Медиана отсекает равновеликие треугольники

Медиана делит площадь треугольника пополам

Медиана отсекает равновеликие треугольники

Медиана делит площадь треугольника пополам

Два треугольника называются равновеликими. Если они имеют одинаковую площадь.

Теорема 1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Пусть ВМ – медиана треугольника АВС. Докажем, что

Медиана отсекает равновеликие треугольники.

Медиана отсекает равновеликие треугольники

Проведем высоту BH треугольника АВС. Тогда

Медиана отсекает равновеликие треугольники,

Медиана отсекает равновеликие треугольники.

Так как ВМ – медиана треугольника АВС, то АМ=МС, поэтому

Медиана отсекает равновеликие треугольники.

Медиана отсекает равновеликие треугольники,

Медиана отсекает равновеликие треугольники.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.

Медиана отсекает равновеликие треугольники

Медиана отсекает равновеликие треугольники

Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Из теоремы, в частности следует, что если точку пересечения медиан треугольника соединить со всеми его вершинами, то треугольник разобьется на три равновеликие части.

Задача 1 Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 3 и 4. Найти площадь треугольника.

Пусть в треугольнике АВС медианы АМ и ВЕ равны 3 и 4 соответственно, Медиана отсекает равновеликие треугольники, К – точка пересечения медиан.

Медиана отсекает равновеликие треугольники

Медиана отсекает равновеликие треугольники,

Медиана отсекает равновеликие треугольники.

Так как треугольник АВК прямоугольный с прямым углом ВКА, то Медиана отсекает равновеликие треугольники.

Так как медиан делят треугольник на 6 равновеликих частей, то Медиана отсекает равновеликие треугольники.

Задача 2 Медианы треугольника равны 6, 8 и 10, найти площадь треугольника.

Медиана отсекает равновеликие треугольники

Пусть медианы АM, BE и CD данного треугольника соответственно равны 6, 8 и 10, К – точка их пересечения. Отложим на продолжении луча ВЕ за точку Е отрезок EF=KE. Соединим точки С, F и A.

Рассмотрим треугольник KAF.

Медиана отсекает равновеликие треугольники,

то Медиана отсекает равновеликие треугольники

Медиана отсекает равновеликие треугольники.

Далее, Медиана отсекает равновеликие треугольники, так как CKAE – параллелограмм (по признаку параллелограмма: ели диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, до данный четырехугольник параллелограмм), получаем Медиана отсекает равновеликие треугольники.

Так как Медиана отсекает равновеликие треугольники, то есть Медиана отсекает равновеликие треугольники, то по обратной теореме Пифагора (если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный) треугольник KAF – прямоугольный и Медиана отсекает равновеликие треугольники.

Вычислим площадь треугольника AKF:

Медиана отсекает равновеликие треугольники.

Теперь сравним площади треугольников AKF и АВС: так как AE – медиана треугольника AKF, то

Медиана отсекает равновеликие треугольники, Медиана отсекает равновеликие треугольники,

Медиана отсекает равновеликие треугольники.

Медиана отсекает равновеликие треугольники.

Отметим, что задачу можно решить по-другому, если воспользоваться тем фактом, что:

площадь треугольника, образованного медианами данного треугольника составляет Медиана отсекает равновеликие треугольникиот площади самого треугольника.

Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Вопросы для самопроверки:

1. Какие треугольники называются равновеликими?

2. Площадь треугольника равна S. Чему равна площадь каждого из треугольников, на которые его разбивает медиана, проведенная к какой-либо стороне этого треугольника?

3. На сколько равновеликих частей разбивают треугольник проведенные в нем три медианы?

4. Площадь треугольника равна S. Цент тяжести этого треугольника соединили с его вершинами. Чему равна площадь каждого из получившихся треугольников?

5. Площадь треугольника равна 48, чему равна площадь треугольника, составленного из медиан этого треугольника?

6. Площадь треугольника, составленного из медиан некоторого треугольника равна 24, чему равна площадь треугольника?

Задачи для самостоятельного решения:

1. Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 8. Найти площадь треугольника.

2. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 найти площадь треугольника.

3. Треугольник АВС, стороны которого 13 см, 14 см и 15 см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку М пересечения медиан треугольника с вершинами треугольника. Найти площадь треугольника ВМС.

4. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей, равна 5. Найдите площадь треугольника.

Видео:Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать

Все факты о медиане треугольника для ЕГЭ

Медиана делит треугольник

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Равновеликие треугольники — это треугольники, имеющие равные площади.

То есть медиана делит исходный треугольник на два треугольника с равными площадями (или медиана делит площадь треугольника пополам).

Медиана отсекает равновеликие треугольникиДано : ABC,

Медиана отсекает равновеликие треугольники

Медиана отсекает равновеликие треугольники

Медиана отсекает равновеликие треугольники

Медиана отсекает равновеликие треугольники

Медиана отсекает равновеликие треугольники∠AMB +∠CMB=180º (как смежные).

Медиана отсекает равновеликие треугольники

Медиана отсекает равновеликие треугольники

Что и требовалось доказать.

Медиана отсекает равновеликие треугольникиПроведём высоту BH.

Медиана отсекает равновеликие треугольники

Медиана отсекает равновеликие треугольники

Медиана отсекает равновеликие треугольники

Так как AM=CM, то

Медиана отсекает равновеликие треугольники

Что и требовалось доказать.

Видео:Все свойства медианы в одной задаче.Скачать

Все свойства медианы в одной задаче.

2 Comments

а можно попроще? без син, мы их не изучали

Alex, утверждение доказано двумя способами.

Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

Элементы треугольника. Медиана

Видео:🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shorts

Определение

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны

Медиана отсекает равновеликие треугольники

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Свойства

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины . Эта точка называется центром тяжести треугольника.

Медиана отсекает равновеликие треугольники

2. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника)

Медиана отсекает равновеликие треугольники

3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников

Медиана отсекает равновеликие треугольники

4. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы

Медиана отсекает равновеликие треугольники

5. Длина медианы треугольника вычисляется по формуле:

Медиана отсекает равновеликие треугольники, где где Медиана отсекает равновеликие треугольники— медиана к стороне Медиана отсекает равновеликие треугольники; Медиана отсекает равновеликие треугольники— стороны треугольника

6. Длина стороны треугольника через медианы вычисляется по формуле:

Медиана отсекает равновеликие треугольники, где Медиана отсекает равновеликие треугольники– медианы к соответствующим сторонам треугольника, Медиана отсекает равновеликие треугольники— стороны треугольника.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

💡 Видео

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник

17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника - геометрия 7 классСкачать

Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника - геометрия 7 класс

Медиана треугольника. Построение. Свойства.Скачать

Медиана треугольника. Построение. Свойства.

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Длина медианы треугольникаСкачать

Длина медианы треугольника

22 Медианы треугольника пересекаются в одной точкеСкачать

22 Медианы треугольника пересекаются в одной точке

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника | Геометрия 7-9 класс #18 | ИнфоурокСкачать

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника | Геометрия 7-9 класс #18 | Инфоурок

РАВНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Высоты. Медианы. Биссектрисы. §7 геометрия 7 классСкачать

РАВНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Высоты. Медианы. Биссектрисы.  §7 геометрия 7 класс

Задача про медиану треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Задача про медиану треугольника. Геометрия 7 класс.

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Как найти медиану, зная стороны треугольника? Удвоение медианы.Скачать

Как найти медиану, зная стороны треугольника? Удвоение медианы.
Поделиться или сохранить к себе: