Найдите площадь треугольника через синус

Площадь треугольника через синус

Найдите площадь треугольника через синус

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Определение

Площадь треугольника через синус — это площадь треугольника,
выраженная через две любые стороны треугольника и синус угла между ними.

Синус угла — это число, которое используется для нахождения
разных величин в треугольниках, его можно найти в специальных таблицах.

Видео:✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис ТрушинСкачать

✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис Трушин

Введение

Площадь треугольника кроме половины произведения высоты
на основания, можно также найти и другим способом.
Мало кто знает, но через синусы углов можно найти обычно
не только стороны, но и площадь любого треугольника!

Площадь треугольника выраженная без синуса численно равна
половине произведения двух сторон друг на друга
на синус угла между ними.

Площадь треугольника через синус ищется только в том случае,
если по другой формуле площадь треугольника найти нельзя.

Теорема

Найдите площадь треугольника через синус

( S = frac2 * BC * AC * sin angle BCA ) ​

Площадь произвольного треугольника равна полусумме
произведения двух любых сторон треугольника друг на друга,
и на синус угла между этими сторонами.

Формула

[ S = frac2 * a * b * sin α ]

Где a, b — две стороны треугольника, синус α — синус угла α.

Пример

Найдите площадь треугольника через синус

Для примера, возьмем треугольник omk, изображенный на рисунке 1, со сторонами om, mk, ok.
Известно, что mk равен 6, ok равен 8, синус угла okm равен 1/4.

Нужно найти площадь треугольника omk.

Дано: △omk, mk = 6, ok = 8, sin okm = 1/4.

Найти: S △omk — ?

Решение:

1) ​ ( S = frac2*a*b*sin α ) ​​ ( implies ) ​ ( S = frac2*mk*ok*sin okm ) ​

2) S = 1/2 * 6 * 8 * 1/4 = 1/2 * 6 * 8 * 0.25 = 1/2 * 48 * 0.25 = 1/2 * 12 = 6

Ответ: Площадь треугольника omk равна 6.

Доказательство

Докажем, что площадь произвольного треугольника
равна полусумме произведения двух любых сторон
друг на друга, и на синус угла между этими сторонами.

Чтобы вам наглядно было видно, как мы доказываем,
используем один из известнейших треугольников — египетский треугольник.
Высота в египетском треугольнике равна длине одного из катетов.
Построим прямоугольный треугольник, изображенный на рисунке 2,
со сторонами 3,4,5 с одним из углов 90 градусов.

Найдите площадь треугольника через синус

Первым делом найдем площадь обычной формулой,
затем с помощью синуса. Площадь равна половине
основания на высоту — ½3*4 = 6. Теперь найдем с
помощью синуса: ½3*4*sin90 = 6 * 1 = 6. Как видим,
полученные значения площадей сходятся, соответственно
через синус можно найти площадь треугольника ч.т.д.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника нам не нужно
знать основание и высоту, можно знать только
две стороны и синус угла между ними.

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Заключение

В заключение, можно сказать, что площадь
треугольника можно найти разными способами.
Например, в прямоугольном треугольнике площадь
рассчитать легче чем в любом другом треугольнике,
так как высота уже известна. Именно поэтому,
в школьном курсе, отчасти так подробно изучаются
прямоугольные треугольники. В Древнем Египте были
распространены прямоугольные треугольники со
сторонами 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13. Длины этих прямоугольных
треугольников треугольников целые, что значительно,
упрощало разного рода вычисления.

Формулу площади треугольника делает универсальной то,
что она может применена к абсолютно любым треугольникам.
Главное, чтобы были известные две стороны,
и угол или синус угла между ними.

Формула площади треугольника через синус — универсальна,
поэтому может быть применена к любым видам треугольников.

Видео:Задание 15 (В1) ОГЭ по математике ▶ №10 (Минутка ОГЭ)Скачать

Задание 15 (В1) ОГЭ по математике ▶ №10 (Минутка ОГЭ)

Площадь треугольника по двум сторонам

Выясним, как найти площадь треугольника по двум сторонам.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Формула площади треугольника по двум сторонам:

Найдите площадь треугольника через синус

Найдите площадь треугольника через синус

Найдите площадь треугольника через синус

Найдите площадь треугольника через синус

Найдите площадь треугольника через синус

Проведем в треугольнике ABC высоту BD.

равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

Найдите площадь треугольника через синус

Рассмотрим треугольник ABD — прямоугольный (так как BD — высота по построению).

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике,

Найдите площадь треугольника через синус

Найдите площадь треугольника через синус

Найдите площадь треугольника через синус

Найдите площадь треугольника через синус

Если в треугольнике ABC

Найдите площадь треугольника через синус

то в треугольнике ABD

Найдите площадь треугольника через синус

Найдите площадь треугольника через синус

Найдите площадь треугольника через синус

Найдите площадь треугольника через синус

То есть, и в случае тупого угла A выполняется равенство

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Формулировка теоремы о площади треугольника:

Видео:Как найти площадь треугольника? #треугольник #математика #егэ #shorts #подготовкакегэ #огэ #площадьСкачать

Как найти площадь треугольника? #треугольник #математика #егэ #shorts #подготовкакегэ #огэ #площадь

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть в нем сторона BC = a, сторона CA = b и S – площадь этого треугольника. Необходимо доказать, что S = (1/2)*a*b*sin(C).

Для начала введем прямоугольную систему координат и поместим начало координат в точку С. Расположим нашу систему координат так, чтобы точка B лежала на положительном направлении оси Сх, а точка А имела бы положительную ординату.

Если все выполнить правильно, то должен получится следующий рисунок.

Найдите площадь треугольника через синус

Площадь данного треугольника можно вычислить по следующей формуле: S = (1/2)*a*h, где h — это высота треугольника. В нашем случае высота треугольника h равна ординате точки А, то есть h = b*sin(C).

Учитывая полученные результат, формулу площади треугольника можно переписать следующим образом: S = (1/2)*a*b*sin(C). Что и требовалось доказать.

🎬 Видео

100. Теорема о площади треугольникаСкачать

100. Теорема о площади треугольника

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решения

№1020. Найдите площадь треугольника ABC, если: а) АВ = = 6√8 см, АС=4 см, ∠А=60°;Скачать

№1020. Найдите площадь треугольника ABC, если: а) АВ = = 6√8 см, АС=4 см, ∠А=60°;

Задача, которую исключили из экзамена в АмерикеСкачать

Задача, которую исключили из экзамена в Америке

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)

Найдите площадь треугольника, если его медианы равны 12, 15 и 21.Скачать

Найдите площадь треугольника, если его медианы равны 12, 15 и 21.

Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать

Как найти площадь треугольника без формулы?

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shorts

Найти площадь треугольника АВС. Задачи по рисункамСкачать

Найти площадь треугольника АВС. Задачи по рисункам

Площадь треугольника, построенного на векторахСкачать

Площадь треугольника, построенного на векторах

№1024. Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ∠A=α, а высоты, проведенные из вершин BСкачать

№1024. Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ∠A=α, а высоты, проведенные из вершин B

Как найти площадь треугольникаСкачать

Как найти площадь треугольника

Решение задачи с применением теоремы синусовСкачать

Решение задачи с применением теоремы синусов
Поделиться или сохранить к себе: