Обратное свойство биссектрисы треугольника

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Видео:Свойство биссектрисы треугольникаСкачать

Свойство биссектрисы треугольника

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Видео:3 свойства биссектрисы #shortsСкачать

3 свойства биссектрисы #shorts

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

Обратное свойство биссектрисы треугольника

  • CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
  • CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
  • DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Видео:Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать

Пересечение биссектрис треугольника в одной точке,  Геометрия 7 класс

Свойство биссектрисы треугольника

Рассмотрим свойство биссектрисы треугольника с доказательством и задачу на применение свойства.

Теорема (Свойство биссектрисы треугольника)

Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Обратное свойство биссектрисы треугольникаДано: ∆АВС, АР — биссектриса.

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Обратное свойство биссектрисы треугольникаI. Если АС=АВ, то биссектриса АР является также медианой, СР=ВР, и

Обратное свойство биссектрисы треугольника

1) Опустим перпендикуляры BN и CF на луч AP.

2) Прямоугольные треугольники ABN и ACF подобны по острому углу (∠BAP=∠CAP, так как AP — биссектриса ∠BAC (по условию)), следовательно,

Обратное свойство биссектрисы треугольника

3) Прямоугольные треугольники BNP и CFP подобны по острому углу (∠BPN=∠CPF (как вертикальные)), следовательно,

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Если средние члены пропорции поменять местами, пропорция останется верной, поэтому

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Что и требовалось доказать.

Стороны треугольника равны 10 см, 11 см и 12 см. Найти отрезки, на которые делит биссектриса треугольника среднюю сторону.

Дано: AC=10 см, BC=11 см, AB=12 см, AP = биссектриса.

По свойству биссектрисы треугольника:

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Пусть CP=x см, тогда BP=11-x см:

Обратное свойство биссектрисы треугольника

откуда по основному свойству пропорции

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Ответ: 5 см, 6 см.

Видео:Свойства биссектрисы треугольникаСкачать

Свойства биссектрисы треугольника

4 Comments

Интересный сайт. Очень полезный материал по геометрии. Вот только чертежи мелковаты, нужно бы сделать по-крупнее или сделать возможность увеличения. Автору спасибо за грандиозный труд.

Спасибо, Сергей! Чертежи делались не очень крупными, чтобы не увеличивать время загрузки. Планов еще много. Жаль, что в сутках только 24 часа)).

Вопрос: я кое-где прочитал, что это соотношение меньше еденицы, это так? Если да, то почему?

Извините за беспокойство, я уже понял, почему, а, вернее, то был частный случай.

Видео:8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы углаСкачать

8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы угла

Теорема о биссектрисе треугольника. Доказательство

Теорема 1. Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на две отрезки, пропорциональные сторонам, прилежащим к данной вершине. То есть если биссектриса при вершине A делит в точке D сторону BC на отрезки BD и CD (Рис.1), то имеет место следующее соотношение:

Обратное свойство биссектрисы треугольника(1)
Обратное свойство биссектрисы треугольника

Доказательство (метод площадей 1). Из вершины A опущена биссектриса AD. Построим вершину треугольника AH. Найдем площади треугольников ABD и ACD:

Обратное свойство биссектрисы треугольника,(3)
Обратное свойство биссектрисы треугольника.(4)

Построим следующее соотношение

Обратное свойство биссектрисы треугольника.(5)

С другой стороны, площадь треугольников ABD и ACD можно найти используя следующие формулы:

Обратное свойство биссектрисы треугольника.(6)
Обратное свойство биссектрисы треугольника.(7)

Построим следующее соотношение используя формулы (6) и (7):

Обратное свойство биссектрисы треугольника.(8)

Из формул (5) и (8) получим соотношение (1).Обратное свойство биссектрисы треугольника

Доказательство (метод площадей 2). С одной стороны, аналогично вышеизложенному имеем соотношение (5). Далее из точки D проведем вершины L и M для треугольников ABD и ACD (Рис.2).

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Тогда площади треугольников ABD и ACD можно найти из формул:

Обратное свойство биссектрисы треугольника,(9)
Обратное свойство биссектрисы треугольника.(10)

Построим следующее соотношение

Обратное свойство биссектрисы треугольника.(11)

Из формул (5) и (11) получим соотношение (1).Обратное свойство биссектрисы треугольника

Доказательство (через теорему синусов). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.3):

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Применяя теорему синусов для треугольников ABD и ACD можем записать:

Обратное свойство биссектрисы треугольника,(12)
Обратное свойство биссектрисы треугольника.(13)

Поделив (12) на (13) и учитывая, что ( small sin(180°-delta)=sin delta , ) (см. статью Формулы приведения тригонометрических функций онлайн) получим равенство (1).Обратное свойство биссектрисы треугольника

Доказательство (через подобие треугольников). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.4). Проведем перпендикуляры из вершин B и C на луч AD и обозначим точки пересечения через L и K.

Обратное свойство биссектрисы треугольника

Рассмотрим треугольники ABL и ACK. Эти треугольники подобны по двум углам (( small ∠ ALB= ∠ AKC ,;; ∠ BAL= ∠ CAK ) ). Тогда имеем:

Обратное свойство биссектрисы треугольника(14)

Рассмотрим, далее, треугольники BLD и CKD. Они также подобны поскольку ( small ∠ BLD= ∠ CKD ,) а углы BDL и CDK равны так как они вертикальные. Тогда имеет место следующее соотношение:

Обратное свойство биссектрисы треугольника(15)

Из равенств (14) и (15) получаем:

Обратное свойство биссектрисы треугольника.Обратное свойство биссектрисы треугольника

Пример. Даны стороны треугольника ABC: AB=18, AC=6, BC=20. Найти отрезки, полученные делением биссектрисей большой стороны треугольника.

Решение. Поскольку напротив самой большой стороны треугольника находится вершина A, то бисскетриса AD делит сторону BC на отрезки BD и CD. Тогда имеем:

Обратное свойство биссектрисы треугольника.(16)

Обозначим BD=x. Тогда CD=BC−x=20−x. Подставляя данные в уравнение (16), получим:

Обратное свойство биссектрисы треугольника
Обратное свойство биссектрисы треугольника.(17)

Методом перекресного умножения упростим (17) и решим:

🌟 Видео

Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 классСкачать

Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 класс

Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

Геометрия 8 класс (Урок№29 - Свойство биссектрисы угла.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№29 - Свойство биссектрисы угла.)

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?Скачать

Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?

Теорема о биссектрисе угла треугольника | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |Скачать

Теорема о биссектрисе угла треугольника | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |

Свойство (признак) биссектрисы внутреннего (внешнего) угла треугольникаСкачать

Свойство (признак) биссектрисы внутреннего (внешнего)  угла треугольника

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

74. Свойства биссектрисы углаСкачать

74. Свойства биссектрисы угла

Биссектрисы треугольника.Скачать

Биссектрисы треугольника.

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Урок по теме СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ УГЛА 8 КЛАСС ГЕОМЕТРИЯСкачать

Урок по теме СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ УГЛА 8 КЛАСС ГЕОМЕТРИЯ

9. Биссектриса. Биссектриса треугольника.Скачать

9. Биссектриса. Биссектриса треугольника.

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: