Найти медиану треугольника огэ

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольникаСкачать

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Видео:Как находить медианы и высоты треугольника || ЕГЭ-2022 || ОГЭ - 2022Скачать

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

• AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
• AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Длину медианы m_a, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 РАЗДЕЛ ГЕОМЕТРИЯ ДАН РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК И ВЫСОТА / НАЙТИ МЕДИАНУСкачать

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S_△ = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Видео:ЗАДАЧА ДЛЯ ОТЛИЧНИКОВ | Как найти медиану треугольника через стороныСкачать

Задание №16 ОГЭ по математике

Видео:Медиана в ОГЭ #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Треугольники, четырёхугольники, многоугольники и их элементы

Перейдем к разбору модуля «Геометрия». В задании 16 проверяется умение выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. По спецификации ОГЭ здесь могут встретиться задания, связанные с необходимостью нахождения длин, углов и площадей.

Проверьте, что вы не ошибаетесь в определениях тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике.

Кроме того, убедитесь, что все данные задачи отражены на вашем чертеже. При необходимости применяйте теорему Пифагора. Если сюжет задачи развивается в равнобедренном треугольнике, то учтите, что высота, опущенная из вершины такого треугольника, делит его на два равных прямоугольных треугольника и далее задача решается в прямоугольном треугольнике. Если события происходят в окружности, то, помимо всего прочего, надо учесть, что вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу. Пусть треугольник вписан в окружность. Если этот треугольник остроугольный, то центр окружности лежит внутри треугольника. Если этот треугольник тупоугольный, то центр окружности лежит вне треугольника. А если это прямоугольный треугольник, то центр окружности лежит на середине гипотенузы.

В 16 задании нам предстоит продемонстрировать свои знания в нахождении неизвестных элементов треугольника. Это могут быть углы, стороны, высоты, медианы или биссектрисы. Могут встретится задания на нахождение площади.

Теория к заданию №16

Так как задания №16 основаны на теории по теме «треугольники», рассмотрим базовые понятия, определения и формулы.

Вначале предлагаю рассмотреть углы на плоскости:

Многие задачи построены на нахождении медиан и биссектрис треугольника:

Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам.

• Биссектриса делит противолежащую сторону на части , пропорциональные прилежащим сторонам: ab : ac = b : c
• Биссектриса делит площадь треугольника, пропорционально прилежащим сторонам.
• Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.

Медиана:

Теперь вспомним основные формулы нахождения площади треугольника:

Во многих задачах встречается понятие средняя линия:

Средняя линия – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

• Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине.
• Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь которого равна одной четверти от исходного.

Теперь рассмотрим частные случаи треугольников — равнобедренный, равносторонний, прямоугольный.

Перейдем к рассмотрению равнобедренного треугольника:

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны.

Свойства равнобедренного треугольника:

• Углы, при основании треугольника, равны.
• Высота, проведенная из вершины, является биссектрисой и медианой.

Рассмотрим равносторонний треугольник:

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.

• Все углы равны 60°.
• Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.
• Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Прямоугольный треугольник:

Разбор типовых вариантов заданий №16 ОГЭ по математике

Первый вариант задания

В треугольнике два угла равны 73° и 48°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Для решения этого задания достаточно знать правило — сумма углов в треугольнике равна 180°.

Нам известны два угла, значит можем найти третий:

180 — 73 — 48 = 59

Второй вариант задания

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 20, сторона BC равна 58, сторона AC равна 64. Найдите MN.

Решение:

Для решения этой задачи не нужно пользоваться всеми данными в условии. Для успешного решения необходимо знать, что такое средняя линия треугольника.

Средняя линия — это линия соединяющая середины сторон и параллельная основанию.

Средняя линия равна половине основания, которому она параллельна.

Таким образом, если точки M и N являются серединами сторон AB и BC, значит эта линия параллельна AC — третьей стороне. А это в свою очередь означает, что она равна половине AC:

MN =½ • AC = 64 / 2 = 32

Третий вариант задания

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 122°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Если в треугольнике две стороны равны — значит он равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, угол в вершине равен 122°, значит сумма углов при основании равна:

Так как углы при основании равны, значит угол BCA равен углу BAC:

58° = ∠BCA + ∠BAC = 2 ∠BCA

Четвертый вариант задания

Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите его медиану.

Решение:

Для решения этой задачи необходимо знать формулу медианы в равностороннем треугольнике, или уметь выводить её из теоремы Пифагора. В данном случае мы воспользуемся готовой формулой, и я советую вам её запомнить, чтобы не тратить время на вывод в каждом случае:

Где m — медиана в равностороннем треугольнике, а a — сторона. Таким образом, для решения данной задачи подставим значение в формулу:

m = ( 10√3 • √3 )/ 2 = ( 10 • 3 )/ 2 = 30 / 2 = 15

Пятый вариант задания

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите второй острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а в прямоугольном треугольнике один из углов прямой, то сумма двух острых углов равна 90°. Отсюда можно вывести следующее правило:

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

Следовательно, второй острый угол равен:

Шестой вариант задания

В треугольнике ABC известно, что AC = 56, BM — медиана, BM = 48. Найдите AM.

Решение:

Для решения необходимо вспомнить определение медианы.

Медиана — отрезок, проведенный из вершины и делящий противоположную сторону на два равных отрезка.

Таким образом, медиана BM делит сторону AC (противоположную вершине B) пополам, следовательно^

AM = ½ AC = ½ 56 = 28

Седьмой вариант задания

Два катета прямоугольного треугольника равны 15 и 4. Найдите его площадь.

Решение:

Формула площади для прямоугольного треугольника выглядит следующим образом:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Это следует из того, что один из катетов является высотой к основанию, которым является второй катет.

Исходя из вышесказанного, можем решить задачу:

Восьмой вариант задания

Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите его высоту.

Решение:

Вспоминаем, что в равностороннем треугольнике высота является и медианой и биссектрисой.

Для медианы, а значит и для высоты, формулу я приводил чуть выше:

m = ( 12√3 • √3 )/ 2 = ( 12 • 3 )/ 2 = 36 / 2 = 18

Девятый вариант задания

Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Решение:

Воспользуемся теоремой Пифагора:

c² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400

Десятый вариант задания

Биссектриса равностороннего треугольника равна 11√3. Найдите его сторону.

Решение:

До этого мы искали медиану, биссектрису или высоту равностороннего треугольника по формуле:

Здесь же нам необходимо решить обратную задачу, найти a, если известно m.

a = ( 2 • m ) / √3 = ( 2 • 11 • √3 ) / √3 = 22

Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123° . Найдите величину угла ВАС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Для решения этого задания нужно помнить два факта:

• Внутренний угол с внешним углом дают в сумме 180°
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Из первого пункта следует, что угол BCA = 180 — 123 = 57°

Из второго — что ∠BCA = ∠BAC = 57°

Видео:Длина медианы треугольникаСкачать

Геометрия. Урок 3. Треугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Определение треугольника

• Виды треугольников

• Отрезки в треугольнике

Видео:ОГЭ 2023. Задание 23. Найти медиану прямоугольного треугольникаСкачать

Определение треугольника

Треугольник – многоугольник с тремя сторонами и тремя углами.

Угол ∠ A – угол, образованный сторонами A B и A C и противолежащий стороне B C .

Угол ∠ B – угол, образованный сторонами B A и B C и противолежащий стороне A C .

Угол ∠ C – угол, образованный сторонами C B и C A и противолежащий стороне A B .

Видео:Медиана прямоугольного треугольника— Геометрия ОГЭСкачать

Виды треугольников

Треугольник остроугольный , если все три угла в треугольнике острые.

Треугольник прямоугольный , если у него один из углов прямой ( = 90 ° ) .

Треугольник тупоугольный , если у него один из углов тупой.

Основные свойства треугольника:

• Против большей стороны лежит больший угол.
• Против равных сторон лежат равные углы.
• Сумма углов в треугольнике равна 180 ° .
• Если продолжить одну из сторон треугольника, например, A C , и взять на продолжении стороны точку D , образуется внешний угол ∠ B C D к исходному углу ∠ A C B .

Видео:Задача за секунду. ОГЭ геметрия. Медиана прямоугольного треугольникаСкачать

Отрезки в треугольнике

Биссектриса угла – луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.

Свойства биссектрис треугольника:

• Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
• Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

Замечание: биссектриса угла – это луч, а биссектриса треугольника – отрезок.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Свойства медиан треугольника:

• Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (два треугольника, имеющих одинаковую площадь).
• Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины угла треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону этого треугольника.

Если треугольник остроугольный, то все три высоты будут лежать внутри треугольника. Если треугольник тупоугольный, то высоты, проведенные из вершин острых углов будут лежать вне треугольника, а высота, проведенная из вершины тупого угла будет лежать внутри треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника: средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Всего в треугольнике можно провести три средние линии. Три средние линии разбивают исходный треугольник на четыре равных треугольника. Площадь каждого маленького треугольника будет равна четверти площади большого треугольника.

Видео:Задание 9 ОГЭ от ФИПИСкачать

Площадь треугольника

Площадь произвольного треугольника можно найти следующими способами:

Полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Видео:Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Равнобедренный треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным.

Свойства равноберенного треугольника:

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают.

Видео:Как найти медиану, зная стороны треугольника? Удвоение медианы.Скачать

Равносторонний треугольник

Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Площадь равностороннего треугольника находится по формуле S = a 2 3 4

Высота равностороннего треугольника находится по формуле h = a 3 2

Видео:длина медианы #SHORTSСкачать

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов равен 90 ° .

Свойства прямоугольного треугольника:

• Сумма двух острых углов треугольника равна 90 ° .
• Катет, лежащий напротив угла в 30 ° , равен половине гипотенузы.
• Если катет равен половине гипотенузы, он лежит напротив угла в 30 ° .

Видео:ОГЭ 16🔴Скачать

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны друг другу, следовательно, площадь можно найти по формуле:

Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с треугольниками

🔍 Видео

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Медиана к гипотенузе. Прямоугольный треугольник. Подготовка к ОГЭ. Задание 23.Скачать

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать

Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать