Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

  • Метрические формулы прямоугольного треугольника

Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Содержание
  1. §1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.
  2. Все формулы прямоугольного треугольника — примеры расчетов
  3. Формулы
  4. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
  5. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
  6. Теорема Пифагора
  7. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника
  8. Решение прямоугольных треугольников
  9. Пример №1
  10. Пример №2
  11. Пример №3
  12. Пример №4
  13. Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника
  14. Пример №5
  15. Пример №6
  16. Пример №7
  17. Пример №8
  18. Пример №9
  19. Пример №10
  20. Пример №11
  21. Перпендикуляр и наклонная, их свойства
  22. Пример №12
  23. Пример №13
  24. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
  25. Пример №14
  26. Пример №15
  27. Пример №16
  28. Пример №17
  29. Вычисление прямоугольных треугольников
  30. Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу
  31. Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу
  32. Решение прямоугольных треугольников по двум катетам
  33. Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе
  34. Определение прямоугольных треугольников
  35. Синус, косинус и тангенс
  36. Пример №18
  37. Тригонометрические тождества
  38. Пример №19
  39. Вычисление значений тригонометрических функций. Формулы дополнения
  40. Значения тригонометрических функций углов 30 45 60
  41. Решение прямоугольных треугольников
  42. Нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника
  43. Пример №20
  44. Примеры решения прямоугольных треугольников
  45. Пример №21
  46. Пример №22
  47. Пример №23
  48. Пример №24
  49. Пример №25
  50. Пример №26
  51. Историческая справка
  52. Приложения
  53. Теорема (обобщенная теорема Фалеса)
  54. Теорема (формула площади прямоугольника)
  55. Золотое сечение
  56. Пример №27
  57. Пример №28
  58. Пример №29
  59. Вычисление значений sin a, cos а и tg а
  60. Пример №31
  61. Как решать прямоугольные треугольники
  62. Пример №32
  63. Пример №33
  64. Пример №34
  65. Пример №35
  66. Пример №36
  67. Пример №37
  68. 🎥 Видео

§1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.

Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha` (рис. 1).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Используем обычные обозначения:

`c` — гипотенуза `AB`;

`a` и `b` – катеты `BC` и `AC` (по-гречески «kathetos — катет» означает отвес, поэтому такое изображение прямоугольного треугольника нам представляется естественным);

`a_c` и `b_c` – проекции `BD` и `AD` катетов на гипотенузу;

`h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;

`m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;

`R` – радиус описанной окружности;

`r` – радиус вписанной окружности.

Напомним, что если `alpha` — величина острого угла `A` прямоугольного треугольника `ABC` (см. рис. 1), то

`sin alpha = a/c`, `cos alpha = b/c` и `»tg»alpha = a/b`.

Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

`c^2 = a^2 + b^2`

Доказательство теоремы повторите по учебнику.

Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.

Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу

Если `/_ A = alpha` (см. рис. 1), то `/_ CBD = 90^@ — alpha` и `/_ BCD = alpha`. Из треугольника `ABC` `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треугольника `BCD` `sin alpha = (BD)/(BC)`.

Значит, `(BC)/(AB) = (BD)/(BC)`, откуда `BC^2 = AB * BD`, т. е. `a^2 = c * a_c` . Аналогично доказывается второе равенство.

Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу

Из треугольника `ACD` (рис. 1) имеем `»tg»alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` `»tg»alpha = (BD)/(CD)`.

Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`, откуда `CD^2 = AD * BD`, т. е. `h^2 = a_c * b_c`.

Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу

Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD` `sin alpha = (CD)/(AC)`.

Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`, откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е. `a * b = c * h`.

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.

Пусть `AM = BM`. Проведём $$ MKVert BC$$ (рис. 2), тогда по теореме Фалеса `AK = CK`

Метрические формулы прямоугольного треугольника.

Кроме того, из того, что `BC _|_ AC` и $$ MKVert BC$$ следует `MK _|_ AC`. В прямоугольных треугольниках `CMK` и `AMK` катет `MK` общий, катеты `CK` и `AK` равны. Эти треугольники равны и `CM = AM`, т. е. `CM = 1/2 AB`.

Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы

Это следует из Свойства 4, действительно, `MA = MB = MC`, следовательно, окружность с центром в точке `M` и радиуса `c/2` проходит через три вершины.

Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей

`a + b = 2(R + r)` или `a + b = c + 2r`

Пусть `O` — центр вписанной окружности и `F`, `N` и `S` — точки касания сторон треугольника `ABC` (рис. 3), тогда `OF_|_ BC`, `ON _|_ AC`, `OS _|_ AB` и `OF = ON = OS = r`. Далее, `OFCN` — квадрат со стороной `r`, поэтому `BF = BC — FC`, `AN = AC — CN`, т. е. `BF = a — r` и `AN = b — r`.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Прямоугольные треугольники `AON` и `AOS` равны (гипотенуза `AO` — общая, катеты `ON` и `OS` равны), следовательно, `AS = AN`, т. е. `AS = b — r`.

Аналогично доказывается, что `BS = a — r`, поэтому из `AB = AS + BS` следует `c = (b — r) + (a — r)`, т. е. `a + b = c + 2r`. Зная, что `c = 2R`, окончательно получаем `a + b = 2(R + r)`.

Равенства, доказанные в Свойствах 1 и 2, записываются также как:

Видео:Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольникеСкачать

Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Все формулы прямоугольного треугольника — примеры расчетов

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Видео:МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ . §15 геометрия 8 классСкачать

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ . §15 геометрия 8 класс

Формулы

Метрические формулы прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 :

Метрические формулы прямоугольного треугольника

2. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

3. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

4. Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

5. Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

6. Секанс острого угла равен отношению гипотенузы к прилежащему катету:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

7. Косеканс острого угла равен отношению гипотенузы к противолежащему:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

8. Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

9. Катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

10. Катет, противолежащий углу, равен произведению второго катета на тангенс угла:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

11. Катет, прилежащий углу, равен произведению второго катета на котангенс угла:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

12. Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, и/или частному отношению катета и косинуса прилежащего угла (угла между ними):

Метрические формулы прямоугольного треугольника

13. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

14. Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

15. Медиана, проведенная к гипотенузе:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

16. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

17. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

18. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов треугольника:

Видео:Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 1 часть. 9 класс.Скачать

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 1 часть. 9 класс.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Содержание:

В этой лекции вы ознакомитесь со знаменитой теоремой Пифагора. Вы научитесь по известным сторонам и углам прямоугольного треугольника находить его неизвестные стороны и углы.

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Отрезки AD и DB называют проекциями катетов АС и СВ соответственно на гипотенузу.

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Докажите лемму самостоятельно.

Теорема 15.1. Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство. На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC Метрические формулы прямоугольного треугольника

Докажем, что Метрические формулы прямоугольного треугольника

  • Поскольку Метрические формулы прямоугольного треугольникаОтсюда Метрические формулы прямоугольного треугольника
  • Поскольку Метрические формулы прямоугольного треугольникаОтсюда Метрические формулы прямоугольного треугольника
  • Поскольку Метрические формулы прямоугольного треугольникаОтсюда Метрические формулы прямоугольного треугольника

Если длины отрезков на рисунке 173 обозначить так:

АС = Ь, Метрические формулы прямоугольного треугольникато доказанные соотношения принимают вид:
Метрические формулы прямоугольного треугольника
Эти равенства называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Пример:

Даны два отрезка, длины которых равны а и b (рис. 174). Постройте третий отрезок, длина которого равна Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение:

Рассмотрим треугольник ADC Метрические формулы прямоугольного треугольникав котором отрезок DB является высотой (рис. 175). Имеем: Метрические формулы прямоугольного треугольникаЕсли обозначить Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Проведенный анализ показывает, как провести построение.

На произвольной прямой отметим точку А и отложим последовательно отрезки АВ и ВС так, чтобы АВ = а, ВС = b. Построим окружность с диаметром АС. Через точку В проведем прямую, перпендикулярную прямой АС (рис. 175).

Докажем, что отрезок DB искомый. Действительно, Метрические формулы прямоугольного треугольникакак вписанный угол, опирающийся на диаметр АС. Тогда по теореме 15.1 Метрические формулы прямоугольного треугольника

Видео:Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 2 часть. 9 класс.Скачать

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 2 часть. 9 класс.

Теорема Пифагора

Теорема 16.1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство. На рисунке 176 изображен прямоугольный треугольник ABC Метрические формулы прямоугольного треугольникаДокажем, что Метрические формулы прямоугольного треугольника
Проведем высоту CD. Применив теорему 15.1 для катетов АС и ВС, получаем:
Метрические формулы прямоугольного треугольникаСложив почленно эти равенства, получим:
Метрические формулы прямоугольного треугольника

Далее имеем: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Если в прямоугольном треугольнике длины катетов равны а и b, а длина гипотенузы равна с, то теорему Пифагора можно выразить следующим равенством: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора позволяет по двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Из равенства Метрические формулы прямоугольного треугольникатакже следует, что Метрические формулы прямоугольного треугольникаотсюда Метрические формулы прямоугольного треугольникато есть гипотенуза больше любого из катетов 1 .

1 Другим способом этот факт был установлен в курсе геометрии 7 класса.

Пифагор:

Вы изучили знаменитую теорему, которая носит имя выдающегося древнегреческого ученого Пифагора.

Исследования древних текстов свидетельствуют о том, что утверждение этой теоремы было известно задолго до Пифагора. Почему же ее приписывают Пифагору? Скорее всего потому, что именно Пифагор нашел доказательство этого утверждения.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

О жизни Пифагора мало что известно достоверно. Он родился на греческом острове Самос. По преданиям, он много путешествовал, приобретая знания и мудрость.

Поселившись в греческой колонии Кротон (на юге Италии), он окружил себя преданными учениками и единомышленниками. Так возник пифагорейский союз (или кротонское братство). Влияние этого союза было столь велико, что даже спустя столетия после смерти Пифагора многие выдающиеся математики Древнего мира Пифагор называли себя пифагорейцами.

Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника

На рисунке 180 изображен прямоугольный треугольник АВС Метрические формулы прямоугольного треугольникаНапомним, что катет ВС называют противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла А обозначают так: sin А (читают: «синус А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС имеем:
Метрические формулы прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, можно записать: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник АВС Метрические формулы прямоугольного треугольникав котором АС = ВС = а (рис. 182).

Имеем: Метрические формулы прямоугольного треугольника
По определению Метрические формулы прямоугольного треугольникаотсюда Метрические формулы прямоугольного треугольникаВидим, что синус острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника не зависит от размеров треугольника, так как полученное значение синуса одинаково для всех значений а. Поскольку Метрические формулы прямоугольного треугольникаЭту запись не связывают с конкретным прямоугольным равнобедренным треугольником.

Вообще, если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны.

Действительно, эти прямоугольные треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников. Поэтому отношение катета к гипотенузе одного треугольника равно отношению соответственного катета к гипотенузе другого треугольника.

Например, запись sin 17° можно отнести ко всем углам, градусные меры которых равны 17°. Значение этого синуса можно вычислить один раз, выбрав произвольный прямоугольный треугольник с острым углом 17°.
Следовательно, синус острого угла зависит только от величины этого угла.

Определение. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла А обозначают так: cos А (читают: «косинус А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Отметим, что катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы, а поэтому синус и косинус острого угла меньше 1.

Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла А обозначают так: tg А (читают: «тангенс А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:
Метрические формулы прямоугольного треугольника

Определение. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Котангенс угла А обозначают так: ctg А (читают: «котангенс А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:
Метрические формулы прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, записывают: Метрические формулы прямоугольного треугольникаМетрические формулы прямоугольного треугольника

Как было установлено, синус угла зависит только от величины угла. Рассуждая аналогично, можно прийти к следующему выводу: косинус, тангенс и котангенс острого угла зависят только от величины этого угла.

Вообще, каждому острому углу а соответствует единственное число — значение синуса (косинуса, тангенса, котангенса) этого угла. Поэтому зависимость значения синуса (косинуса, тангенса, котангенса) острого угла от величины этого угла является функциональной. Функцию, соответствующую этой зависимости, называют тригонометрической. Так, Метрические формулы прямоугольного треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольника— тригонометрические функции, аргументами которых являются острые углы.

С древних времен люди составляли таблицы приближенных значений тригонометрических функции с некоторым шагом, один раз вычисляя значения тригонометрических функций для конкретного аргумента. Затем эти таблицы широко использовались во многих областях науки и техники.

В наше время значения тригонометрических функций острых углов удобно находить с помощью микрокалькулятора.

Тангенс и котангенс острого угла можно выразить через синус и косинус этого же угла. Рассмотрим прямоугольный треугольник (рис. 181).

Запишем: Метрические формулы прямоугольного треугольникаСледовательно, получаем такие формулы: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Заметим, что тангенс и котангенс одного и того же острого угла являются взаимно обратными числами, то есть имеет место равенство:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

По теореме Пифагора Метрические формулы прямоугольного треугольникаОбе части этого равенства делим на Метрические формулы прямоугольного треугольникаИмеем: Метрические формулы прямоугольного треугольникаУчитывая, что Метрические формулы прямоугольного треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольникаполучим: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Принято записывать: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Отсюда имеем: Метрические формулы прямоугольного треугольника
Эту формулу называют основным тригонометрическим тождеством.

Отметим, что Метрические формулы прямоугольного треугольникаМетрические формулы прямоугольного треугольникаПоскольку Метрические формулы прямоугольного треугольникато получаем такие формулы:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Мы уже знаем, что Метрические формулы прямоугольного треугольникаНайдем теперь cos 45°, tg 45° и ctg 45°.

Имеем: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 183).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пусть ВС = а. Тогда по свойству катета, лежащего против угла 30°, получаем, что АВ = 2а. Из теоремы Пифагора следует, что Метрические формулы прямоугольного треугольника

Имеем: Метрические формулы прямоугольного треугольника
Отсюда находим: Метрические формулы прямоугольного треугольникаМетрические формулы прямоугольного треугольника

Поскольку 60° = 90° — 30°, то получаем:
Метрические формулы прямоугольного треугольника

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 45° и 60° полезно запомнить.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение прямоугольных треугольников

На рисунке 185 изображен прямоугольный треугольник с острыми углами Метрические формулы прямоугольного треугольникакатеты которого равны а и b, а гипотенуза равна с.
По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольника

Отсюда Метрические формулы прямоугольного треугольника

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.

По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольникаОтсюда Метрические формулы прямоугольного треугольника

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольникаОтсюда Метрические формулы прямоугольного треугольника

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катету.

По определению котангенса острого угла прямоугольного треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольникаОтсюда Метрические формулы прямоугольного треугольника
Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому катету.
Из равенств Метрические формулы прямоугольного треугольникаполучаем: Метрические формулы прямоугольного треугольника
Следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла;

  • гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Решить прямоугольный треугольник означает найти его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Приведенные выше правила позволяют решать прямоугольный треугольник по одной стороне и одному острому углу.

В задачах на решение прямоугольных треугольников, если не обусловлено иначе, приняты такие обозначения (см. рис. 185): с — гипотенуза, а и b — катеты, Метрические формулы прямоугольного треугольника— углы, противолежащие катетам а и b соответственно.

Пример №1

Решите прямоугольный треугольник по катету и острому углу: a = 14 см, Метрические формулы прямоугольного треугольника= 38°. (Значения тригонометрических функций найдите с помощью микрокалькулятора и округлите их до сотых. Значения длин сторон округлите до десятых.)

Решение:

Метрические формулы прямоугольного треугольника
Ответ: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Отметим, что эту задачу можно было решить и другим способом: например, найти гипотенузу, используя теорему Пифагора.

Пример №2

Решите прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе:

a = 26 см, с = 34 см.

Решение:

Имеем: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Вычисляем угол Метрические формулы прямоугольного треугольникас помощью микрокалькулятора: Метрические формулы прямоугольного треугольникаТогда Метрические формулы прямоугольного треугольника
Метрические формулы прямоугольного треугольника
Ответ: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример №3

Высота AD треугольника АВС (рис. 186) делит его сторону ВС на отрезки BD и CD такие, что Метрические формулы прямоугольного треугольникаНайдите стороны АВ и АС, если Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение:

Из треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольникаполучаем:
Метрические формулы прямоугольного треугольника

Из треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольникаполучаем:Метрические формулы прямоугольного треугольника
Ответ: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример №4

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна b, угол при основании равен Метрические формулы прямоугольного треугольникаНайдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

В треугольнике АВС (рис. 187) Метрические формулы прямоугольного треугольника

Проведем высоту BD.

Из треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольникаполучаем: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Следовательно, точка О принадлежит высоте ВD и биссектрисе АО угла ВАС. Поскольку Метрические формулы прямоугольного треугольникато вписанная окружность касается стороны АС в точке D. Таким образом, OD — радиус вписанной окружности. Отрезок АО — биссектриса угла BAD, поэтому
Метрические формулы прямоугольного треугольника

Из треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольникаполучаем: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Ответ: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Напомню:

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

  • Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.
  • Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора

  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Синус острого угла прямоугольного треугольника

  • Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

  • Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

  • Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

  • Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Тригонометрические формулы

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника— основное тригонометрическое тождество

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Соотношения между сторонами и значениями тригонометрических функций углов в прямоугольном треугольнике

  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катет>г.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому’ катету.
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла.
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника

Рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии, которая показывает зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника.

Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На сегодняшний день известны более ста доказательств этой теоремы. Рассмотрим одно из них.

Доказательство:

Пусть Метрические формулы прямоугольного треугольника-данный прямоугольный треугольник, у которого Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 172). Докажем, что

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

1) Проведем высоту Метрические формулы прямоугольного треугольника
2) По теореме о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике имеем:

Метрические формулы прямоугольного треугольникаи Метрические формулы прямоугольного треугольника

3) Сложим эти два равенства почленно. Учитывая, что Метрические формулы прямоугольного треугольникаполучим:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

4) Следовательно, Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Если в треугольнике Метрические формулы прямоугольного треугольникаобозначить Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 173), то теорему Пифагора можно записать формулой:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Таким образом, зная две стороны прямоугольного треугольника, с помощью теоремы Пифагора можно найти третью. В этом нам поможет следующая схема:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример №5

Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. Найдите гипотенузу.

Решение:

Пусть Метрические формулы прямоугольного треугольникатогда Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример №6

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а один из катетов — 15 см. Найдите второй катет.

Решение:

Пусть Метрические формулы прямоугольного треугольникатогда Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример №7

Найдите диагональ квадрата, сторона которого равнаМетрические формулы прямоугольного треугольника

Решение:

Рассмотрим квадрат Метрические формулы прямоугольного треугольникау которого Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 174). Тогда

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Ответ. Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример №8

Найдите медиану равностороннего треугольника со стороной Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение:

Рассмотрим равносторонний треугольник Метрические формулы прямоугольного треугольникасо стороной Метрические формулы прямоугольного треугольника— его медиана (рис. 175).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Так как Метрические формулы прямоугольного треугольника— медиана равностороннего треугольника, то она является и его высотой.

Из Метрические формулы прямоугольного треугольникаТогда

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Ответ: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример №9

Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 22 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть Метрические формулы прямоугольного треугольника— данная трапеция, Метрические формулы прямоугольного треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 176).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

1) Проведем высоты Метрические формулы прямоугольного треугольникаи Метрические формулы прямоугольного треугольника

2) Метрические формулы прямоугольного треугольника(по катету и гипотенузе), поэтому

Метрические формулы прямоугольного треугольника

3) Из Метрические формулы прямоугольного треугольникапо теореме Пифагора имеем:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример №10

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8 см, а второй на 2 см меньше гипотенузы. Найдите неизвестный катет треугольника.

Решение:

Пусть Метрические формулы прямоугольного треугольникасм и Метрические формулы прямоугольного треугольникасм- катеты треугольника, тогда Метрические формулы прямоугольного треугольникасм — его гипотенуза.

Так как по теореме Пифагора Метрические формулы прямоугольного треугольникаполучим уравнение: Метрические формулы прямоугольного треугольникаоткуда Метрические формулы прямоугольного треугольника(см).

Следовательно, неизвестный катет равен 15 см.

Верно и утверждение, обратное теореме Пифагора.

Теорема 2 (обратная теореме Пифагора). Если для треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольникасправедливо равенство Метрические формулы прямоугольного треугольникато угол Метрические формулы прямоугольного треугольникаэтого треугольника — прямой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике Метрические формулы прямоугольного треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольникаДокажем, что Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 177).

Рассмотрим Метрические формулы прямоугольного треугольникау которого Метрические формулы прямоугольного треугольникаМетрические формулы прямоугольного треугольникаТогда по теореме Пифагора Метрические формулы прямоугольного треугольникаа следовательно, Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Но Метрические формулы прямоугольного треугольникапо условию, поэтому Метрические формулы прямоугольного треугольникато есть Метрические формулы прямоугольного треугольника

Таким образом, Метрические формулы прямоугольного треугольника(по трем сторонам), откуда Метрические формулы прямоугольного треугольника

Так как Метрические формулы прямоугольного треугольникато треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным. Такой треугольник часто называют египетским, потому что о том, что он прямоугольный, было известно еще древним египтянам.

Тройку целых чисел, удовлетворяющую теореме Пифагора, называют пифагоровой тройкой чисел, а треугольник, стороны которого равны этим числам, — пифагоровым треугольником. Например, пифагоровой является не только тройка чисел 3, 4, 5, но и 7, 24, 25 или 9, 40, 41 и т. п.

Заметим, что из теоремы Пифагора и теоремы, ей обратной, следует, что

треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

Пример №11

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами: 1) 6; 8; 10; 2) 5; 7; 9?

Решение:

1) Так как Метрические формулы прямоугольного треугольникато треугольник является прямоугольным.

2) Так как Метрические формулы прямоугольного треугольникато треугольник не является прямоугольным.

Ответ. 1) Да; 2) нет.

Теорема, названная в честь древнегреческого философа и математика Пифагора, была известна задолго до него. В текстах давних вавилонян о ней вспоминалось еще за 1200 лет до Пифагора. Скорее всего, доказывать эту теорему вавилоняне не умели, а зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника установили опытным путем. Также эта теорема была известна в Древнем Египте и Китае.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Считается, что Пифагор — первый, кто предложил строгое доказательство теоремы. Он сформулировал теорему так: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах». Именно в такой формулировке она и была доказана Пифагором.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Рисунок к этому доказательству еще называют «пифагоровыми штанами».

Зная, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, землемеры Древнего Египта использовали его для построения прямого угла. Бечевку делили узлами на 12 равных частей и соединяли ее концы. Потом веревку растягивали и с помощью колышков фиксировали на земле в виде треугольника со сторонами 3; 4; 5. В результате угол, противолежащий стороне, длина которой 5, был прямым.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Перпендикуляр и наклонная, их свойства

Пусть Метрические формулы прямоугольного треугольникаперпендикуляр, проведенный из точки Метрические формулы прямоугольного треугольникак прямой Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 185). Точку Метрические формулы прямоугольного треугольниканазывают основанием перпендикуляра Метрические формулы прямоугольного треугольникаПусть Метрические формулы прямоугольного треугольника— произвольная точка прямой Метрические формулы прямоугольного треугольникаотличающаяся от Метрические формулы прямоугольного треугольникаОтрезок Метрические формулы прямоугольного треугольниканазывают наклонной, проведенной из точки Метрические формулы прямоугольного треугольникак прямой Метрические формулы прямоугольного треугольникаа точку Метрические формулы прямоугольного треугольникаоснованием наклонной. Отрезок Метрические формулы прямоугольного треугольниканазывают проекцией наклонной Метрические формулы прямоугольного треугольникана прямую Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Рассмотрим свойства перпендикуляра и наклонной.

1. Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из этой точки к этой прямой.

Действительно, в прямоугольном треугольнике Метрические формулы прямоугольного треугольника-катет, Метрические формулы прямоугольного треугольника— гипотенуза (рис. 185). Поэтому Метрические формулы прямоугольного треугольника

2. Если две наклонные, проведенные к прямой из одной точки, равны, то равны и их проекции.

Пусть из точки Метрические формулы прямоугольного треугольникак прямой Метрические формулы прямоугольного треугольникапроведены наклонные Метрические формулы прямоугольного треугольникаи Метрические формулы прямоугольного треугольникаи перпендикуляр Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 186). Тогда Метрические формулы прямоугольного треугольника(по катету и гипотенузе), поэтому Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Верно и обратное утверждение.

3. Если проекции двух наклонных, проведенных из точки к прямой, равны, то равны и сами наклонные.

Метрические формулы прямоугольного треугольника(по двум катетам), поэтому Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 186).

4. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большей является та, у которой больше проекция.

Пусть Метрические формулы прямоугольного треугольникаи Метрические формулы прямоугольного треугольника— наклонные, Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 187). Тогда Метрические формулы прямоугольного треугольника(из Метрические формулы прямоугольного треугольника), Метрические формулы прямоугольного треугольника(из Метрические формулы прямоугольного треугольника). Но Метрические формулы прямоугольного треугольникапоэтому Метрические формулы прямоугольного треугольникаследовательно, Метрические формулы прямоугольного треугольника

Свойство справедливо и в случае, когда точки Метрические формулы прямоугольного треугольникаи Метрические формулы прямоугольного треугольникалежат на прямой по одну сторону от точки Метрические формулы прямоугольного треугольника

Верно и обратное утверждение.

5. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большая наклонная имеет большую проекцию.

Пусть Метрические формулы прямоугольного треугольникаи Метрические формулы прямоугольного треугольника— наклонные, Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 187).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Тогда Метрические формулы прямоугольного треугольника(из Метрические формулы прямоугольного треугольника),

Метрические формулы прямоугольного треугольника(из Метрические формулы прямоугольного треугольника). Но Метрические формулы прямоугольного треугольникапоэтому Метрические формулы прямоугольного треугольникаследовательно, Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример №12

Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 10 см, а ее проекции — 6 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с прямой угол 30°.

Решение:

Пусть на рисунке 187 Метрические формулы прямоугольного треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольникаМетрические формулы прямоугольного треугольника

1) Из Метрические формулы прямоугольного треугольника(см).

2) Из Метрические формулы прямоугольного треугольникапо свойству катета, противолежащего углу 30°,

будем иметь: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Поэтому Метрические формулы прямоугольного треугольника

Ответ. 16 см.

Пример №13

Из точки Метрические формулы прямоугольного треугольникапрямой проведены две наклонные, проекции которых равны 30 см и 9 см. Найдите длины наклонных, если их разность равна 9 см.

Решение:

Пусть на рисунке 187 Метрические формулы прямоугольного треугольникаПо свойству 4: Метрические формулы прямоугольного треугольникаОбозначим Метрические формулы прямоугольного треугольникасм. Тогда Метрические формулы прямоугольного треугольникасм.

Из Метрические формулы прямоугольного треугольникапоэтому Метрические формулы прямоугольного треугольника

Из Метрические формулы прямоугольного треугольникапоэтому Метрические формулы прямоугольного треугольника

Левые части полученных равенств равны, следовательно, равны и правые их части.

Имеем уравнение: Метрические формулы прямоугольного треугольникаоткуда Метрические формулы прямоугольного треугольникаСледовательно, Метрические формулы прямоугольного треугольникасм, Метрические формулы прямоугольного треугольника(см).

Ответ. 41 см, 50 см.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник Метрические формулы прямоугольного треугольникас прямым углом Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 190). Для острого угла Метрические формулы прямоугольного треугольникакатет Метрические формулы прямоугольного треугольникаявляется противолежащим катетом, а катет Метрические формулы прямоугольного треугольника— прилежащим катетом. Для острого угла Метрические формулы прямоугольного треугольникакатет Метрические формулы прямоугольного треугольникаявляется противолежащим, а катет Метрические формулы прямоугольного треугольника— прилежащим.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла Метрические формулы прямоугольного треугольникаобозначают так: Метрические формулы прямоугольного треугольникаСледовательно,

Метрические формулы прямоугольного треугольника
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла Метрические формулы прямоугольного треугольникаобозначают так: Метрические формулы прямоугольного треугольникаСледовательно,

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Так как катеты Метрические формулы прямоугольного треугольникаи Метрические формулы прямоугольного треугольникаменьше гипотенузы Метрические формулы прямоугольного треугольникато синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника меньше единицы.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла Метрические формулы прямоугольного треугольникаобозначают так: Метрические формулы прямоугольного треугольникаСледовательно,

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники Метрические формулы прямоугольного треугольникаи Метрические формулы прямоугольного треугольникау которых Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 191). Тогда Метрические формулы прямоугольного треугольника(по острому углу). Поэтому Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Из этого следует, что Метрические формулы прямоугольного треугольникаи поэтому Метрические формулы прямоугольного треугольника

Аналогично Метрические формулы прямоугольного треугольникапоэтому Метрические формулы прямоугольного треугольника

поэтому Метрические формулы прямоугольного треугольника

Таким образом, приходим к выводу: синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла.

Из определений синуса, косинуса и тангенса угла получаем следующие соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

1. Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего: Метрические формулы прямоугольного треугольникаи Метрические формулы прямоугольного треугольника
2. Гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

3. Катет, противолежащий углу Метрические формулы прямоугольного треугольникаравен произведению второго катета на тангенс этого угла: Метрические формулы прямоугольного треугольника
4. Катет, прилежащий к углу Метрические формулы прямоугольного треугольникаравен частному от деления другого катета на тангенс этого угла: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Значения Метрические формулы прямоугольного треугольникаможно находить с помощью специальных таблиц, калькулятора или компьютера. Для вычислений используем клавиши калькулятора Метрические формулы прямоугольного треугольникаи Метрические формулы прямоугольного треугольника(на некоторых калькуляторах Метрические формулы прямоугольного треугольникаПоследовательность вычислений у разных калькуляторов может быть разной. Поэтому советуем внимательно познакомиться с инструкцией к калькулятору.

Пример №14

В треугольнике Метрические формулы прямоугольного треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольникаНайдите Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение:

Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 190). Метрические формулы прямоугольного треугольника(см).

Пример №15

В треугольнике Метрические формулы прямоугольного треугольникаМетрические формулы прямоугольного треугольникаНайдите Метрические формулы прямоугольного треугольника(с точностью до десятых сантиметра).

Решение:

Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 190). С помощью таблиц или калькулятора находим Метрические формулы прямоугольного треугольникаСледовательно, Метрические формулы прямоугольного треугольника

Ответ. Метрические формулы прямоугольного треугольника2,9 см.

С помощью таблиц, калькулятора или компьютера можно по данному значению Метрические формулы прямоугольного треугольникаили Метрические формулы прямоугольного треугольниканаходить угол Метрические формулы прямоугольного треугольникаДля вычислений используем клавиши калькулятора Метрические формулы прямоугольного треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольникаи Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример №16

В треугольнике Метрические формулы прямоугольного треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольника

Найдите острые углы треугольника.

Решение:

Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 190). С помощью калькулятора находим значение угла Метрические формулы прямоугольного треугольникав градусах: 51,34019. Представим его в градусах и минутах (в некоторых калькуляторах это возможно сделать с помощью специальной клавиши): Метрические формулы прямоугольного треугольникаТогда Метрические формулы прямоугольного треугольника

Ответ. Метрические формулы прямоугольного треугольника

Найдем синус, косинус и тангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим Метрические формулы прямоугольного треугольникау которого Метрические формулы прямоугольного треугольникаМетрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 192).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Тогда по свойству катета, противолежащего углу 30°, Метрические формулы прямоугольного треугольника

По теореме Пифагора:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольникато есть Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольникато есть Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольникато есть Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольникато есть Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольникато есть Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольникато есть Метрические формулы прямоугольного треугольника

Найдем синус, косинус и тангенс угла 45°.

Рассмотрим Метрические формулы прямоугольного треугольникау которого Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 193). Тогда Метрические формулы прямоугольного треугольникаПо теореме Пифагора:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольникато есть Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольникато есть Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольникато есть Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Систематизируем полученные данные в таблицу:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример №17

Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, если основание равно 12 см, а угол при вершине треугольника равен 120°.

Решение:

Пусть Метрические формулы прямоугольного треугольника— данный треугольник, Метрические формулы прямоугольного треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 194).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Проведем к основанию Метрические формулы прямоугольного треугольникавысоту Метрические формулы прямоугольного треугольникаявляющуюся также медианой и биссектрисой. Тогда

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Из Метрические формулы прямоугольного треугольника

отсюда Метрические формулы прямоугольного треугольника(см).

Ответ. Метрические формулы прямоугольного треугольникасм.

Вычисление прямоугольных треугольников

Решить треугольник — значит найти все неизвестные его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Для того чтобы можно было решить прямоугольный треугольник, известными должны быть или две стороны треугольника или одна из сторон и один из острых углов треугольника.

Используя в прямоугольном треугольнике Метрические формулы прямоугольного треугольникаобозначение Метрические формулы прямоугольного треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 198) и соотношение между его сторонами и углами:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника(теорема Пифагора);

Метрические формулы прямоугольного треугольника

можно решить любой прямоугольный треугольник.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Рассмотрим четыре вида задач на решение прямоугольных треугольников.

Образцы записи их решения в общем виде и примеры задач представлены в виде таблиц.

Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Пример:

Дано гипотенузу Метрические формулы прямоугольного треугольникаи острый угол Метрические формулы прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника и его катеты.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу

Пример:

Дано катет Метрические формулы прямоугольного треугольникаи острый угол Метрические формулы прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника, второй катет и гипотенузу.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение прямоугольных треугольников по двум катетам

Пример:

Дано катеты Метрические формулы прямоугольного треугольникаи Метрические формулы прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника. Найдите гипотенузу и острые углы треугольника.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Пример:

Дано катет Метрические формулы прямоугольного треугольникаи гипотенуза Метрические формулы прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника. Найдите второй катет и острые углы треугольника.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример:

Найдите высоту дерева Метрические формулы прямоугольного треугольникаоснование Метрические формулы прямоугольного треугольникакоторого является недоступным (рис. 199).

Решение:

Обозначим на прямой, проходящей через точку Метрические формулы прямоугольного треугольника— основание дерева, точки Метрические формулы прямоугольного треугольникаи Метрические формулы прямоугольного треугольникаи измеряем отрезок Метрические формулы прямоугольного треугольникаи Метрические формулы прямоугольного треугольникаи Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

1) В Метрические формулы прямоугольного треугольника

2) В Метрические формулы прямоугольного треугольника

3) Так как Метрические формулы прямоугольного треугольникаимеем:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

откуда Метрические формулы прямоугольного треугольника

Ответ. Метрические формулы прямоугольного треугольника

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Определение прямоугольных треугольников

Из этой главы вы узнаете, как решать прямоугольные треугольники, т. е. находить их неизвестные стороны и углы по известным. Необходимые для этого теоретические знания можно почерпнуть из раздела математики, родственного как с геометрией, так и с алгеброй, — из тригонометрии. Собственно, само слово «тригонометрия» в переводе с греческого означает «измерение треугольников». Поэтому отношения сторон прямоугольного треугольника, с которыми вы познакомитесь далее, получили название тригонометрических функций.

Соотношения, которые будут применяться в этой главе, в полной мере можно считать проявлением подобия треугольников. Вообще, подобие треугольников, теорема Пифагора и площадь — это те три кита, на которых держится геометрия многоугольника. Именно исследование взаимосвязей между этими теоретическими фактами и составляет основное содержание курса геометрии в восьмом классе.

Синус, косинус и тангенс

Как уже было доказано, все прямоугольные треугольники, имеющие по равному острому углу, подобны. Свойство подобия обусловливает не только равенство отношений пропорциональных сторон этих треугольников, но и равенство отношений между катетами и гипотенузой каждого из этих треугольников. Именно эти отношения и будут предметом дальнейшего рассмотрения.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами Метрические формулы прямоугольного треугольникагипотенузой Метрические формулы прямоугольного треугольникаи острым углом Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 168).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Определение

Синусом острого угла Метрические формулы прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника (обозначается Метрические формулы прямоугольного треугольниканазывается отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Косинусом острого угла Метрические формулы прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника (обозначается Метрические формулы прямоугольного треугольниканазывается отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Тангенсом острого угла Метрические формулы прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника (обозначается Метрические формулы прямоугольного треугольниканазывается отношение противолежащего катета к прилежащему:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Кроме синуса, косинуса и тангенса, рассматривают также котангенс острого угла Метрические формулы прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника (обозначается Метрические формулы прямоугольного треугольникакоторый равен отношению прилегающего катета к противолежащему:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Поскольку катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы, то синус и косинус острого угла меньше единицы.

Покажем, что значения тригонометрических функций зависят только от величины угла. Пусть прямоугольные треугольники Метрические формулы прямоугольного треугольникаимеют равные острые углы Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 169).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Эти треугольники подобны, отсюда Метрические формулы прямоугольного треугольникаили по основному свойству пропорции, Метрические формулы прямоугольного треугольника

Правая и левая части этого равенства по определению равны синусам острых углов Метрические формулы прямоугольного треугольникасоответственно. Имеем:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

т.е. синус угла Метрические формулы прямоугольного треугольникане зависит от выбора треугольника. Аналогичные рассуждения можно провести и для других тригонометрических функций (сделайте это самостоятельно). Таким образом, тригонометрические функции острого угла зависят только от величины угла.

Имеет место еще один важный факт: если значения некоторой тригонометрической функции для острых углов Метрические формулы прямоугольного треугольникаравны, то Метрические формулы прямоугольного треугольникаИначе говоря, каждому значению тригонометрической функции соответствует единственный острый угол.

Пример №18

Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.

Решение:

Пусть в треугольнике Метрические формулы прямоугольного треугольникаМетрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 170).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Поскольку в треугольнике наименьший угол лежит против наименьшей стороны, то угол Метрические формулы прямоугольного треугольника— наименьший угол треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольникаПо определению Метрические формулы прямоугольного треугольникаМетрические формулы прямоугольного треугольника

Ответ: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Тригонометрические тождества

Выведем соотношения (тождества), которые выражают зависимость между тригонометрическими функциями одного угла.

Теорема (основное тригонометрическое тождество)

Для любого острого угла Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника (см. рис. 168) имеем:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

По теореме Пифагора числитель этой дроби равен Метрические формулы прямоугольного треугольника

Следствие

Для любого острого углаМетрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Докажем еще несколько тригонометрических тождеств.

Непосредственно из определений синуса

sin a а b ас а и косинуса имеем: Метрические формулы прямоугольного треугольникат.е. Метрические формулы прямоугольного треугольника

Аналогично доказывается, что Метрические формулы прямоугольного треугольника

Отсюда следует, что Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример №19

Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен 0,8.

Решение:

Пусть для острого угла Метрические формулы прямоугольного треугольникаТогда Метрические формулы прямоугольного треугольникаМетрические формулы прямоугольного треугольника

Поскольку Метрические формулы прямоугольного треугольника

Ответ: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Вычисление значений тригонометрических функций. Формулы дополнения

Тригонометрические тождества, которые мы рассмотрели, устанавливают взаимосвязь между разными тригонометрическими функциями одного угла. Попробуем установить связь между функциями двух острых углов прямоугольного треугольника.

Теорема (формулы дополнения)

Для любого острого угла Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник Метрические формулы прямоугольного треугольникас гипотенузой Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 172).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Если Метрические формулы прямоугольного треугольникаВыразив синусы и косинусы острых углов треугольника, получим:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Следствие

Для любого острого угла Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Заметим, что название «формулы дополнения», как и название «косинус», в котором префикс «ко» означает «дополнительный», объясняется тем, что косинус является синусом угла, который дополняет данный угол до Метрические формулы прямоугольного треугольникаАналогично объясняется и название «котангенс».

Значения тригонометрических функций углов 30 45 60

Вычислим значения тригонометрических функций угла Метрические формулы прямоугольного треугольникаДля этого в равностороннем треугольнике Метрические формулы прямоугольного треугольникасо стороной Метрические формулы прямоугольного треугольникапроведем высоту Метрические формулы прямоугольного треугольникакоторая является также биссектрисой и медианой (рис. 173).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

В треугольнике Метрические формулы прямоугольного треугольникаи по теореме Пифагора Метрические формулы прямоугольного треугольникаИмеем:

Метрические формулы прямоугольного треугольника
С помощью формул дополнения получаем значения тригонометрических функций угла Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Для вычисления значений тригонометрических функций угла Метрические формулы прямоугольного треугольникарассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник Метрические формулы прямоугольного треугольникас катетами Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 174).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

По теореме Пифагора Метрические формулы прямоугольного треугольникаИмеем:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Представим значения тригонометрических функций углов Метрические формулы прямоугольного треугольникав виде таблицы.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Значения тригонометрических функций других углов можно вычислить с помощью калькулятора или специальных таблиц (см. Приложение 3).

Решение прямоугольных треугольников

Нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами Метрические формулы прямоугольного треугольникагипотенузой Метрические формулы прямоугольного треугольникаи острыми углами Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 175).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Зная градусную меру угла Метрические формулы прямоугольного треугольникаи длину любой из сторон треугольника, мы имеем возможность найти две другие его стороны. Правила нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника непосредственно следуют из определений тригонометрических функций и могут быть обобщены в виде справочной таблицы.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Заметим, что для нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника можно использовать и Метрические формулы прямоугольного треугольника(соответствующие правила и формулы получите самостоятельно).

Запоминать содержание справочной таблицы не обязательно. Для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника можно действовать по такому плану.

1. Выбрать формулу определения той тригонометрической функции данного угла, которая связывает искомую сторону с известной (этот этап можно выполнить устно).

2. Выразить из этой формулы искомую сторону.

3. Провести необходимые вычисления.

Пример №20

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 12 м найдите катет, прилежащий к углу Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение:

Пусть в прямоугольном треугольнике (см. рисунок) Метрические формулы прямоугольного треугольникаНайдем катет Метрические формулы прямоугольного треугольника

Поскольку Метрические формулы прямоугольного треугольникаМетрические формулы прямоугольного треугольника

Ответ: 6 м.

Примеры решения прямоугольных треугольников

Решить треугольник означает найти его неизвестные стороны и углы по известным сторонам и углам. Прямоугольный треугольник можно решить по стороне и острому углу или по двум сторонам. Рассмотрим примеры конкретных задач на решение прямоугольных треугольников, пользуясь обозначениями рисунка 175. При этом договоримся округлять значения тригонометрических функций до тысячных, длины сторон — до сотых, а градусные меры углов — до единиц.

Пример №21

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе Метрические формулы прямоугольного треугольникаи острому углу Метрические формулы прямоугольного треугольника(см. рисунок).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Метрические формулы прямоугольного треугольника

Поскольку Метрические формулы прямоугольного треугольника

т.е. Метрические формулы прямоугольного треугольника

Поскольку Метрические формулы прямоугольного треугольника

т.е. Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример №22

Решите прямоугольный треугольник по катету Метрические формулы прямоугольного треугольникаи острому углу Метрические формулы прямоугольного треугольника(см. рисунок).

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Метрические формулы прямоугольного треугольника

Поскольку Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Поскольку Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример №23

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе Метрические формулы прямоугольного треугольникаи катету Метрические формулы прямоугольного треугольника(см. рисунок).

Решение:

По теореме Пифагора Метрические формулы прямоугольного треугольникаМетрические формулы прямоугольного треугольника

Поскольку Метрические формулы прямоугольного треугольникаоткуда Метрические формулы прямоугольного треугольника

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример №24

Решите прямоугольный треугольник по катетам Метрические формулы прямоугольного треугольника(см. рисунок).

Решение:

По теореме Пифагора Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Поскольку Метрические формулы прямоугольного треугольникаоткуда Метрические формулы прямоугольного треугольника

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Метрические формулы прямоугольного треугольника

На отдельных этапах решения задач 1—4 можно использовать другие способы. Но следует заметить, что в том случае, когда одна из двух сторон треугольника найдена приближенно, для более точного нахождения третьей стороны целесообразно использовать определения тригонометрических функций.

Рассмотрим примеры применения решения треугольников в практических задачах.

Пример №25

Найдите высоту данного предмета (рис. 176).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение:

На определенном расстоянии от данного предмета выберем точку Метрические формулы прямоугольного треугольникаи измерим угол Метрические формулы прямоугольного треугольника

Поскольку в прямоугольном треугольнике Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Для определения высоты предмета необходимо прибавить к Метрические формулы прямоугольного треугольникавысоту Метрические формулы прямоугольного треугольникаприбора, с помощью которого измерялся угол. Следовательно, Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример №26

Насыпь шоссейной дороги имеет ширину 60 м в верхней части и 68 м в нижней. Найдите высоту насыпи, если углы наклона откосов к горизонту равны Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение:

Рассмотрим равнобедренную трапецию Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 177), в которой Метрические формулы прямоугольного треугольникаМетрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Проведем высоты Метрические формулы прямоугольного треугольникаПоскольку Метрические формулы прямоугольного треугольника(докажите это самостоятельно), то Метрические формулы прямоугольного треугольникаВ треугольнике Метрические формулы прямоугольного треугольника

Поскольку Метрические формулы прямоугольного треугольника

т.е. Метрические формулы прямоугольного треугольника

Ответ: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Синусом острого угла Метрические формулы прямоугольного треугольниканазывается отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Косинусом острого угла Метрические формулы прямоугольного треугольниканазывается отношение прилежащего катета

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Тангенсом острого угла Метрические формулы прямоугольного треугольниканазывается отношение противолежащего катета к прилежащему:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Котангенсом острого угла Метрические формулы прямоугольного треугольниканазывается отношение прилежащего катета к противолежащему:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Тригонометрические тождества

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Историческая справка

Умение решать треугольники необходимо при рассмотрении многих практических задач, возникающих в связи с потребностями географии, астрономии, навигации. Поэтому элементы тригонометрии появились еще в Древнем Вавилоне в период интенсивного развития астрономии. В работе греческого ученого Птолемея «Альмагест» (II в. н. где изложена античная система мира, содержатся элементы сферической тригонометрии.

В Древней Греции вместо синуса угла Метрические формулы прямоугольного треугольникарассматривали длину хорды, соответствующей центральному углу Метрические формулы прямоугольного треугольникаДействительно, если радиус окружности равен единице, то Метрические формулы прямоугольного треугольникаизмеряется половиной такой хорды (проверьте это самостоятельно). Первые тригонометрические таблицы были составлены Гиппархом во II в. н.э.

Синус и косинус как вспомогательные величины использовались индийскими математиками в V в., а тангенс и котангенс впервые появились в работах арабского математика X в. Абу-аль-Вефы.

Как отдельный раздел математики тригонометрия выделилась в произведениях персидского ученого Насреддина Туси (1201-1274), а системное изложение тригонометрии первым из европейцев представил немецкий математик и механик Иоганн Мюллер (1436-1476), более известный под псевдонимом Региомонтан.

Современную форму изложения и современную символику тригонометрия приобрела благодаря Леонарду Эйлеру в XVIII в. Кроме известных вам четырех тригонометрических функций иногда рассматриваются еще две:

секанс Метрические формулы прямоугольного треугольника

и косеканс Метрические формулы прямоугольного треугольника

Приложения

Обобщенная теорема Фалеса и площадь прямоугольника

В ходе доказательства некоторых геометрических теорем используется процедура деления отрезка на некоторое количество равных частей. Это позволяет дать числовые оценки в виде неравенств и с их помощью получить противоречие.

В курсе геометрии 8 класса такой подход целесообразно применить для доказательства двух приведенных ниже теорем.

Теорема (обобщенная теорема Фалеса)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки.

По данным рисунка 180 докажем три формулы:

Метрические формулы прямоугольного треугольникаМетрические формулы прямоугольного треугольника

Докажем сначала формулу 1. Пусть отрезок Метрические формулы прямоугольного треугольникаможно разделить на Метрические формулы прямоугольного треугольникаравных отрезков так, что одна из точек деления совпадет с точкой Метрические формулы прямоугольного треугольникапричем на отрезке Метрические формулы прямоугольного треугольникабудут лежать Метрические формулы прямоугольного треугольникаточек деления. Тогда, проведя через точки деления прямые, параллельные Метрические формулы прямоугольного треугольникапо теореме Фалеса получим деление отрезков Метрические формулы прямоугольного треугольникасоответственно на Метрические формулы прямоугольного треугольникаравных отрезков. Следовательно, Метрические формулы прямоугольного треугольникачто и требовалось доказать.

Если описанное деление отрезка Метрические формулы прямоугольного треугольниканевозможно, то докажем формулу 1 от противного. Пусть Метрические формулы прямоугольного треугольника

Рассмотрим случай, когда Метрические формулы прямоугольного треугольника(другой случай рассмотрите самостоятельно).

Отложим на отрезке Метрические формулы прямоугольного треугольникаотрезок Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 181).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Разобьем отрезок Метрические формулы прямоугольного треугольникана такое количество равных отрезков чтобы одна из точек деления Метрические формулы прямоугольного треугольникапопала на отрезок Метрические формулы прямоугольного треугольникаПроведем через точки деления прямые, параллельные Метрические формулы прямоугольного треугольникаПусть прямая, проходящая через точку Метрические формулы прямоугольного треугольникапересекает луч Метрические формулы прямоугольного треугольникав точке Метрические формулы прямоугольного треугольникаТогда по доказанному Метрические формулы прямоугольного треугольникаУчитывая, что в этой пропорции Метрические формулы прямоугольного треугольникаимеем: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Это неравенство противоречит выбору длины отрезка Метрические формулы прямоугольного треугольникаСледовательно, формула 1 доказана полностью.

Докажем формулы 2 и 3. Пользуясь обозначениями рисунка 180,
по формуле 1 имеем Метрические формулы прямоугольного треугольникаРазделив в каждом из этих равенств числитель на знаменатель, получим: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Откуда Метрические формулы прямоугольного треугольникаТаким образом, доказано, что Метрические формулы прямоугольного треугольникат.е. формулы 2 и 3 выполняются.

Теорема доказана полностью.

Из курса математики 5 класса известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон. Так, на рисунке 182 дан прямоугольник Метрические формулы прямоугольного треугольникакоторый делится на 15 квадратов площадью 1. Следовательно, по аксиомам площади, его площадь равна 15 кв. ед., то есть Рис- 182. Метрические формулы прямоугольного треугольникакв. ед.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Таким способом легко найти площадь прямоугольника, у которого длины сторон выражены любыми целыми числами. Но справедливость этой формулы при условии, что длины сторон прямоугольника не являются целыми числами,— совсем неочевидная теорема. Докажем ее.

Теорема (формула площади прямоугольника)

Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон:

Метрические формулы прямоугольного треугольника— стороны прямоугольника.

Докажем сначала, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Пусть прямоугольники Метрические формулы прямоугольного треугольникаимеют общую сторону Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 183,
Метрические формулы прямоугольного треугольника

Разобьем сторону Метрические формулы прямоугольного треугольникаравных частей. Пусть на отрезке Метрические формулы прямоугольного треугольникалежит Метрические формулы прямоугольного треугольникаточек деления, причем точка деления Метрические формулы прямоугольного треугольникаимеет номер Метрические формулы прямоугольного треугольникаа точка Метрические формулы прямоугольного треугольника—номер Метрические формулы прямоугольного треугольникаТогда Метрические формулы прямоугольного треугольникаоткуда — Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Теперь проведем через точки деления прямые, параллельные Метрические формулы прямоугольного треугольникаОни разделят прямоугольник Метрические формулы прямоугольного треугольникаравных прямоугольников (т. е. таких, которые совмещаются при наложении). Очевидно, что прямоугольник Метрические формулы прямоугольного треугольникасодержится внутри прямоугольника Метрические формулы прямоугольного треугольникаа прямоугольник Метрические формулы прямоугольного треугольникасодержит прямоугольник Метрические формулы прямоугольного треугольника

Следовательно, Метрические формулы прямоугольного треугольника

Имеем: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Сравнивая выражения для Метрические формулы прямоугольного треугольникаубеждаемся, что оба эти отношения расположены между Метрические формулы прямоугольного треугольникат.е. отличаются не больше чем на Метрические формулы прямоугольного треугольниканатуральное число). Докажем от противного, что эти отношения равны.

Действительно, если это не так, т.е. Метрические формулы прямоугольного треугольникатакое натуральное число Метрические формулы прямоугольного треугольникачто Метрические формулы прямоугольного треугольникаПолученное противоречие доказывает, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Рассмотрим теперь прямоугольники Метрические формулы прямоугольного треугольникасо сторонами Метрические формулы прямоугольного треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольникасо сторонами Метрические формулы прямоугольного треугольникаи 1 и квадрат Метрические формулы прямоугольного треугольникасо стороной 1 (рис. 183, б).

Тогда по доказанному Метрические формулы прямоугольного треугольника

Поскольку Метрические формулы прямоугольного треугольникакв. ед., то, перемножив полученные отношения, имеем Метрические формулы прямоугольного треугольника

Золотое сечение

С давних времен люди старались познать мир путем поиска гармонии и совершенства. Одним из вопросов, которыми задавались еще древние греки, был поиск наилучшего соотношения неравных частей одного целого. Таким соотношением еще со времен Пифагора считали гармоническое деление, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. Такое деление отрезка на части описано во II книге «Начал» Евклида и названо делением в среднем и крайнем отношении. Рассмотрим деление отрезка Метрические формулы прямоугольного треугольникаточкой Метрические формулы прямоугольного треугольникапри котором Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 184). Пусть длина отрезка Метрические формулы прямоугольного треугольникаравна Метрические формулы прямоугольного треугольникаа длина отрезка Метрические формулы прямоугольного треугольникаравна Метрические формулы прямоугольного треугольникаТогда

Метрические формулы прямоугольного треугольникаОтсюда Метрические формулы прямоугольного треугольникаПоскольку Метрические формулы прямоугольного треугольникато геометрический смысл имеет только значение Метрические формулы прямоугольного треугольникаЗначит, если длина данного отрезка равна 1, то при делении в крайнем и среднем отношении его большая часть приблизительно равна 0,6. Полученное число обозначают греческой буквой Метрические формулы прямоугольного треугольникаКроме того, часто рассматривают и отношение Метрические формулы прямоугольного треугольникаЗаметим, что Метрические формулы прямоугольного треугольника— первая буква имени древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал такое деление в своем творчестве (в частности, в знаменитой статуе Зевса Олимпийского, которую считают одним из семи чудес света).

В эпоху Возрождения (XV—XVII вв.) интерес к гармоническому делению чрезвычайно возрос. Выдающийся ученый и художник Леонардо да Винчи (1452—1519) назвал такое деление золотым сечением, а его современник и соотечественник, итальянский монах-математик Лука Па-чоли (1445—1514) — божественной пропорцией. Золотое сечение и близкие к нему пропорциональные отношения составляли основу композиционного построения многих произведений мирового искусства, в частности архитектуры Античности и Возрождения. Одно из величайших сооружений Древней Эллады — Парфенон в Афинах (V в. до н. э.) — содержит в себе золотые пропорции (в частности, отношение высоты к длине этого сооружения равно Метрические формулы прямоугольного треугольника

Итак, дадим определение золотому сечению.

Определение:

Золотым сечением называется такое деление величины на две неравные части, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому.

Иначе говоря, золотое сечение — это деление величины в отношении Метрические формулы прямоугольного треугольника(или Метрические формулы прямоугольного треугольника

Построить золотое сечение отрезка заданной длины Метрические формулы прямоугольного треугольникас помощью циркуля и линейки довольно просто: для этого достаточно построить прямоугольный треугольник с катетами Метрические формулы прямоугольного треугольникаи провести две дуги из вершин острых углов так, как показано на рисунке 185.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

По теореме о пропорциональности отрезков секущей и касательной Метрические формулы прямоугольного треугольникаПоскольку по построению Метрические формулы прямоугольного треугольникаи Метрические формулы прямоугольного треугольникапо определению золотого сечения. Следовательно, Метрические формулы прямоугольного треугольникаУбедиться в правильности построения можно также с помощью теоремы Пифагора (сделайте это самостоятельно.)

С золотым сечением связывают геометрические фигуры, при построении которых используются отношения Метрические формулы прямоугольного треугольникаРассмотрим некоторые из них.

Равнобедренный треугольник называется золотым, если две его стороны относятся в золотом сечении. Докажем, что треугольник с углами Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 186, а) является золотым. Действительно, пусть в треугольнике Метрические формулы прямоугольного треугольникабиссектриса. Тогда Метрические формулы прямоугольного треугольникапо двум углам. Следовательно, Метрические формулы прямоугольного треугольникат. е. треугольник Метрические формулы прямоугольного треугольника— золотой.

И наоборот: если в равнобедренном треугольнике Метрические формулы прямоугольного треугольникато такой треугольник подобен треугольнику Метрические формулы прямоугольного треугольникат. е. имеет углы Метрические формулы прямоугольного треугольника

Предлагаем самостоятельно убедиться в том, что золотым является также треугольник с углами Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 186, б) и других золотых треугольников не существует.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Золотые треугольники связаны с правильным пятиугольником (т.е. выпуклым пятиугольником, у которого все стороны равны и все углы равны).

В правильном пятиугольнике:

1) диагональ относится к стороне в золотом сечении;

2) точка пересечения диагоналей делит каждую из них в золотом сечении;

3) диагональ делит другую диагональ на два отрезка, один из которых делится в золотом сечении еще одной диагональю.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Согласно обозначениям рисунка 187 это означает, что Метрические формулы прямоугольного треугольникаДля доказательства этих свойств достаточно заметить, что в правильном пятиугольнике все углы равны Метрические формулы прямоугольного треугольникаследовательно, треугольники Метрические формулы прямоугольного треугольникаявляются золотыми. Подробные доказательства предлагаем провести самостоятельно.

Диагонали правильного пятиугольника образуют звезду, которая в древние времена олицетворяла совершенство и имела мистическое значение. Пифагорейцы называли ее пентаграммой и избрали символом своей научной школы. В наши дни пятиконечная звезда — самая распространенная геометрическая фигура на флагах и гербах многих стран (приведите соответствующие примеры из истории и географии).

Прямоугольник называется золотым, если его стороны относятся в золотом сечении. Для построения золотого прямоугольника произвольный квадрат перегибаем пополам (рис. 188, а), проводим диагональ одного из полученных прямоугольников (рис. 188, б) и радиусом, равным этой диагонали, проводим дугу окружности с центром Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 188, в). Полученный прямоугольник Метрические формулы прямоугольного треугольника— золотой (убедитесь в этом самостоятельно).

Метрические формулы прямоугольного треугольника
Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то оставшийся прямоугольник также будет золотым. Действительно, на рисунке 189, а имеем Метрические формулы прямоугольного треугольникатогда Метрические формулы прямоугольного треугольникаНеограниченно продолжая этот процесс (рис. 189, б), можно получить так называемые вращающиеся квадраты, и весь данный прямоугольник будет составлен из таких квадратов.Метрические формулы прямоугольного треугольника

Через противолежащие вершины квадратов проходит так называемая золотая спираль, которая часто встречается в природе. Например, по принципу золотой спирали располагаются семена в подсолнечнике; по золотой спирали закручены раковины улиток, рога архаров, паутина отдельных видов пауков и даже наша Солнечная система, как и некоторые другие галактики.

Отметим также, что золотое сечение имеет немало алгебраических свойств. Отношение Метрические формулы прямоугольного треугольникаприближенно может быть выражено дробями Метрические формулы прямоугольного треугольникатак называемые числа Фибоначчи. Приведем без доказательства две алгебраические формулы, связанные с числами Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Золотое сечение, золотые многоугольники и золотая спираль являются математическими воплощениями идеальных пропорций в природе. Недаром великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал их математическими символами жизни и духовного развития.
Приложение 3. Таблица значений тригонометрических функций

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Значение тригонометрических функций острых углов можно приближенно определять с помощью специальных таблиц. Одна из таких таблиц представлена выше.

Таблица составлена с учетом формул дополнения. В двух крайних столбцах указаны градусные меры углов (в левом — от Метрические формулы прямоугольного треугольникав правом — от Метрические формулы прямоугольного треугольникаМежду этими столбцами содержатся четыре столбца значений тригонометрических функций:

1-й — синусы углов от Метрические формулы прямоугольного треугольника(или косинусы углов от Метрические формулы прямоугольного треугольника

2-й — тангенсы углов от Метрические формулы прямоугольного треугольника(или котангенсы углов от Метрические формулы прямоугольного треугольника

3-й — котангенсы углов от Метрические формулы прямоугольного треугольника(или тангенсы углов от Метрические формулы прямоугольного треугольника

4-й — косинусы углов от Метрические формулы прямоугольного треугольника(или синусы углов от Метрические формулы прямоугольного треугольника

Рассмотрим несколько примеров применения данной таблицы. 1) Определим Метрические формулы прямоугольного треугольникаПоскольку Метрические формулы прямоугольного треугольниканайдем в крайнем левом столбце значение 25 и рассмотрим соответствующую строку первого столбца значений. Углу Метрические формулы прямоугольного треугольникав ней соответствует число 0,423. Следовательно, Метрические формулы прямоугольного треугольника

2) Определим Метрические формулы прямоугольного треугольникаПоскольку 45° ے C = 90° (рис. 412).

Доказать: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Доказательство. Проведём из вершины прямого угла С высоту CD. Каждый катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. Поэтому Метрические формулы прямоугольного треугольникаи Метрические формулы прямоугольного треугольника. Сложив равенства почленно и зная, что AD+ DB= АВ, получим: Метрические формулы прямоугольного треугольника. Следовательно, Метрические формулы прямоугольного треугольника

Если а и b — катеты прямоугольного треугольника, с — его гипотенуза, то из формулы Метрические формулы прямоугольного треугольникаполучим следующие формулы:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Используя эти формулы, по двум любым сторонам прямоугольного треугольника находим его третью сторону (табл. 28).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Справедлива и теорема, обратная теореме Пифагора: если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник — прямоугольный.

Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см — прямоугольный, поскольку Метрические формулы прямоугольного треугольника. Такой треугольник иногда называют египетским.

Пример №27

Сторона ромба равна 10 см, а одна из его диагоналей — 16 см. Найдите другую диагональ ромба.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение:

Пусть ABCD— ромб (рис. 413), АС= 16см,AD = 10см. Найдём диагональ BD. Как известно, диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому ∆AOD — прямоугольный ( ے 0= 90°). АС 16

В нём: катет Метрические формулы прямоугольного треугольникагипотенуза AD= 10 см.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Для того чтобы найти определённый элемент фигуры (сторону, высоту, диагональ), выделите на рисунке прямоугольный треугольник, воспользовавшись свойствами фигуры, и примените теорему Пифагора.

Метрические формулы прямоугольного треугольникаМетрические формулы прямоугольного треугольника

Пусть ВС — перпендикуляр, проведённый из точки В на прямую а (рис. 414). Возьмём произвольную точку А на прямой а, отличную от точки С, и соединим точки А и В. Отрезок АВ называется наклонной, проведённой из точки В на прямую а. Точка А называется основанием наклонной, а отрезок АС — проекцией наклонной.

Наклонные имеют следующие свойства. Если из данной точки к прямой провести перпендикуляр и наклонные, то:

  1. любая наклонная больше перпендикуляра;
  2. равные наклонные имеют равные проекции;
  3. из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Покажем, что свойства наклонных следуют из теоремы Пифагора.

  1. По теореме Пифагора, Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 415), тогда Метрические формулы прямоугольного треугольникаили АВ > ВС.
  2. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 416) имеем:
  3. Метрические формулы прямоугольного треугольникаПоскольку в этих равенствах АВ = ВС (по условию), то AD = DC.
  4. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 417) имеем: Метрические формулы прямоугольного треугольника. В этих равенствах AD > DC. Тогда АВ > ВС.

Пример №28

Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых равны 5 см и 9 см. Найдите наклонные, если одна из них на 2 см больше другой.

Решение:

Пусть AD = 5 см, DC = 9 см (рис. 418). Поскольку AD ے A = a (рис. 441). Вы знаете, что катет а — противолежащий углу а, катет b — прилежащий к углу a . Отношение каждого катета к гипотенузе, а также катета к катету имеют специальные обозначения:

  • — отношение Метрические формулы прямоугольного треугольникаобозначают sin а и читают «синус альфа»;
  • — отношение Метрические формулы прямоугольного треугольникаобозначают cos а и читают «косинус альфа»;
  • — отношение Метрические формулы прямоугольного треугольникаобозначают tg а и читают «тангенс альфа».

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Сформулируем определения sin a, cos а и tg а.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Отношение сторон прямоугольного треугольника и их обозначения указаны в Метрические формулы прямоугольного треугольника

Зависят ли синус, косинус и тангенс острого угла от размеров треугольника?

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Нет, не зависят. Итак, пусть ABC и Метрические формулы прямоугольного треугольника-два прямоугольных треугольника, в которых Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 442). Тогда Метрические формулы прямоугольного треугольникапо двум углам (Метрические формулы прямоугольного треугольника). Соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Из этих равенств следует:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Следовательно, в прямоугольных треугольниках с одним и тем же острым углом синусы этого утла равны, косинусы и тангенсы — равны. Если градусную меру угла изменить, то изменится и соотношение сторон прямоугольного треугольника. Это означает, что синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла и не зависят от размеров треугольника.

По исходному значению sin A, cos А или tg А можно построить угол А.

Пример №29

Постройте угол, синус которого равен Метрические формулы прямоугольного треугольника.

Решение:

Выбираем некоторый единичный отрезок (1 мм, 1 см, 1 дм). Строим прямоугольный треугольник, катет ВС которого равен двум единичным отрезкам, а гипотенуза АВ — трём (рис. 443). Угол А, лежащий против катета ВС, — искомый, поскольку sin А = Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике любой из двух катетов меньше гипотенузы. Поэтому sin а ے C = а (рис. 452). Проведём высоту BD. В прямоугольном треугольнике DBCкатет DC, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы а на cos a: DC = a cos а. Поскольку высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является медианой, то DC = AD. Тогда основание АС = 2 DC =2 a cos а.

В этой главе вы ознакомились с новыми приёмами вычисления длин сторон и градусных мер углов прямоугольного треугольника. Может возникнуть вопрос: Какова необходимость использования этих приёмов? Вы знаете, что в древности расстояния и углы сначала измеряли непосредственно инструментами. Например, транспортиром пользовались вавилоняне ещё за 2 ООО лет до н. э.

Но на практике непосредственно измерять расстояния и углы не всегда возможно. Как вычислить расстояние между двумя пунктами, которые разделяет препятствие (река, озеро, лес), расстояние до Солнца, Луны, как измерить высоту дерева, горы, как найти угол подъёма дороги либо угол при спуске с горы? Поэтому были открыты приёмы опосредствованного измерения расстояний и углов. При этом использовали равные либо подобные треугольники и геометрические построения. Строили на местности вспомогательный треугольник и измеряли необходимые его элементы.

Итак, вы знаете, как определить расстояние между пунктами А и В, разделёнными препятствием (рис. 453). Для этого строим ∆COD = ∆АОВ и вместо искомого расстояния Ив измеряем равное ему расстояние CD.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Но при использовании этих приёмов получали недостаточно точные результаты, особенно при измерении значительных расстояний на местности. Кроме того, без угломерных инструментов нельзя найти градусные меры углов по длинам тех или других отрезков. Поэтому возникла необходимость в таких приёмах, когда непосредственные измерения сводились к минимуму, а результаты получали преимущественно вычислением элементов прямоугольного треугольника. В основе таких приёмов лежит использование cos а, sin а и tg а. Накопление вычислительных приёмов решения задач обусловило создание нового раздела математики, который в XVI в. назвали тригонометрией. Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов trigonon — треугольник и metreo — измеряю. Греческих математиков Гиппарха (II в. до н. э.) и Птолемея (II в.) считают первыми, кто использовал тригонометрические приёмы для решения разных задач. В дальнейшем их усовершенствовали индийский математик Брамагупта (VI в.), узбекские математики аль-Каши и Улугбек (XII в.). В работах академика Леонарда Эйлера (XVIII в.) тригонометрия приобретает тот вид, который в основном имеет и в наше время.

Вычисление значений sin a, cos а и tg а

ЕЭ| Пусть в прямоугольном треугольнике ABC ZA = а, тогда ZB — 90° — а (рис. 467). Из определения синуса и косинуса следует:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольникаСравнивая эти два столбца, находим: sin а = cos (90° — а), cos а = sin (90° — а).

Как видим, между синусом и косинусом углов а и 90° — а, которые дополняют друг друга до 90°, существует зависимость: синус одного из этих углов равен косинусу другого.

Например: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольникаМетрические формулы прямоугольного треугольника

Найдём значения синуса, косинуса и тангенса для углов 45°, 30°, 60°. 1) Для угла 45°. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой С и ے A = 45° (рис. 468). Тогда ے B = 45°. Следовательно, ∆ABC — равнобедренный. Пусть АС = ВС = а. Согласно теореме Пифагора,

Метрические формулы прямоугольного треугольника

2) Для углов 30° и 60°.

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой с и ے A = 30″ (рис. 469). Найдём катеты АС и ВС.

ВС = Метрические формулы прямоугольного треугольникакак катет, лежащий против угла 30°.

Согласно теореме Пифагора, Метрические формулы прямоугольного треугольника

ТогдаМетрические формулы прямоугольного треугольника

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Если в прямоугольном треугольнике ABC ے A = 30° (рис. 469),

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Составим таблицу 35 значений синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°

Таблица 35 Метрические формулы прямоугольного треугольника

Из таблицы видно, что при увеличении угла синус и тангенс острого угла возрастают, а косинус — уменьшается. При уменьшении угла синус и тангенс острого угла уменьшаются, а косинус — увеличивается. Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример №31

Сторона ромба равна 6 см, а один из его углов Найдите высоту ромба.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение:

Пусть ABCD — ромб (рис. 470), в котором АВ = 6 см, ے А = 60°. Проведём высоту ВМ. Из прямоугольного треугольника АВМ: Метрические формулы прямоугольного треугольникаКак вычислить значения синусов, косинусов и тангенсов углов, отличных от 30°, 45°, 60°?

При помощи инженерных калькуляторов (или программы «калькулятор» компьютера) либо специальных таблиц можно решить две задачи:

1) для заданного угла а найти sin a, cos а, tg а;

2) по заданному значению sin a, cos а, tg а найти угол а.

Если вы используете калькулятор, а угол указан в градусах и минутах, то минуты переведите в десятые доли градуса (разделите их на 60). Например, для угла 55°42° получите 55,7°. Если, например, для cos Метрические формулы прямоугольного треугольника0,8796 нашли Метрические формулы прямоугольного треугольника28,40585° то доли градуса переведите в минуты (умножьте дробную часть на 60). Округлив, получите: Метрические формулы прямоугольного треугольника28°24°.

Значение sin a, cos а, tg а находим по таблицам.

Таблица синусов и косинусов (см. приложение 1) состоит из четырёх столбцов. В первом столбце слева указаны градусы от 0° до 45°, а в четвёртом — от 90° до 45°. Над вторым и третьим столбцами указаны названия «синусы» и «косинусы», а в нижней части этих столбцов — «косинусы» и «синусы».

Верхние названия «синусы» и «косинусы» отображают значения углов, которые меньше 45°, а нижние — больше 45°. Например, по таблице находим: sin34° Метрические формулы прямоугольного треугольника0,559, cos67° Метрические формулы прямоугольного треугольника0,391, sin85° Метрические формулы прямоугольного треугольника0,996 и т. д. По таблице можно найти угол а по заданному значению sin a, cos а. Например, нужно найти угол а, если sin Метрические формулы прямоугольного треугольника0,615. В столбцах синусов находим число, приближённое к 0,615. Таким числом является 0,616. Следовательно, Метрические формулы прямоугольного треугольника38″.

Таблица тангенсов (см. приложение 2) состоит из двух столбцов: в одном указаны углы от 0° до 89°, в другом — значения тангенсов этих углов.

Например, tg 19° Метрические формулы прямоугольного треугольника0,344. Если tg Метрические формулы прямоугольного треугольника0,869, то Метрические формулы прямоугольного треугольника41°.

1. Вы уже знаете, что каждой градусной мере угла а прямоугольного треугольника соответствует единственное значение sin a, cos а, tg а. Поэтому синус, косинус и тангенс угла а являются функциями данного угла. Эти функции называются тригонометрическими функциями, аргумент которых изменяется от О° до 90°.

2. Уточним происхождение слова «косинус». Именно равенство cos а = sin (90° — а) явилось основой образования латинского слова cosinus — дополнительный синус, то есть синус угла, дополняющий заданный до 90°.

3. Первые таблицы синусов углов от 0° до 90° составил греческий математик Гиппарх (II в. до н. э.). Эти таблицы не сохранились. Нам известны только тригонометрические таблицы, помещённые в работе «Альмагест» александрийского учёного Клавдия Птолемея (II в.). Птолемей Также сохранились таблицы синусов и косинусов индийского учёного Ариаб-хаты (V в.), таблицы тангенсов арабских учёных аль-Баттани и Абу-ль-Вефа (X в.).

Как решать прямоугольные треугольники

Решить прямоугольный треугольник — это означает по заданным двум сторонам либо стороне и острому углу найти другие его стороны и острые углы.

Возможны следующие виды задач, в которых требуется решить прямоугольный треугольник по: 1) катетам; 2) гипотенузе и катету; 3) гипотенузе и острому углу; 4) катету и острому углу. Алгоритмы решения этих четырёх видов задач изложены в таблице 36.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пример №32

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе с= 16 и углу а = 76°21′ (рис. 482).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение. Это задача третьего вида. Алгоритм её решения указан в таблице 38.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение многих прикладных задач основано на решении прямоугольных треугольников. Рассмотрим некоторые виды прикладных задач.

1. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого доступно.

Пример №33

Найдите высоту дерева (рис. 483).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение:

На некотором расстоянии MN= а от дерева устанавливаем угломерный прибор AM (например, теодолит) и находим угол а между горизонтальным направлением АС и направлением на верхнюю точку В дерева. Из прямоугольного треугольника ABC получим: ВС= a • tg а. С учётом высоты угломерного прибора AM= h имеем формулу для вычисления высоты дерева: BN= о • tg а + h.

Пусть результаты измерения следующие: Метрические формулы прямоугольного треугольника.

Тогда Метрические формулы прямоугольного треугольника(м).

2. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого недоступно.

Пример №34

Найдите высоту башни, которая отделена от вас рекой (рис. 484).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение:

На горизонтальной прямой, проходящей через основание башни (рис. 484), обозначим две точки М и N, измерим отрезок MN= а и углы Метрические формулы прямоугольного треугольника. Из прямоугольных треугольников ADC и BDC получим: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Почленно вычитаем полученные равенства: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Отсюда Метрические формулы прямоугольного треугольника

Следовательно, Метрические формулы прямоугольного треугольника

Прибавив к DC высоту прибора AM= Н, которым измеряли углы, получим

формулу для вычисления высоты башни: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Пусть результаты измерения следующие: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Тогда Метрические формулы прямоугольного треугольника

3. Задачи на нахождение расстояния между двумя пунктами, которые разделяет препятствие.

Пример №35

Найдите расстояние между пунктами А и В, разделёнными рекой (рис. 485).

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение:

Провешиваем прямую Метрические формулы прямоугольного треугольникаи отмечаем на ней точку С. Измеряем расстояние АС= а и угол а. Из прямоугольного треугольника ABC получим формулу АВ= a- tg а для определения расстояния между пунктами А и В. Пусть результаты измерения следующие: Метрические формулы прямоугольного треугольника

Тогда АВ = Метрические формулы прямоугольного треугольника

4. Задачи на нахождение углов (угла подъёма дороги; угла уклона; угла, под которым виден некоторый предмет, и т. д.).

Пример №36

Найдите угол подъёма шоссе, если на расстоянии 200 м высота подъёма составляет 8 м.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Решение:

На рисунке 486 угол a — это угол подъёма дороги, АС— горизонтальная прямая. Проведём Метрические формулы прямоугольного треугольника, тогда ВС- высота подъёма дороги. По условию, АВ = 200 м, ВС = 8 м. Угол a найдём из прямоугольного треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольникаТогда Метрические формулы прямоугольного треугольника

У вас может возникнуть вопрос: Почему в геометрии особое внимание уделяется прямоугольному треугольнику, хотя не часто встречаются предметы подобной формы?

Итак, поразмышляем. Как в химии изучают вначале элементы, а затем — их соединения, в биологии — одноклеточные, а потом — многоклеточные организмы, так и в геометрии изучают сначала простые геометрические фигуры — точки, отрезки и треугольники, из которых состоят другие геометрические фигуры. Среди этих фигур прямоугольный треугольник играет особую роль. Действительно, любой многоугольник можно разбить на треугольники (рис. 487).

Метрические формулы прямоугольного треугольникаМетрические формулы прямоугольного треугольника

Умея находить угловые и линейные элементы этих треугольников, можно найти все элементы многоугольника. В свою очередь, любой треугольник можно разбить одной из его высот на два прямоугольных треугольника, элементы которых связаны более простой зависимостью (рис. 488). Найти элементы треугольника можно, если свести задачу к решению этих двух прямоугольных треугольников. Проиллюстрируем это на примере.

Пример №37

Метрические формулы прямоугольного треугольника(рис. 489). Найдите ے B, ے C и сторону а.

Решение:

Проведём высоту BD. Точка D будет лежать между точками А и С, поскольку ے A — острый и b> с.

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Из прямоугольного треугольника ABD:

Метрические формулы прямоугольного треугольника

Из прямоугольного треугольника Метрические формулы прямоугольного треугольника

Из прямоугольного треугольника BDC:Метрические формулы прямоугольного треугольникаМетрические формулы прямоугольного треугольника

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎥 Видео

Все свойства и формулы прямоугольного треугольникаСкачать

Все свойства и формулы прямоугольного треугольника

29. Метрические соотношения в прямоугольном треугольникеСкачать

29. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

8 класс Геометрия. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Высота к гипотенузе Урок #7Скачать

8 класс Геометрия. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Высота к гипотенузе Урок #7

Новая формула для прямоугольного треугольникаСкачать

Новая формула для прямоугольного треугольника

8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать

8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математикеСкачать

Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математике

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать

Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.

2017-02-13 Геометрия 8 класс. Метрические соотношения в прямоугольном треугольникеСкачать

2017-02-13 Геометрия 8 класс. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

8 класс, 26 урок, Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСкачать

8 класс, 26 урок, Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?Скачать

Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Полезные формулы прямоугольного треугольника🔥 #математика #математикаегэ #геометрияСкачать

Полезные формулы прямоугольного треугольника🔥 #математика #математикаегэ #геометрия

Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !
Поделиться или сохранить к себе: