Прилежащие углы в треугольнике

Содержание
  1. Математика
  2. Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением
  3. Что такое треугольник
  4. Определение треугольника
  5. Сумма углов треугольника
  6. Пример №1
  7. Пример №2
  8. О равенстве геометрических фигур
  9. Пример №3
  10. Пример №4
  11. Признаки равенства треугольников
  12. Пример №5
  13. Пример №6
  14. Равнобедренный треугольник
  15. Пример №7
  16. Пример №10
  17. Прямоугольный треугольник
  18. Первый признак равенства треугольников и его применение
  19. Пример №14
  20. Опровержение утверждений. Контрпример
  21. Перпендикуляр к прямой
  22. Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой
  23. Пример №15
  24. Второй признак равенства треугольников и его применение
  25. Решение геометрических задач «от конца к началу»
  26. Пример №16
  27. Пример №17
  28. Признак равнобедренного треугольника
  29. Пример №18
  30. Прямая и обратная теоремы
  31. Медиана, биссектриса и высота треугольника
  32. Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника
  33. Пример №19
  34. Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .
  35. Пример №20
  36. Третий признак равенства треугольников и его применение
  37. Пример №21
  38. Свойства и признаки
  39. Признаки параллельности прямых
  40. Пример №22
  41. О существовании прямой, параллельной данной
  42. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.
  43. Пример №23
  44. Расстояние между параллельными прямыми
  45. Сумма углов треугольника
  46. Пример №24
  47. Виды треугольников по величине углов. Классификация
  48. Внешний угол треугольника
  49. Прямоугольные треугольники
  50. Прямоугольный треугольник с углом 30°
  51. Сравнение сторон и углов треугольника
  52. Неравенство треугольника
  53. Пример №25
  54. Справочный материал по треугольнику
  55. Треугольники
  56. Средняя линия треугольника и ее свойства
  57. Пример №26
  58. Треугольник и его элементы
  59. Признаки равенства треугольников
  60. Виды треугольников
  61. Внешний угол треугольника
  62. Прямоугольные треугольники
  63. Всё о треугольнике
  64. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника
  65. Первый и второй признаки равенства треугольников
  66. Пример №27
  67. Равнобедренный треугольник и его свойства
  68. Пример №28
  69. Признаки равнобедренного треугольника
  70. Пример №29
  71. Третий признак равенства треугольников
  72. Теоремы
  73. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника
  74. Параллельные прямые
  75. Пример №30
  76. Признаки параллельности двух прямых
  77. Пример №31
  78. Пятый постулат Евклида
  79. Пример №34
  80. Прямоугольный треугольник
  81. Пример №35
  82. Свойства прямоугольного треугольника
  83. Пример №36
  84. Пример №37
  85. Треугольники
  86. Определение
  87. Виды углов в треугольнике:
  88. Виды треугольников:
  89. Признаки равенства треугольников
  90. 🌟 Видео

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Математика

Две прямые линии BA и BC (черт. 13), пересекающиеся в одной и той же точке B, образуют при точке B угол.

Прилежащие углы в треугольнике

Определение угла. Углом называется неопределенная часть плоскости, ограниченная двумя пересекающимися прямыми линиями. Угол есть величина, определяющая наклонение одной прямой линии к другой.

Стороны угла. Пересекающиеся линии называются сторонами угла.

Вершина угла. Точка пересечения двух прямых называется вершиной угла. Величина угла не зависит от длины сторон, поэтому стороны угла можно неопределенно продолжать.

Название угла. a) Углы называют буквой, стоящей при вершине; так угол на черт. 13 называют углом B. b) Если при вершине несколько углов, то углы называют тремя буквами, стоящими при вершине и двух его сторонах. При этом буква при вершине произносится и пишется в середине.

На черт. 13 угол B называют угол ABC. Линии BA и BC — две стороны, а точка B — вершина угла.

Таким образом угол ABC есть угол B или

угол ABC = углу B.

Знак угла. Слово угол заменяют иногда знаком .

Таким образом предыдущее равенство изображают письменно:

В том случае, когда из точки выходит несколько линий, при точке B имеется несколько углов.

На черт. 14 из точки B выходят прямые линии BA, BC, BD и при вершине B имеются углы ABC, CBD, ABD.

Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы. Два угла называются прилежащими, когда они имеют общею вершину, по одной общей стороне, а две другие лежат по обе стороны общей стороны.

Углы ABC и CBD (черт. 14) суть прилежащие углы. Они имеют общую вершину B, общую сторону BC, а две другие стороны BA и BD лежат одна сверху, а другая снизу общей стороны BC.

Углы изменяют свою величину, если изменяется наклонение одной стороны к другой. Из двух углов, имеющих общую вершину, тот угол, внутри которого помещается другой угол, называется большим углом. На чертеже 14

уг. ABD > уг. ABC и уг. CBD уг. DEF.

c) Если же линия ED упадет вне угла ABC по направлению BH, угол ABC меньше угла DEF

уг. ABC Наклонная линия . Всякая линия неперпендикулярная к другой называется линией наклонною к ней.

На чертеже 20 линия CE будет наклона к линии AB, а линия CD перпендикулярна к линии AB.

Прилежащие углы в треугольнике

Угол ECB меньше прямого, а угол ACE больше прямого. Угол ECB называется острым, а угол ACE тупым.

Острый угол есть всякий угол меньше прямого, а тупой угол есть угол больший прямого.

Одноименные и разноименные углы. Два острых или два тупых угла называются одноименными, а два угла, из которых один острый, а другой тупой, называются разноименными.

Наклонная линия CE образует (черт. 20) с прямою AB два смежных угла, из которых один меньше, а другой больше прямого, т. е. один острый, а другой тупой.

Теорема 3. Из точки, взятой на прямой линии, можно восставить к ней только один перпендикуляр.

Дана прямая AB и на ней точка C (черт. 20).

Требуется доказать, что можно к ней восставить только один перпендикуляр.

Доказательство. Положим, что можно из точки C к линии AB восставить два перпендикуляра (черт. 20) CD и CE. По свойству перпендикуляра

уг. DCB = уг. ACD (a)
уг. BCE = уг. ACE.

Если приложить к первой части последнего неравенства угол ECD, получим неравенство

уг. BCE + уг. ECD > уг. ACE, или уг. BCD > уг. ACE.

Заменяя в этом неравенстве уг. BCD равным ему углом ACD (a), получим

неравенство очевидно нелепое, ибо часть не может быть более своего целого, следовательно предположение, что можно восставить два перпендикуляра, ведет к нелепости, поэтому оно ложно. Ложность предположения основана на том соображении, что из верного положения нельзя вывести неверного заключения, следовательно, наша теорема верна.

Способ доказывать справедливость данной теоремы указанием на невозможность и нелепость всякого другого предположения называется способом доказательства от противного или способом приведения к нелепости.

Теорема 4. Все прямые углы равны.

Предположим, мы имеем две пары прямых углов: одну пару составляют углы ACD и DCB, а другую углы EGH и HGF, следовательно, CD ⊥ AB и HG ⊥ EF (черт. 21).

Прилежащие углы в треугольнике

Требуется доказать, что прямые углы равны.

Доказательство. Наложим линию EF на линию AB точкой G на точку C, тогда линия GH пойдет по линии CD, ибо из точки C можно восставить только один перпендикуляр, следовательно, прямой угол DCB = прямому углу HGF.

Заключение. Прямой угол есть величина постоянная.

Мера углов. При измерении углов прямой угол, как величину постоянную, принимают за единицу сравнения. Величину его обозначают буквою d.

В таком случае
всякий острый угол d.

Все углы выражаются при помощи прямого. Так, например, говорят: данный угол равен ½ d, 2/3 d и т. д.

Теорема 5. Сумма двух смежных углов равна двум прямым.

Даны смежные углы ACD и DCB (черт. 22).

Прилежащие углы в треугольнике

Требуется доказать, что ACD + DCB = 2d.

Доказательство. Из точки C восставим перпендикуляр CE, тогда

ACD = ACE + ECD = d + ECD
DCB = ECB — ECD = d — ECD

Сложив эти равенства, имеем:

ACD + DCB = ACE + ECB = 2d (что и требовалось доказать).

Два смежных угла пополняют один другой до двух прямых и потому называются углами дополнительными.

Из теоремы 5 вытекает следствие. Одна пара смежных углов равна другой паре смежных углов.

Теорема 6 (обратная теореме 5). Если сумма двух прилежащих углов равна двум прямым, то две другие стороны лежат на одной прямой.

Пусть сумма двух прилежащих углов ACD и DCB равна двум прямым (черт. 23).

Прилежащие углы в треугольнике

Требуется доказать, что ACB прямая линия.

Доказательство. Допустим, что ACB есть ломаная линия и что продолжение линии AC будет линия CE, тогда

Две величины равные одной и той же третьей равны (аксиома 3), следовательно

ACD + DCB = ACD + DCE

откуда выходит при сокращении

заключение нелепое (часть равна целому, см. акс. 1), следовательно линия ACB есть прямая линия (что и требовалось доказать).

Теорема 7. Сумма углов, имеющих вершину в одной точке и расположенных по одну сторону прямой линии, равна двум прямым.

Даны углы ACD, DCE, ECF, FCG, GCB, имеющие общую вершину в точке C и расположенные по одну сторону прямой AB (черт. 24).

Прилежащие углы в треугольнике

Требуется доказать, что

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d.

Доказательство. МЫ знаем, что сумма двух смежных углов ACF и FCB равна двум прямым (т. 5).

Так как ACF = ACD + DCE + ECF и FCB = FCG + GCB, то заменяя углы ACF и FCB их величинами, находим:

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d (что и требовалось доказать).

Теорема 8. Сумма всех углов, расположенных вокруг одной точки, равна четырем прямым.

Даны углы AOB, BOC, COD, DOE, EOA, имеющие общую вершину O и расположенные вокруг точки O (черт. 25).

Прилежащие углы в треугольнике

Требуется доказать, что

AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 4d.

Доказательство. Продолжим сторону EO по направлению OG (чер. 25), тогда

GOB + BOC + COD + DOE = 2d.

Сложив эти равенства, имеем:

EOA + AOG + GOB + BOC + COD + DOE = 4d.

Так как AOG + GOB = AOB, то

EOA + AOB + BOC + COD + DOE = 4d (ЧТД).

Угол ACB с углом DCE и угол BCD с углом ACE называются вертикальными (чер. 26).

Прилежащие углы в треугольнике

Вертикальные углы. Вертикальными называются такие углы, у которых стороны одного составлены из продолжения сторон другого угла.

Теорема 9. Вертикальные углы равны между собой.

Даны вертикальные углы (чер. 26) ACB и DCE, точно также BCD и ACE.

Требуется доказать, что ACB = DCE и BCD = ACE.

Доказательство. На основании теоремы 5 имеют место равенства:

ACB + BCD = 2d (как сумма двух смежных углов)
BCD + DCE = 2d

ACB + BCD = BCD + DCE

откуда, отняв по равному углу BCD, находим

Подобным же образом доказывают, что

Равносекущая (биссектриса) есть линия, делящая угол пополам.

На чертеже 27 BD есть биссектриса, если ∠ABD = ∠DBC.

Прилежащие углы в треугольнике

Теорема 10. Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны.

Даны смежные углы ACB и BCD (чер. 28). Их биссектрисы линии CF и CE делят смежные углы BCD и BCA пополам, следовательно BCF = FCD, ACE = ECB.

Прилежащие углы в треугольнике

Требуется доказать, что EC ⊥ CF.

Доказательство. По условию

ECB = ½ ACB, BCF = ½ BCD

Сложив эти равенства, имеем:

ECB + BCF = ½ ACB + ½ BCD = ½ (ACB + BCD).

Так как ACB + BCD = 2d, то

ECB + BCF = ½ · 2d = d.

Так как ECB + BCF = ECF, то

Угол ECF прямой, т. е. линии CE и CF взаимно перпендикулярны (ЧТД).

Видео:№88. Начертите треугольник DEF так, чтобы угол Е был прямым. Назовите: а) стороны,Скачать

№88. Начертите треугольник DEF так, чтобы угол Е был прямым. Назовите: а) стороны,

Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением

Содержание:

Треугольники и его элементы:

Определение: Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин треугольника), не лежащих на одной прямой, и трех отрезков (сторон треугольника), попарно соединяющих эти точки.

Треугольник обозначается знаком Прилежащие углы в треугольнике

На рисунке 54 изображен треугольник с вершинами А, B, С и сторонами АВ, ВС, АС. Этот треугольник можно обозначить так: Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольнике

Определение: Углом треугольника ABC при вершине А называется угол ВАС.

Угол треугольника обозначают тремя буквами (например, «угол ABC») или одной буквой, которая указывает его вершину (например, «угол А треугольника ABC »).

Если вершина данного угла треугольника не принадлежит стороне, то говорят, что данный угол противолежащий этой стороне. В противном случае угол является прилежащим к стороне. Так, в треугольнике ABC угол А — прилежащий к сторонам АВ и АС и противолежащий стороне ВС. Стороны и углы треугольника часто называют его элементами

Определение: Периметром треугольника называется сумма всех его сторон.

Периметр — от греческого «пери» — вокруг и «метрео» — измеряю, измеренный вокруг.

Периметр обозначается буквой Р. По определению — Прилежащие углы в треугольникеЛюбой треугольник ограничивает часть плоскости. Будем считать, что точки, принадлежащие этой части, расположены внутри треугольника, а точки, которые ей не принадлежат,— вне треугольника.

Роль треугольника в геометрии трудно переоценить. Ученые не зря называют треугольники клетками организма геометрии. Действительно, многие более сложные геометрические фигуры можно разбить на треугольники.

В этой главе мы не только изучим «внутрен нее устройство» треугольников и выделим их виды, но и докажем признаки, по которым можно установить равенство треугольников, сравнивая их стороны и углы. Полученные в ходе наших рассуждений теоремы и соотношения расширят ваши представления об отрезках и углах, параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

В процессе решения задач и доказательства теорем о свойствах треугольников вам предстоит освоить важные геометрические методы, которые помогут в ходе дальнейшего изучения геометрии.

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Что такое треугольник

Рассмотрим понятие треугольника. Пусть на плоскости дана трехзвенная замкнутая ломаная. Тогда эта ломаная разделяет множество оставшихся точек плоскости на ограниченную и неограниченную фигуры. При этом ограниченная фигура называется частью плоскости, ограниченной данной ломаной. Например, на рисунке 59, а изображена часть плоскости, ограниченная трехзвенной замкнутой ломаной ABC.

Определение. Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трехзвенной замкнутой ломаной и части плоскости, ограниченной этой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а звенья ломаной — сторонами треугольника.

Точки треугольника, не принадлежащие его сторонам, называются внутренними.

Треугольник, вершинами которого являются точки А, В и С, обозначается следующим образом: Прилежащие углы в треугольникеАВС (читают: «Треугольник ABC»). Этот же треугольник можно обозначать и так: Прилежащие углы в треугольникеBСА или Прилежащие углы в треугольникеCАВ.

На рисунке 59, а изображен треугольник ABC. Точки А, В и С — вершины этого треугольника, а отрезки AB, ВС и АС — его стороны. На рисунке 59, B показан треугольник AFD, содержащийся в грани куба.

Прилежащие углы в треугольнике

Углы АBС, АСВ и САВ (см. рис. 59, а) называются внутренними углами треугольника ABC или просто углами треугольника. Иногда они обозначаются одной буквой: Прилежащие углы в треугольникеA, Прилежащие углы в треугольникеB, Прилежащие углы в треугольникеC. Стороны и углы треугольника называются его элементами.

На рисунке 59, в изображены треугольники ABC и ACD, у которых общая сторона АС. Угол ВАС — внутренний угол треугольника ВАС, Прилежащие углы в треугольникеACD — внутренний угол треугольника ACD.

Периметром треугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр треугольника ABC обозначается PABC.

Конструкции, имеющие треугольную форму, применяются при строительстве архитектурных сооружений, мостов и жилых зданий. Например, при постройке крыш некоторых домов используются стропила, имеющие форму треугольников (рис. 60, а).

Для треугольников, как и любых геометрических фигур, определяется понятие их равенства.

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением, т. е. можно совместить их вершины, стороны и углы.

Рассмотрим пример. Если лист бумаги, имеющий форму прямоугольника, разрезать на две части, как показано на рисунке 60, б, то мы получим модели равных треугольников. Непосредственно можно убедиться, что полученные части можно наложить одна на другую так, что они совместятся.

Прилежащие углы в треугольнике

Два равных треугольника ABC и A1B1C1 (рис. 60, в) можно совместить так, что попарно совместятся их вершины, стороны и углы. Другими словами, если два треугольника равны, то стороны и углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого треугольника. Подчеркнем, что:

  • в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы;
  • в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1 , изображенных на рисунке 60, в, против равных сторон ВС и В1С1 лежат равные углы А и А1. Против равных углов С и С1 лежат равные стороны AB и A1B1.

Если треугольники ABC и A1B1C1 равны, то это обозначается следующим образом: Прилежащие углы в треугольникеABC = Прилежащие углы в треугольникеA1B1C1

Заметим, что для установления равенства треугольников необязательно их совмещать один с другим, а достаточно сравнить некоторые их элементы (стороны и углы).

Для доказательства равенства треугольников пользуются соответствующими теоремами (признаками), которые позволяют на основании равенства некоторых элементов треугольников делать вывод о равенстве самих треугольников.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Определение треугольника

Треугольник — замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев. Или часть плоскости, ограниченная этой ломаной. У каждого треугольника три стороны, три вершины и три угла. Сумма длин сторон треугольника — его периметр.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Важную роль в геометрии играют признаки равенства треугольников. Две фигуры называются равными, если их можно совместить. ЕслиПрилежащие углы в треугольнике, тоПрилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике

Три признака равенства треугольников:

Два треугольника равны, если: две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника (I); или если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника (II); или если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (III).

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны равнобедренного треугольники называются боковыми сторонами, а третья — его основанием.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

Если у треугольника все стороны равны, его называют равно сторонним треугольником. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

В зависимости от углов треугольники делят на остроуголь ные, прямоугольные, и тупоугольные. Сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой, а две другие — катетами.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух другим его сторон и больше их разности. Какие бы ни были три точки плоскости А, В и С, всегда АВ + ВС > АС.

В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.

Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, получится треугольник. Другими словами: треугольник — это замкнутая ломаная из трех звеньев. На рисунке 119 изображён треугольник ABC (пишут: Прилежащие углы в треугольнике). Точки А, В, С — вершины, отрезки АВ, ВС и СА — стороны этого треугольника. Каждый треугольник имеет три вершины и три стороны.

Прилежащие углы в треугольнике

Много разных моделей треугольников можно увидеть в подъемных кранах, заводских конструкциях, различных архитектурных строениях (рис. 120).

Прилежащие углы в треугольнике

Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Почему?Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой его противолежащей стороны, — медиана треугольника. Отрезок биссектрисы угла треугольника от его вершины до противолежащей стороны — биссектриса треугольника. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, которой принадлежит его противолежащая сторона, — высота треугольника. На рисунке 121 изображен Прилежащие углы в треугольнике, в котором из вершины С проведены: медиана СМ, биссектриса CL и высота СН.

Прилежащие углы в треугольнике

Каждый треугольник имеет три медианы, три биссектрисы и три высоты.

Треугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Фигура, состоящая из треугольника и его внутренней области, также называется треугольником.

Углами треугольника ABC называют углы ВАС, ABC и АСИ. Их обозначают еще так: Прилежащие углы в треугольнике. Каждый треугольник имеет три угла.

Если треугольник имеет прямой или тупой угол, его называют соответственно прямоугольным или тупоугольным треугольником. Треугольник, все углы которого острые, называется остроугольным. На рисунке 122 изображены остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Их внутренние области закрашены.

Прилежащие углы в треугольнике

Словом треугольник геометры называют два разных понятия: и замкнутую ломаную из трех звеньев, и такую ломаную вместе с ограниченной ею внутренней частью плоскости. Подобно тому, как стороной треугольника иногда называют отрезок, иногда — длину этого отрезка, высотой треугольника называют и определенный отрезок, и его длину.

Так делают для удобства: чтобы каждый раз не говорить, например, «длина высоты треугольника равна 5 см», договорились говорить проще: «высота треугольника равна 5 см».

Каждый многоугольник можно разрезать на несколько треугольников. Поэтому треугольники в геометрии играют такую важную роль, как атомы в физике, как кирпичи в доме. Существует даже отдельная часть геометрии, интересная и содержательная: геометрия треугольника.

Пример:

На сколько частей могут разбивать плоскость два ее треугольника?

Решение:

Если два треугольника расположены в одной плоскости, то они могут разбить ее максимум на 8 частей (рис. 123). Мысленно передвигая один из двух данных треугольников так, чтобы сначала один из образованных их пересечением треугольник превратился в точку, потом-второй и т. д., убеждаемся, что два треугольника могут разбивать плоскость на 3, 4, 5, 6, 7, 8 частей (рис. 124). Лишь когда два треугольника равны и совмещены друг с другом, они разбивают плоскость на 2 части.

Прилежащие углы в треугольнике

Пример:

Среднее арифметическое всех сторон треугольника равно т. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Если a, b, c — стороны треугольника, а Р — его периметр , то
Прилежащие углы в треугольнике

Сумма углов треугольника

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 127). Через его вершину С проведем прямую КР, параллельную АВ.

Прилежащие углы в треугольнике

11олученные углы АСК и ВСР обозначим цифрами 1 и 2. ТогдаПрилежащие углы в треугольникекак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и КР и секущих АС и ВС. Углы 1, 2 и С в сумме равны развернутому углу, то есть 180°. Поэтому

Прилежащие углы в треугольнике

В доказанной теореме 8 речь идет о сумме мер углов треугольника. Но для упрощения формулировок вместо «мера угла» часто употребляют слово «угол».

Треугольник не может иметь два прямых или два тупых угла, В каждом треугольнике по крайней мере два угла — острые.

Иногда кроме углов треугольника (внутренних) рассматривают также его внешние углы. Внешним углом треугольника называют угол, образованный стороной треугольника и продолжением его другой стороны. Например, внешним углом треугольника ABC при вершине А является угол КАС (рис. 128).

Прилежащие углы в треугольнике

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольникеВНИМАНИЕ! При каждой вершине треугольника можно построить два внешних угла, продлив ту или иную его сторону. Например, каждый из углов КАС и РАВ — внешний угол треугольника ABC при вершине А (рис. 129). Такие два внешних угла — вертикальные, поэтому равны друг другу.

Теорему о сумме углов треугольника можно обобщить и распространить на произвольные многоугольники.

Каждый четырехугольник можно разрезать на два треугольника, соединив его противолежащие вершины отрезком. (Если один из углов четырехугольника больше развернутого, то именно его вершину следует соединить с противолежащей, как на рисунке 130.) Сумма всех углов четырех- ‘ угольника равна сумме всех углов двух образованных треугольников, то есть 180° • 2. Таким образом, сумма углов любого четырехугольника равна 360°.

Прилежащие углы в треугольнике

Произвольный пятиугольник можно разрезать на четырехугольник и треугольник или на 3 треугольника (рис. 131). Таким образом, сумма углов пятиугольника равна 180° • 3, то есть 540°.

Прилежащие углы в треугольнике

Попробуйте написать формулу, по которой можно вычислить сумму углов произвольного n-угольника.

Пример №1

Чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых при каждой вершине по одному?

Решение:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Обозначим его внешние углы 1, 2 и 3 (рис. 132). Согласно теореме о внешнем угле треугольника

Прилежащие углы в треугольнике

Сложив отдельно левые и правые части этих равенств, получим:

Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольнике

Пример №2

Докажите, что в каждом треугольнике есть угол не больше 60° и угол не меньше 60°.

Решение:

Если бы каждый угол треугольника был меньше 60°, то сумма всех его углов составляла бы меньше 180°, а это невозможно. Если бы каждый угол треугольника был больше 60°, то сумма всех его углов была бы больше 180°, что также невозможно.

Следовательно, в каждом треугольнике есть угол не ‘ больше 60° и угол не меньше 60°.

О равенстве геометрических фигур

На рисунке 136 изображены два треугольника. Представьте, что один из них начерчен на бумаге, и второй — на прозрачной пленке. Передвигая пленку, второй треугольник можно совместить с первым. Говорят: если данные треугольники можно совместить движением, то они равны. Равными друг другу бывают не только треугольники, но и отрезки, углы, окружности и другие фигуры.

Изображенные на рисунке 137 фигуры тоже равны, потому что их можно совместить, согнув лист бумаги по прямой I. Л фигуры, изображенные на рисунке 138, не равны, их нельзя Совместить.
Для обозначения равных фигур используют знак равенства Прилежащие углы в треугольнике. Например, Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольнике

Если каждая из двух фигур равна третьей, то первая и вторая фигуры также равны.

С равными фигурами часто приходится иметь дело многим специалистам. В форме равных прямоугольников изготовляют листы жести, фанеры, стекла, облицовочную плитку, паркетины и т. д. Равны все листы бумаги из одной пачки, соответствующие детали двух машин одной марки.Чтобы выяснить, равны ли две фигуры, можно попробовать их совместить. Но на практике это не всегда удается осуществить. Например, таким способом нельзя определить, равны ли два земельных участка. Поэтому приходится искать другие способы, выявлять признаки равенства тех или иных фигур. Например, если радиусы двух окружностей равны, то равны и сами окружности. Это — признак равенства окружностей. В следующем параграфе мы рассмотрим признаки равенства треугольников.

Треугольник с вершинами А, В и С можно обозначать по-разному: Прилежащие углы в треугольникеи т. д. Однако для удобства договоримся, что когда пишут Прилежащие углы в треугольнике, то подразумевают, что Прилежащие углы в треугольникеАВ = КР, АС = КТ, ВС = РТ.

Слово равенство в математике и других науках употребляется достаточно часто. Говорят, в частности, о равенстве чисел, равенстве выражений, равенстве значений величин. Равенство геометрических фигур — это отношение. Оно имеет следующие свойства:

  1. каждая фигура равна самой себе;
  2. если фигура А равна фигуре В, то и фигура В равна А;
  3. если фигура А равна В, а фигура В равна С, то фигуры А и С также равны.

Нередко из равенства одних фигур либо величин следует и равенство других фигур либо величин, но — не всегда. Например, если треугольники равны, то и их периметры равны. Однако если периметры двух треугольников равны, то это еще не значит, что равны и сами треугольники. То же самое: если треугольники равны, то и их площади равны. Но если площади двух треугольников равны, это еще не означает, что и треугольники равны.

Очень часто для обоснования равенства тех или иных фигур необходимо обосновать равенство некоторых треугольников. Вот почему вопросу о равенстве треугольников в геометрии придают такое важное значение: большинство теорем школьной геометрии доказывают, используя признаки равенства треугольников.

Пример №3

Равны ли углы, изображенные на рисунке 139?

Решение:

Стороны угла — лучи. Хотя на рисунке они изображены неравными отрезками, но следует представить их в виде бесконечных лучей. Поскольку каждый из этих углов имеет 35° (проверьте), то они равны.

Пример №4

Докажите, что треугольники не могут быть равными, если не равны их наибольшие углы.

Решение:

Пусть у треугольников ABC и КРТ

Прилежащие углы в треугольнике. Если бы данные треугольники были равны, их можно было бы совместить. Тогда наибольший угол А треугольника ABC совместился бы с наибольшим углом К треугольника КРТ. Это невозможно, поскольку Прилежащие углы в треугольнике. Значит, данные треугольники не могут быть равными.

Прилежащие углы в треугольнике

Признаки равенства треугольников

Если треугольники ABC и Прилежащие углы в треугольникевины друг другу, то их можно совместить. При этом если совместятся вершины Прилежащие углы в треугольникеи то совместятся и стороны:Прилежащие углы в треугольнике Прилежащие углы в треугольникеЗначит, если Прилежащие углы в треугольникето Прилежащие углы в треугольнике,Прилежащие углы в треугольникеЧтобы доказать, что данные треугольники равны, не обязательно убеждаться в истинности всех шести равенств.

Теорема: (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть Прилежащие углы в треугольнике— два треугольника, у которыхПрилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике(рис. 1;46). Докажем, что Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике

Наложим Прилежащие углы в треугольникетаким образом, чтобы вершина Прилежащие углы в треугольникесовместилась А, вершина Прилежащие углы в треугольнике— с В, а сторона Прилежащие углы в треугольникеналожилась на луч АС. Это можно сделать, потому что по условиюПрилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике. Поскольку Прилежащие углы в треугольнике, то при таком положении точка Прилежащие углы в треугольникесовместится с С. В результате все вершины Прилежащие углы в треугольникесовместятся с соответствующими вершинами

Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольнике

Теорема: (второй признак равенства треугольников). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике

*Существуют также и другие признаки равенства треугольников (см. теорему 14).
На признаки равенства треугольников нам придется ссылаться часто. Чтобы не путать, какой из них назвали первым, какой — вторым и т. д., их лучше всего различать по смыслу, говорить о признаке равенства треугольников:

  1. по двум сторонам и углу между ними;
  2. по стороне и двум прилежащим углам,
  3. по трем сторонам (его докажем позже).

Эти признаки равенства треугольников называют общими признаками, поскольку они верны для любых треугольников. Кроме них, есть еще признаки равенства прямоугольных треугольников, равнобедренных треугольников и др.

Два равносторонних треугольника равны, если сторона одного из них равна стороне другого.

Попробуйте доказать этот признак, воспользовавшись общими признаками.

Пример №5

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = OD и СО = ОВ. Докажите, что АС = BD.

Решение:

Рассмотрим треугольники АСО и DBO (рис. 148). Их углы при вершине О вертикальные, значит, равны. Соответственные стороны тоже равны:

АО = OD, СО = ОВ. По первому признаку равенства треугольников Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольникеСтороны АС и BD этих треугольников соответственные, поскольку лежат против равных углов при вершине О. Следовательно, АС = BD.

Прилежащие углы в треугольнике

Пример №6

Две стороны треугольника равны. Докажите, что и медианы, проведенные к этим сторонам, также равны.

Прилежащие углы в треугольнике

Решение:

Пусть у Прилежащие углы в треугольникесторона АВ = АС, а ВК и СР — медианы (рис. 149). АР = = АК, как половины равных сторон. Прилежащие углы в треугольнике, поскольку АВ = = АС, АК = АР и угол А общий. Следовательно, ВК = СР.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью его сторону — основанием.

Треугольник, не являющийся равнобедренным, называют разносторонним. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним. Это отдельный вид равнобедренного треугольника (рис. 161).

Прилежащие углы в треугольнике

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.

Доказательство:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием ВС (рис. 162). Биссектриса AL разбивает его на треугольники ABL и ACL. Поскольку АВ = AC, AL — общая сторона, Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике, то по двум сторонам и углу между ними Прилежащие углы в треугольнике. Из равенства этих треугольников следует:

а) Прилежащие углы в треугольнике, то есть углы при основании Прилежащие углы в треугольникеравны;

б) BL = CL, то есть AL — медиана Прилежащие углы в треугольнике

в) Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольнике

Теорема: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство:

Пусть в Прилежащие углы в треугольнике(рис. 162). Докажем, что АВ =АС. Проведем биссектрису AL. Она делит данный треугольник И я два: Прилежащие углы в треугольникеУ нихПрилежащие углы в треугольнике, Поэтому Прилежащие углы в треугольнике. По стороне AL и прилежащим к ней углам Прилежащие углы в треугольнике. Следовательно, Прилежащие углы в треугольнике

Из теорем 9 и 10 вытекает такое следствие.

В треугольнике против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны.

Равнобедренный — это имеющий равные бедра. Равные стороны — словно ноги.

Как соотносятся между собой треугольники и равнобедренные треугольники? Равнобедренные треугольники составляют только часть всех треугольников. Говорят, что объем понятия «треугольники» больше объема понятия «равнобедренные треугольники». Такие соотношения принято наглядно изображать диаграммами Эйлера (рис. 163). Те треугольники, которые не являются равнобедренными, называют разносторонними треугольниками. Следовательно, общее понятие «треугольники»можно разделить на два класса: треугольники равнобедренные и треугольники разносторонние (рис. 164):
Прилежащие углы в треугольнике

Пример №7

Две стороны равнобедренного треугольника равны соответственно 2 см и б см. Найдите длину третьей его стороны.

Решение:

Основание данного треугольника не может быть равно б см, поскольку 2 см + 2 см против равных сторон лежат равны’ углы. Поэтому Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольнике

Равенство углов BAD и BCD можно доказать двумя способами: либо показать, что каждый из них состоит из двух равных углов Прилежащие углы в треугольнике Прилежащие углы в треугольнике(рис. 175), либо проведя отрезок BD.

Прилежащие углы в треугольнике

Пример №10

На окружности с центром О обозначены точки А, В, К и Р такие, что АВ = КР (рис. 176). Докажите, что Прилежащие углы в треугольнике

Решение:

Проведя в данные точки радиусы, получим треугольники АОВ и КОР. Они равны по трем сторонам, поскольку АВ = КР по условию и ОА = OB = OK = ОР — как радиусы. Поэтому Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольнике

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой Сумма двух других его углов равна 90° поскольку 180° — 90° = 90°.

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, — эп гипотенуза, две другие его стороны катеты (рис. 182). На рисунке прямо! угол иногда обозначают квадратиком. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого из катетов.

Прилежащие углы в треугольнике

Позже нам будут необходимы признаки равенства прямо угольных треугольников. Из первого и второго признаков равенства треугольников (§ 12) непосредственно следуют таки АС.

Стороны АВ и АС не могут быть равными, потому что тогда данный треугольник был бы равнобедренным и один из его углов при основании не мог бы быть больше другого.

Не может сторона АВ быть и меньше АС, поскольку тогда угол С был бы меньше угла В. А поскольку сторона АВ не равна АС и не меньше АС, то она больше АС.Прилежащие углы в треугольнике

  1. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее каждого катета.
  2. Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки к прямой, короче любой наклонной, проведенной и: Прилежащие углы в треугольнике. Если представить, что фигура Прилежащие углы в треугольникеизображена на прозрачной пленке, то с помощью наложения этой пленки на фигуру Прилежащие углы в треугольнике(той или другой стороной (рис. 55, а, б) можно совместить фигуры Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике. В таком случае фигуры Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникепо определению равны.

Прилежащие углы в треугольнике

Для обозначения равенства фигур используют знак математического равенства Прилежащие углы в треугольникеЗапись Прилежащие углы в треугольникеозначает «фигура Прилежащие углы в треугольникеравна фигуре Прилежащие углы в треугольнике »

Рассмотрим равные треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике(рис. 56).

По определению, такие треугольники можно совместить наложением. Очевидно, что при наложении соответственно совместятся стороны и углы этих треугольников, то есть каждому эле менту треугольника Прилежащие углы в треугольникебудет соответствовать равный элемент треугольника Прилежащие углы в треугольнике. Условимся, что в записи Прилежащие углы в треугольникемы будем упорядочивать названия треугольников так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает: если Прилежащие углы в треугольнике, то Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике

Таким образом, из равенства двух треугольников вытекают шесть равенств соответствующих элементов: три — для углов и три — для сторон. На рисунках соответственно равные стороны обычно обозначают одинаковым количеством черточек, Рис. 56. Треугольники а соответственно равные углы — одинаковым ко личеством дужек (рис. 56).

Прилежащие углы в треугольнике

А верно ли, что треугольники, имеющие соответственно равные стороны и углы, совмещаются наложением? Можно ли по равенству некоторых соответствующих элементов доказать равенство самих треугольников? Ответить на эти вопросы мы попытаемся в дальнейшем.

[1] Существование треугольника, равного данному, является одной из аксиом планиметрии. Эта аксиома приведена в Приложении 1.

Первый признак равенства треугольников и его применение

Первый признак равенства треугольников

В соответствии с определением равных фигур, два треугольника равны, если они совмещаются наложением. Но на практике наложить один треугольник на другой не всегда возможно. Например, таким образом невозможно сравнить два земельных участка. Значит, возникает необходимость свести вопрос о равенстве треугольников к сравнению их сторон и углов. Но нужно ли для установления равенства сравнивать все шесть элементов данных треугольников? Бели нет, то какие именно элементы двух треугольников должны быть соответственно равными, чтобы данные треугольники были равны? Ответ на этот вопрос дают признаки равенства треугольников.

Докажем первый из этих признаков.

Теорема: (первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, у которых Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике(рис. 58). Докажем, что Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольнике

Поскольку Прилежащие углы в треугольникето треугольник Прилежащие углы в треугольникеможно наложить на треугольник Прилежащие углы в треугольникетак, чтобы точки Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникесовместились, а стороны Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеналожились на лучи Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникесоответственно. По условию Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, следовательно, сторона Прилежащие углы в треугольникесовместится со стороной Прилежащие углы в треугольнике, а сторона Прилежащие углы в треугольнике— со стороной Прилежащие углы в треугольнике. Таким образом, точка Прилежащие углы в треугольникесовместится с точкой Прилежащие углы в треугольнике, а точка Прилежащие углы в треугольнике— с точкой Прилежащие углы в треугольнике, то есть стороны Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникетакже совместятся. Значит, при наложении треугольники Прилежащие углы в треугольнике, совместятся полностью. Итак, Прилежащие углы в треугольникепо определению. Теорема доказана.

Пример №14

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников АОС и BOD (рис. 59).

Прилежащие углы в треугольнике

Решение:

В треугольниках АОС и BOD АО = ВО и СО = DO по условию, Прилежащие углы в треугольникепо теореме о вертикальных углах. Таким образом, Прилежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников.

Практическое значение доказанной теоремы очевидно из такого примера.

Пусть на местности необходимо определить расстояние между точками А и С, прямой проход между которыми невозможен (рис. 60). Один из способов измерения следующий: на местности выбирают некоторую точку О, к которой можно пройти из точек А , С, В, D, и на лучах АО и СО откладывают отрезки ВО=АО и DO = СО.

Прилежащие углы в треугольнике

Тогда, согласно предыдущей задаче, Прилежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что искомое расстояние АС равно расстоянию BD, которое можно измерить.

Опровержение утверждений. Контрпример

Проанализируем первый признак равенства треугольников. Согласно ему для доказательства равенства двух треугольников достаточно доказать равенство трех пар соответствующих элементов — двух сторон и угла между ними. Требование того, чтобы равные углы обязательно лежали между равными сторонами, является очень важным.

Действительно, рассмотрим треугольники ABC и А1В1С1 (рис. 61). Они имеют две пары соответственно равных сторон (АВ = А1В1, ВС = В1С1), но равные углы Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникележат не между равными сторонами, поэтому данные треугольники не равны.

Прилежащие углы в треугольнике

С помощью приведенного примера мы показали, что утверждение «Если две стороны и некоторый угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и некоторому углу другого треугольника, то такие треугольники равны» является ошибочным. Иначе говоря, мы опровергли это утверждение конкретным примером. Такой пример, с помощью которого можно показать, что некоторое общее утверждение является неправильным, называется контрпримером. Принцип построения контрпримера для опровержения неправильного утверждения довольно прост: нужно смоделировать ситуацию, когда условие утверждения выполняется, а заключение — нет.

Контрпример — от латинского «контра» — против

Изобразим схематически опровержение утверждения с помощью контрпримера.

УТВЕРЖДЕНИЕ Если А, то В

КОНТРПРИМЕР А, но не В

Контрпримеры используются только для опровержения неправильных утверждений, но не для доказательства правильных. Заметим также, что не всякое ошибочное утверждение можно опровергнуть контрпримером. Если для опровержения некоторого утверждения не удалось подобрать контрпример, это не означает, что данное утверждение верно.

Опровержение утверждений с помощью контрпримеров применяется не только в математике. Пусть, например, некто утверждает, что все птицы, которые водятся в Украине, осенью улетают на юг. Это утверждение можно опровергнуть, приведя в качестве контрпримера воробьев. А опровергнуть утверждение «В русском языке нет существительного, в котором содержались бы пять согласных подряд» можно с помощью самого слова «контрпример » .

Перпендикуляр к прямой

9.1. Существование и единственность прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Признаки равенства треугольников применяются не только для решения задач, но и для доказательства новых геометрических утверждений, в частности и тех, в формулировках которых не упоминается треугольник. Докажем с помощью первого признака равенства треугольников теорему о прямой, проходящей через данную точку плоскости перпендикулярно данной прямой.

Теорема (о существовании и единственности перпендикулярной прямой) Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной, и только одну.

Перед началом доказательства теоремы проанализируем ее формулировку. Теорема содержит два утверждения:

  1. существует прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная данной прямой;
  2. такая прямая единственна.

Первое утверждение теоремы говорит о существовании прямой с описанными свойствами, второе — о ее единственности. Каждое из этих утверждений необходимо доказать отдельно.

Рассмотрим сначала случай, когда данная точка не лежит на данной прямой.

1) Существование. Пусть даны прямая Прилежащие углы в треугольникеи точка А , не лежащая на данной прямой. Выберем на прямой Прилежащие углы в треугольникеточки В и М так, чтобы угол АВМ был острым (рис. 67).

Прилежащие углы в треугольнике

С помощью транспортира отложим от луча ВМ угол СВМ, равный углу АВМ так, чтобы точки А и С лежали по разные стороны от прямой Прилежащие углы в треугольнике. На луче ВС отложим отрезок ВА1 , равный отрезку ВА , и соединим точки А и D. Пусть D — точка пересечения отрезка Прилежащие углы в треугольнике, с прямой Прилежащие углы в треугольнике.

Рассмотрим треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике. Они имеют общую сторону BD, a Прилежащие углы в треугольнике Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникепо построению. Таким образом, Прилежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Прилежащие углы в треугольникеНо эти углы смежные, поэтому по теореме о смежных углах Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике. Итак, прямая Прилежащие углы в треугольникеперпендикулярна прямой Прилежащие углы в треугольнике.

2) Единственность. Применим метод доказательства от противного.

Пусть через точку А проходят две прямые Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеперпендикулярные прямой Прилежащие углы в треугольнике(рис. 68). Тогда по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Прилежащие углы в треугольнике. Но это невозможно, поскольку прямые Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеимеют общую точку А. Итак, наше предположение неверно, то есть прямая, проходящая через точку А перпендикулярно прямой Прилежащие углы в треугольнике, единственна.

Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике

Теперь рассмотрим случай, когда точка А лежит на прямой Прилежащие углы в треугольнике. От любой полупрямой прямой Прилежащие углы в треугольникес начальной точкой А можно отложить прямой угол (рис. 69). Отсюда вытекает существование перпендикулярной прямой, содержащей сторону этого угла.

Доказательство единственности такой прямой повторяет доказательство, представленное выше. Теорема доказана.

Утверждения о существовании и единственности уже встречались нам в аксиомах, но необходимость доказывать их возникла впервые. В математике существует целый ряд теорем, аналогичных доказанной (их называют теоремами существования и единственности). Общий подход к таким теоремам состоит в отдельном доказательстве каждого из двух утверждений.

Необходимость двух отдельных этапов доказательства в шутку можно пояснить так: утверждение «У дракона есть голова» не означает, что эта голова единственная. Доказательство существования определенного объекта чаще всего сводится к описанию способа его получения. Единственность обычно доказывают методом от противного.

Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой

Определение:

Перпендикуляром к данной прямой, проведенным из точки А, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, одним из концов которого является точка А а вторым (основанием перпендикуляра) — точка пересечения этих прямых.

На рисунке 70 отрезок АВ является перпендикуляром к прямой а, проведенным из точки А . Точка В — основание этого перпендикуляра. Поскольку по предыдущей теореме через точку А можно провести единственную прямую, перпендикулярную прямой а, то отрезок АВ — единственный перпендикуляр к прямой а, проведенный из точки А.

Прилежащие углы в треугольнике

Из доказанной теоремы следует, что из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Это утверждение называют теоремой о существовании и единственности перпендикуляра к прямой.

Определение:

Расстоянием от точки до прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Иногда расстоянием от точки до прямой называют сам этот перпендикуляр. Таким образом, отрезок АВ (см. рис. 70) является расстоянием от точки А до прямой а.

Пример №15

Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а, АВ и CD — расстояние от данных точек до прямой а, причем АВ = CD (рис. 71). Докажите, что AD = СВ.

Прилежащие углы в треугольнике

Решение:

Рассмотрим треугольники ABD и CDB. У них сторона ВD общая, АВ = CD по условию. По определению расстояния от точки до прямой АВ и CD — перпендикуляры к прямой а, то есть Прилежащие углы в треугольникеТогда Прилежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что AD = СВ, что и требовалось доказать.

Второй признак равенства треугольников и его применение

Второй признак равенства треугольников

В первом признаке равенства треугольников равенство двух треугольников было доказано по трем элементам: двум сторонам и углу между ними. Однако это не единственный возможный набор элементов, равенство которых гарантирует равенство треугольников. Еще один такой набор — это сторона и прилежащие к ней углы.

Теорема: (второй признак равенства треугольников — по стороне и прилежащим к ней углам)

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, у которых Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике(рис. 72). Докажем, что Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольнике

Поскольку Прилежащие углы в треугольнике, то треугольник Прилежащие углы в треугольникеможно наложить на треугольник Прилежащие углы в треугольникетак, чтобы сторона АС совместилась со стороной Прилежащие углы в треугольнике, а точки Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникележали по одну сторону от прямой Прилежащие углы в треугольнике. По условию Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, поэтому сторона Прилежащие углы в треугольникеналожится на луч Прилежащие углы в треугольнике, а сторона Прилежащие углы в треугольнике— на луч Прилежащие углы в треугольнике. Тогда точка Прилежащие углы в треугольнике— общая точка сторон Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике— будет лежать как на луче Прилежащие углы в треугольнике, так и на луче Прилежащие углы в треугольнике, то есть совместится с общей точкой этих лучей — точкой В. Таким образом, совместятся стороны Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, а также Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике. Значит, при наложении треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, совместятся полностью, то есть по определению Прилежащие углы в треугольнике. Теорема доказана.

Решение геометрических задач «от конца к началу»

Рассмотрим пример применения второго признака равенства треугольников для решения задачи.

Пример №16

На рисунке 73 Прилежащие углы в треугольникеНайдите угол D если Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольнике

Прежде чем привести решение этой задачи, попытаемся ответить на вопрос: как именно надо рассуждать, чтобы найти путь к нему?

  1. Сначала проанализируем вопрос задачи. Нам необходимо найти градусную меру угла D. Очевидно, что для этого должны быть использованы числовые данные. Мы имеем лишь одно такое условие: Прилежащие углы в треугольнике. Таким образом, можно предположить, что углы B и D должны быть как-то связаны. Как именно?
  2. Заметим, что углы В и D являются углами треугольников ABC и ADC соответственно, причем оба эти угла противолежат стороне АС . Отсюда возникает идея о том, что углы B и D могут быть равными, и их равенство может следовать из равенства треугольников ABC и ADC .
  3. Следующий шаг рассуждений: действительно ли треугольники ABC и ADC равны? Если да, то на основании какого признака можно доказать их равенство? Здесь на помощь приходят другие данные задачи — равенства углов: Прилежащие углы в треугольнике. Как вы уже знаете, две пары соответственно равных углов рассматриваются в формулировке второго признака равенства треугольников, то есть следует попробовать применить именно его.
  4. Для окончательного определения хода решения задачи осталось ответить на вопрос: каких еще данных нам не достает для применения второго признака равенства треугольников? Откуда их можно получить? Отметим, что углы 1 и 3 треугольника ABC, а также углы 2 и 4 треугольника ADC являются прилежащими к сторонеАС, которая, кроме того, является общей стороной данных треугольников.

Итак, путь определен, и остается лишь записать решение, повторяя рассуждения в обратном порядке — от 4-го к 1-му пункту.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и АDС . В них сторона АС общая, Прилежащие углы в треугольникепо условию, и эти углы прилежат к стороне АС. Таким образом, Прилежащие углы в треугольникепо второму признаку равенства треугольников.

Углы В и D — соответственно равные углы равных треугольников.

Значит, Прилежащие углы в треугольнике

Ответ: 110°.

Отметим, что в рассуждениях 1) — 4) мы начинали с вопроса задачи, а затем использовали ее условия, то есть шли «от конца к началу». Во многих геометрических задачах именно такой способ рассуждений позволяет найти правильный путь к решению.

Пример №17

Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС, точки D , Е, F — середины сторон АВ, ВС и АС соответственно (рис. 84). Докажем, что треугольник D EF равнобедренный. Рассмотрим треугольники DAF и ECF. У них AD = СЕ как половины равных сторон АВ и СВ, AF = CF (поскольку по условию точка F — середина AC), Прилежащие углы в треугольникекак углы при основании равнобедренного треугольника ABC. Следовательно, Прилежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Тогда отрезки D F = EF как соответствующие стороны равных треугольников, то есть треугольник D EF равнобедренный.

Прилежащие углы в треугольнике

Признак равнобедренного треугольника

Из предыдущей теоремы следует, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Но всегда ли стороны, противолежащие равным углам, должны быть равными? Ответим на этот вопрос следующей теоремой.

Теорема: (признак равнобедренного треугольника) Если в треугольнике два угла равны, те он равнобедренный:

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC Прилежащие углы в треугольнике. Докажем, что этот треугольник равнобедренный.

Через точку D — середину стороны АС — проведем прямую d , перпендикулярную АС. Пусть эта прямая пересекает луч АВ в точке Прилежащие углы в треугольнике(рис. 85). Соединим точки Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеи рассмотрим треугольники Прилежащие углы в треугольнике. У них сторона Прилежащие углы в треугольникеобщая, Прилежащие углы в треугольникеи AD = CD по построению. Таким образом, Прилежащие углы в треугольникепо первому признаку. Отсюда Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике. Поскольку по построению точка Прилежащие углы в треугольникележит на луче АВ, угол Прилежащие углы в треугольникесовпадает с углом А треугольника ABC. Тогда по условию теоремы и по доказанному имеем: Прилежащие углы в треугольнике. Таким образом, по аксиоме откладывания углов углы Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникесовпадают, то есть точка Прилежащие углы в треугольникележит и на луче СВ. Поскольку лучи АВ и СВ имеют единственную точку пересечения, точки Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникесовпадают, то есть АВ = СВ. Теорема доказана.

Прилежащие углы в треугольнике

Если в треуольнике все углы равны, то он равносторонний.

Прилежащие углы в треугольнике

Отметим, что теперь мы имеем два пути доказательства того, что треугольник равнобедренный:

  1. по определению равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух сторон);
  2. по признаку равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух углов).

Пример №18

На продолжении основания АС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки D и E, причем AD=CE (рис. 87). Докажите, что треугольник DBE равнобедренный:

Прилежащие углы в треугольнике

Решение:

Рассмотрим треугольники DAB и ЕСВ. У них AD = СЕ по условию, АВ = СВ как боковые стороны равнобедренного треугольника ABC. По свойству углов при основании равнобедренного треугольника ABC Прилежащие углы в треугольникетогда Прилежащие углы в треугольникекак углы, смежные с равными углами. Значит, Прилежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников.

Завершить доказательство можно одним из двух способов.

1 -й способ. Поскольку Прилежащие углы в треугольникето Прилежащие углы в треугольникеТаким образом, треугольник DBE равнобедренный по определению.

2-й способ. Поскольку Прилежащие углы в треугольникето Прилежащие углы в треугольникеТаким образом, треугольник D BE равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника;

Прямая и обратная теоремы

Проанализируем две предыдущие теоремы о равнобедренном треугольнике, выделив в каждой из них условие и заключение. Свойство углов равнобедренного треугольника можно сформулировать так: «Если треугольник равнобедренный, то в нем два угла (при основании) равны». Теперь становится очевидным, что условие первой теоремы («треугольник равнобедренный») — это заключение второй, а заключение первой теоремы («в треугольнике два угла равны») — это условие второй теоремы. В таком случае вторая теорема является обратной первой (прямой).

Изобразим наглядно связь прямой и обратной теорем.

ПРЯМАЯ ТЕОРЕМА

Если А то B

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

Если В, то А

Теорема, обратная данной, не обязательно верна. Рассмотрим, например, теорему о вертикальных углах, сформулировав ее так: «Если два угла вертикальные, то они равны». Понятно, что обратная теорема неверна: ведь если два угла равны, то они не обязательно вертикальные.

Немало подобных примеров можно привести и из повседневной жизни. Например, если ученик является семиклассником, то он изучает геомет рию. Обратное утверждение ошибочно: если ученик изучает геометрию, то он не обязательно семиклассник, ведь геометрию изучают и в старших классах. Попробуйте самостоятельно найти примеры прямых и обратных утверждений в других науках, изучаемых в школе.

Таким образом, пользоваться утверждением, обратным доказанной теореме, можно лишь тогда, когда оно также доказано.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Помимо сторон и углов, с треугольником связано несколько важных элементов, имеющих специальные названия.

Определение

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке 95 отрезок ВМ является медианой треугольника ABC. В любом треугольнике можно провести три медианы — по одной из каждой вершины. Далее будет доказано, что все они пересекаются в одной точке (рис. 96)

Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике

Определение:

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

На рисунке 97 отрезок BL — биссектриса треугольника ABC. Обратим внимание на то, что, в отличие от биссектрисы угла, являющейся лучом, биссектриса треугольника — отрезок. Очевидно, что любой треугольник имеет три биссектрисы (рис. 98). Все они также пересекаются в одной точке (этот факт будет доказан далее).

Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике

Определение:

Высотой треугольника называется перпендикуляр. опущенный из вершины треугольника на прямую, которая содержит его противолежащую сторону.

[1] Подчеркнем, что здесь и далее, приводя утверждения, которые будут доказаны позднее, мы не будем ссылаться на них до того момента, когда они будут доказаны.

На рисунке 99 отрезок ВН — высота треугольника ABC.

По теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из каждой вершины треугольника можно провести только одну его высоту. Высоты треугольника не обязательно лежат внутри него. В отличие от медиан и биссектрис, некоторые из высот могут совпадать со сторонами или проходить вне треугольника (рис. 100).

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (это утверждение докажем позднее).

Прилежащие углы в треугольнике

Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника

Теорема: (свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника)

В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Доказательство:

Доказательство данной теоремы состоит из трех частей.

1) Пусть BD — медиана равнобедренного треугольника ABC , проведенная к основанию АС (рис. 101, а). Докажем, что BD является также биссектрисой и высотой треугольника ABC .

Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике

Рис. 101 Отрезок DB — медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника ABC

Рассмотрим треугольники ABD и CBD . У них АВ = СВ по определению равнобедренного треугольника, Прилежащие углы в треугольникекак углы при основании равнобедренного треугольника, AD = CD по определению медианы. Следовательно, Прилежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Из этого вытекает, что Прилежащие углы в треугольнике, то есть BD — биссектриса треугольника ABC .

Кроме того, Прилежащие углы в треугольникеа поскольку эти углы смежные, то оба они прямые. Значит, BD — высота треугольника ABC . Таким образом, отрезок BD — медиана треугольника ABC , проведенная к основанию,— является также биссектрисой и высотой треугольника.

2. Пусть теперь BD — биссектриса равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию АС (рис. 101, б). Аналогично предыдущему случаю можно доказать, что BD является также медианой и высотой треугольника ABC. Действительно, в этом случае Прилежащие углы в треугольникено второму признаку Прилежащие углы в треугольникеОтсюда AD=CD, то есть BD — медиана треугольника, и Прилежащие углы в треугольнике, то есть BD — высота треугольника.

3. Пусть BD — высота треугольника ABC . Докажем от противного, что BD является медианой и биссектрисой данного треугольника. Пусть существуют медиана Прилежащие углы в треугольникеи биссектриса Прилежащие углы в треугольнике, не совпадающие с Прилежащие углы в треугольнике— Тогда по доказанному выше отрезки Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникетакже являются высотами треугольника. Таким образом, из точки В к прямой АС проведены три различных перпендикуляра, что противоречит теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Из этого противоречия следует, что отрезки Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникесовпадают,

то есть BD — медиана и биссектриса данного треугольника.

Итак, в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Медиана — от латинского «медианус» — средний

В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают.

Теорема, обратная данной, также верна: если в треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведанные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный (докажите это утверждение самостоятельно).

На практике для решения задач вместо доказанной теоремы часто используют утверждение с условием совпадения лишь двух из трех указанных отрезков:

  1. если в треугольнике медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
  2. если в треугольнике биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
  3. если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный. Первые два утверждения докажите самостоятельно. Третье утверждение мы рассмотрим в п. 12.3.

Пример №19

Докажите равенство равнобедренных Треугольников по углу, противолежащему основанию, и медиане, проведенной к основанию

Решение:

Пусть Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике— данные равнобедренные треугольники с основаниями Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике— Медианы этих треугольников, причем Прилежащие углы в треугольнике(рис. 102). Докажем, что Прилежащие углы в треугольнике

Рассмотрим треугольники Прилежащие углы в треугольнике. По условию Прилежащие углы в треугольнике. Поскольку по свойству медианы биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеявляются также биссектрисами равных углов Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, то Прилежащие углы в треугольникеотрезки Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике— высоты равнобедренных треугольников, поэтому Прилежащие углы в треугольнике90°. Таким образом,Прилежащие углы в треугольнике, по второму признаку равенства треугольников, откуда Прилежащие углы в треугольникетогда и Прилежащие углы в треугольнике Прилежащие углы в треугольникеЗначит, треугольники Прилежащие углы в треугольникеравны по перво му признаку равенства треугольников. • . ;

Прилежащие углы в треугольнике

Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .

Для решения некоторых геометрических задач необходимо проводить дополнительные построения, то есть достраивать отрезки и углы, не упомянутые в условии задачи. Это нужно для получения вспомогательных фигур, рассмотрение которых позволяет найти или доказать требуемое. Существуют определенные виды дополнительных построений, применяемые чаще других. Один из них мы рассмотрим в следующей задаче.

Пример №20

Если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совладают, то такой треугольник равнобедренный. Докажите.

Решение:

Пусть 80 — медиана и биссектриса данного треугольника ABC (рис; 103). Докажем, что треугольник ABC равнобедренный.

Прилежащие углы в треугольнике

На луче ВD от точки D отложим отрезок Прилежащие углы в треугольникеравный BD (то есть удвоим медиану ВО). Рассмотрим треугольники Прилежащие углы в треугольникеУ них АD = СD по определению медианы, Прилежащие углы в треугольникепо построению, Прилежащие углы в треугольникекак вертикальные. Таким образом, Прилежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Прилежащие углы в треугольнике Прилежащие углы в треугольнике. Рассмотрим теперь треугольник Прилежащие углы в треугольникеС учетом того, что BD — биссектриса угла ABC , имеем Прилежащие углы в треугольникетогда Прилежащие углы в треугольникеПо признаку равнобедренного треугольника, треугольник Прилежащие углы в треугольникеравнобедренный с основанием Прилежащие углы в треугольникеОтсюда Прилежащие углы в треугольникеа поскольку по доказанному Прилежащие углы в треугольникеТаким образом, треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать.

[1] Здесь и далее звездочкой обозначен теоретический материал, изучение которого не является обязательным.

Проанализируем решение этой задачи. Отображение всех данных условия на рисунке не выявило набора элементов, позволяющих сразу начать доказательство. Это обусловило необходимость дополнительного построения, благодаря которому образовался вспомогательный треугольник Прилежащие углы в треугольнике. Доказав его равенство с треугольником Прилежащие углы в треугольнике, мы получили дополнительные равенства отрезков и углов и решили задачу.

Дополнительное построение состояло в удвоении отрезка BD . Такое построение используется чаще всего именно для медиан треугольников, поэтому основанн ый на нем метод доказательства называют методом удвоения медианы.

Третий признак равенства треугольников и его применение

Третий признак равенства треугольников

Применим свойства равнобедренного треугольника для доказательства третьего признака равенства треугольников.

Теорема: (третий признак равенства треугольников — по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, у которых Прилежащие углы в треугольнике. Докажем, что Прилежащие углы в треугольнике.

Приложим треугольник Прилежащие углы в треугольникек треугольнику Прилежащие углы в треугольникетак, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной Прилежащие углы в треугольнике, вершина Прилежащие углы в треугольнике— с вершиной В, а точки Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникележали по разные стороны от прямой АВ. Возможны три случая:

  1. луч Прилежащие углы в треугольникепроходит внутри угла АСВ (рис. 107, а);
  2. луч Прилежащие углы в треугольникепроходит вне угла АСВ (рис. 107, б);
  3. луч Прилежащие углы в треугольникесовпадает с одной из сторон угла АСВ (рис. 107, в).

Прилежащие углы в треугольнике Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике

Рис. Прикладывание треугольника Прилежащие углы в треугольникек треугольнику Прилежащие углы в треугольнике

Рассмотрим случаи 1 и 2, Поскольку по условию теоремы Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, то треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеравнобедренные с основанием Прилежащие углы в треугольнике. По свойству равнобедренного треугольника Прилежащие углы в треугольнике. Тогда Прилежащие углы в треугольникекак суммы (или разности) равных углов. Таким образом, Прилежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. В случае 3 равенство углов Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеследует из свойства равнобедренного треугольника с основаниемПрилежащие углы в треугольнике, а дальнейшее доказательство проводится аналогично. Теорема доказана.

Обобщая признаки равенства треугольников, можно увидеть, что во всех трех признаках равенство треугольников следует из равенства трех пар соответствующих элементов. И это не случайно: как правило, треугольник можно задать (построить) именно по трем элементам, но не произвольным, а определяющим единственный треугольник. Например, треугольник однозначно определяется длинами трех его сторон (это следует из только что доказанного третьего признака). Однако, например, градусные меры трех углов не задают треугольник однозначно. Попробуйте самостоятельно построить соответствующий контрпример — два неравных треугольника с соответственно равными углами.

Пример №21

Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Решение:

Пусть Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике— данные треугольники с медианами Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, соответственно, причем Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике(рис. 108). Рассмотрим сначала треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеВ них Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, по условию, Прилежащие углы в треугольникекак половины равных сторон Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникето есть Прилежащие углы в треугольникепо третьему признаку. Отсюда, в частности, следует, что Прилежащие углы в треугольникеТогда Прилежащие углы в треугольникепо первому признаку Прилежащие углы в треугольникепо условию, Прилежащие углы в треугольникепо доказанному).

Прилежащие углы в треугольнике

Свойства и признаки

Проанализируем признаки равенства треугольников. Все эти утверждения одинаковы по структуре: если треугольники имеют некоторую особенность, то они равны. Эта особенность (равенство трех пар соответствующих элементов) и составляет признак равенства треугольников. Нетрудно догадаться по аналогии, что, скажем, признак параллельности прямых может выглядеть так: «Если две прямые имеют определенную особенность, то они параллельны» (вспомните, рассматривались ли ранее похожие утверждения).

Во многих геометрических утверждениях мы получаем новые особенности фигур с помощью уже известных: например, если два угла вертикальные, то они равны. В этом случае равенство является свойством вертикальных углов. По аналогии, свойство смежных углов будет иметь следующий вид: «Если два угла смежные, то они имеют определенную особенность». Нетрудно догадаться, какое из изученных утверждений является свойством смежных углов.

Отметим еще один интересный факт. Если нам дан равнобедренный треугольник, то равенство двух его углов — свойство равнобедренного треугольника. Если же из условия равенства двух углов некоторого треугольника мы делаем заключение, что этот треугольник равнобедренный, то равенство этих углов — признак равнобедренного треугольника. Таким образом, одна и та же особенность фигуры в зависимости от условия задачи может рассматриваться либо как свойство, либо как признак.

Приведем примеры свойств и признаков, не связанные с геометрией. Наличие длинной шеи является свойством жирафа (если животное — жираф, то оно имеет длинную шею). Но длинную шею имеют также и страусы, то есть не любое животное с длинной шеей — жираф. Таким образом, наличие длинной шеи не является признаком жирафа. Другой пример: повышение температуры — признак болезни (ведь если у человека высокая температура, то он болен), но повышение температуры не свойство болезни (ведь многие болезни не сопровождаются повышением температуры). И наконец, пример из арифметики: последняя цифра 0 — и свойство, и признак чисел, которые делятся на 10.

Попробуйте привести собственные примеры свойств и признаков, изучаемых в школе.

Признаки параллельности прямых

Углы, образованные при пересечении двух прямых третьей

Пусть прямая с пересекает каждую из двух прямых a и b (рис. 118). В таком случае говорят, что прямая с является секущей прямых а и b. При таком пересечении двух прямых третьей образуются пары неразвернутых углов, имеющих специальные названия:

Прилежащие углы в треугольнике

  • внутренние накрест лежащие углы лежат между прямыми а и b по разные стороны от секущей: 3 и 6, 4 и 5;
  • внутренние односторонние углы лежат между прямыми а и & по одну сторону от секущей: 3 и 5, 4 и 6;
  • соответственные углы лежат по одну сторону от секущей, причем сторона одного из них является частью стороны другого: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6, 4 и 8.

Признаки параллельности прямых

Вы уже изучили две теоремы, которые утверждают, что две прямые параллельны:

  1. если две прямые параллельны третьей, то они параллельны;
  2. если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны.

Докажем еще несколько признаков параллельности прямых.

Теорема: (признак параллельности двух прямых, которые пересекаются секущей)

Если при пересечении двух прямых, секущей внутренние накрестлежащие углы равны; то прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть прямая с пересекает прямые а и b в точках А и В соответственно, причем Прилежащие углы в треугольнике(рис. 119). Докажем, что Прилежащие углы в треугольнике.

Прилежащие углы в треугольнике

Если углы 1 и 2 прямые, то Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике. Тогда Прилежащие углы в треугольникепо теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Проведем из точки О — середины отрезка АВ — перпендикуляр Прилежащие углы в треугольнике, к прямой O. Пусть Н2 — точка пересечения прямых Прилежащие углы в треугольнике

Рассмотрим треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике. У них Прилежащие углы в треугольникепо условию, Прилежащие углы в треугольникекак вертикальные и Прилежащие углы в треугольникепо построению. Итак, Прилежащие углы в треугольникепо второму признаку равенства треугольников. Отсюда Прилежащие углы в треугольникето есть прямая Прилежащие углы в треугольникеперпендикулярна прямым а и b. Тогда Прилежащие углы в треугольникепо теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Теорема доказана.

Для доказательства параллельности прямых можно использовать не только внутренние накрест лежащие углы, но и другие пары образовавшихся углов.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна Прилежащие углы в треугольнике, то прямые параллельны.

Действительно, если Прилежащие углы в треугольнике(рис. 120) и по теореме о смежных углах Прилежащие углы в треугольнике, то Прилежащие углы в треугольникеТогда по доказанной теореме Прилежащие углы в треугольнике.

Прилежащие углы в треугольнике

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Действительно, если Прилежащие углы в треугольнике(рис. 121), a Прилежащие углы в треугольникекак вертикальные, то Прилежащие углы в треугольникеТогда но доказанной теореме Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольнике

Следствия 1 и 2 можно объединить с доказанной теоремой в одно утверждение, выражающее признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей выполняется хотя бы одно из условий:

  1. внутренние накрест лежащие углы равны;
  2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
  3. соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.

Если выполняется одно из трех приведенных условий, то выполняются и два других (докажите это самостоятельно).

Пример №22

На рисунке 122 Прилежащие углы в треугольнике— биссектриса угла Прилежащие углы в треугольникеДокажите, что Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольнике

Решение:

По условию задачи треугольник Прилежащие углы в треугольникеравнобедренный с основанием Прилежащие углы в треугольникеПо свойству углов равнобедренного треугольника Прилежащие углы в треугольникеВместе с тем Прилежащие углы в треугольникетак как АС — биссектриса угла BAD. Отсюда, Прилежащие углы в треугольнике Прилежащие углы в треугольникеУглы 2 и 3 внутренние накрест лежащие при прямых Прилежащие углы в треугольникеи секущей Прилежащие углы в треугольникеПоскольку эти уг лы равны, то по признаку параллельности прямых Прилежащие углы в треугольникечто и требовалось доказать.

О существовании прямой, параллельной данной

Доказанные признаки параллельности прямых позволяют подробнее проанализировать формулировку аксиомы параллельных прямых (аксиомы Евклида, п. 4.1). В этой аксиоме утверждалась единственность прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой, но не утверждалось ее существование.

На основании признака параллельности прямых существование такой прямой можно доказать.

Пусть даны прямая АВ и точка С, не принадлежащая этой прямой (рис. 123). Проведем прямую АС. От луча СА отложим угол ACD, равный углу CAB, так, как показано на рисунке. Тогда углы ACD и CAB — внутренние накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей АС. По доказанному признаку AB || CD , то есть существует прямая, проходящая через точку С параллельна прямой АВ.

Прилежащие углы в треугольнике

Таким образом, мы можем объединить доказанный факт с аксиомой параллельных прямых в следующей теореме.

Теорема: (о существовании и единственности прямой, параллельной данной)

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, я притом только одну.

Вообще, аксиома Евклида и связанные с ней утверждения были предметом особого внимания ученых на протяжении многих веков. В начале позапрошлого столетия выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский создал неевклидову геометрию, в которой аксиома параллельных прямых не выполняется.

Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Теорема о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

В предыдущем параграфе мы установили соотношения углов между двумя прямыми и секущей, гарантирующие параллельность данных прямых. Но обязательно ли эти соотношения сохраняются для любой пары параллельных прямых, пересеченных секущей? Докажем утверждение, обратное признаку параллельности прямых.

Теорема: (свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей)

Если секущая пересекает две параллельные прямые, то:

  1. внутренние накрестлежащие углы равны;
  2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
  3. соответственные углы равны.

Доказательство:

Докажем первое из утверждений теоремы.

Пусть секущая с пересекает параллельные прямые а и b в точках A и В соответственно (рис. 132). Докажем методом от противного, что внутренние накрест лежащие углы при этих прямых равны.

Прилежащие углы в треугольнике

Пусть эти углы не равны. Проведем через точку А прямую Прилежащие углы в треугольникетак, чтобы внутренние накрест лежащие углы при прямых Прилежащие углы в треугольникеи b и секущей с были равны. Тогда по признаку параллельности прямых имеем Прилежащие углы в треугольникеНо Прилежащие углы в треугольникепо условию теоремы, а по аксиоме параллельных прямых через точку А можно провести лишь одну прямую, параллельную b. Таким образом, мы получили противоречие.

Следовательно, наше предположение ошибочно, то есть внутренние накрест лежащие углы равны. Из доказанного утверждения нетрудно получить другие два утверждения теоремы (сделайте это самостоятельно).

Следствие Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой

Это следствие обоснуйте самостоятельно по рисунку 133.

Прилежащие углы в треугольнике

Пример №23

Сумма двух внутренних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 210°. Найдите все образовавшиеся углы.

Решение:

Пусть а || b, с — секущая. Внутренние углы, о которых говорится в условии, могут быть односторонними, накрест лежащими или смежными. Поскольку при пересечении параллельных прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180° и сумма смежных углов также равна 180°, то данные углы — внутренние накрест лежащие. Пусть Прилежащие углы в треугольнике(рис. 134). Поскольку Прилежащие углы в треугольникето Прилежащие углы в треугольникеТогда:

Прилежащие углы в треугольнике°, так как углы 1 и 5 соответственные; Прилежащие углы в треугольнике, так как углы 3 и 5 внутренние односторонние; Прилежащие углы в треугольникетак как углы 2 и 3 вертикальные; Прилежащие углы в треугольникетак как углы 5 и 6 смежные; Прилежащие углы в треугольникетак как углы 7 и 3 соответственные; Прилежащие углы в треугольникетак как углы 8 и 4 соответственные.

Прилежащие углы в треугольнике

Расстояние между параллельными прямыми

Как вы уже знаете, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Можно предположить, что расстояние между параллельными прямыми тоже будет определяться с помощью перпендикуляра. Но прежде чем сформулировать определение, докажем еще одно свойство параллельных прямых.

Теорема: (о расстояниях от точек прямой до параллельной прямой)

Расстояния от любых двух точек прямой до параллельной ей прямой равны

Доказательство:

Пусть а и b — данные параллельные прямые, Прилежащие углы в треугольнике— расстояния от точек Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникепрямой Прилежащие углы в треугольникедо прямой Прилежащие углы в треугольнике(рис. 135). Докажем, что

Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольнике

Поскольку по определению расстояния от точки до прямой Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, то по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Прилежащие углы в треугольнике

Рассмотрим треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеУ них сторона Прилежащие углы в треугольникеобщая, Прилежащие углы в треугольникекак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеи секущей Прилежащие углы в треугольникекак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеи секущей Прилежащие углы в треугольнике. Таким образом, Прилежащие углы в треугольникепо второму признаку равенства треугольников, откуда Прилежащие углы в треугольникеТеорема доказана.

Из только что доказанной теоремы следует, что расстояние от точки прямой а до прямой b не зависит от выбора точки, то есть одинаково для всех точек прямой a. Это позволяет сформулировать следующее определение.

Определение:

Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Таким образом, расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую прямую.

На рисунке 136 Прилежащие углы в треугольникето есть АВ — расстояние между прямыми а и b. Заметим, что по следствию теоремы о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, Прилежащие углы в треугольнике, то есть Прилежащие углы в треугольнике— общий перпендикуляр к прямым а и b.

Прилежащие углы в треугольнике

Сумма углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника и ее следствия

Теорема: (о сумме углов треугольника)

Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, что Прилежащие углы в треугольникеПроведем через вершину В прямую b , параллельную АС (рис. 141). Тогда углы 1 и 4 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых b и АС и секущей АВ. Аналогично Прилежащие углы в треугольникекак внутренние накрест лежащие при тех же параллельных прямых, но секущей ВС. Имеем: Прилежащие углы в треугольникеТеорема доказана.

Прилежащие углы в треугольнике

В любом треугольнике по крайней мере два угла острые.

Действительно, если треугольник имел бы два неострых угла (тупых или прямых), то сумма всех углов превышала бы 180°, что противоречит доказанной теореме.

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Поскольку все углы равностороннего треугольника равны, то каждый из них равен Прилежащие углы в треугольнике.

Рассмотрим еще одно важное утверждение, которое следует из доказанной теоремы.

Пример №24

Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен 60°, то этот треугольник равносторонний. Докажите.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС. Рассмотрим два случая.

  1. Пусть угол 60° — один из углов при основании, например Прилежащие углы в треугольнике(рис. 142, а). Тогда Прилежащие углы в треугольникекак углы при основании равнобедренного треугольника. Таким образом, Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольникеЗначит, Прилежащие углы в треугольникето есть ABC — равносторонний треугольник.
  2. Пусть угол 60° — угол, противолежащий основанию, то есть Прилежащие углы в треугольнике(рис. 142, б). Тогда Прилежащие углы в треугольникекак углы при основании равнобедренного треугольника. Каждый из этих углов равен (180° — 60°) : 2 = 60°. Снова имеем, что все углы треугольника ABC равны, значит, этот треугольник равносторонний.

Только что решенная задача является опорной, то есть на нее можно ссылаться при решении других задач, кратко пересказывая ее содержание. В дальнейшем условия таких задач в учебнике будут выделены полужирным шрифтом и словом «опорная».

Виды треугольников по величине углов. Классификация

Как уже было доказано, любой треугольник имеет не менее двух острых углов. Это означает, что возможны три случая:

  1. все углы треугольника острые — остроугольный треугольник;
  2. два угла треугольника острые, а третий угол прямой — прямоугольный треугольник;
  3. два угла треугольника острые, а третий угол тупой — тупоугольный треугольник.

Исходя из этого, все треугольники можно разделить по величине углов на три вида: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные (рис. 143).

Прилежащие углы в треугольнике

Обратим внимание на то, что величина углов — это признак, по которому любой данный треугольник можно отнести лишь к одному из трех названных видов. Такое деление объектов на отдельные виды по определенному признаку называют классификацией. Признак, по которому осуществляется классификация, является ее основанием. Так, треугольники можно разделить и по другому основанию — длине сторон — на разносторонние (то есть не имеющие равных сторон), равнобедренные, но не равносторонние (у которых только две стороны равны) и равносторонние треугольники.

Классификация считается правильной, если любой из объектов можно отнести лишь к одному из названных классов. Так, неправильно будет разделять прямые на плоскости по взаимному расположению на параллельные, пересекающиеся и перпендикулярные (ведь перпендикулярность — частный случай пересечения). Ошибочно подразделять по величине неразвернутые углы на острые и тупые, поскольку есть еще и прямые углы.

Очень важно проводить классификацию лишь по одному основанию. Например, неверным было бы разделять треугольники на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные и равнобедренные, ведь равнобедренным может быть и остроугольный, и прямоугольный, и тупоугольный треугольник. Допустить такую ошибку — то же самое, что разделить всех людей на мужчин, женщин и учителей.

Примеры классификаций нетрудно найти и в других науках. Так, филологи делят члены предложения на главные (подлежащее и сказуемое) и второстепенные (дополнение, определение и обстоятельство). Попробуйте найти примеры классификации в физике, географии, биологии.

Внешний угол треугольника

Определение:

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом данного треугольника.

На рисунке 144 угол DAB — внешний угол треугольника ABC при вершине А.

Прилежащие углы в треугольнике

Очевидно, что при любой вершине треугольника можно построить два внешних угла, которые по отношению друг к другу являются вертикальными (рис. 145).

Прилежащие углы в треугольнике

Теорема: (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство:

Пусть углы 1, 2 и 3 — внутренние углы треугольника ABC, a Прилежащие углы в треугольнике— внешний угол, смежный с углом 1 (рис. 146). По теореме о сумме углов треугольника Прилежащие углы в треугольникеС другой стороны, по теореме о смежных углах Прилежащие углы в треугольникеОтсюда, Прилежащие углы в треугольникечто и требовалось доказать.

Прилежащие углы в треугольнике

Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Действительно, по доказанной теореме (рис. 146) Прилежащие углы в треугольникеТогда для их суммы имеем: Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике

Прямоугольные треугольники

Элементы прямоугольного треугольника

Как известно, прямоугольный треугольник имеет один прямой и два острых угла. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны — катетами. На рисунке 147 в треугольнике Прилежащие углы в треугольнике, AC — гипотенуза, АВ и ВС — катеты.

Прилежащие углы в треугольнике

Из теоремы о сумме углов треугольника следует: сумма острых углов прямоугольного трек- угольника равна 90°. Имеет место и обратное утверждение — признак прямоугольного треугольника: если в треугольнике сумма двух углов равна 90°, то этот треугольник прямоугольный.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Пользуясь признаками равенства треугольников и теоремой о сумме углов треугольника, можно сформулировать признаки равенства, характерные только для прямоугольных треугольников.

Приведем сначала два из них.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам (рис. 148) Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Прилежащие углы в треугольнике

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу (рис. 149)

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Прилежащие углы в треугольнике

Данные признаки — частные случаи первого и второго признаков равенства треугольников.

Следующие два признака нетрудно получить из второго признака равенства треугольников, используя теорему о сумме углов треугольника.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (рис. 150) Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Прилежащие углы в треугольнике

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (рис. 151)

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Прилежащие углы в треугольнике

Действительно, если данный треугольники имеют по равному острому углу Прилежащие углы в треугольнике, то другие острые углы этих треугольников равны Прилежащие углы в треугольнике, то есть также соответственно равны.

Еще один признак равенства прямоугольных треугольников докажем отдельно.

Гипотенуза — от греческого «гипотейнуса» — стягивающая. Название связано со способом построения прямоугольных реугольников натягиванием бечевки.

Теорема: (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету)

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть Прилежащие углы в треугольнике— данные прямоугольные треугольники, в которых Прилежащие углы в треугольнике90° , Прилежащие углы в треугольнике(рис. 152). Докажем, что Прилежащие углы в треугольнике

На продолжениях сторон Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеотложим отрезки Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, равные катетам Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникесоответственно. Тогда Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, по двум катетам. Таким образом, Прилежащие углы в треугольнике. Это значит, что Прилежащие углы в треугольникепо трем сторонам. Отсюда Прилежащие углы в треугольникеИ наконец, Прилежащие углы в треугольнике, по гипотенузе и острому углу. Теорема доказана.

Обратим внимание на дополнительное построение, состоящее в достраивании прямоугольного треугольника до равнобедренного.

Такой прием позволяет применять свойства равнобедренного треугольника при решении задач, в условиях которых о равнобедренном треугольнике речь не идет.

Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике

Рис. 152. Прямоугольные треугольники ABC и Прилежащие углы в треугольникеравны по гипотенузе и катету.

Прямоугольный треугольник с углом 30°

Прямоугольный треугольников котором один из острых углов равен 30°, имеет полезное свойство.

Опорная задача

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Докажите.

Решение

Пусть в треугольнике Прилежащие углы в треугольнике. Докажем, что Прилежащие углы в треугольникеОчевидно, что в треугольнике Прилежащие углы в треугольникеОтложим на продолжении стороны Прилежащие углы в треугольникеотрезок Прилежащие углы в треугольнике, равный Прилежащие углы в треугольнике(рис. 153). Прямоугольные треугольники Прилежащие углы в треугольникеравны по двум катетам. Отсюда следует, что Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике Прилежащие углы в треугольникеТаким образом, треугольник Прилежащие углы в треугольникеравносторонний, а отрезок Прилежащие углы в треугольнике— его медиана, то есть Прилежащие углы в треугольникечто и требовалось доказать.

Прилежащие углы в треугольнике

Имеет место также обратное утверждение (опорное): если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий данному катету, равен 30°.

Попробуйте доказать это утверждение самостоятельно при помощи дополнительного построения, аналогичного только что описанному.

Катет — от греческого «катетос» — отвес.

Сравнение сторон и углов треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема: (соотношения между сторонами и углами треугольника)

  1. против большей стороны лежит больший угол;
  2. против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:

Данная теорема содержит два утверждения — прямое и обратное. Докажем каждое из них отдельно.

1. Пусть в треугольнике Прилежащие углы в треугольнике. Докажем, что Прилежащие углы в треугольнике. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 156). Поскольку Прилежащие углы в треугольникето точка D лежит между точками А к В, значит, угол 1 является частью угла С, то есть Прилежащие углы в треугольникеОчевидно, что треугольник ADC равнобедренный с основанием DC, откуда Прилежащие углы в треугольникеКроме того, угол 2 — внешний угол треугольника Прилежащие углы в треугольнике, поэтому Прилежащие углы в треугольнике. Следовательно, имеем: Прилежащие углы в треугольникеоткуда Прилежащие углы в треугольнике

2. Пусть в треугольнике Прилежащие углы в треугольникеДокажем от противного, что Прилежащие углы в треугольнике. Если это не так, то Прилежащие углы в треугольникеили Прилежащие углы в треугольнике. В первом случае треугольник ABC равнобедренный с основанием ВС, то есть Прилежащие углы в треугольнике. Во втором случае, по только что доказанному утверждению, против большей стороны должен лежать больший угол, то есть Прилежащие углы в треугольнике. В обоих случаях имеем противоречие условию Прилежащие углы в треугольнике. Таким образом, наше предположение неверно, то есть Прилежащие углы в треугольнике. Теорема доказана.

Прилежащие углы в треугольнике

В тупоугольном треугольнике сторона, лежащая против тупого угла, — наибольшая.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Неравенство треугольника

Теорема: (неравенство треугольника)

В треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что Прилежащие углы в треугольнике. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок BD, равный стороне ВС (рис. 157). Треугольник BСD равнобедренный с основанием CD, откуда Прилежащие углы в треугольникеНо угол 2 является частью угла ACD, то есть Прилежащие углы в треугольникеТаким образом, в треугольнике Прилежащие углы в треугольнике. Учитывая соотношение между сторонами и углами тре угольника, имеем: Прилежащие углы в треугольникеТеорема доказана.

Прилежащие углы в треугольнике

Если для трех точек А, В, С справедливо равенство АС = АВ + ВС, то эти тонки лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С.

Действительно, если точка В не лежит на прямой АС, то по неравенству треугольника АС Прилежащие углы в треугольнике АВ + ВС . Если точка В лежит на прямой АС вне отрезка АС, это неравенство также очевидно справедливо. Остается единственная возможность: точка В лежит на отрезке АС.

Неравенство треугольника позволяет проанализировать возможность построения треугольника с заданными сторонами. В частности, если хотя бы одно из трех положительных чисел а, b, с больше или равно сумме двух других, то построить треугольник со сторонами а, b, с невозможно.

С неравенством треугольника связана классическая задача о нахождении кратчайшего пути на плоскости. Ее решение было известно еще великому древнегреческому ученому Архимеду (287—212 гг. до н. э.).

Пример №25

Точки А и В лежат по одну сторону от прямой с. Найдите на данной прямой такую точку С, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей (рис. 158).

Прилежащие углы в треугольнике

Решение:

Опустим из точки А перпендикуляр АО к прямой с и отложим на его продолжении отрезок Прилежащие углы в треугольникеравный Прилежащие углы в треугольникеДля любой точки С прямой с прямоугольные треугольники Прилежащие углы в треугольникеравны по двум катетам, откуда Прилежащие углы в треугольникеОчевидно, что по следствию неравенства треугольника сумма Прилежащие углы в треугольникебудет наименьшей в случае, когда точки Прилежащие углы в треугольникележат на одной прямой. Таким образом, искомая точка должна быть точкой пересечения отрезка Прилежащие углы в треугольникес прямой с.

Отметим, что в условиях данной задачи прямые АС и СB образуют с прямой с равные углы. Именно так распространяется луч света, который исходит из точки A, отражается от прямой с и попадает в точку В. Физики в таком случае говорят, что угол падения светового луча равен углу отражения.

Историческая справка

Аксиомы Евклида. Аксиомы, сформулированные Евклидом, легли в основу современной геометрии. Ученые на протяжении более двух тысяч лет исследовали, возможно ли доказать некоторые из евклидовых постулатов (аксиом), опираясь на другие. Особое внимание вызывала аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида). Среди великих геометров прошлого не было, пожалуй, ни одного, кто не попытался бы доказать ее как теорему. И только в начале XIX века выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) доказал, что эту аксиому невозможно вывести из других аксиом.

Неевклидова геометрия. Лобачевский создал другую, неевклидову геометрию. По Лобачевскому, прямая, параллельная данной прямой и проходящая через данную точку вне ее, не является единственной. Большинство современников это открытие не приняли. Такая же судьба постигла и работы других ученых, получивших аналогичные результаты: венгра Яноша Больяи и немца Карла Гаусса. И только через столетие неевклидова геометрия была признана и оценена как выдающееся научное открытие.

Прилежащие углы в треугольнике

Становление геометрической аксиоматики. В XX в. исследования вопросов аксиоматического построения геометрии вышли на качественно новый уровень. Немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943) обобщил и усовершенствовал систему евклидовых аксиом. Авторский вариант геометрических аксиом, разработанный на основе трудов Евклида и Гильберта, предложил наш соотечественник Алексей Васильевич Погорелов (1919-2002).

Геометрия треугольников. Евклид ввел понятие о равенстве геометрических фигур, совмещаемых наложением. В исследованиях древнегреческих геометров многие задачи и теоремы сводились к доказательству равенства треугольников (доказательство второго признака равенства треугольников приписывают Фалесу). Грекам была известна и теорема о сумме углов треугольника (впервые она встречается в комментариях Прокла к «началам» Евклида).

Прилежащие углы в треугольнике

Геометрия треугольника стала основой для изучения более сложных видов многоугольников, которые можно разбить на треугольники.

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Справочный материал по треугольнику

Треугольники

Треугольник и его элементы. Равные треугольники

  • ✓ Три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, соединены отрезками (рис. 245). Образовавшаяся фигура ограничивает часть плоскости, которую вместе с отрезками АВ, ВС и СА называют треугольником. Точки А, В, С называют вершинами, а отрезки АВ, ВС, СА — сторонами треугольника.

Прилежащие углы в треугольнике

  • ✓ Треугольник называют и обозначают по его вершинам.
  • ✓ В треугольнике АВС угол В называют углом, противолежащим стороне АС, а углы А и С — углами, прилежащими к стороне АС.
  • ✓ Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.
  • ✓ Треугольник называют остроугольным, если все его углы острые; прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой.
  • ✓ Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами.
  • ✓ Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.
  • ✓ Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением. Те пары сторон и углов, которые совмещаются при наложении равных треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами.
  • ✓ В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
  • ✓ В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
  • ✓ В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Высота, медиана, биссектриса треугольника

  • ✓ Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.
  • ✓ Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника.
  • ✓ Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника.

Признаки равенства треугольников

  • ✓ Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • ✓ Второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • ✓ Третий признак равенства треугольников: по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Равнобедренный треугольник и его свойства. Равносторонний треугольник

  • ✓ Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.
  • ✓ Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.
  • ✓ Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон.

✓ В равнобедренном треугольнике:

  • 1) углы при основании равны;
  • 2) биссектриса треугольника, проведенная к его основанию, является медианой и высотой треугольника.

✓ Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

✓ В равностороннем треугольнике:

  • 1) все углы равны;
  • 2) биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Признаки равнобедренного треугольника

  • ✓ Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника

  • ✓ Сумма углов треугольника равна 180°.
  • ✓ Среди углов треугольника по крайней мере два угла острые.
  • ✓ Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.
  • ✓ Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
  • ✓ Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.

Средняя линия треугольника и ее свойства

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 105 Прилежащие углы в треугольнике— средняя линия треугольника Прилежащие углы в треугольнике

Теорема 1 (свойство средней линии треугольника). Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство:

Пусть Прилежащие углы в треугольнике— средняя линия треугольника Прилежащие углы в треугольнике(рис. 105). Докажем, что Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике

1) Проведем через точку Прилежащие углы в треугольникепрямую, параллельную Прилежащие углы в треугольникеПо теореме Фалеса она пересекает сторону Прилежащие углы в треугольникев ее середине, то есть в точке Прилежащие углы в треугольникеСледовательно, эта прямая содержит среднюю линию Прилежащие углы в треугольникеПоэтому Прилежащие углы в треугольнике

2) Проведем через точку Прилежащие углы в треугольникепрямую, параллельную Прилежащие углы в треугольникекоторая пересекает Прилежащие углы в треугольникев точке Прилежащие углы в треугольникеТогда Прилежащие углы в треугольнике(по теореме Фалеса). Четырехугольник Прилежащие углы в треугольнике— параллелограмм.

Прилежащие углы в треугольнике(по свойству параллелограмма), но Прилежащие углы в треугольнике

Поэтому Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольнике

Пример №26

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, один из углов которого равен углу между диагоналями четырехугольника.

Доказательство:

Пусть Прилежащие углы в треугольнике— данный четырехугольник, а точки Прилежащие углы в треугольнике— середины его сторон (рис. 106). Прилежащие углы в треугольнике— средняя линия треугольника Прилежащие углы в треугольникепоэтому Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеАналогично Прилежащие углы в треугольнике

Таким образом, Прилежащие углы в треугольникеТогда Прилежащие углы в треугольнике— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

Прилежащие углы в треугольнике— средняя линия треугольника Прилежащие углы в треугольникеПоэтому Прилежащие углы в треугольникеСледовательно, Прилежащие углы в треугольнике— также параллелограмм, откуда: Прилежащие углы в треугольнике

Рассмотрим свойство медиан треугольника.

Теорема 2 (свойство медиан треугольника). Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

Прилежащие углы в треугольнике

Доказательство:

Пусть Прилежащие углы в треугольнике— точка пересечения медиан Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникетреугольника Прилежащие углы в треугольнике(рис. 107).

1) Построим четырехугольник Прилежащие углы в треугольникегде Прилежащие углы в треугольнике— середина Прилежащие углы в треугольнике— середина Прилежащие углы в треугольнике

2) Прилежащие углы в треугольнике— средняя линия треугольника

Прилежащие углы в треугольникепоэтому Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике

3) Прилежащие углы в треугольнике— средняя линия треугольника Прилежащие углы в треугольникепоэтому Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике

4) Следовательно, Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеЗначит, Прилежащие углы в треугольнике— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

5) Прилежащие углы в треугольнике— точка пересечения диагоналей Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникепараллелограмма Прилежащие углы в треугольникепоэтому Прилежащие углы в треугольникеНо Прилежащие углы в треугольнике Прилежащие углы в треугольникеТогда Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеСледовательно, точка Прилежащие углы в треугольникеделит каждую из медиан Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникев отношении 2:1, считая от вершин Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникесоответственно.

6) Точка пересечения медиан Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникедолжна также делить в отношении 2 : 1 каждую медиану. Поскольку существует единственная точка — точка Прилежащие углы в треугольникекоторая в таком отношении делит медиану Прилежащие углы в треугольникето медиана Прилежащие углы в треугольникетакже проходит через эту точку.

7) Следовательно, три медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Точку пересечения медиан еще называют центром масс треугольника, или центроидом треугольника.

Треугольник и его элементы

Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки (рис. 267).

Точки Прилежащие углы в треугольникевершины треугольника; отрезки Прилежащие углы в треугольнике Прилежащие углы в треугольникестороны треугольника; Прилежащие углы в треугольнике Прилежащие углы в треугольникеуглы треугольника.

Прилежащие углы в треугольнике

Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон. Прилежащие углы в треугольнике

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке 268 Прилежащие углы в треугольнике— медиана треугольника Прилежащие углы в треугольнике

Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

На рисунке 269 Прилежащие углы в треугольнике— биссектриса треугольника Прилежащие углы в треугольнике

Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на прямую, содержащую его противолежащую сторону.

Прилежащие углы в треугольнике

На рисунке 270 Прилежащие углы в треугольнике— высота Прилежащие углы в треугольникеСумма углов треугольника равна 180°.

Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) против большего угла лежит большая сторона.

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 271).

Прилежащие углы в треугольнике

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 272).

Прилежащие углы в треугольнике

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам ). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны (рис. 273).

Прилежащие углы в треугольнике

Виды треугольников

Треугольник называют равнобедренным, если две его стороны равны.

На рисунке 274 Прилежащие углы в треугольнике— равнобедренный, Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике— его боковые стороны, Прилежащие углы в треугольникеоснование.

Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Прилежащие углы в треугольнике

Признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Треугольник, все стороны которого равны, называют равносторонним.

На рисунке 275 Прилежащие углы в треугольнике— равносторонний.

Свойство углов равностороннего треугольника. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Признак равностороннего треугольника. Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний.

Треугольник, все стороны которого имеют разную длину, называют разносторонним.

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

На рисунке 276 биссектриса Прилежащие углы в треугольникепроведенная к основанию Прилежащие углы в треугольникеравнобедренного треугольника Прилежащие углы в треугольникеявляется его медианой и высотой.

В зависимости от углов рассматривают следующие виды треугольников:

  • остроугольные (все углы которого — острые — рис. 277);
  • прямоугольные (один из углов которых — прямой, а два других — острые — рис. 278);
  • тупоугольные (один из углов которых — тупой, а два других — острые — рис. 279).

Прилежащие углы в треугольнике

Внешний угол треугольника

Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

На рисунке 280 Прилежащие углы в треугольнике— внешний угол треугольника Прилежащие углы в треугольнике

Свойство внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольнике

Прямоугольные треугольники

Если Прилежащие углы в треугольникето Прилежащие углы в треугольнике— прямоугольный (рис. 281). Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникекатеты прямоугольного треугольника; Прилежащие углы в треугольникегипотенуза прямоугольного треугольника.

Свойства прямоугольных треугольников:

  1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
  2. Гипотенуза больше любого из катетов.
  3. Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
  4. Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.
  5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1. По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
  2. По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны.
  3. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
  4. По катету и противолежащему углу. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого, то такие треугольники равны.
  5. По катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Всё о треугольнике

Как, не накладывая треугольники один на другой, узнать, что они равны? Какими особыми свойства ми обладают равнобедренный и равносторонний треугольники? Как «устроена» теорема?

На эти и многие другие вопросы вы найдете ответы в данном параграфе.

Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника

Рассмотрим три точки Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике, не лежащие на одной прямой. Соединим их отрезками Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике. Полученная фигура ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 109 зеленым цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеназывают треугольником. Точки Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольникеназывают вершинами, а отрезки Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольникесторонами треугольника.

Прилежащие углы в треугольнике

Треугольник называют и обозначают по его вершинам. Треугольник, изображенный на рисунке 109, обозначают так: Прилежащие углы в треугольнике, или Прилежащие углы в треугольнике, или Прилежащие углы в треугольникеи т. д. (читают: «треугольник Прилежащие углы в треугольнике, треугольник Прилежащие углы в треугольнике» и т. д.). Углы Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике(рис. 110) называют углами треугольника Прилежащие углы в треугольнике.

В треугольнике Прилежащие углы в треугольнике, например, угол Прилежащие углы в треугольникеназывают углом, противолежащим стороне Прилежащие углы в треугольнике, углы Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике— углами, прилежащими к стороне Прилежащие углы в треугольнике, сторону Прилежащие углы в треугольникестороной, противолежащей углу Прилежащие углы в треугольнике, стороны Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникесторонами, прилежащими к углу Прилежащие углы в треугольнике(рис. 110).

Прилежащие углы в треугольнике

Определение. Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.

Например, для периметра треугольника Прилежащие углы в треугольникеиспользуют обозначение Прилежащие углы в треугольнике.

Определение. Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой. Если все углы острые, то треугольник называют остроугольным (рис. 111).

Прилежащие углы в треугольнике

Теорема7.1 (неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Доказательство: Рассмотрим Прилежащие углы в треугольнике(рис. 109). Точка Прилежащие углы в треугольникене принадлежит отрезку Прилежащие углы в треугольнике. Тогда в силу основного свойства длины отрезка Прилежащие углы в треугольнике. Аналогично доказывают остальные два неравенства: Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике.

Из доказанной теоремы следует, что если ZK длина одного из трех данных отрезков не меньше суммы длин двух других, то эти отрезки не могут служить сторонами треугольника (рис. 112).

Прилежащие углы в треугольнике

Если любой из трех данных отрезков меньше суммы двух других, то эти отрезки могут служить сторонами треугольника.

Определение. Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением.

Прилежащие углы в треугольнике

На рисунке 113 изображены равные треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике. Записывают: Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике. Эти треугольники можно совместить так, что вершины Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникесовпадут. Тогда можно записать: Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике.

Те стороны и те углы, которые совмещаются при наложении треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами. Так, на рисунке 113 углы Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, стороны Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике— соответственные.

Обычно на рисунках равные стороны отмечают одинаковым количеством черточек, а равные углы — одинаковым количеством дуг. На рисунке ИЗ таким способом отмечены соответственные стороны и углы.

Заметим, что в равных треугольниках против соответственных углов лежат соответственные стороны, и наоборот: против соответственных сторон лежат соответственные углы.

То, что для каждого треугольника существует равный ему треугольник, обеспечивает такое основное свойство равенства треугольников. Для данного треугольника Прилежащие углы в треугольникеи луча Прилежащие углы в треугольникесуществует треугольник Прилежащие углы в треугольникеравный треугольнику Прилежащие углы в треугольнике, такой, что Прилежащие углы в треугольникеи сторона Прилежащие углы в треугольникепринадлежит лучу Прилежащие углы в треугольнике, а вершина Прилежащие углы в треугольникележит в заданной полуплоскости относительно прямой Прилежащие углы в треугольнике(рис. 114).

Прилежащие углы в треугольнике

Теорема 7.2. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.

Доказательство: Рассмотрим прямую Прилежащие углы в треугольникеи не принадлежащую ей точку Прилежащие углы в треугольнике(рис. 115). Предположим, что через точку Прилежащие углы в треугольникепроходят две прямые Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, перпендикулярные прямой Прилежащие углы в треугольнике.

Прилежащие углы в треугольнике

В силу основного свойства равенства треугольников существует треугольник Прилежащие углы в треугольнике, равный треугольнику Прилежащие углы в треугольнике(рис. 116). Тогда Прилежащие углы в треугольнике. Отсюда Прилежащие углы в треугольнике, а значит, точки Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике( лежат на одной прямой.

Аналогично доказывают, что точки Прилежащие углы в треугольникетакже лежат на одной прямой. Но тогда прямые Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеимеют две точки пересечения: Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике. А это противоречит теореме 1.1. Следовательно, наше предположение неверно.

Прилежащие углы в треугольнике

Возможно, вы заметили, что определения равных отрезков, равных углов и равных треугольников очень похожи. Поэтому целесообразно принять следующее

Определение. Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.

Прилежащие углы в треугольнике

На рисунке 117 изображены равные фигуры Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике. Пишут: Прилежащие углы в треугольнике. Понятно, что любые две прямые (два луча, две точки).

Определение. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону, называют высотой треугольника.

Прилежащие углы в треугольнике

На рисунке 118 отрезки Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике— высоты треугольника Прилежащие углы в треугольнике. Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называют медианой треугольника.

Прилежащие углы в треугольнике

На рисунке 119 отрезок Прилежащие углы в треугольнике— медиана треугольника Прилежащие углы в треугольнике.

Определение. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называют биссектрисой треугольника.

Прилежащие углы в треугольнике

На рисунке 120 отрезок Прилежащие углы в треугольнике— биссектриса треугольника Прилежащие углы в треугольнике.

Далее, говоря «биссектриса угла треугольника», будем иметь в виду биссектрису треугольника, проведенную из вершины этого угла. Ясно, что каждый треугольник имеет три высоты, три медианы и три биссектрисы.

Часто длины сторон, противолежащих углам Прилежащие углы в треугольнике, обозначают соответственно Прилежащие углы в треугольнике. Длины высот обозначают Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике, медиан — Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике, биссектрис — Прилежащие углы в треугольнике. Индекс показывает, к какой стороне проведен отрезок (рис. 121).

Прилежащие углы в треугольнике

Первый и второй признаки равенства треугольников

Если для треугольников Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникевыполняются шесть условий Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике,Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольникето очевидно, что эти треугольники совпадут при наложении, значит, они равны. Попробуем уменьшить количество условий. Например, оставим лишь два равенства: Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике. Но тогда треугольники не обязательно окажутся равными (рис. 127).

Прилежащие углы в треугольнике

Как же сократить список требований до минимума, но при этом сохранить равенство треугольников? На этот вопрос отвечают теоремы, которые называют признаками равенства треугольников.

Теорема 8.1 (первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум, сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Прилежащие углы в треугольнике

Доказательство: Рассмотрим треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеу которых Прилежащие углы в треугольнике(рис. 128). Докажем, что Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике

Наложим Прилежащие углы в треугольникена Прилежащие углы в треугольникетак, чтобы луч Прилежащие углы в треугольникесовместился с лучом Прилежащие углы в треугольнике, а луч Прилежащие углы в треугольникесовместился с лучом Прилежащие углы в треугольнике. Это можно сделать, так как по условию Прилежащие углы в треугольникеПоскольку по условию Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, то при таком наложении сторона Прилежащие углы в треугольникесовместится со стороной Прилежащие углы в треугольнике, а сторона Прилежащие углы в треугольнике— со стороной Прилежащие углы в треугольнике. Следовательно, Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеполностью совместятся, значит, они равны.

Определение. Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка.

Прилежащие углы в треугольнике

На рисунке 129 прямая а является серединным перпендикуляром отрезка Прилежащие углы в треугольнике.

Теорема 8.2. Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

Прилежащие углы в треугольнике

Доказательство: Пусть Прилежащие углы в треугольнике— произвольная точка серединного перпендикуляра Прилежащие углы в треугольникеотрезка Прилежащие углы в треугольнике, точка Прилежащие углы в треугольнике— середина отрезка Прилежащие углы в треугольнике. Надо доказать, что Прилежащие углы в треугольнике. Если точка Прилежащие углы в треугольникесовпадает с точкой Прилежащие углы в треугольнике(а это возможно, так как Прилежащие углы в треугольнике— произвольная точка прямой а), то Прилежащие углы в треугольнике. Если точки Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникене совпадают, то рассмотрим треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике(рис. 130).

В этих треугольниках Прилежащие углы в треугольнике, так как Прилежащие углы в треугольнике— середина отрезка Прилежащие углы в треугольнике. Сторона Прилежащие углы в треугольнике— общая, Прилежащие углы в треугольнике. Следовательно, Прилежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Значит, отрезки Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеравны как соответственные стороны равных треугольников.

Теорема 8.3 (второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Прилежащие углы в треугольнике

Доказательство: Рассмотрим треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, у которых Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике, (рис. 131). Докажем, что Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике.

Наложим Прилежащие углы в треугольникена Прилежащие углы в треугольникетак, чтобы точка Прилежащие углы в треугольникесовместилась с точкой Прилежащие углы в треугольнике, отрезок Прилежащие углы в треугольнике— с отрезком Прилежащие углы в треугольнике(это возможно, так как Прилежащие углы в треугольнике) и точки Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникележали в одной полуплоскости относительно прямой Прилежащие углы в треугольнике. Поскольку Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникето луч Прилежащие углы в треугольникесовместится с лучом Прилежащие углы в треугольнике, а луч Прилежащие углы в треугольнике— с лучом Прилежащие углы в треугольнике. Тогда точка Прилежащие углы в треугольнике— общая точка лучей Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике— совместится с точкой Прилежащие углы в треугольнике— общей точкой лучей Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике. Значит, Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, полностью совместятся, следовательно, они равны.

Прилежащие углы в треугольнике

Пример №27

На рисунке 132 точка Прилежащие углы в треугольнике— середина отрезка Прилежащие углы в треугольнике. Докажите, что Прилежащие углы в треугольнике.

Решение:

Рассмотрим Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике. Прилежащие углы в треугольнике, так как точка Прилежащие углы в треугольнике— середина отрезка Прилежащие углы в треугольнике. Прилежащие углы в треугольникепо условию. Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеравны как вертикальные. Следовательно, Прилежащие углы в треугольникепо / стороне и двум прилежащим углам. Рассмотрим Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике. Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике, так как Прилежащие углы в треугольнике. Прилежащие углы в треугольнике— общая сторона. Следовательно, Прилежащие углы в треугольникепо двум сторонам и углу между ними. Тогда Прилежащие углы в треугольнике.

Равнобедренный треугольник и его свойства

Определение. Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.

Прилежащие углы в треугольнике

На рисунке 155 изображен равнобедренный треугольник Прилежащие углы в треугольнике, у которого Прилежащие углы в треугольнике.

Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.

Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон (точка Прилежащие углы в треугольникена рисунке 155). При этом угол Прилежащие углы в треугольникеназывают углом при вершине, а углы Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеуглами при основании равнобедренного треугольника.

Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

Прилежащие углы в треугольнике

На рисунке 156 изображен равносторонний треугольник Прилежащие углы в треугольнике. Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного треугольника.

Теорема 9.1. В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) биссектриса угла при вершине является медианой и высотой.

Прилежащие углы в треугольнике

Доказательство: Рассмотрим равнобедренный треугольник Прилежащие углы в треугольнике, у которого Прилежащие углы в треугольнике, отрезок Прилежащие углы в треугольнике— его биссектриса (рис. 157). Требуется доказать, что Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике.

В треугольниках Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникесторона Прилежащие углы в треугольнике— общая, Прилежащие углы в треугольнике, так как по условию Прилежащие углы в треугольнике— биссектриса угла Прилежащие углы в треугольнике, стороны Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеравны как боковые стороны равнобедренного треугольника. Следовательно, Прилежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников.

Отсюда можно сделать такие выводы:

  1. Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеравны как соответственные углы в равных треугольниках;
  2. отрезки Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеравны как соответственные стороны равных треугольников, следовательно, Прилежащие углы в треугольнике— медиана;
  3. Прилежащие углы в треугольнике. Но Прилежащие углы в треугольнике. Отсюда следует, что Прилежащие углы в треугольнике, значит, Прилежащие углы в треугольнике— высота.

Из этой теоремы следует, что:

  1. в треугольнике против равных сторон лежат равные углы;
  2. в равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из его вершины, совпадают;
  3. в равностороннем треугольнике все углы равны;
  4. в равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Определение. Если в треугольнике все стороны имеют разную длину, то такой треугольник называют разносторонним.

Прилежащие углы в треугольнике

Пример №28

Отрезок Прилежащие углы в треугольнике— медиана равнобедренного треугольника Прилежащие углы в треугольнике, проведенная к основанию. На сторонах Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеотмечены соответственно точки Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникетак, что Прилежащие углы в треугольнике. Докажите равенство треугольников Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике.

Решение:

Имеем:Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике(рис. 158). Так как Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, то Прилежащие углы в треугольнике. Прилежащие углы в треугольнике, поскольку медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой. Прилежащие углы в треугольнике— общая сторона треугольников Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике. Следовательно, Прилежащие углы в треугольникепо двум сторонам и углу между ними.

Признаки равнобедренного треугольника

В предыдущем пункте мы рассмотрели свойства равнобедренного треугольника. А как среди треугольников «распознавать» равнобедренные? На этот вопрос дают ответ следующие теоремы.

Теорема 10.1. Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Прилежащие углы в треугольнике

Доказательство: Рассмотрим треугольник Прилежащие углы в треугольнике, у которого отрезок Прилежащие углы в треугольнике— медиана и высота. Надо доказать, что Прилежащие углы в треугольнике(рис. 168). Из условия теоремы следует, что прямая Прилежащие углы в треугольнике— серединный перпендикуляр отрезка Прилежащие углы в треугольнике.

Тогда по свойству серединного перпендикуляра Прилежащие углы в треугольнике.

Теорема 10.2. Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Прилежащие углы в треугольнике

Доказательство: Рассмотрим треугольник Прилежащие углы в треугольнике, у которого отрезок Прилежащие углы в треугольнике— биссектриса и высота. Надо доказать, что Прилежащие углы в треугольнике(рис. 169). В треугольниках Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникесторона Прилежащие углы в треугольнике— общая, Прилежащие углы в треугольнике, так как по условию Прилежащие углы в треугольнике— биссектриса угла Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике, так как по условию Прилежащие углы в треугольнике— высота. Следовательно, Прилежащие углы в треугольнике Прилежащие углы в треугольникепо второму признаку равенства треугольников. Тогда стороны Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеравны как соответственные стороны равных треугольников.

Теорема 10.3. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство: Рассмотрим треугольник Прилежащие углы в треугольнике, у которогоПрилежащие углы в треугольнике. Надо доказать, что Прилежащие углы в треугольнике.

Проведем серединный перпендикуляр Прилежащие углы в треугольникестороны Прилежащие углы в треугольнике. Докажем, что прямая Прилежащие углы в треугольникепроходит через вершину Прилежащие углы в треугольнике.

Прилежащие углы в треугольнике

Предположим, что это не так. Тогда прямая Прилежащие углы в треугольникепересекает или сторону Прилежащие углы в треугольнике(рис. 170), или сторону Прилежащие углы в треугольнике(рис. 171).

Рассмотрим первый из этих случаев. Пусть Прилежащие углы в треугольнике— точка пересечения прямой Прилежащие углы в треугольникесо стороной Прилежащие углы в треугольнике. Тогда по свойству серединного перпендикуляра (теорема 8.2) Прилежащие углы в треугольнике. Следовательно, Прилежащие углы в треугольнике— равнобедренный, а значит Прилежащие углы в треугольнике. Но по условиюПрилежащие углы в треугольнике. Тогда имеем: Прилежащие углы в треугольнике, что противоречит основному свойству величины угла (п. 3).

Аналогично получаем противоречие и для второго случая (рис. 171).

Прилежащие углы в треугольнике

Следовательно, наше предположение неверно. Прямая Прилежащие углы в треугольникепроходит через точку Прилежащие углы в треугольнике(рис. 172), и по свойству серединного перпендикуляра Прилежащие углы в треугольнике.

Из этой теоремы следует, что в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

Теорема 10.4. Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Прилежащие углы в треугольнике

Доказательство: Рассмотрим треугольник Прилежащие углы в треугольнике, у которого отрезок Прилежащие углы в треугольнике— медиана и биссектриса (рис. 173). Надо доказать, что Прилежащие углы в треугольнике. На луче Прилежащие углы в треугольникеотложим отрезок Прилежащие углы в треугольнике, равный отрезку Прилежащие углы в треугольнике(рис. 173). В треугольниках Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, так как по условию Прилежащие углы в треугольнике— медиана, Прилежащие углы в треугольникепо построению, Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеравны как вертикальные. Следовательно, Прилежащие углы в треугольнике Прилежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников. Тогда стороны Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеравны как соответственные элементы равных треугольников. Поскольку Прилежащие углы в треугольнике— биссектриса угла Прилежащие углы в треугольнике, то Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике. С учетом доказанного получаем, что Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике. Тогда по теореме 10.3 Прилежащие углы в треугольнике— равнобедренный, откуда Прилежащие углы в треугольнике. Но уже доказано, что Прилежащие углы в треугольнике. Следовательно, Прилежащие углы в треугольнике.

Прилежащие углы в треугольнике

Пример №29

В треугольнике Прилежащие углы в треугольникепроведена биссектриса Прилежащие углы в треугольнике(рис. 174), Прилежащие углы в треугольнике,Прилежащие углы в треугольнике. Докажите, что Прилежащие углы в треугольнике.

Решение:

Так как Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике— смежные, то Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике. Следовательно, в треугольнике Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике.

Тогда Прилежащие углы в треугольнике— равнобедренный с основанием Прилежащие углы в треугольнике, и его биссектриса Прилежащие углы в треугольнике( Прилежащие углы в треугольнике— точка пересечения Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике) является также высотой, т. е. Прилежащие углы в треугольнике.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 11.1 (третий признак равенства треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Прилежащие углы в треугольнике

Доказательство: Рассмотрим треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике(рис. 177), у которых Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике Прилежащие углы в треугольнике(эти равенства указывают, какие стороны треугольников соответствуют друг другу). Докажем, что Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике.

Прилежащие углы в треугольнике

Расположим треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, так, чтобы вершина Прилежащие углы в треугольникесовместилась с вершиной Прилежащие углы в треугольникевершина Прилежащие углы в треугольнике— с Прилежащие углы в треугольникеа вершины Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникележали в разных полуплоскостях относительно прямой Прилежащие углы в треугольнике(рис. 178). Проведем отрезок Прилежащие углы в треугольнике. Поскольку Прилежащие углы в треугольнике, то треугольник Прилежащие углы в треугольнике— равнобедренный, значит, Прилежащие углы в треугольнике. Аналогично можно доказать, что Прилежащие углы в треугольнике. Следовательно, Прилежащие углы в треугольнике. Тогда Прилежащие углы в треугольнике Прилежащие углы в треугольникепо первому признаку равенства треугольников.

Казалось бы, доказательство завершено. Однако мы рассмотрели лишь случай, когда отрезок Прилежащие углы в треугольникепересекает отрезок Прилежащие углы в треугольникево внутренней точке. На самом деле отрезок Прилежащие углы в треугольникеможет проходить через один из концов отрезка Прилежащие углы в треугольнике, например, через точку Прилежащие углы в треугольнике(рис. 179), или не иметь общих точек с отрезком Прилежащие углы в треугольнике(рис. 180). В обоих этих случаях доказательства будут аналогичными приведенному. Проведите их самостоятельно.

Прилежащие углы в треугольнике

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольникжесткая фигура. Действительно, если четыре рейки скрепить так, как показано на рисунке 181, а, то такая конструкция не будет жесткой (рис. 181, б, в).

Прилежащие углы в треугольнике

Если же добавить еще одну рейку, создав два треугольника (рис. 181, г), то полученная конструкция станет жесткой.

Этот факт широко используют в практике (рис. 182).

Прилежащие углы в треугольнике

Теорема 11.2. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.

Прилежащие углы в треугольнике

Доказательство: Пусть точка Прилежащие углы в треугольникеравноудалена от концов отрезка Прилежащие углы в треугольнике, т. е. Прилежащие углы в треугольнике(рис. 183). Рассмотрим треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, где Прилежащие углы в треугольнике— середина отрезка Прилежащие углы в треугольнике. Тогда Прилежащие углы в треугольникепо третьему признаку равенства треугольников. Отсюда Прилежащие углы в треугольнике. Но сумма этих углов равна 180°, следовательно, каждый из них равен 90°. Значит, прямая Прилежащие углы в треугольнике— серединный перпендикуляр отрезка Прилежащие углы в треугольнике.

Заметим, что мы рассмотрели случай, когда точка Прилежащие углы в треугольникене принадлежит прямой Прилежащие углы в треугольнике. Если точка Прилежащие углы в треугольникепринадлежит прямой Прилежащие углы в треугольнике, то она совпадает с серединой отрезка Прилежащие углы в треугольнике, а значит, принадлежит его серединному перпендикуляру.

Теоремы

Вы видите, что в учебнике появляется все больше и больше теорем. И это не удивительно: ведь геометрия в основном состоит из теорем и их доказательств. Формулировки всех теорем, которые мы доказали, состоят из двух частей. Первую часть теоремы (то, что дано) называют условием теоремы, вторую часть теоремы (то, что требуется доказать) — заключением.

Например, в теореме 8.1 (первый признак равенства треугольников) условием является то, что две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, а заключением — равенство треугольников.

Все знакомые вам теоремы можно условно разделить на теоремы-свойства и теоремы-признаки. Например, теорема 1.1 устанавливает свойство пересекающихся прямых, теорема 9.1 — свойство равнобедренного треугольника.

Теоремы-признаки перечисляют свойства, по которым можно распознать фигуру, т. е. отнести ее к тому или иному виду (классу). Так, теоремы-признаки равенства треугольников указывают требования, по которым два треугольника можно причислить к классу равных. Например, в теоремах 10.1-10.4 сформулированы свойства, по которым «распознают» равнобедренный треугольник. Теоремы, которые следуют непосредственно из аксиом или теорем, называют теоремами-следствиями или просто следствиями.

Например, теорема 7.1 (неравенство треугольника) является следствием из основного свойства длины отрезка. Свойство углов, противолежащих равным сторонам треугольника, является следствием из теоремы 9.1.

Если в теореме 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра поменять местами условие и заключение, то получим теорему 11.2. В таких случаях теоремы называют взаимно обратными. Если какую-то из этих теорем назвать прямой, то вторую теорему будем называть обратной.

При формулировке обратной теоремы надо быть очень внимательными: не всегда можно получить истинное утверждение. Например, утверждение, обратное теореме 4.1 о сумме смежных углов, неверно. Действительно, если сумма каких-то двух углов равна 180°, то совершенно не обязательно, чтобы эти углы были смежными. В таких случаях говорят, что обратная теорема неверна. Вы знаете, что справедливость теоремы устанавливают путем логических рассуждений, т. е. доказательства.

Первая теорема этого учебника была доказана методом от противного. Название этого метода фактически отражает его суть. Мы предположили, что заключение теоремы 1.1 неверно. На основании этого предположения с помощью логических рассуждений был получен факт, который противоречил основному свойству прямой.

Методом от противного также были доказаны и другие теоремы, например теоремы 2.1, 5.1, 10.3.

Очень важно, чтобы доказательство теоремы было полным. Так, полное доказательство теоремы 11.1 (третий признак равенства треугольников) потребовало рассмотрения всех трех возможных случаев. Умение видеть все тонкости доказательства — важнейшее качество, формирующее математическую культуру. Если бы, например, при доказательстве теоремы 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра мы не рассмотрели отдельно случай, когда точка Прилежащие углы в треугольникеявляется серединой отрезка Прилежащие углы в треугольнике, то обращение к треугольникам Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникебыло бы не совсем «законным». При доказательстве теоремы 10.4 (признак равнобедренного треугольника) мы использовали прием дополнительного построения: чертеж дополнили элементами, о которых не шла речь в условии теоремы. Этот метод является ключом к решению многих задач и доказательству ряда теорем. Поэтому очень важно научиться видеть «выгодное» (результативное) дополнительное построение.

А как приобрести такое «геометрическое зрение»? Вопрос непростой, и на него сложно ответить конкретными рекомендациями. Но все же мы советуем, во-первых, не быть равнодушными к геометрии, а полюбить этот красивый предмет, во-вторых, решать больше задач, чтобы развить интуицию и приобрести нужный опыт. Дерзайте!

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника

Как установить параллельность двух прямых? Какими свойствами обладают параллельные прямые? Чему равна сумма углов любого треугольника? Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник? Изучив материал этого параграфа, вы получите ответы на поставленные вопросы.

Параллельные прямые

Определение. Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.

Прилежащие углы в треугольнике

На рисунке 192 изображены параллельные прямые Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике. Пишут: Прилежащие углы в треугольнике(читают: «прямые Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникепараллельны» или «прямая а параллельна прямой Прилежащие углы в треугольнике»). Если два отрезка лежат на параллельных прямых, то их также называют параллельными.

Прилежащие углы в треугольнике

На рисунке 193 отрезки Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникепараллельны. Пишут: Прилежащие углы в треугольнике.

Прилежащие углы в треугольнике

Также можно говорить о параллельности двух лучей, луча и отрезка, прямой и луча, отрезка и прямой. Например, на рисунке 194 изображены параллельные лучи.

Теорема 13.1 (признак параллельности прямых). Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

Прилежащие углы в треугольнике

Доказательство: На рисунке 195 Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике. Надо доказать, чтоПрилежащие углы в треугольнике.

Прилежащие углы в треугольнике

Предположим, что прямые Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникепересекаются в некоторой точке Прилежащие углы в треугольнике(рис. 196). Тогда через точку Прилежащие углы в треугольнике, не принадлежащую прямой Прилежащие углы в треугольнике, проходят две прямые Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, перпендикулярные прямой Прилежащие углы в треугольнике. Это противоречит теореме 7.2. Следовательно, Прилежащие углы в треугольнике.

Доказанная теорема позволяет с помощью линейки и угольника строить параллельные прямые (рис. 197).

Прилежащие углы в треугольнике

Следствие. Через данную точку Прилежащие углы в треугольнике, не принадлежащую прямой Прилежащие углы в треугольнике, можно провести прямую Прилежащие углы в треугольнике, параллельную прямой Прилежащие углы в треугольнике.

Доказательство: Пусть точка Прилежащие углы в треугольнике не принадлежит прямой Прилежащие углы в треугольнике (рис. 198).

Прилежащие углы в треугольнике

Проведем (например, с помощью угольника) через точку Прилежащие углы в треугольнике прямую Прилежащие углы в треугольнике, перпендикулярную прямой Прилежащие углы в треугольнике. Теперь через точку Прилежащие углы в треугольнике проведем прямую Прилежащие углы в треугольнике, перпендикулярную прямой Прилежащие углы в треугольнике. В силу теоремы 13.1 Прилежащие углы в треугольнике.

Можно ли через точку Прилежащие углы в треугольнике(рис. 198) провести еще одну прямую, параллельную прямой Прилежащие углы в треугольнике? Ответ дает следующее

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Теорема 13.2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство: Пусть Прилежащие углы в треугольникеиПрилежащие углы в треугольнике. Докажем, что Прилежащие углы в треугольнике.

Прилежащие углы в треугольнике

Предположим, что прямые Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникене параллельны, а пересекаются в некоторой точке Прилежащие углы в треугольнике(рис. 199). Получается, что через точку Прилежащие углы в треугольникепроходят две прямые, параллельные прямой Прилежащие углы в треугольнике, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, Прилежащие углы в треугольнике.

Пример №30

Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Прилежащие углы в треугольнике

Решение:

Пусть прямые Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникепараллельны, прямая Прилежащие углы в треугольникепересекает прямую Прилежащие углы в треугольникев точке Прилежащие углы в треугольнике(рис. 200). Предположим, что прямая Прилежащие углы в треугольникене пересекает прямую Прилежащие углы в треугольнике, тогда Прилежащие углы в треугольнике. Но в этом случае через точку Прилежащие углы в треугольникепроходят две прямые Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, параллельные прямой Прилежащие углы в треугольнике, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, прямая Прилежащие углы в треугольникепересекает прямую Прилежащие углы в треугольнике.

Прилежащие углы в треугольнике

Признаки параллельности двух прямых

Если две прямые Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникепересечь третьей прямой Прилежащие углы в треугольнике, то образуется восемь углов (рис. 204). Прямую с называют секущей прямых Прилежащие углы в треугольникеа и Прилежащие углы в треугольнике.

Прилежащие углы в треугольнике

  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4 и 8 называют соответственными.

Теорема 14.1. Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Прилежащие углы в треугольнике

Доказательство: На рисунке 205 прямая Прилежащие углы в треугольникеявляется секущей прямых Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике. Докажем, что Прилежащие углы в треугольнике.

Прилежащие углы в треугольнике

Если Прилежащие углы в треугольнике(рис. 206), то параллельность прямых Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеследует из теоремы 13.1.

Прилежащие углы в треугольнике

Пусть теперь прямая Прилежащие углы в треугольникене перпендикулярна ни прямой Прилежащие углы в треугольнике, ни прямой Прилежащие углы в треугольнике. Отметим точку Прилежащие углы в треугольнике— середину отрезка Прилежащие углы в треугольнике(рис. 207). Через точку Прилежащие углы в треугольникепроведем перпендикуляр Прилежащие углы в треугольникек прямой Прилежащие углы в треугольнике. Пусть прямая Прилежащие углы в треугольникепересекает прямую Прилежащие углы в треугольникев точке Прилежащие углы в треугольнике. Имеем: Прилежащие углы в треугольникепо условию; Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеравны как вертикальные.

Следовательно, Прилежащие углы в треугольникепо второму признаку равенства треугольников. Отсюда Прилежащие углы в треугольнике. Мы показали, что прямые Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеперпендикулярны прямой Прилежащие углы в треугольнике, значит, они параллельны.

Теорема 14.2. Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.

Прилежащие углы в треугольнике

Доказательство: На рисунке 208 прямая Прилежащие углы в треугольникеявляется секущей прямых Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике. Докажем, что Прилежащие углы в треугольнике.

Углы 1 и 3 смежные, следовательно, Прилежащие углы в треугольнике. Тогда Прилежащие углы в треугольнике. Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 Прилежащие углы в треугольнике.

Теорема 14.3. Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Прилежащие углы в треугольнике

Доказательство: На рисунке 209 прямая Прилежащие углы в треугольникеявляется секущей прямых Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике. Докажем, что Прилежащие углы в треугольнике.

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. Следовательно, Прилежащие углы в треугольнике. Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 Прилежащие углы в треугольнике. ▲

Прилежащие углы в треугольнике

Пример №31

На рисунке 210 Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике. Докажите, что Прилежащие углы в треугольнике.

Решение:

Рассмотрим Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике. Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике— по условию. Прилежащие углы в треугольнике— общая сторона. Значит, Прилежащие углы в треугольникепо двум сторонам и углу между ними. Тогда Прилежащие углы в треугольнике. Кроме того, Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике— накрест лежащие при прямых Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеи секущей Прилежащие углы в треугольнике. Следовательно, Прилежащие углы в треугольнике.

Пятый постулат Евклида

В качестве аксиом выбирают очевидные утверждения. Тогда почему бы, например, теоремы 1.1-5.1 не включить в список аксиом: ведь они тоже очевидны? Ответ на этот вопрос совершенно ясен: если какое-то утверждение можно доказать с помощью аксиом, то это утверждение — теорема, а не аксиома.

С этих позиций очень поучительна история, связанная с пятым постулатом Евклида (напомним, что в рассказе «Из истории геометрии» мы сформулировали первых четыре постулата).

Прилежащие углы в треугольнике

V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов (рис. 225).

Можно показать, что пятый постулат и сформулированная нами в п. 13 аксиома параллельности прямых равносильны, т. е. из постулата следует аксиома и наоборот — из аксиомы следует постулат.

Более 20 веков многие ученые пытались доказать пятый постулат (аксиому параллельности прямых), т. е. вывести его из других аксиом Евклида. Лишь в начале XIX века несколько матема- / тиков независимо друг от друга пришли ДР к выводу: утверждение, что через данную точку, не лежащую на данной, прямой, можно провести только одну прямую, парал- а + р 0 .

Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник Прилежащие углы в треугольнике. Требуется доказать, что Прилежащие углы в треугольнике.

Прилежащие углы в треугольнике

Через вершину Прилежащие углы в треугольникепроведем прямую Прилежащие углы в треугольнике, параллельную прямой Прилежащие углы в треугольнике(рис. 245). Имеем: Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеравны как накрест лежащие при параллельных прямых Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеи секущей Прилежащие углы в треугольнике. Аналогично доказываем, что Прилежащие углы в треугольнике. Но углы 1, 2, 3 составляют развернутый угол с вершиной Прилежащие углы в треугольнике. Следовательно, Прилежащие углы в треугольнике.

Следствие. Среди углов треугольника хотя бы два угла острые.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Определение. Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

Прилежащие углы в треугольнике

На рисунке 246 углы 1, 2, 3 являются внешними углами треугольника Прилежащие углы в треугольнике.

Теорема 16.2. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство: На рисунке 246 Прилежащие углы в треугольнике— внешний. Надо доказать, что Прилежащие углы в треугольнике.

Очевидно, что Прилежащие углы в треугольнике. Та как Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике, то Прилежащие углы в треугольнике, отсюда Прилежащие углы в треугольнике.

Следствие. Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Вы уже знаете, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы, и наоборот, против равных углов лежат равные стороны (п. 9, 10). Это свойство дополняет следующая

Теорема 16.3. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Прилежащие углы в треугольнике

Доказательство: Рассмотрим треугольник Прилежащие углы в треугольнике, у которого Прилежащие углы в треугольнике. Надо доказать, что Прилежащие углы в треугольнике(рис. 247).

Поскольку Прилежащие углы в треугольнике, то на стороне Прилежащие углы в треугольникенайдется такая точка Прилежащие углы в треугольнике, что Прилежащие углы в треугольнике. Получили равнобедренный треугольник Прилежащие углы в треугольнике, в котором Прилежащие углы в треугольнике.

Так как Прилежащие углы в треугольнике— внешний угол треугольника Прилежащие углы в треугольнике, то Прилежащие углы в треугольнике. Следующая «цепочка» доказывает первую часть теоремы:

Прилежащие углы в треугольнике

Рассмотрим треугольник Прилежащие углы в треугольнике, у которого Прилежащие углы в треугольнике. Надо доказать, что Прилежащие углы в треугольнике.

Прилежащие углы в треугольнике

Поскольку Прилежащие углы в треугольнике, то угол Прилежащие углы в треугольникеможно разделить на два угла Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникетак, что Прилежащие углы в треугольнике(рис. 248). Тогда Прилежащие углы в треугольнике— равнобедренный с равными сторонами Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике.

Используя неравенство треугольника, получим: Прилежащие углы в треугольнике.

Пример №34

Медиана Прилежащие углы в треугольникетреугольника Прилежащие углы в треугольникеравна половине стороны Прилежащие углы в треугольнике. Докажите, что Прилежащие углы в треугольнике— прямоугольный.

Прилежащие углы в треугольнике

Решение:

По условию Прилежащие углы в треугольнике(рис. 249). Тогда в треугольнике Прилежащие углы в треугольнике. Аналогично Прилежащие углы в треугольнике, и в треугольнике Прилежащие углы в треугольнике. В Прилежащие углы в треугольнике: Прилежащие углы в треугольнике. Учитывая, что Прилежащие углы в треугольникеПрилежащие углы в треугольнике, имеем:

Прилежащие углы в треугольнике.

Следовательно, Прилежащие углы в треугольнике— прямоугольный.

Прямоугольный треугольник

На рисунке 255 изображен прямоугольный треугольник Прилежащие углы в треугольнике, у которого Прилежащие углы в треугольнике.

Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами (рис. 255).

Прилежащие углы в треугольнике

Для доказательства равенства двух треугольников находят их равные элементы. У любых двух прямоугольных треугольников такие элементы есть всегда — это прямые углы. Поэтому для прямоугольных треугольников можно сформулировать «персональные» признаки равенства.

Теорема17.1 (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету). Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Прилежащие углы в треугольнике

Доказательство: Рассмотрим треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, у которых Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике(рис. 256). Надо доказать, что Прилежащие углы в треугольнике.

Расположим треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникетак, чтобы вершина Прилежащие углы в треугольникесовместилась Прилежащие углы в треугольникевершиной Прилежащие углы в треугольникевершина Прилежащие углы в треугольнике— с вершиной Прилежащие углы в треугольнике, а точки Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникележали в разных полуплоскостях относительно прямой Прилежащие углы в треугольнике(рис. 257).

Прилежащие углы в треугольнике

Имеем: Прилежащие углы в треугольнике. Значит, угол Прилежащие углы в треугольнике— развернутый, и тогда точки Прилежащие углы в треугольникележат на одной прямой. Получили равнобедренный треугольник Прилежащие углы в треугольникес боковыми сторонами Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике, и высотой Прилежащие углы в треугольнике(рис. 257). Тогда Прилежащие углы в треугольнике— медиана этого треугольника, и Прилежащие углы в треугольнике Прилежащие углы в треугольникеСледовательно, Прилежащие углы в треугольникепо третьему признаку равенства треугольников.

При решении задач удобно пользоваться и другими признаками равенства прямоугольных треугольников, непосредственно вытекающими из признаков равенства треугольников.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум к а т е т а м. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Очевидно, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то равны и два других острых угла. Воспользовавшись этим утверждением, список признаков равенства прямоугольных треугольников можно дополнить еще двумя признаками.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Пример №35

Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведенной из вершины этого угла.

Прилежащие углы в треугольнике

Решение:

В треугольниках Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике(рис. 258) Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольникеотрезки Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольнике— биссектрисы, Прилежащие углы в треугольнике.

Так как Прилежащие углы в треугольнике

Прилежащие углы в треугольнике

то прямоугольные треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеравны по гипотенузе и острому углу. Тогда Прилежащие углы в треугольникеи прямоугольные треугольники Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеравны по катету и прилежащему острому углу.

Свойства прямоугольного треугольника

Теорема 18.1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Доказательство: Каждый из катетов лежит против острого угла, а гипотенуза лежит против прямого угла. Прямой угол больше острого угла, следовательно, в силу теоремы 16.3 гипотенуза больше любого из катетов.

Следствие. Если из одной точки, не лежащей на прямой, к этой прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше наклонной.

Прилежащие углы в треугольнике

На рисунке 267 отрезок Прилежащие углы в треугольнике— перпендикуляр, отрезок Прилежащие углы в треугольнике— наклонная, Прилежащие углы в треугольнике. Часто при решении задач используют результаты следующих двух задач.

Пример №36

Катет, лежащий против угла, величина которого равна 30°, равен половине гипотенузы.

Решение:

Рассмотрим треугольник Прилежащие углы в треугольнике, в котором Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике. Надо доказать, что Прилежащие углы в треугольнике.

Прилежащие углы в треугольнике

На прямой Прилежащие углы в треугольникеотложим отрезок Прилежащие углы в треугольнике, равный отрезку Прилежащие углы в треугольнике(рис. 268). Тогда Прилежащие углы в треугольникепо двум катетам. Действительно, стороны Прилежащие углы в треугольникеи Прилежащие углы в треугольникеравны по построению, Прилежащие углы в треугольнике— общая сторона этих треугольников и Прилежащие углы в треугольнике. Тогда Прилежащие углы в треугольнике. Отсюда Прилежащие углы в треугольнике. Следовательно, Прилежащие углы в треугольникеи треугольник Прилежащие углы в треугольнике— равносторонний. Значит,

Прилежащие углы в треугольнике

Пример №37

Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Решение:

Рассмотрим треугольник Прилежащие углы в треугольнике, в котором Прилежащие углы в треугольнике, Прилежащие углы в треугольнике. Надо доказать, что Прилежащие углы в треугольнике. На прямой Прилежащие углы в треугольникеотложим отрезок Прилежащие углы в треугольнике, равный отрезку