Отразить треугольник относительно прямой

О чем эта статья:

Видео:ВПР 6 класс. 12 задание. Фигура симметиичная данной относительно оси.Скачать

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

• Ось симметрии угла — биссектриса.
• Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
• Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
• У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
• У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
• Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Видео:Симметрия относительно прямойСкачать

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
4. Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

1. Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
2. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
3. Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
4. Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A₁ и B₁.
5. Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Видео:Симметрия относительно прямой (осевая симметрия). Пример 2Скачать

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
5. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Видео:Симметрия относительно точки (центральная симметрия). Пример 2Скачать

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Видео:Осевая симметрия. 6 класс.Скачать

Графика в Julia. Странные паттерны, отражение треугольника от прямой и построение нормалей сферического кота в вакууме

Продолжаем знакомство с очень молодым, но невероятно красивым и мощным языком программирования Julia. Шестилетняя бета наконец-таки закончилась, так что теперь можно не бояться изменений синтаксиса. И пока все спорят, хорошо или плохо начинать индексацию с единицы, взбудораженное сообщество активно закопошилось: выходят новые библиотеки, старые обновляются, стартуют серьёзные проекты, и в университетах этому языку активно учат студентов. Так не будем же отставать! Завариваем чай покрепче, потому что этой ночью будем кодить!

Видео:Симметрия относительно прямойСкачать

Подготовка к работе

Здесь есть небольшой обзор на русском, так же на хабре имеется знакомство с языком и руководство по установке. Опять же, заостряю внимание на необходимости наличия Windows Management Framework, не то будут проблемы с загрузкой пакетов.

В комплектацию JuliaPRO после обновления теперь входит только Juno. Но лично мне больше нравится Jupyter: с ним не было проблем на ноутбуке, плюс удобно работать в браузере и тут же создавать заметки и формулы, в общем, идеально для создания отчетов, слайдов или методичек.

• Скачиваем последнюю версию Юлии с официального сайта
• Ссылка на юпитер в комплекте Анаконды дана выше, я же использовал тот, что был в старой JuliaPRO
• Запускаем Julia. Уже можно полноценно пользоваться языком, но только в режиме интерпретатора. Выполняем команды:
• Теперь в Jupyter доступно создание файла Julia 1.0.1

Для Julia существует несколько пакетов, самые же успешные из них входят в Plots в виде бэкэндов. Plots.jl — метаязык построения графика: то есть интерфейс для различных библиотек графиков. Таким образом Plots.jl на самом деле просто интерпретирует ваши команды, а затем создает графики с использованием какой-либо библиотеки графиков. Эти фоновые графические библиотеки называются бэкэндами. Самое приятное состоит в том, что вы можете использовать множество разных графических библиотек с синтаксисом Plots.jl , и мы также увидим, что Plots.jl добавляет новые функции в каждую из этих библиотек!

Для установки пакетов выполните команды в REPL, Juno или Jupyter:

Не обязательно устанавливать все пакеты, но стоит знать, что у каждого из них есть свои особенности. Я предпочитаю plotlyjs(): хоть он и не отличается быстродействием, зато очень интерактивный. Есть зум, перемещение по плоскости, а также возможность сохранения файла, причем если сохранить документ Jupyter как html, все возможности сохранятся. Так что можно добавить на сайт или сделать интерактивную презентацию. Больше информации на страницах: Plots, Gadfly

Видео:Осевая симметрия, как начертить треугольники симметричноСкачать

Бесконечный узор на основе простых чисел

Реализована идея статьи на хабре. В нескольких словах: что если брать координату точки и между абсциссой и ординатой применять какую-нибудь операцию, скажем, XOR или побитовое AND, а затем проверять число на простоту или на принадлежность к числам Фибоначчи, и при положительном ответе закрашивать точку в один цвет, а при отрицательном в другой? Проверим:

Видео:6 класс . Фигуры, симметричные относительно прямойСкачать

Двумерные преобразования

Видео:Ось симметрииСкачать

ТЕМА 2. ДВУМЕРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Видео:Центральная симметрия. 6 класс.Скачать

2.1. Общие замечания

В компьютерной графике, наряду с соответствующими алгоритмами рисования, важно иметь математический аппарат, позволяющий редактировать изображение, т. е. осуществлять его преобразование (модификацию) в соответствии с требованиями решаемой задачи. Необходимо уметь производить с графическими объектами (точками, отрезками прямых, плоскими и объемными фигурами) такие операции, как масштабирование (в том числе пропорциональное), сдвиги, симметричные отражения (относительно точки, линии, плоскости), повороты (например, относительно какой-либо точки или линии), перемещения и т. п. Подобные действия и их комбинации обычно реализуются с помощью матричных операций с данными. Краткие сведения об основах матричных преобразований, используемых при формировании двумерных сцен, приведены ниже (в рамках данной темы). Аналогичные преобразования при формировании объемных сцен кратко рассмотрены в следующей теме.

Видео:№416. Даны две точки А и В, симметричные относительно некоторой прямой, и точка М.Скачать

2.2. Простые преобразования точек

Точка P на плоскости однозначно определяется двумя своими координатами (x, y). В соответствие ей можно поставить матрицу-строку размером 1´2 вида (сначала будем использовать именно такое отображение точки). Следует заметить также, что точка может задаваться и соответствующей матрицей-столбцом размером 2´1. В любом случае матрицу, определяющую положение точки, часто называют координатным вектором или вектором положения.

Большинство из перечисленных выше элементарных преобразований по отношению к точке можно реализовать путем умножения матрицы на матрицу общего преобразования размером 2´2 вида :

,

где , – координаты точки P*, являющейся результатом преобразования точки P, причем .

Рассмотрим некоторые специальные случаи.

Умножение исходной матрицы на единичную 2´2 матрицу (a = d = 1, b = c = 0)

не приводит к каким-либо изменениям; поэтому подобную единичную матрицу часто называют матрицей тождественного преобразования.

– происходит так называемое локальное масштабирование (растяжение при |a| > 1 или сжатие при 0 1 или сжатие при 0 0 происходит отражение относительно оси y, при a > 0, d 1, происходит равномерное расширение, т. е. увеличение исходной фигуры, если же 0 0 осуществляет непропорциональное локальное масштабирование; неравномерное расширение и сжатие возникают в зависимости от значений (в рассматриваемом случае – положительных) a и d, которые могут быть больше или меньше, чем 1, независимо друг от друга.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№7 - Осевая и центральная симметрия.)Скачать

2.7. Комбинированные преобразования

При модификации графического объекта часто требуется не одно простое его преобразование, а несколько последовательно проведенных преобразований. В этом случае исходную матрицу (составленную из координат точки, концов отрезка или вершин многоугольника) можно умножить на матрицу первого преобразования, полученный результат – на матрицу второго преобразования и т. д. Конечный результат будет определяться выражением

,

где – матрица n-го преобразования, n = 1, 2, …, N.

При подобных действиях следует учитывать то обстоятельство, что операция умножения матриц не является коммутативной (т. е. в общем случае ), и следует строго соблюдать порядок (последовательность) выполнения преобразований (операций умножения).

Вместе с тем, для матриц справедлив ассоциативный закон: . Поэтому для достижения того же результата можно поступить иначе: отдельные преобразования предварительно комбинировать, т. е. рассчитать матрицу полного преобразования (такую матрицу называют также композицией преобразований), и затем применить ее для преобразования исходной матрицы –

.

Продемонстрируем оба возможных подхода к комбинированному преобразованию на простом примере. Пусть требуется исходную фигуру – например, треугольник F (рис.2.8), координаты вершин которого сведены в 3´2 матрицу – повернуть на 90° вокруг точки начала координат и затем полученную промежуточную фигуру симметрично отразить относительно прямой у = – x. Первому преобразованию соответствует матрица , а второму – матрица . Осуществим последовательно соответствующие умножения:

;

очевидно, что первое умножение приводит к промежуточному результату – треугольнику F¢ (рис.2.8), второе – к конечному результату – треугольнику F* (рис.2.8).

Используем другой возможный путь комбинированного преобразования: рассчитаем матрицу полного преобразования

и умножим на нее исходную матрицу

;

результат – треугольник F* (рис.2.8) – в точности совпадает с предыдущим.

Отметим здесь, что приведенный пример очень прост: выполняются два тривиальных преобразования, результат которых можно было бы получить с помощью единственного отражения (относительно оси y). Однако он иллюстрирует изложенные выше общие положения, связанные с комбинированными преобразованиями. Далее мы будем иметь возможность познакомиться с более сложными вариантами таких преобразований.

Видео:8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрияСкачать

2.8. Однородные координаты

Ранее было замечено, что использование двумерных координатных векторов, отображающих точки на плоскости, в совокупности с матрицей общего преобразования размером 2´2 накладывает ряд ограничений на модификацию объектов. В первую очередь, эти ограничения обусловлены невозможностью применения преобразования координат. Существенно расширить возможности модификации позволяет использование однородных координат для отображения точек и, соответственно, матрицы общего преобразования размером 3´3.

Однородные координаты точки P (x, y) на физической плоскости xy представляют собой тройку чисел x¢, y¢, h; первые два из них связаны с реальными координатами точки соотношениями x¢ = hx и y¢ = hy, а h – это некоторое вещественное число (отметим, что случай h = 0 является особым и будет рассмотрен ниже). Однородным координатам точки можно поставить в соответствие трехмерный координатный вектор (вектор положения) – матрицу размером 1´3 вида . Очевидно, что при таком подходе каждую точку можно связать с бесконечным множеством наборов однородных координат и, соответственно, координатных векторов вида . Вместе с тем, для точки имеется лишь один набор однородных координат со значением h = 1; ему соответствует вектор положения вида . В компьютерной графике для отображения точек (за исключением точек бесконечности, см. далее) используются координатные векторы именно такого вида.

Применяя к вектору положения исходной точки матрицу общего преобразования размером 3´3 вида , получаем:

.

Данный результат практически идентичен тому, который был получен при умножении координатного вектора на матрицу общего преобразования размером 2´2 (см. выше). Выражения для координат и преобразованной точки в обоих случаях полностью совпадают. Следовательно, использование однородных координат совместно с матрицей общего преобразования вида позволяет осуществить все те преобразования точек, отрезков и многоугольников, о которых шла речь выше (это и происходит при реальной обработке графических объектов). Задавая соответствующие значения a, b, c и d, можно реализовать тождественное преобразование, операции локального масштабирования, отражения, сдвига и поворота, аналогичные уже рассмотренным. Однако, все они, по-прежнему, будут осуществляться относительно точки начала координат.

Видео:Построение треугольника, симметричного данному относительно точки, принадлежащей его сторонеСкачать

2.9. Перемещение

Исследуем теперь дополнительные возможности, открывающиеся при новом подходе к преобразованиям. Проведем следующую матричную операцию:

;

полученный результат можно трактовать двояко: с одной стороны, можно считать, что операция привела к перемещению исходной точки вдоль осей x и y соответственно на m и n в исходной системе координат x0y (рис.2.9а); с другой стороны, можно полагать, что точка осталась на месте, а произошло преобразование координат – новая система координат x*0*y* сдвинута относительно исходной на – m вдоль оси x и на – n вдоль оси y (рис.2.9б).

В любом случае, выяснилось, что элементы m и n матрицы преобразования размером 3´3 являются коэффициентами перемещения в направлениях x и y соответственно. И не менее важный вывод из приведенного примера – теперь каждая точка плоскости, в том числе начало координат, может быть преобразована.

Видео:6 класс, 26 урок, СимметрияСкачать

2.10. Поворот вокруг произвольной точки

Имея более мощный, чем ранее, математический аппарат можно реализовать и такое преобразование. Последовательность действий при этом может быть следующей:

§ объект преобразования перемещается таким образом, чтобы точка, относительно которой совершается поворот, попала в начало координат;

§ выполняется поворот объекта на требуемый угол вокруг точки начала координат;

§ осуществляется обратное перемещение объекта так, чтобы точка центра вращения возвратилась на исходное место.

Применительно координатному вектору точки подобная операция поворота вокруг точки с координатами (m, n) на произвольный угол q реализуется следующими матричными преобразованиями:

;

комбинируя три матрицы преобразования, получаем

.

Приведем простой пример рассмотренной операции: поворот отрезка L (рис.2.10), заданного однородными координатами его концов и , на 90° в положительном направлении (против часовой стрелки) вокруг точки с координатами (4, 5 ). Обобщая предыдущее выражение на случай преобразования отрезка, запишем (после подстановок в матрицу преобразования конкретных значений и расчета входящих в нее коэффициентов)

;

результат преобразования – отрезок L* (рис.2.10).

Видео:Осевая и центральная симметрия, 6 классСкачать

2.11. Отражение относительно произвольной прямой

В разделе 2.5 обсуждались случаи отражения относительно ряда характерных прямых, проходящих через точку начала координат. Рассмотрим теперь более сложное преобразование – симметричное отражение объекта относительно произвольной прямой линии, причем не проходящей через начало координат. Используемый теперь подход позволяет достичь этого преобразованием, включающим пять последовательных операций:

§ перемещение объекта преобразования вдоль оси x или y таким образом, чтобы линия, относительно которой он отражается, прошла через начало координат;

§ поворот объекта относительно точки начала координат до совпадения линии, относительно которой он отражается, с одной из координатных осей;

§ симметричное отражение объекта относительно данной координатной оси;

§ обратный поворот объекта относительно точки начала координат (на тот же угол, что и во втором пункте, но в обратном направлении);

§ обратное перемещение объекта вдоль оси x или y (на то же расстояние, что и в первом пункте, но в обратном направлении).

В матричном виде полное преобразование, представляющее собой комбинацию пяти преобразований, можно записать так:

,

где – матрица перемещения, – матрица поворота вокруг начала координат, – матрица отражения относительно соответствующей координатной оси, и – матрицы, обратные матрицам соответственно и .

Приведем конкретный пример: симметричное отражение треугольника F (рис.2.11а), координатные векторы вершин которого представляются как , и , относительно прямой линии . Для того, чтобы линия прошла через точку начала координат, можно осуществить перемещение вдоль оси y на – 2 единицы; поворот относительно начала координат на – arctg 0,5 = – 26,57 ° приведет к тому, что линия совпадет с осью x; матрица отражения относительно оси x очевидна; обратный поворот и обратное перемещение осуществляются матрицами, обратными матрицам второго и первого преобразований. Композиция преобразований будет иметь вид:

;

реализуя полное преобразование, получим:

;

рис.2.11б, в, г, д иллюстрируют различные этапы промежуточных преобразований в случае последовательного их применения к исходной матрице, а рис.2.11е – конечный результат (который, вообще говоря, получен одной матричной операцией после расчета матрицы полного преобразования) – треугольник F*.

Видео:Симметрия относительно точки. 6 классСкачать

2.12. Проецирование в однородных координатах

Матрицу общего преобразования для трехмерных координатных векторов, используемых при двумерных преобразованиях, в общем виде можно представить так:

.

Ранее было установлено, как входящие в нее коэффициенты a, b, c, d, m и n влияют на соответствующие преобразования. Остальным трем коэффициентам в предыдущих разделах присваивались вполне определенные значения ( p = q = 0, s = 1), и они, по сути дела, не принимали участия в преобразованиях. Координатные векторы преобразованных точек всегда имели вид , т. е. число h (см. раздел 2.8) тождественно принимало единичное значение. Геометрически это можно трактовать как ограничение преобразований физической плоскостью h = 1 в трехмерном пространстве xyh. Вместе с тем, при других значениях коэффициентов p, q и s они также могут участвовать в преобразованиях.

Рассмотрим сначала, к какому эффекту приведут ненулевые значения коэффициентов p и q. Запишем следующее выражение:

;

данное преобразование привело к тому, что точка (x, y), которой изначально ставился в соответствие координатный вектор вида , преобразована в точку, которой ставится в соответствие координатный вектор вида , где x¢ = x, y¢ = y, ; с геометрической точки зрения полученный результат интерпретируется следующим образом: в трехмерном пространстве xyh конец P (рис.2.12) координатного вектора исходной точки принадлежит плоскости h = 1, а конец P¢ координатного вектора преобразованной точки – плоскости (причем в данном конкретном случае две другие компоненты однородных координат и соответствующего координатного вектора остаются неизменными).

Однако, как отмечалось ранее, в компьютерной графике используют векторы положения только вида . Поэтому, когда какое-либо преобразование приводит к результату с h ≠ 1 (и, кстати, с h ≠ 0), этот результат нормализуют, т. е. приводят к требуемому виду путем деления всех трех составляющих однородных координат на величину h. В рассматриваемой задаче окончательный результат преобразования будет иметь вид

;

геометрически такой же результат, а именно точку P* (рис.2.12), можно получить путем проецирования точки P¢, принадлежащей плоскости h ≠ 1, на плоскость h = 1 по лучу, соединяющему точку P¢ с началом координат.

Нетрудно заметить, что при h > 1 (как на рис.2.12) координаты x* и y* преобразованной точки пропорционально уменьшаются (в h раз) по сравнению теми же координатами исходной точки; при h 1 имеет место равномерное расширение, при 0 1 – равномерное сжатие, если 0 0, на положительной полуоси x, при условии, что x 0 положительной полуоси y, при y 0 – в первом квадранте координатной плоскости xy, при x = y 0, y 0 – во втором ее квадранте.

🔍 Видео

Центральная симметрияСкачать

Построение фигур, симметричных относительно заданной точки или прямой. Часть 1Скачать

Симметрия относительно точки, относительно прямой и относительно плоскостиСкачать