Отношение площадей равновеликих треугольников

Отношение площадей равновеликих треугольников

В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. Как научиться решать геометрические задачи, особенно сложные, конкурсные? При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи.
Предлагаем один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т.е. решение задач с использованием свойств площадей.

Основные свойства площадей.

Свойство №1

Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не измениться.Отношение площадей равновеликих треугольниковДоказательство: Рассмотрим ▲ ABC и ▲ ADC. Они имеют общее основание и равные высоты, так как прямые AC и BD параллельные, то расстояние между ними равно h — высоте ▲ ABC и ▲ ADC . Если площадь треугольника находится по формуле $$S = frac cdot a cdot h$$, то $$S_ = S_ = frac cdot AC cdot h$$.

Свойство №2

Отношение площадей равновеликих треугольниковДоказательство: Пусть h1 = h2 в двух треугольниках с основаниями a и b.
Рассмотрим отношение площадей этих треугольников $$frac<S_><S_>= frac<frac cdot a cdot h_><frac cdot b cdot h_>$$.
Упростив, получим $$frac<S_><S_>= frac$$.

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN с общим углом B , где AB = a, BC = b, MB = a1и NB = b1. Пусть S1 = SMBN и S2 = SABC . Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$, рассмотрим отношение площадей ▲ABC и ▲MBN .

Свойство №4

Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.

Свойство №3

Если два треугольника имеют общий
угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих
этот угол.

Отношение площадей равновеликих треугольниковОтношение площадей равновеликих треугольниковДоказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN . Пусть AB = k MB, BC = k NB и $$angle ABC = angle MBN$$. Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$ , рассмотрим отношение подобных площадей ▲ABC и ▲MBN . Тогда $$frac<S_><S_> = frac<frac cdot AB cdot BC cdot sin B><frac cdot MB cdot NB cdot sin B>= frac = k^$$ .

Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Отношение площадей равновеликих треугольниковДоказательство: Рассмотрим ▲ABC . Пусть медиана BM , тогда $$AM = MC = fracAC$$. Медиана делит треугольник на два с одинаковой высотой. Найдем площади треугольников ▲ABM и ▲MBC по формуле $$S = fraccdot a cdot h$$. Получим $$S_ = fraccdot AM cdot h$$ и $$S_ = fraccdot MC cdot h$$. Значит $$S_ = S_$$.

Свойство №6

Медианы треугольника делят его на три равновеликие части.Отношение площадей равновеликих треугольниковДоказательство: Рассмотрим ▲ABC . Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в точке O. Получим треугольники ▲AOB , ▲BOC , ▲AOC . Пусть их площади равны соответственно S1, S2, S3. А площадь ▲ABC равна S. Рассмотрим ▲ABK и ▲CBK , они равной площади, т.к. BK медиана. В треугольнике ▲AOC OK — медиана, значит площади треугольников ▲AOK и ▲COK равны. Отсюда следует, что S1 = S2 . Аналогично можно доказать, что S2 = S3 и S3 = S1 .

Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади .

Отношение площадей равновеликих треугольниковДоказательство: Рассмотрим ▲ABC . NM — средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если SABC = S , то $$S_ = frac cdot NM cdot h_= frac(frac cdot AC)(fraccdot h) = fraccdot S$$. Аналогично можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ▲ABC .

Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.

Видео:Геометрия 8 класс : Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Геометрия 8 класс : Отношение площадей подобных треугольников

Равновеликие треугольники

Равновеликие треугольники — это треугольники, которые имеют одинаковую площадь.

Равновеликие треугольники могут быть равными (так как равные треугольники имеют равные площади), но также могут иметь разные стороны и разные углы.

Отношение площадей равновеликих треугольниковНапример, треугольники ABC и MKF — равновеликие, так как их площади равны.

Отношение площадей равновеликих треугольников

Отношение площадей равновеликих треугольников

Отношение площадей равновеликих треугольников

Отношение площадей равновеликих треугольников

Отношение площадей равновеликих треугольников

Можно заметить, что если сторону треугольника увеличить в k раз, а высоту, проведенную к этой стороне, уменьшить в k раз, то получим треугольник, равновеликий данному.

Равновеликие треугольники в треугольнике

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Равновеликие треугольники в трапеции

При пересечении диагоналей в произвольной трапеции ABCD образуется три пары равновеликих треугольников:

Отношение площадей равновеликих треугольников1) ∆ABD и ∆ACD,

Отношение площадей равновеликих треугольников1) Проведём в треугольниках ABD и ACD высоты BH и CF.

Отношение площадей равновеликих треугольников

Отношение площадей равновеликих треугольников

BK=CF (как высоты трапеции), следовательно,

Отношение площадей равновеликих треугольников

Отношение площадей равновеликих треугольников

Отношение площадей равновеликих треугольников

Отношение площадей равновеликих треугольников

Отношение площадей равновеликих треугольников3)

Отношение площадей равновеликих треугольников

Отношение площадей равновеликих треугольников

Так как площади треугольников ABD и ACD равны (по доказанному), то и

Отношение площадей равновеликих треугольников

Таким образом, треугольники , образованные боковыми сторонами и диагоналями трапеции, имеют равные площади.

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольников

Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. 8-й класс

Класс: 8

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (988 кБ)

Девиз урока: «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий»

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

обучающие:

а) повторение основного теоритического материала;

б) рассмотрение основных задач на вычисление площадей треугольников;

в) доказательство теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу;

г) закрепление навыков решения в процессе самостоятельного разбора задач.

развивающие:

а) развитие умения планировать полный или частичный ход решения;

б) развитие умения осуществлять целенаправленные поисковые действия умственного плана;

в) развитие интереса к предмету;

г) развитие умения осуществлять самоконтроль.

воспитательные

б) воспитание умения слушать и слышать товарища.

Ход урока

I. Мотивация к учебной деятельности и постановка целей урока.

Учитель приветствует учащихся, поверяет их готовность к уроку, сообщает тему урока, формулирует цели урока. Слайды 1, 2

II. Повторение и актуализация необходимых знаний.

Один ученик готовит теоретический вопрос: сформулировать и доказать теорему о площади треугольника. Один ученик решает задачу у доски.

Задача: Точка E – середина стороны AB треугольника ABC, точки M и H делят сторону BC на три равные части BM = MH = HC. Найдите площадь ∆EMH, если SABC = 72 см 2 .

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 1. Чертеж к условиям задачи

Дано: SABC = 72 см 2 , BM = MH = HC

4 ученика получают задание на карточке (Карточки 2, 3). Остальные учащиеся решают устно по готовым чертежам.

Устно. Слайд 3. 1. Найдите площадь треугольника ABC.

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 2. Чертеж к задаче 1

Слайд 4. 2. Дано: ABCD – квадрат, AB = 5 см, KD = 4 см.

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 3. Чертеж к задаче 2

Слайд 5. 3. Найдите площадь треугольника ABC.

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 4. Чертеж к задаче 3

Слайд 6. 4. BC = 6см, AC = 8см, AB = 10см.

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 5. Чертеж к задаче 4

5. SABC = 72 см 2 , BM = MH = HC

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 6. Чертеж к условию задачи 5

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 7. Теорема о площади треугольника

Слайд 7. Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне.

Учитель и учащиеся слушают теорему и её доказательство, проверяют решение задачи.

Учитель собирает у 4 учащихся листы с решением задач.

III. Создание проблемной ситуации и формулирование проблемы

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 8. Свойство площадей треугольников, имеющих общую высоту

Слайд 8. Если высоты треугольников равны, то площади относятся как основания.

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 9. Свойство медиан треугольника

Слайд 9. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Слайд 10. 1. Решите задачу:

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 10. Чертеж к условию задачи 1

Дано: CM – медиана ∆ABC, CK – медиана ∆ACM. SABC = 40 см 2 .

Найти: Отношение площадей равновеликих треугольников

Какую часть площадь одного треугольника составляет от площади другого?

Или. Во сколько раз площадь одного треугольника больше (меньше) площади другого?

Слайд 11. 2. Решите задачу:

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 11. Чертеж к условию задачи 2

Дано: ABCD – выпуклый четырёхугольник.

Вопрос: Как относятся площади треугольников, имеющих по равному углу?

IV. Изучение новой темы

Слайд 12. Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы.

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 12. Теорема о соотношении площадей треугольников, имеющих равный угол

Отношение площадей равновеликих треугольников

V. Первичное закрепление

Учитель на экране показывает задачи, учащиеся предлагают свои решения задач

Слайд 14. Запишите отношение площадей

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 14. Чертеж к пункту а) Рис. 15. Чертеж к пункту б)

Отношение площадей равновеликих треугольников

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 16. Чертеж к условию задачи

Ответ: 30/15 или 2.

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 17. Чертеж к условию задачи

Дано: SAOB = 20 см 2 .

VI. Самостоятельная работа

Учитель раздаёт карточки с заданиями двух уровней сложности. (Приложение 2)

Карточка. Уровень А

1) Две стороны треугольника равны 12 см и 9 см, угол между ними 30°. Найдите площадь треугольника. (Ответ: 27 см 2 )

2) AO = 4, BO = 9, CO = 5, DO = 8, SAOC = 15, SDOB = ?

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 18. Чертеж к условию задачи

Уровень Б (для более подготовленных учащихся)

1) В треугольнике ABC ∠A = 45°, BC = 10 см, высота BD делит сторону AC на отрезки: AD = 6 см, DC = 8 см. Найдите площадь треугольника ABC и высоту, проведённую к стороне BC.

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 19. Чертеж к условию задачи

Ответ: 42 см 2 ; 8,4 см.

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 20. Чертеж к условию задачи

OB = OA, OC = 2 • OD, SAOC = 12 см 2 , SBOD = ?

VII. Подведение итогов

Учитель оценивает работу учащихся.

VIII. Домашнее задание (Приложение 3)

Учебник. Учить теорему п. 52. № 479 (а).

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 21. Чертеж к условию задачи

Дано: AO = AB, прямая AC параллельна прямой BD.

Отношение площадей равновеликих треугольников

Рис. 22. Чертеж к условию задачи

Дано: AO = 3 см, BO = 6 см, CO = 5 см, DO = 4 см.

Литература:

  1. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 8 класс. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ВАКО, 2006. – 368 с.
  2. Геометрия 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.

📹 Видео

Отношение площадей треугольников с равным угломСкачать

Отношение площадей треугольников с равным углом

Площади треугольников с равным углом.Скачать

Площади треугольников с равным углом.

Геометрия 8 класс (Урок№14 - Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных фигур.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№14 - Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных фигур.)

60. Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

60. Отношение площадей подобных треугольников

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

#57. Отношение площадей треугольников — самые надежные отношения!Скачать

#57. Отношение площадей треугольников — самые надежные отношения!

Равновеликие треугольникиСкачать

Равновеликие треугольники

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Задача по геометрии № 25 ОГЭ на отношение площадейСкачать

Задача по геометрии № 25 ОГЭ на отношение площадей

Отношение площадей треугольниковСкачать

Отношение площадей треугольников

Отношение площадей подобных треугольников | Геометрия 7-9 класс #58 | ИнфоурокСкачать

Отношение площадей подобных треугольников | Геометрия 7-9 класс #58 | Инфоурок

Задание 24 Отношение площадей 3 способа решенияСкачать

Задание 24 Отношение площадей 3 способа решения

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Найдите отношение площадейСкачать

Найдите отношение площадей

8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольниковСкачать

8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольников

ЕГЭ Задание 16 Отношение площадейСкачать

ЕГЭ Задание 16 Отношение площадей

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: