Окружность, вписанная в правильный треугольник, помимо свойств вписанной в произвольный треугольник окружности, обладает своими собственными свойствами.
1) Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.
Поскольку в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, то центр вписанной в правильный треугольник окружности является точкой пересечения не только его биссектрис, но также медиан и высот.
Например, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a
точка O — центр вписанной окружности.
AK, BF и CD — биссектрисы, медианы и высоты треугольника ABC.
2) Расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу. Так как центр вписанной в правильный треугольник окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной третьей длины медианы:
Таким образом, формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности
Обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:
3) Так как формула для нахождения площади равностороннего треугольника через сторону
можем найти площадь через r:
Таким образом, формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности —
3) Все отрезки, на которые стороны равностороннего треугольника делятся точками касания вписанной окружности, равны половине его стороны:
4) Центр вписанной в правильный треугольник окружности является также центром описанной около него окружности.
5) Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:
Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать
Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать
Определение равностороннего треугольника
Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.
Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.
Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 1
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.
Свойство 2
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.
CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.
Свойство 3
В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.
Свойство 4
Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.
Свойство 5
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.
- R – радиус описанной окружности;
- r – радиус вписанной окружности;
- R = 2r.
Свойство 6
В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:
1. Высоту/медиану/биссектрису:
2. Радиус вписанной окружности:
3. Радиус описанной окружности:
4. Периметр:
5. Площадь:
Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать
Пример задачи
Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.
Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:
Видео:7 фактов про равносторонний треугольникСкачать
Центр треугольника
Треугольник — наиболее распространенная форма деталей в сферах машиностроения и строительства. Точка пересечения 3-х медиан считается центром треугольника. На эту точку приходится также центр тяжести и центр симметрии предметов треугольной формы. При разработке дизайнерских, инженерных проектов очень важно точно рассчитать центр тяжести элементов металлической или бетонной конструкции.
Существует несколько понятий центра для треугольника.
Инцентр — точка пересечения его биссектрис. Это — центр описанной около треугольника окружности.
Ортоцентр — точка пересечения его высот.
Центр тяжести,центр масс или центроид (обозн. М) — точка пересечения медиан треугольника.
Рассмотрим треугольник. Определим середины его сторон и соединим их с противолежащими углами. Точка пересечения медиан и будет центром тяжести тр-ка. Медиана делится этой точкой в пропорции 2:1 , (считая от вершины тр-ка).
Видео:Равносторонний треугольник. Описанная окружностьСкачать
Как найти центр треугольника
Если известны координаты его вершин, найдем сумму трех значений координат «х» и трех значений координат «у». Поделим каждую сумму на 3, получим среднее значение сумм координат «х» и «у», что и будет координатами центра тяжести.
Центром равностороннего треугольника является точка пересечения высот, биссектрис и медиан.
Центр равностороннего треугольника является также центром вписанной и описанной окружности.
Центроид расположен на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности. Центроид делит отрезок 2:1.
Быстро найти центр треугольника G можно с помощью онлайн калькулятора. Для этого:
- ввести в поле калькулятора координаты вершин треугольника;
- нажать кнопку Вычислить. Калькулятор вычислит значение центра треугольника G.
📽️ Видео
У равностороннего треугольника есть центр симметрии. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
№762. Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найдите: а) |AB+BC|Скачать
Формулы для равностороннего треугольника.Скачать
Площадь равностороннего треугольникаСкачать
Геометрия Равносторонний треугольникСкачать
Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора | Геометрия | АлгебраСкачать
7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Построение равностронего треугольника.Скачать
Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать
№690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружностиСкачать
№488. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см;Скачать
№204. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр ОСкачать
Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать
2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABCСкачать
