Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?
Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.
Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).
Подставив координаты вершин треугольника в уравнение окружности
получим систему уравнений
Вычтем из первого уравнения системы второе:
Теперь из второго уравнения системы вычтем третье:
Приравняем правые части равенств b=-2a+10 и b=3a-20:
Подставим в первое уравнение системы a=6 и b=-2:
a и b — координаты центра окружности, R — её радиус. Таким образом, точка (6;-2) — центр описанной около треугольника ABC окружности, радиус R=5, а уравнение описанной окружности
Для решения аналогичной задачи для четырёхугольника либо многоугольника достаточно знать координаты трёх его вершин.
- Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
- Серединный перпендикуляр к отрезку
- Окружность, описанная около треугольника
- Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
- Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
- Центр описанной окружности треугольника
- 📽️ Видео
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Серединный перпендикуляр к отрезку |
Окружность описанная около треугольника |
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов |
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности |
Видео:Уравнение окружности описанной около треугольникаСкачать
Серединный перпендикуляр к отрезку
Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).
Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.
Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .
Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,
Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,
Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2
Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать
Окружность, описанная около треугольника
Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .
Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Фигура | Рисунок | Свойство | |
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника | Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство | ||
Окружность, описанная около треугольника | Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство | ||
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности | Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника. | ||
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности | Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство | ||
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности | Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. | ||
Теорема синусов | |||
Площадь треугольника | |||
Радиус описанной окружности |
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника |
Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):
,
где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.
Для любого треугольника справедливо равенство:
где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
Для любого треугольника справедливо равенство:
где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Следовательно, справедливо равенство:
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).
При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.
Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)
.
Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:
l = 2Rsin φ . | (1) |
Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).
Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.
Формула (1) доказана.
Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Центр описанной окружности треугольника
Если треугольник вписан в окружность так, что его вершины располагаются на окружности, такая окружность называется описанной, а треугольник считается вписанным в данную окружность.
Центр окружности расположен в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника. Серединный перпендикуляр — прямая, которая проходит через середину отрезка, перпендикулярно ему.
Вокруг треугольника возможно описать только одну окружность.
Чтобы определить радиус R описанной окружности, необходимо произведение сторон треугольника (a × b × с) разделить на учетверенную S — площадь треугольника:
R = (a × b × с) / 4S.
Если окружность описана около равностороннего треугольника, радиус R равняется:
R = a /√3.
В том случае, когда окружность описана около прямоугольного треугольника, середина его гипотенузы (с ) является центром описанной окружности.
Радиус R составляет ½ гипотенузы: R = с/2.
Радиус окружности R также равняется медиане m, проведенной к гипотенузе: R = m.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы сможете быстро и правильно определить координаты центра описанной окружности.
📽️ Видео
координаты центра тяжести треугольникаСкачать
Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать
Математика Найти длину окружности, описанной около треугольника, координаты вершин которого АСкачать
№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать
№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать
ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать
Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать
Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать
№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать
2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать