Медиана параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник

Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

Доказать: ∆ ABF — равнобедренный.

1) ∠BAF=∠DAF (так как AF — биссектриса ∠BAD по условию).

2) ∠BFA=∠DAF (как внутренние накрест лежащие углы при BC ∥ AD м секущей AF).

3) Следовательно, ∠BAF=∠BFA.

4) Следовательно, треугольник ABF — равнобедренный с основанием AF (по признаку).

5) Следовательно, AB=BF.

Что и требовалось доказать.

Хотя равенство сторон AB и BF доказывать не просили, доказательство того, что биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник, нужно как раз для обоснования равенства одной стороны и отсеченного отрезка на другой стороне параллелограмма.

Видео:Биссектриса параллелограммаСкачать

2 Comments

Пункт 3 доказательства на чем основывается.

Свойство транзитивности: из a=b, b=c следует a=c.
Соответственно, из ∠BAF=∠DAF и ∠BFA=∠DAF следует ∠BAF=∠BFA.

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллелограмм: свойства и признаки

О чем эта статья:

Видео:Биссектриса угла параллелограмма ▶ (Мини-ликбез №5)Скачать

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
   
2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
   
3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
   Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
   

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
   
2. Противоположные углы параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
   
3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
   ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
   
4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
   ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
   
5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
   
6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
   

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
   • CO = AO
   • BO = DO

   

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

• AB || CD
• AB = CD

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

1. AC — общая сторона;
2. По условию AB = CD;
3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

• AB = CD
• BC = AD

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

• AC — общая сторона;
• AB = CD по условию;
• BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

• CO = OA;
• DO = BO;
• углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Параллелограмм.

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
3. Диагональ параллелограмма делит параллелограмм на два равных треугольника.
4. Точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма.
5. Биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
6. Биссектрисы параллелограмма, проведенные из противоположных углов, параллельны.
7. Биссектрисы параллелограмма, проведенные из соседних углов, перпендикулярны.
8. Угол между высотами, проведенными из тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма.
9. Угол между высотами, проведенными из острого угла параллелограмма, равен тупому углу параллелограмма.
10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов сторон параллелограмма.
11. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Частные случаи параллелограмма: прямоугольник, квадрат, ромб. Следовательно, все эти фигуры обладают свойствами, присущими параллелограмму.

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы равны.

Отличительное свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны.

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

Отличительное свойство ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Квадрат — параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

Отличительное свойство квадрата: диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и делят углы квадрата пополам.

Площадь параллелограмма:

1. Площадь параллелограмма через сторону и высоту, проведенной к этой стороне: S=a·h_a=b·h_b.
2. Площадь параллелограмма через стороны и угол между ними: S=a·b·sinφ.
3. Площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними: S=0,5·d₁·d₂·sinφ.
4. Площадь параллелограмма через радиус вписанной окружности и сторону(верна только для параллелограмма, в который можно вписать окружность):S=2·a·r.
5. Площадь параллелограмма через радиус вписанной окружности и угол между сторонами(верна только для параллелограмма, в который можно вписать окружность):S=4r 2 /sinφ.

🔥 Видео

№158. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой сторонеСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

Свойство биссектриссы параллелограммаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Параллелограмм и биссектрисаСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

Биссектриса параллелограммаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Параллелограмм. Свойства. Периметр.Скачать

№954. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основаниеСкачать

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать

Четырёхугольники №17 из ОГЭ. Биссектриса и прямоугольные треугольники в четырёхугольниках.Скачать