЕ как половины равных сторон АВ и СВ, AF = CF (поскольку по условию точка F — середина AC), Противолежащие углы в треугольникекак углы при основании равнобедренного треугольника ABC. Следовательно, Противолежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Тогда отрезки D F = EF как соответствующие стороны равных треугольников, то есть треугольник D EF равнобедренный.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Признак равнобедренного треугольника

    Из предыдущей теоремы следует, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Но всегда ли стороны, противолежащие равным углам, должны быть равными? Ответим на этот вопрос следующей теоремой.

    Теорема: (признак равнобедренного треугольника) Если в треугольнике два угла равны, те он равнобедренный:

    Доказательство:

    Пусть в треугольнике ABC Противолежащие углы в треугольнике. Докажем, что этот треугольник равнобедренный.

    Через точку D — середину стороны АС — проведем прямую d , перпендикулярную АС. Пусть эта прямая пересекает луч АВ в точке Противолежащие углы в треугольнике(рис. 85). Соединим точки Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеи рассмотрим треугольники Противолежащие углы в треугольнике. У них сторона Противолежащие углы в треугольникеобщая, Противолежащие углы в треугольникеи AD = CD по построению. Таким образом, Противолежащие углы в треугольникепо первому признаку. Отсюда Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике. Поскольку по построению точка Противолежащие углы в треугольникележит на луче АВ, угол Противолежащие углы в треугольникесовпадает с углом А треугольника ABC. Тогда по условию теоремы и по доказанному имеем: Противолежащие углы в треугольнике. Таким образом, по аксиоме откладывания углов углы Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникесовпадают, то есть точка Противолежащие углы в треугольникележит и на луче СВ. Поскольку лучи АВ и СВ имеют единственную точку пересечения, точки Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникесовпадают, то есть АВ = СВ. Теорема доказана.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Если в треуольнике все углы равны, то он равносторонний.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Отметим, что теперь мы имеем два пути доказательства того, что треугольник равнобедренный:

    1. по определению равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух сторон);
    2. по признаку равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух углов).

    Пример №18

    На продолжении основания АС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки D и E, причем AD=CE (рис. 87). Докажите, что треугольник DBE равнобедренный:

    Противолежащие углы в треугольнике

    Решение:

    Рассмотрим треугольники DAB и ЕСВ. У них AD = СЕ по условию, АВ = СВ как боковые стороны равнобедренного треугольника ABC. По свойству углов при основании равнобедренного треугольника ABC Противолежащие углы в треугольникетогда Противолежащие углы в треугольникекак углы, смежные с равными углами. Значит, Противолежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников.

    Завершить доказательство можно одним из двух способов.

    1 -й способ. Поскольку Противолежащие углы в треугольникето Противолежащие углы в треугольникеТаким образом, треугольник DBE равнобедренный по определению.

    2-й способ. Поскольку Противолежащие углы в треугольникето Противолежащие углы в треугольникеТаким образом, треугольник D BE равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника;

    Прямая и обратная теоремы

    Проанализируем две предыдущие теоремы о равнобедренном треугольнике, выделив в каждой из них условие и заключение. Свойство углов равнобедренного треугольника можно сформулировать так: «Если треугольник равнобедренный, то в нем два угла (при основании) равны». Теперь становится очевидным, что условие первой теоремы («треугольник равнобедренный») — это заключение второй, а заключение первой теоремы («в треугольнике два угла равны») — это условие второй теоремы. В таком случае вторая теорема является обратной первой (прямой).

    Изобразим наглядно связь прямой и обратной теорем.

    ПРЯМАЯ ТЕОРЕМА

    Если А то B

    ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

    Если В, то А

    Теорема, обратная данной, не обязательно верна. Рассмотрим, например, теорему о вертикальных углах, сформулировав ее так: «Если два угла вертикальные, то они равны». Понятно, что обратная теорема неверна: ведь если два угла равны, то они не обязательно вертикальные.

    Немало подобных примеров можно привести и из повседневной жизни. Например, если ученик является семиклассником, то он изучает геомет рию. Обратное утверждение ошибочно: если ученик изучает геометрию, то он не обязательно семиклассник, ведь геометрию изучают и в старших классах. Попробуйте самостоятельно найти примеры прямых и обратных утверждений в других науках, изучаемых в школе.

    Таким образом, пользоваться утверждением, обратным доказанной теореме, можно лишь тогда, когда оно также доказано.

    Медиана, биссектриса и высота треугольника

    Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника

    Помимо сторон и углов, с треугольником связано несколько важных элементов, имеющих специальные названия.

    Определение

    Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

    На рисунке 95 отрезок ВМ является медианой треугольника ABC. В любом треугольнике можно провести три медианы — по одной из каждой вершины. Далее будет доказано, что все они пересекаются в одной точке (рис. 96)

    Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике

    Определение:

    Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

    На рисунке 97 отрезок BL — биссектриса треугольника ABC. Обратим внимание на то, что, в отличие от биссектрисы угла, являющейся лучом, биссектриса треугольника — отрезок. Очевидно, что любой треугольник имеет три биссектрисы (рис. 98). Все они также пересекаются в одной точке (этот факт будет доказан далее).

    Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике

    Определение:

    Высотой треугольника называется перпендикуляр. опущенный из вершины треугольника на прямую, которая содержит его противолежащую сторону.

    [1] Подчеркнем, что здесь и далее, приводя утверждения, которые будут доказаны позднее, мы не будем ссылаться на них до того момента, когда они будут доказаны.

    На рисунке 99 отрезок ВН — высота треугольника ABC.

    По теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из каждой вершины треугольника можно провести только одну его высоту. Высоты треугольника не обязательно лежат внутри него. В отличие от медиан и биссектрис, некоторые из высот могут совпадать со сторонами или проходить вне треугольника (рис. 100).

    Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (это утверждение докажем позднее).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника

    Теорема: (свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника)

    В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

    Доказательство:

    Доказательство данной теоремы состоит из трех частей.

    1) Пусть BD — медиана равнобедренного треугольника ABC , проведенная к основанию АС (рис. 101, а). Докажем, что BD является также биссектрисой и высотой треугольника ABC .

    Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике

    Рис. 101 Отрезок DB — медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника ABC

    Рассмотрим треугольники ABD и CBD . У них АВ = СВ по определению равнобедренного треугольника, Противолежащие углы в треугольникекак углы при основании равнобедренного треугольника, AD = CD по определению медианы. Следовательно, Противолежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Из этого вытекает, что Противолежащие углы в треугольнике, то есть BD — биссектриса треугольника ABC .

    Кроме того, Противолежащие углы в треугольникеа поскольку эти углы смежные, то оба они прямые. Значит, BD — высота треугольника ABC . Таким образом, отрезок BD — медиана треугольника ABC , проведенная к основанию,— является также биссектрисой и высотой треугольника.

    2. Пусть теперь BD — биссектриса равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию АС (рис. 101, б). Аналогично предыдущему случаю можно доказать, что BD является также медианой и высотой треугольника ABC. Действительно, в этом случае Противолежащие углы в треугольникено второму признаку Противолежащие углы в треугольникеОтсюда AD=CD, то есть BD — медиана треугольника, и Противолежащие углы в треугольнике, то есть BD — высота треугольника.

    3. Пусть BD — высота треугольника ABC . Докажем от противного, что BD является медианой и биссектрисой данного треугольника. Пусть существуют медиана Противолежащие углы в треугольникеи биссектриса Противолежащие углы в треугольнике, не совпадающие с Противолежащие углы в треугольнике— Тогда по доказанному выше отрезки Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникетакже являются высотами треугольника. Таким образом, из точки В к прямой АС проведены три различных перпендикуляра, что противоречит теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Из этого противоречия следует, что отрезки Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникесовпадают,

    то есть BD — медиана и биссектриса данного треугольника.

    Итак, в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

    Медиана — от латинского «медианус» — средний

    В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают.

    Теорема, обратная данной, также верна: если в треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведанные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный (докажите это утверждение самостоятельно).

    На практике для решения задач вместо доказанной теоремы часто используют утверждение с условием совпадения лишь двух из трех указанных отрезков:

    1. если в треугольнике медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
    2. если в треугольнике биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
    3. если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный. Первые два утверждения докажите самостоятельно. Третье утверждение мы рассмотрим в п. 12.3.

    Пример №19

    Докажите равенство равнобедренных Треугольников по углу, противолежащему основанию, и медиане, проведенной к основанию

    Решение:

    Пусть Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике— данные равнобедренные треугольники с основаниями Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике— Медианы этих треугольников, причем Противолежащие углы в треугольнике(рис. 102). Докажем, что Противолежащие углы в треугольнике

    Рассмотрим треугольники Противолежащие углы в треугольнике. По условию Противолежащие углы в треугольнике. Поскольку по свойству медианы биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеявляются также биссектрисами равных углов Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, то Противолежащие углы в треугольникеотрезки Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике— высоты равнобедренных треугольников, поэтому Противолежащие углы в треугольнике90°. Таким образом,Противолежащие углы в треугольнике, по второму признаку равенства треугольников, откуда Противолежащие углы в треугольникетогда и Противолежащие углы в треугольнике Противолежащие углы в треугольникеЗначит, треугольники Противолежащие углы в треугольникеравны по перво му признаку равенства треугольников. • . ;

    Противолежащие углы в треугольнике

    Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .

    Для решения некоторых геометрических задач необходимо проводить дополнительные построения, то есть достраивать отрезки и углы, не упомянутые в условии задачи. Это нужно для получения вспомогательных фигур, рассмотрение которых позволяет найти или доказать требуемое. Существуют определенные виды дополнительных построений, применяемые чаще других. Один из них мы рассмотрим в следующей задаче.

    Пример №20

    Если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совладают, то такой треугольник равнобедренный. Докажите.

    Решение:

    Пусть 80 — медиана и биссектриса данного треугольника ABC (рис; 103). Докажем, что треугольник ABC равнобедренный.

    Противолежащие углы в треугольнике

    На луче ВD от точки D отложим отрезок Противолежащие углы в треугольникеравный BD (то есть удвоим медиану ВО). Рассмотрим треугольники Противолежащие углы в треугольникеУ них АD = СD по определению медианы, Противолежащие углы в треугольникепо построению, Противолежащие углы в треугольникекак вертикальные. Таким образом, Противолежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Противолежащие углы в треугольнике Противолежащие углы в треугольнике. Рассмотрим теперь треугольник Противолежащие углы в треугольникеС учетом того, что BD — биссектриса угла ABC , имеем Противолежащие углы в треугольникетогда Противолежащие углы в треугольникеПо признаку равнобедренного треугольника, треугольник Противолежащие углы в треугольникеравнобедренный с основанием Противолежащие углы в треугольникеОтсюда Противолежащие углы в треугольникеа поскольку по доказанному Противолежащие углы в треугольникеТаким образом, треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать.

    [1] Здесь и далее звездочкой обозначен теоретический материал, изучение которого не является обязательным.

    Проанализируем решение этой задачи. Отображение всех данных условия на рисунке не выявило набора элементов, позволяющих сразу начать доказательство. Это обусловило необходимость дополнительного построения, благодаря которому образовался вспомогательный треугольник Противолежащие углы в треугольнике. Доказав его равенство с треугольником Противолежащие углы в треугольнике, мы получили дополнительные равенства отрезков и углов и решили задачу.

    Дополнительное построение состояло в удвоении отрезка BD . Такое построение используется чаще всего именно для медиан треугольников, поэтому основанн ый на нем метод доказательства называют методом удвоения медианы.

    Третий признак равенства треугольников и его применение

    Третий признак равенства треугольников

    Применим свойства равнобедренного треугольника для доказательства третьего признака равенства треугольников.

    Теорема: (третий признак равенства треугольников — по трем сторонам)

    Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Доказательство:

    Пусть даны треугольники Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, у которых Противолежащие углы в треугольнике. Докажем, что Противолежащие углы в треугольнике.

    Приложим треугольник Противолежащие углы в треугольникек треугольнику Противолежащие углы в треугольникетак, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной Противолежащие углы в треугольнике, вершина Противолежащие углы в треугольнике— с вершиной В, а точки Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникележали по разные стороны от прямой АВ. Возможны три случая:

    1. луч Противолежащие углы в треугольникепроходит внутри угла АСВ (рис. 107, а);
    2. луч Противолежащие углы в треугольникепроходит вне угла АСВ (рис. 107, б);
    3. луч Противолежащие углы в треугольникесовпадает с одной из сторон угла АСВ (рис. 107, в).

    Противолежащие углы в треугольнике Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике

    Рис. Прикладывание треугольника Противолежащие углы в треугольникек треугольнику Противолежащие углы в треугольнике

    Рассмотрим случаи 1 и 2, Поскольку по условию теоремы Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, то треугольники Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеравнобедренные с основанием Противолежащие углы в треугольнике. По свойству равнобедренного треугольника Противолежащие углы в треугольнике. Тогда Противолежащие углы в треугольникекак суммы (или разности) равных углов. Таким образом, Противолежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. В случае 3 равенство углов Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеследует из свойства равнобедренного треугольника с основаниемПротиволежащие углы в треугольнике, а дальнейшее доказательство проводится аналогично. Теорема доказана.

    Обобщая признаки равенства треугольников, можно увидеть, что во всех трех признаках равенство треугольников следует из равенства трех пар соответствующих элементов. И это не случайно: как правило, треугольник можно задать (построить) именно по трем элементам, но не произвольным, а определяющим единственный треугольник. Например, треугольник однозначно определяется длинами трех его сторон (это следует из только что доказанного третьего признака). Однако, например, градусные меры трех углов не задают треугольник однозначно. Попробуйте самостоятельно построить соответствующий контрпример — два неравных треугольника с соответственно равными углами.

    Пример №21

    Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

    Решение:

    Пусть Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике— данные треугольники с медианами Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, соответственно, причем Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике(рис. 108). Рассмотрим сначала треугольники Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеВ них Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, по условию, Противолежащие углы в треугольникекак половины равных сторон Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникето есть Противолежащие углы в треугольникепо третьему признаку. Отсюда, в частности, следует, что Противолежащие углы в треугольникеТогда Противолежащие углы в треугольникепо первому признаку Противолежащие углы в треугольникепо условию, Противолежащие углы в треугольникепо доказанному).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Свойства и признаки

    Проанализируем признаки равенства треугольников. Все эти утверждения одинаковы по структуре: если треугольники имеют некоторую особенность, то они равны. Эта особенность (равенство трех пар соответствующих элементов) и составляет признак равенства треугольников. Нетрудно догадаться по аналогии, что, скажем, признак параллельности прямых может выглядеть так: «Если две прямые имеют определенную особенность, то они параллельны» (вспомните, рассматривались ли ранее похожие утверждения).

    Во многих геометрических утверждениях мы получаем новые особенности фигур с помощью уже известных: например, если два угла вертикальные, то они равны. В этом случае равенство является свойством вертикальных углов. По аналогии, свойство смежных углов будет иметь следующий вид: «Если два угла смежные, то они имеют определенную особенность». Нетрудно догадаться, какое из изученных утверждений является свойством смежных углов.

    Отметим еще один интересный факт. Если нам дан равнобедренный треугольник, то равенство двух его углов — свойство равнобедренного треугольника. Если же из условия равенства двух углов некоторого треугольника мы делаем заключение, что этот треугольник равнобедренный, то равенство этих углов — признак равнобедренного треугольника. Таким образом, одна и та же особенность фигуры в зависимости от условия задачи может рассматриваться либо как свойство, либо как признак.

    Приведем примеры свойств и признаков, не связанные с геометрией. Наличие длинной шеи является свойством жирафа (если животное — жираф, то оно имеет длинную шею). Но длинную шею имеют также и страусы, то есть не любое животное с длинной шеей — жираф. Таким образом, наличие длинной шеи не является признаком жирафа. Другой пример: повышение температуры — признак болезни (ведь если у человека высокая температура, то он болен), но повышение температуры не свойство болезни (ведь многие болезни не сопровождаются повышением температуры). И наконец, пример из арифметики: последняя цифра 0 — и свойство, и признак чисел, которые делятся на 10.

    Попробуйте привести собственные примеры свойств и признаков, изучаемых в школе.

    Признаки параллельности прямых

    Углы, образованные при пересечении двух прямых третьей

    Пусть прямая с пересекает каждую из двух прямых a и b (рис. 118). В таком случае говорят, что прямая с является секущей прямых а и b. При таком пересечении двух прямых третьей образуются пары неразвернутых углов, имеющих специальные названия:

    Противолежащие углы в треугольнике

    • внутренние накрест лежащие углы лежат между прямыми а и b по разные стороны от секущей: 3 и 6, 4 и 5;
    • внутренние односторонние углы лежат между прямыми а и & по одну сторону от секущей: 3 и 5, 4 и 6;
    • соответственные углы лежат по одну сторону от секущей, причем сторона одного из них является частью стороны другого: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6, 4 и 8.

    Признаки параллельности прямых

    Вы уже изучили две теоремы, которые утверждают, что две прямые параллельны:

    1. если две прямые параллельны третьей, то они параллельны;
    2. если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны.

    Докажем еще несколько признаков параллельности прямых.

    Теорема: (признак параллельности двух прямых, которые пересекаются секущей)

    Если при пересечении двух прямых, секущей внутренние накрестлежащие углы равны; то прямые параллельны.

    Доказательство:

    Пусть прямая с пересекает прямые а и b в точках А и В соответственно, причем Противолежащие углы в треугольнике(рис. 119). Докажем, что Противолежащие углы в треугольнике.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Если углы 1 и 2 прямые, то Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике. Тогда Противолежащие углы в треугольникепо теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Проведем из точки О — середины отрезка АВ — перпендикуляр Противолежащие углы в треугольнике, к прямой O. Пусть Н2 — точка пересечения прямых Противолежащие углы в треугольнике

    Рассмотрим треугольники Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике. У них Противолежащие углы в треугольникепо условию, Противолежащие углы в треугольникекак вертикальные и Противолежащие углы в треугольникепо построению. Итак, Противолежащие углы в треугольникепо второму признаку равенства треугольников. Отсюда Противолежащие углы в треугольникето есть прямая Противолежащие углы в треугольникеперпендикулярна прямым а и b. Тогда Противолежащие углы в треугольникепо теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Теорема доказана.

    Для доказательства параллельности прямых можно использовать не только внутренние накрест лежащие углы, но и другие пары образовавшихся углов.

    Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна Противолежащие углы в треугольнике, то прямые параллельны.

    Действительно, если Противолежащие углы в треугольнике(рис. 120) и по теореме о смежных углах Противолежащие углы в треугольнике, то Противолежащие углы в треугольникеТогда по доказанной теореме Противолежащие углы в треугольнике.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

    Действительно, если Противолежащие углы в треугольнике(рис. 121), a Противолежащие углы в треугольникекак вертикальные, то Противолежащие углы в треугольникеТогда но доказанной теореме Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Следствия 1 и 2 можно объединить с доказанной теоремой в одно утверждение, выражающее признаки параллельности прямых.

    Если при пересечении двух прямых секущей выполняется хотя бы одно из условий:

    1. внутренние накрест лежащие углы равны;
    2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
    3. соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.

    Если выполняется одно из трех приведенных условий, то выполняются и два других (докажите это самостоятельно).

    Пример №22

    На рисунке 122 Противолежащие углы в треугольнике— биссектриса угла Противолежащие углы в треугольникеДокажите, что Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Решение:

    По условию задачи треугольник Противолежащие углы в треугольникеравнобедренный с основанием Противолежащие углы в треугольникеПо свойству углов равнобедренного треугольника Противолежащие углы в треугольникеВместе с тем Противолежащие углы в треугольникетак как АС — биссектриса угла BAD. Отсюда, Противолежащие углы в треугольнике Противолежащие углы в треугольникеУглы 2 и 3 внутренние накрест лежащие при прямых Противолежащие углы в треугольникеи секущей Противолежащие углы в треугольникеПоскольку эти уг лы равны, то по признаку параллельности прямых Противолежащие углы в треугольникечто и требовалось доказать.

    О существовании прямой, параллельной данной

    Доказанные признаки параллельности прямых позволяют подробнее проанализировать формулировку аксиомы параллельных прямых (аксиомы Евклида, п. 4.1). В этой аксиоме утверждалась единственность прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой, но не утверждалось ее существование.

    На основании признака параллельности прямых существование такой прямой можно доказать.

    Пусть даны прямая АВ и точка С, не принадлежащая этой прямой (рис. 123). Проведем прямую АС. От луча СА отложим угол ACD, равный углу CAB, так, как показано на рисунке. Тогда углы ACD и CAB — внутренние накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей АС. По доказанному признаку AB || CD , то есть существует прямая, проходящая через точку С параллельна прямой АВ.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Таким образом, мы можем объединить доказанный факт с аксиомой параллельных прямых в следующей теореме.

    Теорема: (о существовании и единственности прямой, параллельной данной)

    Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, я притом только одну.

    Вообще, аксиома Евклида и связанные с ней утверждения были предметом особого внимания ученых на протяжении многих веков. В начале позапрошлого столетия выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский создал неевклидову геометрию, в которой аксиома параллельных прямых не выполняется.

    Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

    Теорема о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

    В предыдущем параграфе мы установили соотношения углов между двумя прямыми и секущей, гарантирующие параллельность данных прямых. Но обязательно ли эти соотношения сохраняются для любой пары параллельных прямых, пересеченных секущей? Докажем утверждение, обратное признаку параллельности прямых.

    Теорема: (свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей)

    Если секущая пересекает две параллельные прямые, то:

    1. внутренние накрестлежащие углы равны;
    2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
    3. соответственные углы равны.

    Доказательство:

    Докажем первое из утверждений теоремы.

    Пусть секущая с пересекает параллельные прямые а и b в точках A и В соответственно (рис. 132). Докажем методом от противного, что внутренние накрест лежащие углы при этих прямых равны.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Пусть эти углы не равны. Проведем через точку А прямую Противолежащие углы в треугольникетак, чтобы внутренние накрест лежащие углы при прямых Противолежащие углы в треугольникеи b и секущей с были равны. Тогда по признаку параллельности прямых имеем Противолежащие углы в треугольникеНо Противолежащие углы в треугольникепо условию теоремы, а по аксиоме параллельных прямых через точку А можно провести лишь одну прямую, параллельную b. Таким образом, мы получили противоречие.

    Следовательно, наше предположение ошибочно, то есть внутренние накрест лежащие углы равны. Из доказанного утверждения нетрудно получить другие два утверждения теоремы (сделайте это самостоятельно).

    Следствие Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой

    Это следствие обоснуйте самостоятельно по рисунку 133.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Пример №23

    Сумма двух внутренних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 210°. Найдите все образовавшиеся углы.

    Решение:

    Пусть а || b, с — секущая. Внутренние углы, о которых говорится в условии, могут быть односторонними, накрест лежащими или смежными. Поскольку при пересечении параллельных прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180° и сумма смежных углов также равна 180°, то данные углы — внутренние накрест лежащие. Пусть Противолежащие углы в треугольнике(рис. 134). Поскольку Противолежащие углы в треугольникето Противолежащие углы в треугольникеТогда:

    Противолежащие углы в треугольнике°, так как углы 1 и 5 соответственные; Противолежащие углы в треугольнике, так как углы 3 и 5 внутренние односторонние; Противолежащие углы в треугольникетак как углы 2 и 3 вертикальные; Противолежащие углы в треугольникетак как углы 5 и 6 смежные; Противолежащие углы в треугольникетак как углы 7 и 3 соответственные; Противолежащие углы в треугольникетак как углы 8 и 4 соответственные.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Расстояние между параллельными прямыми

    Как вы уже знаете, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Можно предположить, что расстояние между параллельными прямыми тоже будет определяться с помощью перпендикуляра. Но прежде чем сформулировать определение, докажем еще одно свойство параллельных прямых.

    Теорема: (о расстояниях от точек прямой до параллельной прямой)

    Расстояния от любых двух точек прямой до параллельной ей прямой равны

    Доказательство:

    Пусть а и b — данные параллельные прямые, Противолежащие углы в треугольнике— расстояния от точек Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникепрямой Противолежащие углы в треугольникедо прямой Противолежащие углы в треугольнике(рис. 135). Докажем, что

    Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Поскольку по определению расстояния от точки до прямой Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, то по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Противолежащие углы в треугольнике

    Рассмотрим треугольники Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеУ них сторона Противолежащие углы в треугольникеобщая, Противолежащие углы в треугольникекак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеи секущей Противолежащие углы в треугольникекак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеи секущей Противолежащие углы в треугольнике. Таким образом, Противолежащие углы в треугольникепо второму признаку равенства треугольников, откуда Противолежащие углы в треугольникеТеорема доказана.

    Из только что доказанной теоремы следует, что расстояние от точки прямой а до прямой b не зависит от выбора точки, то есть одинаково для всех точек прямой a. Это позволяет сформулировать следующее определение.

    Определение:

    Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

    Таким образом, расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую прямую.

    На рисунке 136 Противолежащие углы в треугольникето есть АВ — расстояние между прямыми а и b. Заметим, что по следствию теоремы о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, Противолежащие углы в треугольнике, то есть Противолежащие углы в треугольнике— общий перпендикуляр к прямым а и b.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Сумма углов треугольника

    Теорема о сумме углов треугольника и ее следствия

    Теорема: (о сумме углов треугольника)

    Сумма углов треугольника равна 180°.

    Доказательство:

    Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, что Противолежащие углы в треугольникеПроведем через вершину В прямую b , параллельную АС (рис. 141). Тогда углы 1 и 4 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых b и АС и секущей АВ. Аналогично Противолежащие углы в треугольникекак внутренние накрест лежащие при тех же параллельных прямых, но секущей ВС. Имеем: Противолежащие углы в треугольникеТеорема доказана.

    Противолежащие углы в треугольнике

    В любом треугольнике по крайней мере два угла острые.

    Действительно, если треугольник имел бы два неострых угла (тупых или прямых), то сумма всех углов превышала бы 180°, что противоречит доказанной теореме.

    Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

    Поскольку все углы равностороннего треугольника равны, то каждый из них равен Противолежащие углы в треугольнике.

    Рассмотрим еще одно важное утверждение, которое следует из доказанной теоремы.

    Пример №24

    Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен 60°, то этот треугольник равносторонний. Докажите.

    Решение:

    Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС. Рассмотрим два случая.

    1. Пусть угол 60° — один из углов при основании, например Противолежащие углы в треугольнике(рис. 142, а). Тогда Противолежащие углы в треугольникекак углы при основании равнобедренного треугольника. Таким образом, Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольникеЗначит, Противолежащие углы в треугольникето есть ABC — равносторонний треугольник.
    2. Пусть угол 60° — угол, противолежащий основанию, то есть Противолежащие углы в треугольнике(рис. 142, б). Тогда Противолежащие углы в треугольникекак углы при основании равнобедренного треугольника. Каждый из этих углов равен (180° — 60°) : 2 = 60°. Снова имеем, что все углы треугольника ABC равны, значит, этот треугольник равносторонний.

    Только что решенная задача является опорной, то есть на нее можно ссылаться при решении других задач, кратко пересказывая ее содержание. В дальнейшем условия таких задач в учебнике будут выделены полужирным шрифтом и словом «опорная».

    Виды треугольников по величине углов. Классификация

    Как уже было доказано, любой треугольник имеет не менее двух острых углов. Это означает, что возможны три случая:

    1. все углы треугольника острые — остроугольный треугольник;
    2. два угла треугольника острые, а третий угол прямой — прямоугольный треугольник;
    3. два угла треугольника острые, а третий угол тупой — тупоугольный треугольник.

    Исходя из этого, все треугольники можно разделить по величине углов на три вида: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные (рис. 143).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Обратим внимание на то, что величина углов — это признак, по которому любой данный треугольник можно отнести лишь к одному из трех названных видов. Такое деление объектов на отдельные виды по определенному признаку называют классификацией. Признак, по которому осуществляется классификация, является ее основанием. Так, треугольники можно разделить и по другому основанию — длине сторон — на разносторонние (то есть не имеющие равных сторон), равнобедренные, но не равносторонние (у которых только две стороны равны) и равносторонние треугольники.

    Классификация считается правильной, если любой из объектов можно отнести лишь к одному из названных классов. Так, неправильно будет разделять прямые на плоскости по взаимному расположению на параллельные, пересекающиеся и перпендикулярные (ведь перпендикулярность — частный случай пересечения). Ошибочно подразделять по величине неразвернутые углы на острые и тупые, поскольку есть еще и прямые углы.

    Очень важно проводить классификацию лишь по одному основанию. Например, неверным было бы разделять треугольники на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные и равнобедренные, ведь равнобедренным может быть и остроугольный, и прямоугольный, и тупоугольный треугольник. Допустить такую ошибку — то же самое, что разделить всех людей на мужчин, женщин и учителей.

    Примеры классификаций нетрудно найти и в других науках. Так, филологи делят члены предложения на главные (подлежащее и сказуемое) и второстепенные (дополнение, определение и обстоятельство). Попробуйте найти примеры классификации в физике, географии, биологии.

    Внешний угол треугольника

    Определение:

    Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом данного треугольника.

    На рисунке 144 угол DAB — внешний угол треугольника ABC при вершине А.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Очевидно, что при любой вершине треугольника можно построить два внешних угла, которые по отношению друг к другу являются вертикальными (рис. 145).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Теорема: (о внешнем угле треугольника)

    Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

    Доказательство:

    Пусть углы 1, 2 и 3 — внутренние углы треугольника ABC, a Противолежащие углы в треугольнике— внешний угол, смежный с углом 1 (рис. 146). По теореме о сумме углов треугольника Противолежащие углы в треугольникеС другой стороны, по теореме о смежных углах Противолежащие углы в треугольникеОтсюда, Противолежащие углы в треугольникечто и требовалось доказать.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

    Действительно, по доказанной теореме (рис. 146) Противолежащие углы в треугольникеТогда для их суммы имеем: Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике

    Прямоугольные треугольники

    Элементы прямоугольного треугольника

    Как известно, прямоугольный треугольник имеет один прямой и два острых угла. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны — катетами. На рисунке 147 в треугольнике Противолежащие углы в треугольнике, AC — гипотенуза, АВ и ВС — катеты.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Из теоремы о сумме углов треугольника следует: сумма острых углов прямоугольного трек- угольника равна 90°. Имеет место и обратное утверждение — признак прямоугольного треугольника: если в треугольнике сумма двух углов равна 90°, то этот треугольник прямоугольный.

    Признаки равенства прямоугольных треугольников

    Пользуясь признаками равенства треугольников и теоремой о сумме углов треугольника, можно сформулировать признаки равенства, характерные только для прямоугольных треугольников.

    Приведем сначала два из них.

    Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам (рис. 148) Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу (рис. 149)

    Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Данные признаки — частные случаи первого и второго признаков равенства треугольников.

    Следующие два признака нетрудно получить из второго признака равенства треугольников, используя теорему о сумме углов треугольника.

    Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (рис. 150) Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (рис. 151)

    Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Действительно, если данный треугольники имеют по равному острому углу Противолежащие углы в треугольнике, то другие острые углы этих треугольников равны Противолежащие углы в треугольнике, то есть также соответственно равны.

    Еще один признак равенства прямоугольных треугольников докажем отдельно.

    Гипотенуза — от греческого «гипотейнуса» — стягивающая. Название связано со способом построения прямоугольных реугольников натягиванием бечевки.

    Теорема: (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету)

    Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

    Доказательство:

    Пусть Противолежащие углы в треугольнике— данные прямоугольные треугольники, в которых Противолежащие углы в треугольнике90° , Противолежащие углы в треугольнике(рис. 152). Докажем, что Противолежащие углы в треугольнике

    На продолжениях сторон Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеотложим отрезки Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, равные катетам Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникесоответственно. Тогда Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, по двум катетам. Таким образом, Противолежащие углы в треугольнике. Это значит, что Противолежащие углы в треугольникепо трем сторонам. Отсюда Противолежащие углы в треугольникеИ наконец, Противолежащие углы в треугольнике, по гипотенузе и острому углу. Теорема доказана.

    Обратим внимание на дополнительное построение, состоящее в достраивании прямоугольного треугольника до равнобедренного.

    Такой прием позволяет применять свойства равнобедренного треугольника при решении задач, в условиях которых о равнобедренном треугольнике речь не идет.

    Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике

    Рис. 152. Прямоугольные треугольники ABC и Противолежащие углы в треугольникеравны по гипотенузе и катету.

    Прямоугольный треугольник с углом 30°

    Прямоугольный треугольников котором один из острых углов равен 30°, имеет полезное свойство.

    Опорная задача

    В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Докажите.

    Решение

    Пусть в треугольнике Противолежащие углы в треугольнике. Докажем, что Противолежащие углы в треугольникеОчевидно, что в треугольнике Противолежащие углы в треугольникеОтложим на продолжении стороны Противолежащие углы в треугольникеотрезок Противолежащие углы в треугольнике, равный Противолежащие углы в треугольнике(рис. 153). Прямоугольные треугольники Противолежащие углы в треугольникеравны по двум катетам. Отсюда следует, что Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике Противолежащие углы в треугольникеТаким образом, треугольник Противолежащие углы в треугольникеравносторонний, а отрезок Противолежащие углы в треугольнике— его медиана, то есть Противолежащие углы в треугольникечто и требовалось доказать.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Имеет место также обратное утверждение (опорное): если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий данному катету, равен 30°.

    Попробуйте доказать это утверждение самостоятельно при помощи дополнительного построения, аналогичного только что описанному.

    Катет — от греческого «катетос» — отвес.

    Сравнение сторон и углов треугольника

    Соотношения между сторонами и углами треугольника

    Теорема: (соотношения между сторонами и углами треугольника)

    1. против большей стороны лежит больший угол;
    2. против большего угла лежит большая сторона.

    Доказательство:

    Данная теорема содержит два утверждения — прямое и обратное. Докажем каждое из них отдельно.

    1. Пусть в треугольнике Противолежащие углы в треугольнике. Докажем, что Противолежащие углы в треугольнике. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 156). Поскольку Противолежащие углы в треугольникето точка D лежит между точками А к В, значит, угол 1 является частью угла С, то есть Противолежащие углы в треугольникеОчевидно, что треугольник ADC равнобедренный с основанием DC, откуда Противолежащие углы в треугольникеКроме того, угол 2 — внешний угол треугольника Противолежащие углы в треугольнике, поэтому Противолежащие углы в треугольнике. Следовательно, имеем: Противолежащие углы в треугольникеоткуда Противолежащие углы в треугольнике

    2. Пусть в треугольнике Противолежащие углы в треугольникеДокажем от противного, что Противолежащие углы в треугольнике. Если это не так, то Противолежащие углы в треугольникеили Противолежащие углы в треугольнике. В первом случае треугольник ABC равнобедренный с основанием ВС, то есть Противолежащие углы в треугольнике. Во втором случае, по только что доказанному утверждению, против большей стороны должен лежать больший угол, то есть Противолежащие углы в треугольнике. В обоих случаях имеем противоречие условию Противолежащие углы в треугольнике. Таким образом, наше предположение неверно, то есть Противолежащие углы в треугольнике. Теорема доказана.

    Противолежащие углы в треугольнике

    В тупоугольном треугольнике сторона, лежащая против тупого угла, — наибольшая.

    В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

    Неравенство треугольника

    Теорема: (неравенство треугольника)

    В треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

    Доказательство:

    Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что Противолежащие углы в треугольнике. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок BD, равный стороне ВС (рис. 157). Треугольник BСD равнобедренный с основанием CD, откуда Противолежащие углы в треугольникеНо угол 2 является частью угла ACD, то есть Противолежащие углы в треугольникеТаким образом, в треугольнике Противолежащие углы в треугольнике. Учитывая соотношение между сторонами и углами тре угольника, имеем: Противолежащие углы в треугольникеТеорема доказана.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Если для трех точек А, В, С справедливо равенство АС = АВ + ВС, то эти тонки лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С.

    Действительно, если точка В не лежит на прямой АС, то по неравенству треугольника АС Противолежащие углы в треугольнике АВ + ВС . Если точка В лежит на прямой АС вне отрезка АС, это неравенство также очевидно справедливо. Остается единственная возможность: точка В лежит на отрезке АС.

    Неравенство треугольника позволяет проанализировать возможность построения треугольника с заданными сторонами. В частности, если хотя бы одно из трех положительных чисел а, b, с больше или равно сумме двух других, то построить треугольник со сторонами а, b, с невозможно.

    С неравенством треугольника связана классическая задача о нахождении кратчайшего пути на плоскости. Ее решение было известно еще великому древнегреческому ученому Архимеду (287—212 гг. до н. э.).

    Пример №25

    Точки А и В лежат по одну сторону от прямой с. Найдите на данной прямой такую точку С, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей (рис. 158).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Решение:

    Опустим из точки А перпендикуляр АО к прямой с и отложим на его продолжении отрезок Противолежащие углы в треугольникеравный Противолежащие углы в треугольникеДля любой точки С прямой с прямоугольные треугольники Противолежащие углы в треугольникеравны по двум катетам, откуда Противолежащие углы в треугольникеОчевидно, что по следствию неравенства треугольника сумма Противолежащие углы в треугольникебудет наименьшей в случае, когда точки Противолежащие углы в треугольникележат на одной прямой. Таким образом, искомая точка должна быть точкой пересечения отрезка Противолежащие углы в треугольникес прямой с.

    Отметим, что в условиях данной задачи прямые АС и СB образуют с прямой с равные углы. Именно так распространяется луч света, который исходит из точки A, отражается от прямой с и попадает в точку В. Физики в таком случае говорят, что угол падения светового луча равен углу отражения.

    Историческая справка

    Аксиомы Евклида. Аксиомы, сформулированные Евклидом, легли в основу современной геометрии. Ученые на протяжении более двух тысяч лет исследовали, возможно ли доказать некоторые из евклидовых постулатов (аксиом), опираясь на другие. Особое внимание вызывала аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида). Среди великих геометров прошлого не было, пожалуй, ни одного, кто не попытался бы доказать ее как теорему. И только в начале XIX века выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) доказал, что эту аксиому невозможно вывести из других аксиом.

    Неевклидова геометрия. Лобачевский создал другую, неевклидову геометрию. По Лобачевскому, прямая, параллельная данной прямой и проходящая через данную точку вне ее, не является единственной. Большинство современников это открытие не приняли. Такая же судьба постигла и работы других ученых, получивших аналогичные результаты: венгра Яноша Больяи и немца Карла Гаусса. И только через столетие неевклидова геометрия была признана и оценена как выдающееся научное открытие.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Становление геометрической аксиоматики. В XX в. исследования вопросов аксиоматического построения геометрии вышли на качественно новый уровень. Немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943) обобщил и усовершенствовал систему евклидовых аксиом. Авторский вариант геометрических аксиом, разработанный на основе трудов Евклида и Гильберта, предложил наш соотечественник Алексей Васильевич Погорелов (1919-2002).

    Геометрия треугольников. Евклид ввел понятие о равенстве геометрических фигур, совмещаемых наложением. В исследованиях древнегреческих геометров многие задачи и теоремы сводились к доказательству равенства треугольников (доказательство второго признака равенства треугольников приписывают Фалесу). Грекам была известна и теорема о сумме углов треугольника (впервые она встречается в комментариях Прокла к «началам» Евклида).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Геометрия треугольника стала основой для изучения более сложных видов многоугольников, которые можно разбить на треугольники.

    Справочный материал по треугольнику

    Треугольники

    Треугольник и его элементы. Равные треугольники

    • ✓ Три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, соединены отрезками (рис. 245). Образовавшаяся фигура ограничивает часть плоскости, которую вместе с отрезками АВ, ВС и СА называют треугольником. Точки А, В, С называют вершинами, а отрезки АВ, ВС, СА — сторонами треугольника.

    Противолежащие углы в треугольнике

    • ✓ Треугольник называют и обозначают по его вершинам.
    • ✓ В треугольнике АВС угол В называют углом, противолежащим стороне АС, а углы А и С — углами, прилежащими к стороне АС.
    • ✓ Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.
    • ✓ Треугольник называют остроугольным, если все его углы острые; прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой.
    • ✓ Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами.
    • ✓ Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.
    • ✓ Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением. Те пары сторон и углов, которые совмещаются при наложении равных треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами.
    • ✓ В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
    • ✓ В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
    • ✓ В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

    Высота, медиана, биссектриса треугольника

    • ✓ Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.
    • ✓ Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника.
    • ✓ Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника.

    Признаки равенства треугольников

    • ✓ Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
    • ✓ Второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
    • ✓ Третий признак равенства треугольников: по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Равнобедренный треугольник и его свойства. Равносторонний треугольник

    • ✓ Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.
    • ✓ Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.
    • ✓ Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон.

    ✓ В равнобедренном треугольнике:

    • 1) углы при основании равны;
    • 2) биссектриса треугольника, проведенная к его основанию, является медианой и высотой треугольника.

    ✓ Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

    ✓ В равностороннем треугольнике:

    • 1) все углы равны;
    • 2) биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

    Признаки равнобедренного треугольника

    • ✓ Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.
    • ✓ Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
    • ✓ Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
    • ✓ Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

    Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника

    • ✓ Сумма углов треугольника равна 180°.
    • ✓ Среди углов треугольника по крайней мере два угла острые.
    • ✓ Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.
    • ✓ Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
    • ✓ Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.

    Средняя линия треугольника и ее свойства

    Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

    На рисунке 105 Противолежащие углы в треугольнике— средняя линия треугольника Противолежащие углы в треугольнике

    Теорема 1 (свойство средней линии треугольника). Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

    Доказательство:

    Пусть Противолежащие углы в треугольнике— средняя линия треугольника Противолежащие углы в треугольнике(рис. 105). Докажем, что Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике

    1) Проведем через точку Противолежащие углы в треугольникепрямую, параллельную Противолежащие углы в треугольникеПо теореме Фалеса она пересекает сторону Противолежащие углы в треугольникев ее середине, то есть в точке Противолежащие углы в треугольникеСледовательно, эта прямая содержит среднюю линию Противолежащие углы в треугольникеПоэтому Противолежащие углы в треугольнике

    2) Проведем через точку Противолежащие углы в треугольникепрямую, параллельную Противолежащие углы в треугольникекоторая пересекает Противолежащие углы в треугольникев точке Противолежащие углы в треугольникеТогда Противолежащие углы в треугольнике(по теореме Фалеса). Четырехугольник Противолежащие углы в треугольнике— параллелограмм.

    Противолежащие углы в треугольнике(по свойству параллелограмма), но Противолежащие углы в треугольнике

    Поэтому Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Пример №26

    Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, один из углов которого равен углу между диагоналями четырехугольника.

    Доказательство:

    Пусть Противолежащие углы в треугольнике— данный четырехугольник, а точки Противолежащие углы в треугольнике— середины его сторон (рис. 106). Противолежащие углы в треугольнике— средняя линия треугольника Противолежащие углы в треугольникепоэтому Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеАналогично Противолежащие углы в треугольнике

    Таким образом, Противолежащие углы в треугольникеТогда Противолежащие углы в треугольнике— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

    Противолежащие углы в треугольнике— средняя линия треугольника Противолежащие углы в треугольникеПоэтому Противолежащие углы в треугольникеСледовательно, Противолежащие углы в треугольнике— также параллелограмм, откуда: Противолежащие углы в треугольнике

    Рассмотрим свойство медиан треугольника.

    Теорема 2 (свойство медиан треугольника). Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Доказательство:

    Пусть Противолежащие углы в треугольнике— точка пересечения медиан Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникетреугольника Противолежащие углы в треугольнике(рис. 107).

    1) Построим четырехугольник Противолежащие углы в треугольникегде Противолежащие углы в треугольнике— середина Противолежащие углы в треугольнике— середина Противолежащие углы в треугольнике

    2) Противолежащие углы в треугольнике— средняя линия треугольника

    Противолежащие углы в треугольникепоэтому Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике

    3) Противолежащие углы в треугольнике— средняя линия треугольника Противолежащие углы в треугольникепоэтому Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике

    4) Следовательно, Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеЗначит, Противолежащие углы в треугольнике— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

    5) Противолежащие углы в треугольнике— точка пересечения диагоналей Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникепараллелограмма Противолежащие углы в треугольникепоэтому Противолежащие углы в треугольникеНо Противолежащие углы в треугольнике Противолежащие углы в треугольникеТогда Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеСледовательно, точка Противолежащие углы в треугольникеделит каждую из медиан Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникев отношении 2:1, считая от вершин Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникесоответственно.

    6) Точка пересечения медиан Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникедолжна также делить в отношении 2 : 1 каждую медиану. Поскольку существует единственная точка — точка Противолежащие углы в треугольникекоторая в таком отношении делит медиану Противолежащие углы в треугольникето медиана Противолежащие углы в треугольникетакже проходит через эту точку.

    7) Следовательно, три медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

    Точку пересечения медиан еще называют центром масс треугольника, или центроидом треугольника.

    Треугольник и его элементы

    Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки (рис. 267).

    Точки Противолежащие углы в треугольникевершины треугольника; отрезки Противолежащие углы в треугольнике Противолежащие углы в треугольникестороны треугольника; Противолежащие углы в треугольнике Противолежащие углы в треугольникеуглы треугольника.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон. Противолежащие углы в треугольнике

    Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

    На рисунке 268 Противолежащие углы в треугольнике— медиана треугольника Противолежащие углы в треугольнике

    Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

    На рисунке 269 Противолежащие углы в треугольнике— биссектриса треугольника Противолежащие углы в треугольнике

    Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на прямую, содержащую его противолежащую сторону.

    Противолежащие углы в треугольнике

    На рисунке 270 Противолежащие углы в треугольнике— высота Противолежащие углы в треугольникеСумма углов треугольника равна 180°.

    Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

    В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) против большего угла лежит большая сторона.

    Признаки равенства треугольников

    Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 271).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 272).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам ). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны (рис. 273).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Виды треугольников

    Треугольник называют равнобедренным, если две его стороны равны.

    На рисунке 274 Противолежащие углы в треугольнике— равнобедренный, Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике— его боковые стороны, Противолежащие углы в треугольникеоснование.

    Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

    Треугольник, все стороны которого равны, называют равносторонним.

    На рисунке 275 Противолежащие углы в треугольнике— равносторонний.

    Свойство углов равностороннего треугольника. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

    Признак равностороннего треугольника. Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний.

    Треугольник, все стороны которого имеют разную длину, называют разносторонним.

    Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

    На рисунке 276 биссектриса Противолежащие углы в треугольникепроведенная к основанию Противолежащие углы в треугольникеравнобедренного треугольника Противолежащие углы в треугольникеявляется его медианой и высотой.

    В зависимости от углов рассматривают следующие виды треугольников:

    • остроугольные (все углы которого — острые — рис. 277);
    • прямоугольные (один из углов которых — прямой, а два других — острые — рис. 278);
    • тупоугольные (один из углов которых — тупой, а два других — острые — рис. 279).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Внешний угол треугольника

    Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

    На рисунке 280 Противолежащие углы в треугольнике— внешний угол треугольника Противолежащие углы в треугольнике

    Свойство внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть Противолежащие углы в треугольнике

    Противолежащие углы в треугольнике

    Прямоугольные треугольники

    Если Противолежащие углы в треугольникето Противолежащие углы в треугольнике— прямоугольный (рис. 281). Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникекатеты прямоугольного треугольника; Противолежащие углы в треугольникегипотенуза прямоугольного треугольника.

    Свойства прямоугольных треугольников:

    1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
    2. Гипотенуза больше любого из катетов.
    3. Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
    4. Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.
    5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

    Признаки равенства прямоугольных треугольников:

    1. По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
    2. По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны.
    3. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
    4. По катету и противолежащему углу. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого, то такие треугольники равны.
    5. По катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны.

    Всё о треугольнике

    Как, не накладывая треугольники один на другой, узнать, что они равны? Какими особыми свойства ми обладают равнобедренный и равносторонний треугольники? Как «устроена» теорема?

    На эти и многие другие вопросы вы найдете ответы в данном параграфе.

    Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника

    Рассмотрим три точки Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике, не лежащие на одной прямой. Соединим их отрезками Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике. Полученная фигура ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 109 зеленым цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеназывают треугольником. Точки Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольникеназывают вершинами, а отрезки Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольникесторонами треугольника.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Треугольник называют и обозначают по его вершинам. Треугольник, изображенный на рисунке 109, обозначают так: Противолежащие углы в треугольнике, или Противолежащие углы в треугольнике, или Противолежащие углы в треугольникеи т. д. (читают: «треугольник Противолежащие углы в треугольнике, треугольник Противолежащие углы в треугольнике» и т. д.). Углы Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике(рис. 110) называют углами треугольника Противолежащие углы в треугольнике.

    В треугольнике Противолежащие углы в треугольнике, например, угол Противолежащие углы в треугольникеназывают углом, противолежащим стороне Противолежащие углы в треугольнике, углы Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике— углами, прилежащими к стороне Противолежащие углы в треугольнике, сторону Противолежащие углы в треугольникестороной, противолежащей углу Противолежащие углы в треугольнике, стороны Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникесторонами, прилежащими к углу Противолежащие углы в треугольнике(рис. 110).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Определение. Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.

    Например, для периметра треугольника Противолежащие углы в треугольникеиспользуют обозначение Противолежащие углы в треугольнике.

    Определение. Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой. Если все углы острые, то треугольник называют остроугольным (рис. 111).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Теорема7.1 (неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

    Доказательство: Рассмотрим Противолежащие углы в треугольнике(рис. 109). Точка Противолежащие углы в треугольникене принадлежит отрезку Противолежащие углы в треугольнике. Тогда в силу основного свойства длины отрезка Противолежащие углы в треугольнике. Аналогично доказывают остальные два неравенства: Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике.

    Из доказанной теоремы следует, что если ZK длина одного из трех данных отрезков не меньше суммы длин двух других, то эти отрезки не могут служить сторонами треугольника (рис. 112).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Если любой из трех данных отрезков меньше суммы двух других, то эти отрезки могут служить сторонами треугольника.

    Определение. Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением.

    Противолежащие углы в треугольнике

    На рисунке 113 изображены равные треугольники Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике. Записывают: Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике. Эти треугольники можно совместить так, что вершины Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникесовпадут. Тогда можно записать: Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике.

    Те стороны и те углы, которые совмещаются при наложении треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами. Так, на рисунке 113 углы Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, стороны Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике— соответственные.

    Обычно на рисунках равные стороны отмечают одинаковым количеством черточек, а равные углы — одинаковым количеством дуг. На рисунке ИЗ таким способом отмечены соответственные стороны и углы.

    Заметим, что в равных треугольниках против соответственных углов лежат соответственные стороны, и наоборот: против соответственных сторон лежат соответственные углы.

    То, что для каждого треугольника существует равный ему треугольник, обеспечивает такое основное свойство равенства треугольников. Для данного треугольника Противолежащие углы в треугольникеи луча Противолежащие углы в треугольникесуществует треугольник Противолежащие углы в треугольникеравный треугольнику Противолежащие углы в треугольнике, такой, что Противолежащие углы в треугольникеи сторона Противолежащие углы в треугольникепринадлежит лучу Противолежащие углы в треугольнике, а вершина Противолежащие углы в треугольникележит в заданной полуплоскости относительно прямой Противолежащие углы в треугольнике(рис. 114).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Теорема 7.2. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.

    Доказательство: Рассмотрим прямую Противолежащие углы в треугольникеи не принадлежащую ей точку Противолежащие углы в треугольнике(рис. 115). Предположим, что через точку Противолежащие углы в треугольникепроходят две прямые Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, перпендикулярные прямой Противолежащие углы в треугольнике.

    Противолежащие углы в треугольнике

    В силу основного свойства равенства треугольников существует треугольник Противолежащие углы в треугольнике, равный треугольнику Противолежащие углы в треугольнике(рис. 116). Тогда Противолежащие углы в треугольнике. Отсюда Противолежащие углы в треугольнике, а значит, точки Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике( лежат на одной прямой.

    Аналогично доказывают, что точки Противолежащие углы в треугольникетакже лежат на одной прямой. Но тогда прямые Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеимеют две точки пересечения: Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике. А это противоречит теореме 1.1. Следовательно, наше предположение неверно.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Возможно, вы заметили, что определения равных отрезков, равных углов и равных треугольников очень похожи. Поэтому целесообразно принять следующее

    Определение. Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.

    Противолежащие углы в треугольнике

    На рисунке 117 изображены равные фигуры Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике. Пишут: Противолежащие углы в треугольнике. Понятно, что любые две прямые (два луча, две точки).

    Определение. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону, называют высотой треугольника.

    Противолежащие углы в треугольнике

    На рисунке 118 отрезки Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике— высоты треугольника Противолежащие углы в треугольнике. Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называют медианой треугольника.

    Противолежащие углы в треугольнике

    На рисунке 119 отрезок Противолежащие углы в треугольнике— медиана треугольника Противолежащие углы в треугольнике.

    Определение. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называют биссектрисой треугольника.

    Противолежащие углы в треугольнике

    На рисунке 120 отрезок Противолежащие углы в треугольнике— биссектриса треугольника Противолежащие углы в треугольнике.

    Далее, говоря «биссектриса угла треугольника», будем иметь в виду биссектрису треугольника, проведенную из вершины этого угла. Ясно, что каждый треугольник имеет три высоты, три медианы и три биссектрисы.

    Часто длины сторон, противолежащих углам Противолежащие углы в треугольнике, обозначают соответственно Противолежащие углы в треугольнике. Длины высот обозначают Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике, медиан — Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике, биссектрис — Противолежащие углы в треугольнике. Индекс показывает, к какой стороне проведен отрезок (рис. 121).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Первый и второй признаки равенства треугольников

    Если для треугольников Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникевыполняются шесть условий Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике,Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольникето очевидно, что эти треугольники совпадут при наложении, значит, они равны. Попробуем уменьшить количество условий. Например, оставим лишь два равенства: Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике. Но тогда треугольники не обязательно окажутся равными (рис. 127).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Как же сократить список требований до минимума, но при этом сохранить равенство треугольников? На этот вопрос отвечают теоремы, которые называют признаками равенства треугольников.

    Теорема 8.1 (первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум, сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Доказательство: Рассмотрим треугольники Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеу которых Противолежащие углы в треугольнике(рис. 128). Докажем, что Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике

    Наложим Противолежащие углы в треугольникена Противолежащие углы в треугольникетак, чтобы луч Противолежащие углы в треугольникесовместился с лучом Противолежащие углы в треугольнике, а луч Противолежащие углы в треугольникесовместился с лучом Противолежащие углы в треугольнике. Это можно сделать, так как по условию Противолежащие углы в треугольникеПоскольку по условию Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, то при таком наложении сторона Противолежащие углы в треугольникесовместится со стороной Противолежащие углы в треугольнике, а сторона Противолежащие углы в треугольнике— со стороной Противолежащие углы в треугольнике. Следовательно, Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеполностью совместятся, значит, они равны.

    Определение. Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка.

    Противолежащие углы в треугольнике

    На рисунке 129 прямая а является серединным перпендикуляром отрезка Противолежащие углы в треугольнике.

    Теорема 8.2. Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Доказательство: Пусть Противолежащие углы в треугольнике— произвольная точка серединного перпендикуляра Противолежащие углы в треугольникеотрезка Противолежащие углы в треугольнике, точка Противолежащие углы в треугольнике— середина отрезка Противолежащие углы в треугольнике. Надо доказать, что Противолежащие углы в треугольнике. Если точка Противолежащие углы в треугольникесовпадает с точкой Противолежащие углы в треугольнике(а это возможно, так как Противолежащие углы в треугольнике— произвольная точка прямой а), то Противолежащие углы в треугольнике. Если точки Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникене совпадают, то рассмотрим треугольники Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике(рис. 130).

    В этих треугольниках Противолежащие углы в треугольнике, так как Противолежащие углы в треугольнике— середина отрезка Противолежащие углы в треугольнике. Сторона Противолежащие углы в треугольнике— общая, Противолежащие углы в треугольнике. Следовательно, Противолежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Значит, отрезки Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеравны как соответственные стороны равных треугольников.

    Теорема 8.3 (второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Доказательство: Рассмотрим треугольники Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, у которых Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике, (рис. 131). Докажем, что Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике.

    Наложим Противолежащие углы в треугольникена Противолежащие углы в треугольникетак, чтобы точка Противолежащие углы в треугольникесовместилась с точкой Противолежащие углы в треугольнике, отрезок Противолежащие углы в треугольнике— с отрезком Противолежащие углы в треугольнике(это возможно, так как Противолежащие углы в треугольнике) и точки Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникележали в одной полуплоскости относительно прямой Противолежащие углы в треугольнике. Поскольку Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникето луч Противолежащие углы в треугольникесовместится с лучом Противолежащие углы в треугольнике, а луч Противолежащие углы в треугольнике— с лучом Противолежащие углы в треугольнике. Тогда точка Противолежащие углы в треугольнике— общая точка лучей Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике— совместится с точкой Противолежащие углы в треугольнике— общей точкой лучей Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике. Значит, Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, полностью совместятся, следовательно, они равны.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Пример №27

    На рисунке 132 точка Противолежащие углы в треугольнике— середина отрезка Противолежащие углы в треугольнике. Докажите, что Противолежащие углы в треугольнике.

    Решение:

    Рассмотрим Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике. Противолежащие углы в треугольнике, так как точка Противолежащие углы в треугольнике— середина отрезка Противолежащие углы в треугольнике. Противолежащие углы в треугольникепо условию. Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеравны как вертикальные. Следовательно, Противолежащие углы в треугольникепо / стороне и двум прилежащим углам. Рассмотрим Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике. Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике, так как Противолежащие углы в треугольнике. Противолежащие углы в треугольнике— общая сторона. Следовательно, Противолежащие углы в треугольникепо двум сторонам и углу между ними. Тогда Противолежащие углы в треугольнике.

    Равнобедренный треугольник и его свойства

    Определение. Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.

    Противолежащие углы в треугольнике

    На рисунке 155 изображен равнобедренный треугольник Противолежащие углы в треугольнике, у которого Противолежащие углы в треугольнике.

    Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.

    Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон (точка Противолежащие углы в треугольникена рисунке 155). При этом угол Противолежащие углы в треугольникеназывают углом при вершине, а углы Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеуглами при основании равнобедренного треугольника.

    Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

    Противолежащие углы в треугольнике

    На рисунке 156 изображен равносторонний треугольник Противолежащие углы в треугольнике. Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного треугольника.

    Теорема 9.1. В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) биссектриса угла при вершине является медианой и высотой.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Доказательство: Рассмотрим равнобедренный треугольник Противолежащие углы в треугольнике, у которого Противолежащие углы в треугольнике, отрезок Противолежащие углы в треугольнике— его биссектриса (рис. 157). Требуется доказать, что Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике.

    В треугольниках Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникесторона Противолежащие углы в треугольнике— общая, Противолежащие углы в треугольнике, так как по условию Противолежащие углы в треугольнике— биссектриса угла Противолежащие углы в треугольнике, стороны Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеравны как боковые стороны равнобедренного треугольника. Следовательно, Противолежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников.

    Отсюда можно сделать такие выводы:

    1. Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеравны как соответственные углы в равных треугольниках;
    2. отрезки Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеравны как соответственные стороны равных треугольников, следовательно, Противолежащие углы в треугольнике— медиана;
    3. Противолежащие углы в треугольнике. Но Противолежащие углы в треугольнике. Отсюда следует, что Противолежащие углы в треугольнике, значит, Противолежащие углы в треугольнике— высота.

    Из этой теоремы следует, что:

    1. в треугольнике против равных сторон лежат равные углы;
    2. в равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из его вершины, совпадают;
    3. в равностороннем треугольнике все углы равны;
    4. в равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

    Определение. Если в треугольнике все стороны имеют разную длину, то такой треугольник называют разносторонним.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Пример №28

    Отрезок Противолежащие углы в треугольнике— медиана равнобедренного треугольника Противолежащие углы в треугольнике, проведенная к основанию. На сторонах Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеотмечены соответственно точки Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникетак, что Противолежащие углы в треугольнике. Докажите равенство треугольников Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике.

    Решение:

    Имеем:Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике(рис. 158). Так как Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, то Противолежащие углы в треугольнике. Противолежащие углы в треугольнике, поскольку медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой. Противолежащие углы в треугольнике— общая сторона треугольников Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике. Следовательно, Противолежащие углы в треугольникепо двум сторонам и углу между ними.

    Признаки равнобедренного треугольника

    В предыдущем пункте мы рассмотрели свойства равнобедренного треугольника. А как среди треугольников «распознавать» равнобедренные? На этот вопрос дают ответ следующие теоремы.

    Теорема 10.1. Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Доказательство: Рассмотрим треугольник Противолежащие углы в треугольнике, у которого отрезок Противолежащие углы в треугольнике— медиана и высота. Надо доказать, что Противолежащие углы в треугольнике(рис. 168). Из условия теоремы следует, что прямая Противолежащие углы в треугольнике— серединный перпендикуляр отрезка Противолежащие углы в треугольнике.

    Тогда по свойству серединного перпендикуляра Противолежащие углы в треугольнике.

    Теорема 10.2. Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Доказательство: Рассмотрим треугольник Противолежащие углы в треугольнике, у которого отрезок Противолежащие углы в треугольнике— биссектриса и высота. Надо доказать, что Противолежащие углы в треугольнике(рис. 169). В треугольниках Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникесторона Противолежащие углы в треугольнике— общая, Противолежащие углы в треугольнике, так как по условию Противолежащие углы в треугольнике— биссектриса угла Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике, так как по условию Противолежащие углы в треугольнике— высота. Следовательно, Противолежащие углы в треугольнике Противолежащие углы в треугольникепо второму признаку равенства треугольников. Тогда стороны Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеравны как соответственные стороны равных треугольников.

    Теорема 10.3. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

    Доказательство: Рассмотрим треугольник Противолежащие углы в треугольнике, у которогоПротиволежащие углы в треугольнике. Надо доказать, что Противолежащие углы в треугольнике.

    Проведем серединный перпендикуляр Противолежащие углы в треугольникестороны Противолежащие углы в треугольнике. Докажем, что прямая Противолежащие углы в треугольникепроходит через вершину Противолежащие углы в треугольнике.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Предположим, что это не так. Тогда прямая Противолежащие углы в треугольникепересекает или сторону Противолежащие углы в треугольнике(рис. 170), или сторону Противолежащие углы в треугольнике(рис. 171).

    Рассмотрим первый из этих случаев. Пусть Противолежащие углы в треугольнике— точка пересечения прямой Противолежащие углы в треугольникесо стороной Противолежащие углы в треугольнике. Тогда по свойству серединного перпендикуляра (теорема 8.2) Противолежащие углы в треугольнике. Следовательно, Противолежащие углы в треугольнике— равнобедренный, а значит Противолежащие углы в треугольнике. Но по условиюПротиволежащие углы в треугольнике. Тогда имеем: Противолежащие углы в треугольнике, что противоречит основному свойству величины угла (п. 3).

    Аналогично получаем противоречие и для второго случая (рис. 171).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Следовательно, наше предположение неверно. Прямая Противолежащие углы в треугольникепроходит через точку Противолежащие углы в треугольнике(рис. 172), и по свойству серединного перпендикуляра Противолежащие углы в треугольнике.

    Из этой теоремы следует, что в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

    Теорема 10.4. Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Доказательство: Рассмотрим треугольник Противолежащие углы в треугольнике, у которого отрезок Противолежащие углы в треугольнике— медиана и биссектриса (рис. 173). Надо доказать, что Противолежащие углы в треугольнике. На луче Противолежащие углы в треугольникеотложим отрезок Противолежащие углы в треугольнике, равный отрезку Противолежащие углы в треугольнике(рис. 173). В треугольниках Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, так как по условию Противолежащие углы в треугольнике— медиана, Противолежащие углы в треугольникепо построению, Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеравны как вертикальные. Следовательно, Противолежащие углы в треугольнике Противолежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Тогда стороны Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеравны как соответственные элементы равных треугольников. Поскольку Противолежащие углы в треугольнике— биссектриса угла Противолежащие углы в треугольнике, то Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике. С учетом доказанного получаем, что Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике. Тогда по теореме 10.3 Противолежащие углы в треугольнике— равнобедренный, откуда Противолежащие углы в треугольнике. Но уже доказано, что Противолежащие углы в треугольнике. Следовательно, Противолежащие углы в треугольнике.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Пример №29

    В треугольнике Противолежащие углы в треугольникепроведена биссектриса Противолежащие углы в треугольнике(рис. 174), Противолежащие углы в треугольнике,Противолежащие углы в треугольнике. Докажите, что Противолежащие углы в треугольнике.

    Решение:

    Так как Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике— смежные, то Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике. Следовательно, в треугольнике Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике.

    Тогда Противолежащие углы в треугольнике— равнобедренный с основанием Противолежащие углы в треугольнике, и его биссектриса Противолежащие углы в треугольнике( Противолежащие углы в треугольнике— точка пересечения Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике) является также высотой, т. е. Противолежащие углы в треугольнике.

    Третий признак равенства треугольников

    Теорема 11.1 (третий признак равенства треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Доказательство: Рассмотрим треугольники Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике(рис. 177), у которых Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике Противолежащие углы в треугольнике(эти равенства указывают, какие стороны треугольников соответствуют друг другу). Докажем, что Противолежащие углы в треугольникеПротиволежащие углы в треугольнике.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Расположим треугольники Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, так, чтобы вершина Противолежащие углы в треугольникесовместилась с вершиной Противолежащие углы в треугольникевершина Противолежащие углы в треугольнике— с Противолежащие углы в треугольникеа вершины Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникележали в разных полуплоскостях относительно прямой Противолежащие углы в треугольнике(рис. 178). Проведем отрезок Противолежащие углы в треугольнике. Поскольку Противолежащие углы в треугольнике, то треугольник Противолежащие углы в треугольнике— равнобедренный, значит, Противолежащие углы в треугольнике. Аналогично можно доказать, что Противолежащие углы в треугольнике. Следовательно, Противолежащие углы в треугольнике. Тогда Противолежащие углы в треугольнике Противолежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников.

    Казалось бы, доказательство завершено. Однако мы рассмотрели лишь случай, когда отрезок Противолежащие углы в треугольникепересекает отрезок Противолежащие углы в треугольникево внутренней точке. На самом деле отрезок Противолежащие углы в треугольникеможет проходить через один из концов отрезка Противолежащие углы в треугольнике, например, через точку Противолежащие углы в треугольнике(рис. 179), или не иметь общих точек с отрезком Противолежащие углы в треугольнике(рис. 180). В обоих этих случаях доказательства будут аналогичными приведенному. Проведите их самостоятельно.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольникжесткая фигура. Действительно, если четыре рейки скрепить так, как показано на рисунке 181, а, то такая конструкция не будет жесткой (рис. 181, б, в).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Если же добавить еще одну рейку, создав два треугольника (рис. 181, г), то полученная конструкция станет жесткой.

    Этот факт широко используют в практике (рис. 182).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Теорема 11.2. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Доказательство: Пусть точка Противолежащие углы в треугольникеравноудалена от концов отрезка Противолежащие углы в треугольнике, т. е. Противолежащие углы в треугольнике(рис. 183). Рассмотрим треугольники Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, где Противолежащие углы в треугольнике— середина отрезка Противолежащие углы в треугольнике. Тогда Противолежащие углы в треугольникепо третьему признаку равенства треугольников. Отсюда Противолежащие углы в треугольнике. Но сумма этих углов равна 180°, следовательно, каждый из них равен 90°. Значит, прямая Противолежащие углы в треугольнике— серединный перпендикуляр отрезка Противолежащие углы в треугольнике.

    Заметим, что мы рассмотрели случай, когда точка Противолежащие углы в треугольникене принадлежит прямой Противолежащие углы в треугольнике. Если точка Противолежащие углы в треугольникепринадлежит прямой Противолежащие углы в треугольнике, то она совпадает с серединой отрезка Противолежащие углы в треугольнике, а значит, принадлежит его серединному перпендикуляру.

    Теоремы

    Вы видите, что в учебнике появляется все больше и больше теорем. И это не удивительно: ведь геометрия в основном состоит из теорем и их доказательств. Формулировки всех теорем, которые мы доказали, состоят из двух частей. Первую часть теоремы (то, что дано) называют условием теоремы, вторую часть теоремы (то, что требуется доказать) — заключением.

    Например, в теореме 8.1 (первый признак равенства треугольников) условием является то, что две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, а заключением — равенство треугольников.

    Все знакомые вам теоремы можно условно разделить на теоремы-свойства и теоремы-признаки. Например, теорема 1.1 устанавливает свойство пересекающихся прямых, теорема 9.1 — свойство равнобедренного треугольника.

    Теоремы-признаки перечисляют свойства, по которым можно распознать фигуру, т. е. отнести ее к тому или иному виду (классу). Так, теоремы-признаки равенства треугольников указывают требования, по которым два треугольника можно причислить к классу равных. Например, в теоремах 10.1-10.4 сформулированы свойства, по которым «распознают» равнобедренный треугольник. Теоремы, которые следуют непосредственно из аксиом или теорем, называют теоремами-следствиями или просто следствиями.

    Например, теорема 7.1 (неравенство треугольника) является следствием из основного свойства длины отрезка. Свойство углов, противолежащих равным сторонам треугольника, является следствием из теоремы 9.1.

    Если в теореме 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра поменять местами условие и заключение, то получим теорему 11.2. В таких случаях теоремы называют взаимно обратными. Если какую-то из этих теорем назвать прямой, то вторую теорему будем называть обратной.

    При формулировке обратной теоремы надо быть очень внимательными: не всегда можно получить истинное утверждение. Например, утверждение, обратное теореме 4.1 о сумме смежных углов, неверно. Действительно, если сумма каких-то двух углов равна 180°, то совершенно не обязательно, чтобы эти углы были смежными. В таких случаях говорят, что обратная теорема неверна. Вы знаете, что справедливость теоремы устанавливают путем логических рассуждений, т. е. доказательства.

    Первая теорема этого учебника была доказана методом от противного. Название этого метода фактически отражает его суть. Мы предположили, что заключение теоремы 1.1 неверно. На основании этого предположения с помощью логических рассуждений был получен факт, который противоречил основному свойству прямой.

    Методом от противного также были доказаны и другие теоремы, например теоремы 2.1, 5.1, 10.3.

    Очень важно, чтобы доказательство теоремы было полным. Так, полное доказательство теоремы 11.1 (третий признак равенства треугольников) потребовало рассмотрения всех трех возможных случаев. Умение видеть все тонкости доказательства — важнейшее качество, формирующее математическую культуру. Если бы, например, при доказательстве теоремы 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра мы не рассмотрели отдельно случай, когда точка Противолежащие углы в треугольникеявляется серединой отрезка Противолежащие углы в треугольнике, то обращение к треугольникам Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникебыло бы не совсем «законным». При доказательстве теоремы 10.4 (признак равнобедренного треугольника) мы использовали прием дополнительного построения: чертеж дополнили элементами, о которых не шла речь в условии теоремы. Этот метод является ключом к решению многих задач и доказательству ряда теорем. Поэтому очень важно научиться видеть «выгодное» (результативное) дополнительное построение.

    А как приобрести такое «геометрическое зрение»? Вопрос непростой, и на него сложно ответить конкретными рекомендациями. Но все же мы советуем, во-первых, не быть равнодушными к геометрии, а полюбить этот красивый предмет, во-вторых, решать больше задач, чтобы развить интуицию и приобрести нужный опыт. Дерзайте!

    Параллельные прямые. Сумма углов треугольника

    Как установить параллельность двух прямых? Какими свойствами обладают параллельные прямые? Чему равна сумма углов любого треугольника? Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник? Изучив материал этого параграфа, вы получите ответы на поставленные вопросы.

    Параллельные прямые

    Определение. Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.

    Противолежащие углы в треугольнике

    На рисунке 192 изображены параллельные прямые Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике. Пишут: Противолежащие углы в треугольнике(читают: «прямые Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникепараллельны» или «прямая а параллельна прямой Противолежащие углы в треугольнике»). Если два отрезка лежат на параллельных прямых, то их также называют параллельными.

    Противолежащие углы в треугольнике

    На рисунке 193 отрезки Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникепараллельны. Пишут: Противолежащие углы в треугольнике.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Также можно говорить о параллельности двух лучей, луча и отрезка, прямой и луча, отрезка и прямой. Например, на рисунке 194 изображены параллельные лучи.

    Теорема 13.1 (признак параллельности прямых). Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Доказательство: На рисунке 195 Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике. Надо доказать, чтоПротиволежащие углы в треугольнике.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Предположим, что прямые Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникепересекаются в некоторой точке Противолежащие углы в треугольнике(рис. 196). Тогда через точку Противолежащие углы в треугольнике, не принадлежащую прямой Противолежащие углы в треугольнике, проходят две прямые Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, перпендикулярные прямой Противолежащие углы в треугольнике. Это противоречит теореме 7.2. Следовательно, Противолежащие углы в треугольнике.

    Доказанная теорема позволяет с помощью линейки и угольника строить параллельные прямые (рис. 197).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Следствие. Через данную точку Противолежащие углы в треугольнике, не принадлежащую прямой Противолежащие углы в треугольнике, можно провести прямую Противолежащие углы в треугольнике, параллельную прямой Противолежащие углы в треугольнике.

    Доказательство: Пусть точка Противолежащие углы в треугольнике не принадлежит прямой Противолежащие углы в треугольнике (рис. 198).

    Противолежащие углы в треугольнике

    Проведем (например, с помощью угольника) через точку Противолежащие углы в треугольнике прямую Противолежащие углы в треугольнике, перпендикулярную прямой Противолежащие углы в треугольнике. Теперь через точку Противолежащие углы в треугольнике проведем прямую Противолежащие углы в треугольнике, перпендикулярную прямой Противолежащие углы в треугольнике. В силу теоремы 13.1 Противолежащие углы в треугольнике.

    Можно ли через точку Противолежащие углы в треугольнике(рис. 198) провести еще одну прямую, параллельную прямой Противолежащие углы в треугольнике? Ответ дает следующее

    Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

    Теорема 13.2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

    Доказательство: Пусть Противолежащие углы в треугольникеиПротиволежащие углы в треугольнике. Докажем, что Противолежащие углы в треугольнике.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Предположим, что прямые Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникене параллельны, а пересекаются в некоторой точке Противолежащие углы в треугольнике(рис. 199). Получается, что через точку Противолежащие углы в треугольникепроходят две прямые, параллельные прямой Противолежащие углы в треугольнике, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, Противолежащие углы в треугольнике.

    Пример №30

    Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Решение:

    Пусть прямые Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникепараллельны, прямая Противолежащие углы в треугольникепересекает прямую Противолежащие углы в треугольникев точке Противолежащие углы в треугольнике(рис. 200). Предположим, что прямая Противолежащие углы в треугольникене пересекает прямую Противолежащие углы в треугольнике, тогда Противолежащие углы в треугольнике. Но в этом случае через точку Противолежащие углы в треугольникепроходят две прямые Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, параллельные прямой Противолежащие углы в треугольнике, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, прямая Противолежащие углы в треугольникепересекает прямую Противолежащие углы в треугольнике.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Признаки параллельности двух прямых

    Если две прямые Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникепересечь третьей прямой Противолежащие углы в треугольнике, то образуется восемь углов (рис. 204). Прямую с называют секущей прямых Противолежащие углы в треугольникеа и Противолежащие углы в треугольнике.

    Противолежащие углы в треугольнике

    • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
    • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
    • Углы 6и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4 и 8 называют соответственными.

    Теорема 14.1. Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Доказательство: На рисунке 205 прямая Противолежащие углы в треугольникеявляется секущей прямых Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике. Докажем, что Противолежащие углы в треугольнике.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Если Противолежащие углы в треугольнике(рис. 206), то параллельность прямых Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеследует из теоремы 13.1.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Пусть теперь прямая Противолежащие углы в треугольникене перпендикулярна ни прямой Противолежащие углы в треугольнике, ни прямой Противолежащие углы в треугольнике. Отметим точку Противолежащие углы в треугольнике— середину отрезка Противолежащие углы в треугольнике(рис. 207). Через точку Противолежащие углы в треугольникепроведем перпендикуляр Противолежащие углы в треугольникек прямой Противолежащие углы в треугольнике. Пусть прямая Противолежащие углы в треугольникепересекает прямую Противолежащие углы в треугольникев точке Противолежащие углы в треугольнике. Имеем: Противолежащие углы в треугольникепо условию; Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеравны как вертикальные.

    Следовательно, Противолежащие углы в треугольникепо второму признаку равенства треугольников. Отсюда Противолежащие углы в треугольнике. Мы показали, что прямые Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольникеперпендикулярны прямой Противолежащие углы в треугольнике, значит, они параллельны.

    Теорема 14.2. Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Доказательство: На рисунке 208 прямая Противолежащие углы в треугольникеявляется секущей прямых Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике. Докажем, что Противолежащие углы в треугольнике.

    Углы 1 и 3 смежные, следовательно, Противолежащие углы в треугольнике. Тогда Противолежащие углы в треугольнике. Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 Противолежащие углы в треугольнике.

    Теорема 14.3. Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

    Противолежащие углы в треугольнике

    Доказательство: На рисунке 209 прямая Противолежащие углы в треугольникеявляется секущей прямых Противолежащие углы в треугольникеи Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике. Докажем, что Противолежащие углы в треугольнике.

    Углы 1 и 3 равны как вертикальные. Следовательно, Противолежащие углы в треугольнике. Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 Противолежащие углы в треугольнике. ▲

    Противолежащие углы в треугольнике

    Пример №31

    На рисунке 210 Противолежащие углы в треугольнике, Противолежащие углы в треугольнике. Докажите, что Противолежащие углы в треугольнике