Основание равнобедренного треугольника 8см

Геометрия | 5 — 9 классы

Основание равнобедренного треугольника равно 8 сантиметров.

Медиана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 сантиметра больше периметра другого.

Найдите боковую сторону данного треугольника.

Если что — то непонятно, тогда пиши : ) Отвечу : ).

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Периметр равнобедренного треугольника 42 сантиметра, боковые стороны в 3 раза больше стороны основания?

Периметр равнобедренного треугольника 42 сантиметра, боковые стороны в 3 раза больше стороны основания.

Найдите все стороны треугольника.

Видео:№158. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой сторонеСкачать

Основание равнобедренного треугольника равна 5 сантиметров а Боковая сторона равна 6 сантиметров Найдите периметр?

Основание равнобедренного треугольника равна 5 сантиметров а Боковая сторона равна 6 сантиметров Найдите периметр.

Видео:Сможешь найти основание? Задача про медиану равнобедренного треугольникаСкачать

Основание равнобедренного треугольника равно 8 см?

Основание равнобедренного треугольника равно 8 см.

Медиана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого.

Найдите боковую сторону данного треугольника.

Видео:Объем параболоида: тройной интеграл в цилиндрической системе координатСкачать

Основание равнобедренного треугольника равна 25 сантиметров и на 12 см больше боковой стороны Найдите периметр треугольника?

Основание равнобедренного треугольника равна 25 сантиметров и на 12 см больше боковой стороны Найдите периметр треугольника.

Видео:№530. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС высота AD равна 8 см. Найдите площадьСкачать

Периметр равнобедренного треугольника 48 сантиметров?

Периметр равнобедренного треугольника 48 сантиметров.

Основание = 16 сантиметров.

Найдите боковые стороны треугольника.

Видео:Геометрия На основании равнобедренного треугольника, равном 8 см, как на хорде построена окружностьСкачать

Периметр равнобедренного треугольника равен 34 сантиметров основания боковой стороны на 5 сантиметров меньше?

Периметр равнобедренного треугольника равен 34 сантиметров основания боковой стороны на 5 сантиметров меньше.

Найдите боковую сторону.

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

Основание равнобедренного треугольника равно 8 см?

Основание равнобедренного треугольника равно 8 см.

Медиана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого.

Найдите боковую сторону данного треугольника.

Видео:№490. Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равноСкачать

Основание равнобедренного треугольника 68 сантиметров боковая сторона в 2 раза меньше основания найдите периметр равнобедренного треугольника?

Основание равнобедренного треугольника 68 сантиметров боковая сторона в 2 раза меньше основания найдите периметр равнобедренного треугольника.

Видео:№259. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведеннаяСкачать

Дан равнобедренный треугольник периметр которого равен 26 сантиметров?

Дан равнобедренный треугольник периметр которого равен 26 сантиметров.

Определите стороны треугольника если его основание на 4 сантиметра меньше, чем длина боковых сторон.

Видео:Геометрия Основание равнобедренного треугольника равно a а противолежащий ему угол равен α НайдитеСкачать

Основание равнобедренного треугольника равно 8см?

Основание равнобедренного треугольника равно 8см.

Медиана проведенная к боковой стороне разбивает треугольник на два треугольника так что периметр одного треугольника на 2см.

Больше периметра другого.

Найти боковую сторону данного треугольника.

Вы перешли к вопросу Основание равнобедренного треугольника равно 8 сантиметров?. Он относится к категории Геометрия, для 5 — 9 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Геометрия. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

Видео:Найти основание равнобедренного треугольника Д353Скачать

Основание равнобедренного треугольника 8 см, боковая сторона 5 см. Найдите площадь

Основание равнобедренного треугольника 8 см, боковая сторона 5 см. Найдите площадь и периметр треугольника.

• Вероника Шварц-Шнейдер
• Геометрия 2019-01-09 23:20:04 0 2

так как треугольник равнобедренный,означает боковые стороны одинаковы,тогда периметр равен 8+5+5=18.

для площади найдем высоту.проведем ее из верхушки на основание,она будет являться медианой и биссектрисой.

свойство биссектрисы для равнобедренного треугольника.

тогда вышина одинакова 25-16=9 под корнем=3.

отыскали через аксиому пифагора.

тогда площадь одинакова 0.5*вышину*8=3*4=12.

ответ 12 см в квадрате площадь и периметр равен 18

Периметр треугольника это сумма длин его сторон=gt; так как он равнобедренный, боковые стороны равны.

Формула площади: аh/2, где а-основание треугольника, а h-вышина

Ищем вышину: проводим из угла, против которого лежит основание вышину. Так как треугольник равнобедренный, то вышина одинакова медиане и биссектрисе.

У нас вышло два прямоугольных треугольника. (так как высота-перпендикуляр)

Гипотенуза одинакова 5см, один из катетов=4(так как 8/2=4) по аксиоме Пифагора

У нас не известен один катет=gt; составим уравнение:

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

Равнобедренный треугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти неизвестные элементы (стороны, углы) а также периметр, площадь, высоты равнобедренного треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Видео:№171. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскостиСкачать

Определение равнобедренного треугольника

Определение 1 (Евклид). Треугольник, в котором длины двух сторон равны между собой называется равнобедренным треугольником.

Равные стороны равнобедренного трекугольника называются боковыми сторонами. Третья сторона равнобедренного треугольника называется основанием треугольника (Рис.1).

Угол между боковыми сторонами равнобедненного треугольника (( small angle A ) ) называется вершинным углом. Углы между основанием и боковыми сторонами (( small angle B, angle C ) ) называются углами при основании.

Существует более общее определение равнобедненого треугольника:

Определение 2 (Современная трактовка). Треугольник, в котором длины хотя бы двух сторон равны между собой называется равнобедренным треугольником.

Из определения 2 следует, что равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. Действительно, в качестве равных сторон можно взять любые две стороны равностороннего треугольника, а третья сторона будет основанием.

Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Теорема о равнобедренном треугольнике

Теорема 1. Углы, прилежащие к основанию равнобедренного треугольника равны.

Доказательство (доказательство Прокла). Пусть задан равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC (Рис.2). Докажем, что ( small angle B= angle C. ) Возьмем любую точку D на стороне AC и точку E на стороне AB так, чтобы AD=AE. Проведем отрезки DE, CE, BD. Треугольники ABD и ACE равны по двум сторонам и углу между ними: AE=AD, AC=AB, угол ( small angle A ) общий (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников). Отсюда следует:

Из ( small AB=AC) и ( small AD=AE ) следует:

Рассмотрим треугольники CBE и BCD. Они равны по трем сторонам: ( small CE=BD,) ( small CD=BE ,) сторона ( small BC ) общая. Отсюда следует, что

Из (2) и (4) следует, что ( small angle B= angle C. )

Доказательство (Вариант 2). Пусть задан равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC (Рис.3). Проведем биссектрису ( small AH ) треугольника. Тогда ( small angle CAH=angle BAH. ) Докажем, что ( small angle B= angle C. ) Треугольники AHB и AHC равны по двум сторонам и углу между ними: AC=AB, сторона ( small AH ) общая, ( small angle CAH=angle BAH. ) Отсюда следует: ( small angle B= angle C. )

Видео:№707. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, боковая сторонаСкачать

Свойства равнобедренного треугольника

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса проведенная к основанию является медианой и высотой.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC, а AH− биссектриса треугольника (Рис.3). Треугольники AHB и AHC равны по двум сторонам и углу между ними: AC=AB, сторона ( small AH ) общая, ( small angle 1=angle 2. ) Тогда ( small CH=HB, ) ( small angle 3=angle 4. ) Равенство ( small CH=HB ) означает, что ( small AH ) является также медианой треугольника ABC. Углы ( small angle 3) и ( angle 4 ) смежные. Следовательно их сумма равна 180° и, поскольку эти углы равны, то каждый из этих углов равен 90°. Тогда ( small AH ) является также высотой треугольника ( small ABC. ) Поскольку высота ( small AH ) перпендикулярна к ( small BC ) и ( small CH=HB, ) то ( small AH ) является также серединным перпендикуляром к основанию равнобедренного треугольника.

Мы доказали, что биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр равнобедренного треугольника, проведенные к основанию совпадают.

Исходя из теоремы 2 можно сформулировать следующие теоремы, доказательство которых аналогично доказательству теоремы 2:

Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана проведенная к основанию является биссектрисой и высотой.

Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота проведенная к основанию является биссектрисой и медианой.

Видео:Геометрия Основание равнобедренного треугольника относится к его высоте опущенной на основание какСкачать

Признаки равнобедренного треугольника

Признак 1. Если в треугольнике две стороны равны, то треугольник является равнобедренным.

Признак 1 следует из определения 1.

Признак 2. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство признака 2 смотрите в статье Соотношения между сторонами и углами треугольника (Следствие 2. Признак равнобедренного треугольника).

Признак 3. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство. Пусть в треугольнике ( small ABC ) ( small AH ) является высотой и медианой (Рис.4). Тогда ( small angle 3=angle4=90°, ) ( small CH=HB. ) Треугольники ( small AHC ) и ( small AHB ) равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников): ( small AH ) − общая сторона, ( small CH=HB, ) ( small angle 3=angle4. ) Следовательно ( small AB=AC. )

Признак 4. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с биссектрисой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство. Пусть в треугольнике ( small ABC ) ( small AH ) является высотой и биссектрисой (Рис.4). Тогда ( small angle 3=angle4=90°, ) ( small angle 1=angle2. ) Треугольники ( small AHC ) и ( small AHB ) равны по стороне и прилежащим двум углам (второй признак равенства треугольников): ( small AH ) − общая сторона, ( small angle 1=angle 2, ) ( small angle 3=angle4. ) Следовательно ( small AB=AC. )

Признак 5. Если в треугольнике биссектриса проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство (Вариант 1). Пусть в треугольнике ( small ABC ) ( small AH ) является биссектрисой и медианой (Рис.5). Тогда

Применим теорему синусов для треугольника ( small AHC ):

Применим теорему синусов для треугольника ( small AHB ):

тогда, из (5), (6), (7) получим:

Следовательно ( small sin angle C= sin angle B. ) Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то нам интересует синус углов от 0 до 180°. Учитывая это получим, что синусы углов равны в двух случаях: 1) ( small angle C= angle B, ) 2) ( small angle C= 180° — angle B. ) Поскольку сумма двух углов треугольника меньше 180°: ( small angle C + angle B Доказательство (Вариант 2). Пусть в треугольнике ( small ABC ) ( small AH ) является биссектрисой и медианой, т.е. ( small angle 1=angle 2, ) ( small CH=HB ) (Рис.6). На луче ( small AH ) отложим отрезок ( small HD ) так, чтобы ( small AH=HD. ) Соединим точки ( small C ) и ( small D. )

Треугольники ( small AHB ) и ( small DHC ) равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Действительно: ( small AH=HD, ) ( small CH=HB, ) ( small angle 4=angle 5 ) (углы 4 и 5 вертикальные). Тогда ( small AB=CD, ) ( small angle 6=angle 2. ) Отсюда ( small angle 6=angle 1. ) Получили, что треугольник ( small CAD ) равнобедренный (признак 2). Тогда ( small AC=CD. ) Но ( small AB=CD ) и, следовательно ( small AB=AC. ) Получили, что треугольник ( small ABC ) равнобедренный.

Видео:Найдите площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 12 см, а боковая сторона 10.Скачать

1. Признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и боковой стороне

Если основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и боковой стороне другого равнобедненного треугольника, то эти треугольники равны.

Действительно. Поскольку треугольник равнобедренный, то боковые стороны равны. То есть три стороны одного равнобедренного треугольника соответственно равны трем сторонам другого равнобедненного треугольника. А по третьему признаку равенства треугольников, эти треугольники равны.

Видео:Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора | Геометрия | АлгебраСкачать

2. Признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и углу при вершине

Если боковая сторона и угол при вершине одного равнобедренного треугольники соответственно равны боковой стороне и углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Действительно. Так как боковые стороны равнобедненного треугольника равны, то имеем: две стороны и угол между ними одного треугольника соотвественно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника. Тогда по первому признаку равенства треугольников, эти реугольники равны.

Видео:№149. Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника ABC. Известно,Скачать

3. Признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и углу при основании

Если основание и угол при основании равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и углу при основании другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. тогда имеем: основание и две углы одного равнобедненного треугольника равны основанию и двум углам другого равнобедненного треугольника. Тогда эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.

Видео:№954. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основаниеСкачать

Задачи и решения

Задача 1. Известны основание ( small a=5 ) и высота ( small h=6 ) равнобедренного треугольника. Найти углы, боковые стороны, периметр, площадь.

Решение. Найдем боковые стороны ( small b ) и ( small c ) равнобедренного треугольника. Воспользуемся теоремой Пифагора:

(9)

Подставляя значения ( small a ) и ( small h ) в (9), получим:

Боковая сторона ( small c ) равнобедренного треугольника равна:

Найдем периметр треугольника. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

(10)

Подставляя значения ( small a=5, ) ( small b=6.5 ) и ( small c=6.5 ) в (10), получим:

Найдем угол ( small B ) равнобедренного треугольника:

(11)

Подставляя значения ( small a=5, ) ( small h=6 ) в (11), получим:

Тогда угол ( small C ) равнобедренного треугольника равен:

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то имеем:

,

Площадь треугольника можно вычислить из формулы:

(12)

Подставляя значения ( small a=5, ) ( small h=6 ) в (12), получим: