Определение центра тяжести равнобедренного треугольника

Центр тяжести треугольника

Этот онлайн калькулятор находит центроид, или барицентр (центр тяжести) треугольника по координатам его вершин

Центр тяжести (центр масс, барицентр) треугольника для треугольника с равномерно распределённой массой (или в вершинах которого находятся равные массы) находится в центроиде треугольника. Центроидом называется точка пересечения медиан треугольника. Центроид относится к так называемым замечательным точкам треугольника. Например, помимо того, что он является центром тяжести, он также делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины, а три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника.

Чтобы вычислить положение центра тяжести по координатам вершин треугольника, достаточно вычислить среднее арифметическое координат вершин по оси x и по оси y, что и делает калькулятор ниже.

Содержание
  1. Как определить центр треугольника?
  2. Как найти середину у треугольника?
  3. Как найти центр тяжести в треугольнике?
  4. Как найти центр тяжести в прямоугольном треугольнике?
  5. Как найти Инцентр?
  6. Как найти центр тяжести тела неправильной формы?
  7. Где находится центр тяжести призмы?
  8. Где находится центр тяжести у кольца?
  9. Как найти Центроид фигуры?
  10. Где находится центр тяжести однородного треугольника?
  11. Где находится центр тяжести у трапеции?
  12. Как найти центр масс треугольника?
  13. Как найти длину медианы в прямоугольном треугольнике?
  14. Где находится центр круга?
  15. Где лежит центр равнобедренного треугольника?
  16. Где лежит центр окружности?
  17. Центры тяжести многоугольников и многогранников
  18. Двумерный случай: многоугольники
  19. Центр масс системы точек
  20. Центр масс каркаса
  21. Центр масс сплошной фигуры
  22. Случай треугольника
  23. Случай треугольника: доказательство
  24. Случай многоугольника
  25. Случай многоугольника: альтернативный способ
  26. Трёхмерный случай: многогранники
  27. Центр масс системы точек
  28. Центр масс каркаса многогранника
  29. Центр масс поверхности многогранника
  30. Центр масс сплошного многогранника
  31. Случай тетраэдра
  32. Случай произвольного многогранника
  33. 🔥 Видео

Видео:Определение центра тяжести сложной фигуры. СопроматСкачать

Определение центра тяжести сложной фигуры. Сопромат

Как определить центр треугольника?

Видео:Видеоурок 3. Определение центра тяжести.Скачать

Видеоурок 3. Определение центра тяжести.

Как найти середину у треугольника?

Пересекающиеся медианы Найдите середину одной стороны треугольника. Для этого измерьте сторону и разделите ее длину пополам. Середину отметьте точкой A.

Видео:Центр тяжести треугольникаСкачать

Центр тяжести треугольника

Как найти центр тяжести в треугольнике?

Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике. . Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга, как точка X(2).

Видео:Практическая №5 Определение центра тяжести сложной фигурыСкачать

Практическая №5 Определение центра тяжести сложной фигуры

Как найти центр тяжести в прямоугольном треугольнике?

Как найти координаты центра тяжести треугольника?

  1. Рисуем треугольник ABC.
  2. Ставим точку M — середина BC.
  3. Ставим точку H — середина AC.
  4. Пересечение BH и AM — и есть центр тяжести треугольника ABC.
  5. Найдем его координаты (координаты точки O (xo, yo, zo) )

Видео:Найдите центр тяжестиСкачать

Найдите центр тяжести

Как найти Инцентр?

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник. Инцентр лежит ближе к вершине, расположенной напротив большей стороны треугольника.

Видео:Центры тяжести прямоугольных треугольниковСкачать

Центры тяжести прямоугольных треугольников

Как найти центр тяжести тела неправильной формы?

Центр тяжести тела неправильной формы можно определить так: подвесить его за любую точку, и провести вертикальную линию по отвесу. Затем повернуть тело и повторить операцию. Точка пересечения двух прямых и есть центр тяжести тела.

Видео:Определение центра тяжести сложных сечений. Фигуры из ГОСТ.Скачать

Определение центра тяжести сложных сечений. Фигуры из ГОСТ.

Где находится центр тяжести призмы?

Так, центр тяжести призмы и цилиндра лежит на середине линии, соединяющей центры тяжести оснований. Центр тяжести шара совпадает с его геометрическим центром. Центр тяжести пирамиды (рис. 18, а) лежит на прямой, соединяющей центр тяжести площади основания с противоположной вершиной на расстоянии /4 высоты от основания.

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Где находится центр тяжести у кольца?

Так, центр тяжести однородных диска и шара расположен в их центре, однородного цилиндра в точке на середине его оси; однородного параллелепипеда на пересечении его диагоналей и т, д. У всех однородных тел центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться вне тела, например, у кольца.

Видео:Определение центра тяжести и статистического момента плоской фигурыСкачать

Определение центра тяжести и статистического момента плоской фигуры

Как найти Центроид фигуры?

Центроид (барицентр или центр масс) вершин произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения 3-х отрезков: 1-й отрезок соединяет середины диагоналей, два другие — середины противополежащих сторон. Точка пересечения делит все три отрезка пополам.

Видео:Центр тяжести. ЭкспериментСкачать

Центр тяжести. Эксперимент

Где находится центр тяжести однородного треугольника?

Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан, которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.

Видео:Техническая механика/Определение центра тяжести сложносоставного сечения (Это понятно?!))Скачать

Техническая механика/Определение центра тяжести сложносоставного сечения (Это понятно?!))

Где находится центр тяжести у трапеции?

Для произвольной трапеции (то есть она может быть прямоугольной, тупоугольной, равнобокой или любой другой) справедливо то, что центр ее тяжести лежит на прямой, которая соединяет середины оснований трапеции.

Видео:координаты центра тяжести треугольникаСкачать

координаты центра тяжести треугольника

Как найти центр масс треугольника?

Как найти центр треугольника

Если известны координаты его вершин, найдем сумму трех значений координат «х» и трех значений координат «у». Поделим каждую сумму на 3, получим среднее значение сумм координат «х» и «у», что и будет координатами центра тяжести.

Видео:Определение координат центра тяжести сложной фигуры (плоского сечения)Скачать

Определение координат центра тяжести сложной фигуры (плоского сечения)

Как найти длину медианы в прямоугольном треугольнике?

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равняется половине квадратного корня из суммы квадратов катетов.

Видео:Практическая работа по теме: Центр тяжестиСкачать

Практическая работа по теме: Центр тяжести

Где находится центр круга?

Центр вписанной окружности треугольника (инцентр) — одна из замечательных точек треугольника, точка пересечения биссектрис треугольника. Центр вписанной в треугольник окружности также иногда называют инцентром.

Видео:Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора | Геометрия | АлгебраСкачать

Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора  |  Геометрия | Алгебра

Где лежит центр равнобедренного треугольника?

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является серединным перпендикуляром. Следовательно, центр описанной около равнобедренного треугольника окружности будет лежать на серединном перпендикуляре, который является и высотой, и медианой, и биссектрисой угла при вершине.

Видео:97 Медианы и центр тяжести треугольникаСкачать

97 Медианы и центр тяжести треугольника

Где лежит центр окружности?

Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Видео:Центр тяжестиСкачать

Центр тяжести

Центры тяжести многоугольников и многогранников

Центром тяжести (или центром масс) некоторого тела называется точка, обладающая тем свойством, что если подвесить тело за эту точку, то оно будет сохранять свое положение.

Ниже рассмотрены двумерные и трёхмерные задачи, связанные с поиском различных центров масс — в основном с точки зрения вычислительной геометрии.

В рассмотренных ниже решениях можно выделить два основных факта. Первый — что центр масс системы материальных точек равен среднему их координат, взятых с коэффициентами, пропорциональными их массам. Второй факт — что если мы знаем центры масс двух непересекающихся фигур, то центр масс их объединения будет лежать на отрезке, соединяющем эти два центра, причём он будет делить его в то же отношении, как масса второй фигуры относится к массе первой.

Видео:Определение центра тяжестиСкачать

Определение центра тяжести

Двумерный случай: многоугольники

На самом деле, говоря о центре масс двумерной фигуры, можно иметь в виду одну из трёх следующих задач:

  • Центр масс системы точек — т.е. вся масса сосредоточена только в вершинах многоугольника.
  • Центр масс каркаса — т.е. масса многоугольника сосредоточена на его периметре.
  • Центр масс сплошной фигуры — т.е. масса многоугольника распределена по всей его площади.

Каждая из этих задач имеет самостоятельное решение, и будет рассмотрена ниже отдельно.

Центр масс системы точек

Это самая простая из трёх задач, и её решение — известная физическая формула центра масс системы материальных точек:

Определение центра тяжести равнобедренного треугольника

где Определение центра тяжести равнобедренного треугольника— массы точек, Определение центра тяжести равнобедренного треугольника— их радиус-векторы (задающие их положение относительно начала координат), и Определение центра тяжести равнобедренного треугольника— искомый радиус-вектор центра масс.

В частности, если все точки имеют одинаковую массу, то координаты центра масс есть среднее арифметическое координат точек. Для треугольника эта точка называется центроидом и совпадает с точкой пересечения медиан:

Определение центра тяжести равнобедренного треугольника

Для доказательства этих формул достаточно вспомнить, что равновесие достигается в такой точке Определение центра тяжести равнобедренного треугольника, в которой сумма моментов всех сил равна нулю. В данном случае это превращается в условие того, чтобы сумма радиус-векторов всех точек относительно точки Определение центра тяжести равнобедренного треугольника, домноженных на массы соответствующих точек, равнялась нулю:

Определение центра тяжести равнобедренного треугольника

и, выражая отсюда Определение центра тяжести равнобедренного треугольника, мы и получаем требуемую формулу.

Центр масс каркаса

Будем считать для простоты, что каркас однороден, т.е. его плотность везде одна и та же.

Но тогда каждую сторону многоугольника можно заменить одной точкой — серединой этого отрезка (т.к. центр масс однородного отрезка есть середина этого отрезка), с массой, равной длине этого отрезка.

Теперь мы получили задачу о системе материальных точек, и применяя к ней решение из предыдущего пункта, мы находим:

Определение центра тяжести равнобедренного треугольника

где Определение центра тяжести равнобедренного треугольника— точка-середина Определение центра тяжести равнобедренного треугольника-ой стороны многоугольника, Определение центра тяжести равнобедренного треугольника— длина Определение центра тяжести равнобедренного треугольника-ой стороны, Определение центра тяжести равнобедренного треугольника— периметр, т.е. сумма длин сторон.

Для треугольника можно показать следующее утверждение: эта точка является точкой пересечения биссектрис треугольника, образованного серединами сторон исходного треугольника. (чтобы показать это, надо воспользоваться приведённой выше формулой, и затем заметить, что биссектрисы делят стороны получившегося треугольника в тех же соотношениях, что и центры масс этих сторон).

Центр масс сплошной фигуры

Мы считаем, что масса распределена по фигуре однородно, т.е. плотность в каждой точке фигуры равна одному и тому же числу.

Случай треугольника

Утверждается, что для треугольника ответом будет всё тот же центроид, т.е. точка, образованная средним арифметическим координат вершин:

Определение центра тяжести равнобедренного треугольника

Случай треугольника: доказательство

Приведём здесь элементарное доказательство, не использующее теорию интегралов.

Первым подобное, чисто геометрическое, доказательство привёл Архимед, но оно было весьма сложным, с большим числом геометрических построений. Приведённое здесь доказательство взято из статьи Apostol, Mnatsakanian «Finding Centroids the Easy Way».

Доказательство сводится к тому, чтобы показать, что центр масс треугольника лежит на одной из медиан; повторяя этот процесс ещё дважды, мы тем самым покажем, что центр масс лежит в точке пересечения медиан, которая и есть центроид.

Разобьём данный треугольник Определение центра тяжести равнобедренного треугольникана четыре, соединив середины сторон, как показано на рисунке:

Определение центра тяжести равнобедренного треугольника

Четыре получившихся треугольника подобны треугольнику Определение центра тяжести равнобедренного треугольникас коэффициентом Определение центра тяжести равнобедренного треугольника.

Треугольники №1 и №2 вместе образуют параллелограмм, центр масс которого Определение центра тяжести равнобедренного треугольникалежит в точке пересечения его диагоналей (поскольку это фигура, симметричная относительно обеих диагоналей, а, значит, её центр масс обязан лежать на каждой из двух диагоналей). Точка Определение центра тяжести равнобедренного треугольниканаходится посередине общей стороны треугольников №1 и №2, а также лежит на медиане треугольника Определение центра тяжести равнобедренного треугольника:

Определение центра тяжести равнобедренного треугольника

Пусть теперь вектор Определение центра тяжести равнобедренного треугольника— вектор, проведённый из вершины Определение центра тяжести равнобедренного треугольникак центру масс Определение центра тяжести равнобедренного треугольникатреугольника №1, и пусть вектор Определение центра тяжести равнобедренного треугольника— вектор, проведённый из Определение центра тяжести равнобедренного треугольникак точке Определение центра тяжести равнобедренного треугольника(которая, напомним, является серединой стороны, на которой она лежит):

Определение центра тяжести равнобедренного треугольника

Наша цель — показать, что вектора Определение центра тяжести равнобедренного треугольникаи Определение центра тяжести равнобедренного треугольникаколлинеарны.

Обозначим через Определение центра тяжести равнобедренного треугольникаи Определение центра тяжести равнобедренного треугольникаточки, являющиеся центрами масс треугольников №3 и №4. Тогда, очевидно, центром масс совокупности этих двух треугольников будет точка Определение центра тяжести равнобедренного треугольника, являющаяся серединой отрезка Определение центра тяжести равнобедренного треугольника. Более того, вектор от точки Определение центра тяжести равнобедренного треугольникак точке Определение центра тяжести равнобедренного треугольникасовпадает с вектором Определение центра тяжести равнобедренного треугольника.

Искомый центр масс Определение центра тяжести равнобедренного треугольникатреугольника Определение центра тяжести равнобедренного треугольникалежит посередине отрезка, соединяющего точки Определение центра тяжести равнобедренного треугольникаи Определение центра тяжести равнобедренного треугольника(поскольку мы разбили треугольник Определение центра тяжести равнобедренного треугольникана две части равных площадей: №1-№2 и №3-№4):

Определение центра тяжести равнобедренного треугольника

Таким образом, вектор от вершины Определение центра тяжести равнобедренного треугольникак центроиду Определение центра тяжести равнобедренного треугольникаравен Определение центра тяжести равнобедренного треугольника. С другой стороны, т.к. треугольник №1 подобен треугольнику Определение центра тяжести равнобедренного треугольникас коэффициентом Определение центра тяжести равнобедренного треугольника, то этот же вектор равен Определение центра тяжести равнобедренного треугольника. Отсюда получаем уравнение:

Определение центра тяжести равнобедренного треугольника

Определение центра тяжести равнобедренного треугольника

Таким образом, мы доказали, что вектора Определение центра тяжести равнобедренного треугольникаи Определение центра тяжести равнобедренного треугольникаколлинеарны, что и означает, что искомый центроид Определение центра тяжести равнобедренного треугольникалежит на медиане, исходящей из вершины Определение центра тяжести равнобедренного треугольника.

Более того, попутно мы доказали, что центроид делит каждую медиану в отношении Определение центра тяжести равнобедренного треугольника, считая от вершины.

Случай многоугольника

Перейдём теперь к общему случаю — т.е. к случаю мноугоугольника. Для него такие рассуждения уже неприменимы, поэтому сведём задачу к треугольной: а именно, разобьём многоугольник на треугольники (т.е. триангулируем его), найдём центр масс каждого треугольника, а затем найдём центр масс получившихся центров масс треугольников.

Окончательная формула получается следующей:

Определение центра тяжести равнобедренного треугольника

где Определение центра тяжести равнобедренного треугольника— центроид Определение центра тяжести равнобедренного треугольника-го треугольника в триангуляции заданного многоугольника, Определение центра тяжести равнобедренного треугольника— площадь Определение центра тяжести равнобедренного треугольника-го треугольника триангуляции, Определение центра тяжести равнобедренного треугольника— площадь всего многоугольника.

Триангуляция выпуклого многоугольника — тривиальная задача: для этого, например, можно взять треугольники Определение центра тяжести равнобедренного треугольника, где Определение центра тяжести равнобедренного треугольника.

Случай многоугольника: альтернативный способ

С другой стороны, применение приведённой формулы не очень удобно для невыпуклых многоугольников, поскольку произвести их триангуляцию — сама по себе непростая задача. Но для таких многоугольников можно придумать более простой подход. А именно, проведём аналогию с тем, как можно искать площадь произвольного многоугольника: выбирается произвольная точка Определение центра тяжести равнобедренного треугольника, а затем суммируются знаковые площади треугольников, образованных этой точкой и точками многоугольника: Определение центра тяжести равнобедренного треугольника. Аналогичный приём можно применить и для поиска центра масс: только теперь мы будем суммировать центры масс треугольников Определение центра тяжести равнобедренного треугольника, взятых с коэффициентами, пропорциональными их площадям, т.е. итоговая формула для центра масс такова:

Определение центра тяжести равнобедренного треугольника

где Определение центра тяжести равнобедренного треугольника— произвольная точка, Определение центра тяжести равнобедренного треугольника— точки многоугольника, Определение центра тяжести равнобедренного треугольника— центроид треугольника Определение центра тяжести равнобедренного треугольника, Определение центра тяжести равнобедренного треугольника— знаковая площадь этого треугольника, Определение центра тяжести равнобедренного треугольника— знаковая площадь всего многоугольника (т.е. Определение центра тяжести равнобедренного треугольника).

Видео:[How to] Определение центра тяжестиСкачать

[How to] Определение центра тяжести

Трёхмерный случай: многогранники

Аналогично двумерному случаю, в 3D можно говорить сразу о четырёх возможных постановках задачи:

  • Центр масс системы точек — вершин многогранника.
  • Центр масс каркаса — рёбер многогранника.
  • Центр масс поверхности — т.е. масса распределена по площади поверхности многогранника.
  • Центр масс сплошного многогранника — т.е. масса распределена по всему многограннику.

Центр масс системы точек

Как и в двумерном случае, мы можем применить физическую формулу и получить тот же самый результат:

Определение центра тяжести равнобедренного треугольника

который в случае равных масс превращается в среднее арифметическое координат всех точек.

Центр масс каркаса многогранника

Аналогично двумерному случаю, мы просто заменяем каждое ребро многогранника материальной точкой, расположенной посередине этого ребра, и с массой, равной длине этого ребра. Получив задачу о материальных точках, мы легко находим её решение как взвешенную сумму координат этих точек.

Центр масс поверхности многогранника

Каждая грань поверхности многогранника — двухмерная фигура, центр масс которой мы умеем искать. Найдя эти центры масс и заменив каждую грань её центром масс, мы получим задачу с материальными точками, которую уже легко решить.

Центр масс сплошного многогранника

Случай тетраэдра

Как и в двумерном случае, решим сначала простейшую задачу — задачу для тетраэдра.

Утверждается, что центр масс тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан (медианой тетраэдра называется отрезок, проведённый из его вершины в центр масс противоположной грани; таким образом, медиана тетраэдра проходит через вершину и через точку пересечения медиан треугольной грани).

Почему это так? Здесь верны рассуждения, аналогичные двумерному случаю: если мы рассечём тетраэдр на два тетраэдра с помощью плоскости, проходящей через вершину тетраэдра и какую-нибудь медиану противоположной грани, то оба получившихся тетраэдра будут иметь одинаковый объём (т.к. треугольная грань разобьётся медианой на два треугольника равной площади, а высота двух тетраэдров не изменится). Повторяя эти рассуждения несколько раз, получаем, что центр масс лежит на точке пересечения медиан тетраэдра.

Эта точка — точка пересечения медиан тетраэдра — называется его центроидом. Можно показать, что она на самом деле имеет координаты, равные среднему арифметическому координат вершин тетраэдра:

Определение центра тяжести равнобедренного треугольника

(это можно вывести из того факта, что центроид делит медианы в отношении Определение центра тяжести равнобедренного треугольника)

Таким образом, между случаями тетраэдра и треугольника принципиальной разницы нет: точка, равная среднему арифметическому вершин, является центром масс сразу в двух постановках задачи: и когда массы находится только в вершинах, и когда массы распределены по всей площади/объёму. На самом деле, этот результат обобщается на произвольную размерность: центр масс произвольного симплекса (simplex) есть среднее арифметическое координат его вершин.

Случай произвольного многогранника

Перейдём теперь к общему случаю — случаю произвольного многогранника.

Снова, как и в двумерном случае, мы производим сведение этой задачи к уже решённой: разбиваем многогранник на тетраэдры (т.е. производим его тетраэдризацию), находим центр масс каждого из них, и получаем окончательный ответ на задачу в виде взвешенной суммы найденных центров масс.

🔥 Видео

Урок 79. Центр масс тела и методы определения его положенияСкачать

Урок 79. Центр масс тела и методы определения его положения
Поделиться или сохранить к себе: