В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. Как научиться решать геометрические задачи, особенно сложные, конкурсные? При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи. Предлагаем один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т.е. решение задач с использованием свойств площадей.
Основные свойства площадей.
Свойство №1
Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не измениться.
Доказательство: Рассмотрим ▲ ABC и ▲ ADC. Они имеют общее основание и равные высоты, так как прямые AC и BD параллельные, то расстояние между ними равно h — высоте ▲ ABC и ▲ ADC . Если площадь треугольника находится по формуле $$S = frac cdot a cdot h$$, то $$S_ = S_ = frac cdot AC cdot h$$.
Свойство №2
Доказательство: Пусть h1 = h2 в двух треугольниках с основаниями a и b. Рассмотрим отношение площадей этих треугольников $$frac<S_><S_>= frac<frac cdot a cdot h_><frac cdot b cdot h_>$$. Упростив, получим $$frac<S_><S_>= frac$$.
Свойство №3
Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол.
Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN с общим углом B , где AB = a, BC = b, MB = a1и NB = b1. Пусть S1 = SMBN и S2 = SABC . Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$, рассмотрим отношение площадей ▲ABC и ▲MBN .
Свойство №4
Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.
Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN . Пусть AB = k MB, BC = k NB и $$angle ABC = angle MBN$$. Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$ , рассмотрим отношение подобных площадей ▲ABC и ▲MBN . Тогда $$frac<S_><S_> = frac<frac cdot AB cdot BC cdot sin B><frac cdot MB cdot NB cdot sin B>= frac = k^$$ .
Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.
Доказательство: Рассмотрим ▲ABC . Пусть медиана BM , тогда $$AM = MC = fracAC$$. Медиана делит треугольник на два с одинаковой высотой. Найдем площади треугольников ▲ABM и ▲MBC по формуле $$S = fraccdot a cdot h$$. Получим $$S_ = fraccdot AM cdot h$$ и $$S_ = fraccdot MC cdot h$$. Значит $$S_ = S_$$.
Свойство №6
Медианы треугольника делят его на три равновеликие части.
Доказательство: Рассмотрим ▲ABC . Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в точке O. Получим треугольники ▲AOB , ▲BOC , ▲AOC . Пусть их площади равны соответственно S1, S2, S3. А площадь ▲ABC равна S. Рассмотрим ▲ABK и ▲CBK , они равной площади, т.к. BK медиана. В треугольнике ▲AOC OK — медиана, значит площади треугольников ▲AOK и ▲COK равны. Отсюда следует, что S1 = S2 . Аналогично можно доказать, что S2 = S3 и S3 = S1 .
Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади .
Доказательство: Рассмотрим ▲ABC . NM — средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если SABC = S , то $$S_ = frac cdot NM cdot h_= frac(frac cdot AC)(fraccdot h) = fraccdot S$$. Аналогично можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ▲ABC .
Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.
Видео:Геометрия 8 класс : Отношение площадей подобных треугольниковСкачать
Равновеликие треугольники
Равновеликие треугольники — это треугольники, которые имеют одинаковую площадь.
Равновеликие треугольники могут быть равными (так как равные треугольники имеют равные площади), но также могут иметь разные стороны и разные углы.
Например, треугольники ABC и MKF — равновеликие, так как их площади равны.
Можно заметить, что если сторону треугольника увеличить в k раз, а высоту, проведенную к этой стороне, уменьшить в k раз, то получим треугольник, равновеликий данному.
Равновеликие треугольники в треугольнике
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Равновеликие треугольники в трапеции
При пересечении диагоналей в произвольной трапеции ABCD образуется три пары равновеликих треугольников:
1) ∆ABD и ∆ACD,
1) Проведём в треугольниках ABD и ACD высоты BH и CF.
BK=CF (как высоты трапеции), следовательно,
3)
Так как площади треугольников ABD и ACD равны (по доказанному), то и
Таким образом, треугольники , образованные боковыми сторонами и диагоналями трапеции, имеют равные площади.
Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать
Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. 8-й класс
Класс: 8
Презентация к уроку
Загрузить презентацию (988 кБ)
Девиз урока: «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий»
Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока:
обучающие:
а) повторение основного теоритического материала;
б) рассмотрение основных задач на вычисление площадей треугольников;
в) доказательство теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу;
г) закрепление навыков решения в процессе самостоятельного разбора задач.
развивающие:
а) развитие умения планировать полный или частичный ход решения;
б) развитие умения осуществлять целенаправленные поисковые действия умственного плана;
в) развитие интереса к предмету;
г) развитие умения осуществлять самоконтроль.
воспитательные
б) воспитание умения слушать и слышать товарища.
Ход урока
I. Мотивация к учебной деятельности и постановка целей урока.
Учитель приветствует учащихся, поверяет их готовность к уроку, сообщает тему урока, формулирует цели урока. Слайды 1, 2
II. Повторение и актуализация необходимых знаний.
Один ученик готовит теоретический вопрос: сформулировать и доказать теорему о площади треугольника. Один ученик решает задачу у доски.
Задача: Точка E – середина стороны AB треугольника ABC, точки M и H делят сторону BC на три равные части BM = MH = HC. Найдите площадь ∆EMH, если SABC = 72 см 2 .
Рис. 1. Чертеж к условиям задачи
Дано: SABC = 72 см 2 , BM = MH = HC
4 ученика получают задание на карточке (Карточки 2, 3). Остальные учащиеся решают устно по готовым чертежам.
Устно.Слайд 3.1. Найдите площадь треугольника ABC.
Рис. 2. Чертеж к задаче 1
Слайд 4.2. Дано: ABCD – квадрат, AB = 5 см, KD = 4 см.
Рис. 3. Чертеж к задаче 2
Слайд 5.3. Найдите площадь треугольника ABC.
Рис. 4. Чертеж к задаче 3
Слайд 6.4. BC = 6см, AC = 8см, AB = 10см.
Рис. 5. Чертеж к задаче 4
5. SABC = 72 см 2 , BM = MH = HC
Рис. 6. Чертеж к условию задачи 5
Рис. 7. Теорема о площади треугольника
Слайд 7.Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне.
Учитель и учащиеся слушают теорему и её доказательство, проверяют решение задачи.
Учитель собирает у 4 учащихся листы с решением задач.
III. Создание проблемной ситуации и формулирование проблемы
Рис. 8. Свойство площадей треугольников, имеющих общую высоту
Слайд 8. Если высоты треугольников равны, то площади относятся как основания.
Рис. 9. Свойство медиан треугольника
Слайд 9. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
Слайд 10.1. Решите задачу:
Рис. 10. Чертеж к условию задачи 1
Дано: CM – медиана ∆ABC, CK – медиана ∆ACM. SABC = 40 см 2 .
Найти:
Какую часть площадь одного треугольника составляет от площади другого?
Или. Во сколько раз площадь одного треугольника больше (меньше) площади другого?
Слайд 11.2. Решите задачу:
Рис. 11. Чертеж к условию задачи 2
Дано: ABCD – выпуклый четырёхугольник.
Вопрос: Как относятся площади треугольников, имеющих по равному углу?
IV. Изучение новой темы
Слайд 12.Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы.
Рис. 12. Теорема о соотношении площадей треугольников, имеющих равный угол
V. Первичное закрепление
Учитель на экране показывает задачи, учащиеся предлагают свои решения задач
Слайд 14. Запишите отношение площадей
Рис. 14. Чертеж к пункту а) Рис. 15. Чертеж к пункту б)
Рис. 16. Чертеж к условию задачи
Ответ: 30/15 или 2.
Рис. 17. Чертеж к условию задачи
Дано: SAOB = 20 см 2 .
VI. Самостоятельная работа
Учитель раздаёт карточки с заданиями двух уровней сложности. (Приложение 2)
Карточка. Уровень А
1) Две стороны треугольника равны 12 см и 9 см, угол между ними 30°. Найдите площадь треугольника. (Ответ: 27 см 2 )
2) AO = 4, BO = 9, CO = 5, DO = 8, SAOC = 15, SDOB = ?
Рис. 18. Чертеж к условию задачи
Уровень Б (для более подготовленных учащихся)
1) В треугольнике ABC ∠A = 45°, BC = 10 см, высота BD делит сторону AC на отрезки: AD = 6 см, DC = 8 см. Найдите площадь треугольника ABC и высоту, проведённую к стороне BC.
Рис. 19. Чертеж к условию задачи
Ответ: 42 см 2 ; 8,4 см.
Рис. 20. Чертеж к условию задачи
OB = OA, OC = 2 • OD, SAOC = 12 см 2 , SBOD = ?
VII. Подведение итогов
Учитель оценивает работу учащихся.
VIII. Домашнее задание (Приложение 3)
Учебник. Учить теорему п. 52. № 479 (а).
Рис. 21. Чертеж к условию задачи
Дано: AO = AB, прямая AC параллельна прямой BD.
Рис. 22. Чертеж к условию задачи
Дано: AO = 3 см, BO = 6 см, CO = 5 см, DO = 4 см.
Литература:
Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 8 класс. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ВАКО, 2006. – 368 с.
Геометрия 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.
📹 Видео
Отношение площадей треугольников с равным угломСкачать
Например, треугольники ABC и MKF — равновеликие, так как их площади равны.
1) ∆ABD и ∆ACD,
1) Проведём в треугольниках ABD и ACD высоты BH и CF.
3)
