Медиана катета прямоугольного треугольника

Определение и свойства медианы прямоугольного треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Видео:Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Определение медианы прямоугольного треугольника

Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Медиана катета прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один из углов является прямым (90°), а два остальных – острыми ( Свойства медианы прямоугольного треугольника

Свойство 1

Медиана (AD) в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла (∠BAC) к гипотенузе (BC), равна половине гипотенузы.

  • BC = 2AD
  • AD = BD = DC

Следствие: Если медиана равняется половине стороны, к которой она проведена, то данная сторона является гипотенузой, а треугольник – прямоугольным.

Свойство 2

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равняется половине квадратного корня из суммы квадратов катетов.

Для нашего треугольника (см. рисунок выше):

Медиана катета прямоугольного треугольника

Это следует из теоремы Пифагора и Свойства 1.

Свойство 3

Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу описанной вокруг треугольника окружности.

Т.е. BO – это одновременно и медиана, и радиус.

Медиана катета прямоугольного треугольника

Примечание: К прямоугольному треугольнику также применимы общие свойства медианы, независимо от вида треугольника.

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Пример задачи

Длина медианы, проведенной в гипотенузе прямоугольного треугольника, составляет 10 см. А один из катетов равен 12 см. Найдите периметр треугольника.

Решение
Гипотенуза треугольника, как следует из Свойства 1, в два раза больше медианы. Т.е. она равняется: 10 см ⋅ 2 = 20 см.

Воспользовавшись теоремой Пифагора находим длину второго катета (примем его за “b”, известный катет – за “a”, гипотенузу – за “с”):
b 2 = с 2 – a 2 = 20 2 – 12 2 = 256.
Следовательно, b = 16 см.

Теперь мы знаем длины всех сторон и можем посчитать периметр фигуры:
P = 12 см + 16 см + 20 см = 48 см.

Видео:Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузыСкачать

Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы

Медианы, проведенные к катетам

Что можно сказать о прямоугольном треугольнике, в котором известны медианы, проведенные к катетам?

Медиана катета прямоугольного треугольника

Медиана, проведённая к катету, разбивает исходный треугольник на два треугольника, один из которых также прямоугольный. Эти треугольники имеют равные площади.

В точке пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Если провести третью медиану, исходный треугольник разбивается на 6 равновеликих треугольников.

Из двух медиан больше та, которая проведена к наименьшей стороне. Таким образом, медиана, проведённая к гипотенузе — наименьшая.

По известным длинам проведённых к катетам медиан можно найти остальные стороны прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам, равны m1 и m2. Найти катеты, периметр и площадь этого треугольника.

Медиана катета прямоугольного треугольникаДано :∆ABC, ∠C=90º,

AP, CF — медианы, AP=m1, BK=m2

Медиана катета прямоугольного треугольника

Для определенности, возьмём BC>AC, следовательно, m1 Медиана катета прямоугольного треугольника

Медиана катета прямоугольного треугольника

Аналогично, из треугольника BCK

Медиана катета прямоугольного треугольника

Медиана катета прямоугольного треугольника

Медиана катета прямоугольного треугольника

Умножим второе уравнение системы на -4 и сложим с первым:

Медиана катета прямоугольного треугольника

Медиана катета прямоугольного треугольника

Медиана катета прямоугольного треугольника

Аналогично, умножив первое уравнение на -4 и сложив со вторым, получаем

Медиана катета прямоугольного треугольника

Медиана катета прямоугольного треугольника

Медиана катета прямоугольного треугольника

Медиана катета прямоугольного треугольника

Из треугольника ABC по теореме Пифагора

Медиана катета прямоугольного треугольника

Медиана катета прямоугольного треугольника

Медиана катета прямоугольного треугольника

Медиана катета прямоугольного треугольника

Периметр треугольника ABC равен

Медиана катета прямоугольного треугольника

Медиана катета прямоугольного треугольника

Медиана катета прямоугольного треугольника

Медиана катета прямоугольного треугольника

Медиана катета прямоугольного треугольника

Поскольку медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине, можно найти третью медиану как

Медиана катета прямоугольного треугольника

Запоминать эти формулы не нужно, при решении конкретной задачи достаточно повторить эти рассуждения.

Видео:Медиана в прямоугольном треугольникеСкачать

Медиана в прямоугольном треугольнике

Все формулы медианы прямоугольного треугольника

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c , пополам.

Медиана в прямоугольном треугольнике ( M ), равна, радиусу описанной окружности ( R ).

Медиана катета прямоугольного треугольника

M — медиана

R — радиус описанной окружности

O — центр описанной окружности

с — гипотенуза

a, b — катеты

α — острый угол CAB

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, ( M ):

Медиана катета прямоугольного треугольника

Формула длины через катеты, ( M ):

Медиана катета прямоугольного треугольника

Формула длины через катет и острый угол, ( M ):

🎬 Видео

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Медиана в прямоугольном треугольникеСкачать

Медиана в прямоугольном треугольнике

8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать

7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»

Медиана прямоугольного треугольника— Геометрия ОГЭСкачать

Медиана прямоугольного треугольника— Геометрия ОГЭ

Урок 22. Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° (7 класс)Скачать

Урок 22.  Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° (7 класс)

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольниковСкачать

7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольникеСкачать

Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольнике

Задача за секунду. ОГЭ геметрия. Медиана прямоугольного треугольникаСкачать

Задача за секунду. ОГЭ геметрия. Медиана прямоугольного треугольника

Катеты и гипотенузаСкачать

Катеты и гипотенуза

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. Практическая часть. 8 класс.Скачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. Практическая часть. 8 класс.
Поделиться или сохранить к себе: