Медиана делит площадь треугольника пополам
Два треугольника называются равновеликими. Если они имеют одинаковую площадь.
Теорема 1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Пусть ВМ – медиана треугольника АВС. Докажем, что
.
Проведем высоту BH треугольника АВС. Тогда
,
.
Так как ВМ – медиана треугольника АВС, то АМ=МС, поэтому
.
,
.
Что и требовалось доказать.
Теорема 2. Медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.
Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».
Из теоремы, в частности следует, что если точку пересечения медиан треугольника соединить со всеми его вершинами, то треугольник разобьется на три равновеликие части.
Задача 1 Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 3 и 4. Найти площадь треугольника.
Пусть в треугольнике АВС медианы АМ и ВЕ равны 3 и 4 соответственно, , К – точка пересечения медиан.
,
.
Так как треугольник АВК прямоугольный с прямым углом ВКА, то .
Так как медиан делят треугольник на 6 равновеликих частей, то .
Задача 2 Медианы треугольника равны 6, 8 и 10, найти площадь треугольника.
Пусть медианы АM, BE и CD данного треугольника соответственно равны 6, 8 и 10, К – точка их пересечения. Отложим на продолжении луча ВЕ за точку Е отрезок EF=KE. Соединим точки С, F и A.
Рассмотрим треугольник KAF.
,
то
.
Далее, , так как CKAE – параллелограмм (по признаку параллелограмма: ели диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, до данный четырехугольник параллелограмм), получаем .
Так как , то есть , то по обратной теореме Пифагора (если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный) треугольник KAF – прямоугольный и .
Вычислим площадь треугольника AKF:
.
Теперь сравним площади треугольников AKF и АВС: так как AE – медиана треугольника AKF, то
, ,
.
.
Отметим, что задачу можно решить по-другому, если воспользоваться тем фактом, что:
площадь треугольника, образованного медианами данного треугольника составляет от площади самого треугольника.
Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».
Вопросы для самопроверки:
1. Какие треугольники называются равновеликими?
2. Площадь треугольника равна S. Чему равна площадь каждого из треугольников, на которые его разбивает медиана, проведенная к какой-либо стороне этого треугольника?
3. На сколько равновеликих частей разбивают треугольник проведенные в нем три медианы?
4. Площадь треугольника равна S. Цент тяжести этого треугольника соединили с его вершинами. Чему равна площадь каждого из получившихся треугольников?
5. Площадь треугольника равна 48, чему равна площадь треугольника, составленного из медиан этого треугольника?
6. Площадь треугольника, составленного из медиан некоторого треугольника равна 24, чему равна площадь треугольника?
Задачи для самостоятельного решения:
1. Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 8. Найти площадь треугольника.
2. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 найти площадь треугольника.
3. Треугольник АВС, стороны которого 13 см, 14 см и 15 см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку М пересечения медиан треугольника с вершинами треугольника. Найти площадь треугольника ВМС.
4. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей, равна 5. Найдите площадь треугольника.
Видео:Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать
Медиана делит треугольник
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Равновеликие треугольники — это треугольники, имеющие равные площади.
То есть медиана делит исходный треугольник на два треугольника с равными площадями (или медиана делит площадь треугольника пополам).
Дано : ABC,
∠AMB +∠CMB=180º (как смежные).
Что и требовалось доказать.
Проведём высоту BH.
Так как AM=CM, то
Что и требовалось доказать.
Видео:Все свойства медианы в одной задаче.Скачать
2 Comments
а можно попроще? без син, мы их не изучали
Alex, утверждение доказано двумя способами.
Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать
Элементы треугольника. Медиана
Видео:🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать
Определение
Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Свойства
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины . Эта точка называется центром тяжести треугольника.
2. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника)
3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников
4. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы
5. Длина медианы треугольника вычисляется по формуле:
, где где — медиана к стороне ; — стороны треугольника
6. Длина стороны треугольника через медианы вычисляется по формуле:
, где – медианы к соответствующим сторонам треугольника, — стороны треугольника.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
💡 Видео
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать
17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать
Построение медианы в треугольникеСкачать
Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника - геометрия 7 классСкачать
Медиана треугольника. Построение. Свойства.Скачать
Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Длина медианы треугольникаСкачать
22 Медианы треугольника пересекаются в одной точкеСкачать
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника | Геометрия 7-9 класс #18 | ИнфоурокСкачать
РАВНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Высоты. Медианы. Биссектрисы. §7 геометрия 7 классСкачать
Задача про медиану треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать
Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Как найти медиану, зная стороны треугольника? Удвоение медианы.Скачать