Какими будут длины сторон треугольника

Какими могут быть стороны треугольника? Могут ли стороны треугольника быть равными данным числам? Существует ли треугольник со сторонами той или иной длины? . Рассмотрим конкретные задачи.

1) Существует ли треугольник со сторонами

а) 1 см, 2 см, 3 см;

б) 7 см, 10 см, 12 см?

Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Проверяем, выполнено ли это условие для каждого отрезка. Для задачи а):

Третье неравенство неверно, следовательно, треугольника со сторонами 1 см, 2 см и 3 см не существует.

Все три условия выполнены, значит, треугольник со сторонами 7 см, 10 см и 12 см существует.

2) Можно ли построить треугольник со сторонами 3 см, 4 см, 8 см?

Проверяем, выполняется ли неравенство треугольника для каждого из отрезков:

Последнее неравенство не выполнено, поэтому треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 8 см построить нельзя.

3) Какими могут быть стороны треугольника:

б) 11 дм, 15 дм, 30 дм?

Проверяем выполнение неравенства треугольника для каждой тройки отрезков:

Все три неравенства верны, следовательно, стороны треугольника могут быть равными 5 м, 7 м и10 м.

Третье неравенство не является верным, значит, стороны треугольника не могут быть равными 11 дм, 15 дм и 30 дм.

Видео:Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать

Треугольник — определение и основные свойства и виды треугольника

Что такое треугольник знают дети уже в самом младшем возрасте, они умеют находить треугольник среди множества геометрических фигур. Но вот уже в школе по геометрии проходят треугольник и надо не просто узнавать треугольник, но и дать определение этому понятию.

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

Определение треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, окруженная тремя отрезками прямой (конечные точки каждых двух смежных отрезков соединены или перекрываются), называется треугольником. Точки пересечения отрезков называются вершинами треугольника, а сами отрезки между двумя соседними вершинами треугольника называются сторонами треугольника.

Посмотрите на треугольник на рисунке.

У него три вершины — , , и три стороны , и . У каждого треугольника есть имя — это имя образовано вершинами треугольника. Наш треугольник зовут ([а-бэ-цэ]). А треугольник на вот этом рисунке

будут звать ([эм-эн-ка]).

По правилам математической грамотности треугольник, как и любой другой многоугольник, следует называть, начиная с левого нижнего угла и называя все вершины по часовой стрелке.

В треугольнике можно провести особенные стороны — высоту, медиану и биссектрису. Начнем с высоты треугольника.

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Высота треугольника

В каждом треугольнике можно провести три высоты. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противолежащую этой вершине сторону.

Например, в треугольнике , высотой будет отрезок .

А теперь проведем из каждой вершины по высоте — получим три высоты — больше провести высот нельзя.

В этом треугольнике три высоты , , .

Про биссектрисы и медианы поговорим в других статьях. Сейчас же давайте с вами рассмотрим каким бывает треугольник.

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Виды треугольника

Виды треугольника могут быть по углам и по сторонам. То есть в первом случае вид треугольника зависит от того, какие в этом треугольнике углы, а во втором случае — какие в этом треугольнике стороны.

Виды треугольников по углам

В зависимости от того, все ли углы в треугольнике острые или есть тупой угол или угол, равный , треугольник бывает остроугольным, тупоугольным или прямоугольным.

Посмотрите на рисунки — перед вами три основных вида треугольника:

Виды треугольников по сторонам

Если у треугольника все стороны равны, то такой треугольник называют равносторонним или правильным. Если у треугольника равны только две стороны, то такой треугольник называют равнобедренным.

На рисунке показаны равносторонний и равнобедренный треугольники.

Видео:Найдите стороны треугольникаСкачать

Свойства сторон треугольника

Треугольник имеет важные свойства и характеристики.

Устойчивость — это важное свойство треугольника, оно вам еще пригодится в курсе физики. Но вначале мы с ним знакомимся на уроках геометрии.

Треугольник устойчив на любой своей стороне — то есть чтобы вывести его из состояния равновесия надо приложить силу.

Свойства сторон: разница между любыми двумя сторонами треугольника меньше, чем третья сторона, а также любая сторона треугольника меньше, чем сумма двух других сторон. То есть:

Например, пусть наш треугольник имеет длины двух сторон , а см. В каком диапазоне будет размер третьей стороны треугольника?

Решение: согласно свойству сторон треугольника, получим:

Таким образом, третья сторона треугольника может быть в диапазоне от 4 до 10 см. Или в целых числах ее длина может быть 5, 6, 7, 8 или 9 см.

Правило существования треугольника

Используя свойство сторон треугольника мы можем определить существует ли треугольник с определенными сторонами.

Для проверки сложите длины самых коротких сторон и если сумма их больше длины самой большой стороны, тогда треугольник существует.

Например, существует ли треугольник с длинами сторон 3, 7 и 15 см?

Решение: проверим по свойству сторон треугольника: складываем две самые короткие стороны 3 и 7 см: 3+7=10, а 10 7 — треугольник с такими длинами сторон существует.

Видео:Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

Свойство углов в треугольнике

Сумма всех углов в треугольнике равна .

Согласно этому свойству мы всегда можем, зная два угла в треугольнике, найти его третий угол. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов всегда равна .

Например, пусть известно, что в треугольнике , , , нужно найти .

Так как сумма углов в треугольнике равна , то находим:

.

Ответ: .

Видео:Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5Скачать

Элементы композиции

Многие школьники спрашивают — а зачем нам знать про треугольник, как это может пригодиться в обычной жизни? Треугольник — простая фигура из которой можно составить более сложные. Это используется во многих сферах жизни, например, вы можете эргономично убирать в своей комнате, или красиво выкладывать бутерброды. Например, из двух равных треугольников можно составить параллелограмм.

А из двух равных прямоугольных треугольником — прямоугольник или квадрат. Два треугольника могут образовать трапецию, так как на рисунке. А вот какую фигурку можно смоделировать для программируемой игры — она вся сделана из треугольников:

Мы, рассмотрели самые важные свойства треугольника, и в дальнейшем изучим еще больше разных интересных свойств, закономерностей. Несмотря на свою простоту, треугольник таит в себе много загадок и открытий.

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Какими могут быть стороны треугольника — свойства и вычисления

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Многоугольник с тремя сторонами

Прежде чем рассматривать задачу о том, как проверить, существует ли треугольник, следует подробно изучить эту фигуру. Согласно общепринятому определению, любой замкнутый многоугольник на плоскости, который состоит из трех отрезков, пересекающихся своими концами друг с другом, является треугольником. Эта фигура имеет две группы образующих ее элементов:

Сторонами являются три отрезка, длины которых могут быть либо известны по условию задачи, либо их предстоит рассчитать. Касательно вершин следует сказать, что у любого рассматриваемого многоугольника их три. Каждую принято обозначать одной латинской буквой, например, A, B, C и так далее. Поскольку два отрезка пересекаются в вершине, то они образуют некоторый угол. Их у фигуры три, поэтому становится понятным, откуда происходит название «треугольник».

Типы фигуры

Их классификация является достаточно развитой. В ее основу положены принципы взаимоотношения длин сторон друг с другом, а также численные значения углов. В общем случае в геометрии рассматривают следующие типы треугольников:

1. Равносторонний или равноугольный. Это самая симметричная фигура рассматриваемого класса, поскольку ее образуют три равные по длине стороны. Все ее углы также являются одинаковыми, каждый из них составляет 60 °. Специальные отрезки в таком треугольнике (медиана, биссектриса, медиатриса или серединный перпендикуляр и высота) совпадают друг с другом независимо от того, через какую сторону или угол они проходят.
2. Равнобедренный. Этот тип многоугольников является менее симметричным, чем равносторонний, однако, некоторая симметрия все же сохраняется. У этой фигуры имеются две одинаковые стороны и, как следствие, два одинаковых угла. Третий угол и сторона имеют отличные значения. Биссектриса, медиана, высота и медиатриса, которые проведены из вершины, где пересекаются одинаковые стороны, совпадают между собой. Равнобедренный треугольник может иметь как тупой, так и острый угол.
3. Прямоугольный. Каждому школьнику известна знаменитая теорема Пифагора, которая применима только к данному типу многоугольников. В прямоугольной фигуре имеется один (и только один) угол, мера которого составляет 90 °. Лежащий против него отрезок называется гипотенузой, она имеет самую большую длину. Оставшиеся отрезки называются катетами. Они могут быть как одинаковыми, так и иметь разную длину.
4. Общего типа. Именно этот вид фигур встречается чаще всего в задачах, поскольку его углы и стороны могут иметь произвольные значения. По этой причине работать с ним гораздо сложнее, чем с симметричными и прямоугольными многоугольниками. Тем не менее теоремы синусов и косинусов остаются справедливыми всегда.

Два основных свойства

В некоторых геометрических задачах можно встретить проблемы, которые формулируются так: можно ли построить треугольник со сторонами a, b, c, если известны их длины. Либо другой тип задач, которые предполагают знание некоторых сторон и углов, и требуют определить возможность существования такой фигуры.

Ответ на все эти проблемы заключается всего в одном слове: либо «да» и такой треугольник действительно существует, либо «нет» и из заданных элементов его построить не представляется возможным. Разобраться со всеми этими задачами поможет знание двух главных свойств, которые всегда справедливы для треугольников любых типов:

1. Равенство всех углов 180 °. Если их обозначить буквами A, B и C, тогда будет выполняться следующее выражение: A + B + C = 180 °. Из него можно сделать множество важных выводов. Например, если три угла равностороннего треугольника одинаковые, то мера каждого из них составит 60 ° (A=B=C=180 °/3=60 °). Также это свойство позволяет понять, почему в рассматриваемом многоугольнике может существовать лишь один тупой или прямой угол.
2. Длины двух сторон в сумме всегда больше длины третьей стороны. Это второе важное свойство любого типа треугольников. Независимо от того, идет речь о тупоугольной фигуре или о прямоугольной, одна сторона в ней по своей длине будет всегда меньше суммы двух других.

Оба свойства с успехом можно и необходимо применять, чтобы проверить или узнать возможность существования того или иного треугольника. Важно понимать, что невыполнение любого из свойств говорит о невозможности построения рассматриваемой фигуры.

Вопрос вырождения

В свете изучения возможности существования треугольников важно рассмотреть вопрос их вырождения. В математике придумали универсальную формулу, которая позволяет оценить качество треугольника. Она имеет вид:

Каждый из трех множителей числителя является положительным числом, что следует из главного свойства треугольников. Величина качества CT является положительной и лежит в пределах значений 0 и 1. Возможны следующие случаи:

1. CT = 1. Такое качество имеют лишь равносторонние треугольники. Это легко проверить, если подставить в формулу a=b=c.
2. CT>0,5. Эти фигуры называют высококачественными, все три угла в них являются острыми или один из них прямой. Под качеством имеется в виду более-менее близкое соотношение длин сторон, поэтому фигура выглядит «скругленной».
3. CT 0. Абсолютно вырожденный треугольник. В нем тупой угол приближается к 180 °. Это означает, что два других угла должны быть равны нулю. Подобная ситуация возможна лишь в одном случае: вершина тупого угла приближается к противоположной стороне, и вся фигура вырождается в отрезок нулевой толщины («сплющивается»). Важно отметить, что второе главное свойство для этого треугольника будет говорить о том, что длины двух малых сторон в сумме равны третьей.

Теорема косинусов

Чтобы решать задачи на треугольники, недостаточно знать лишь главные их свойства. Последние позволяют лишь дать качественный, но не количественный ответ. Теорем и формул для рассматриваемых многоугольников известно много (синусов, Пифагора, медиан, Герона и др.). Однако, теорема косинусов является одной из основополагающих, поскольку позволяет по двум сторонам и углу определить значение длины третьей стороны (справедливости ради следует отметить, что теорема синусов является не менее важной, поскольку она по двум углам и стороне позволяет вычислить неизвестные стороны).

Соответствующее выражение имеет следующий вид:

c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cos (α).

Здесь a, b, c — длины сторон фигуры, α — угол между a и b. Нетрудно догадаться, что это выражение является обобщение пифагоровой теоремы для треугольника с прямым углом.

По сути, записанное равенство заключает в себе второе главное свойство треугольников. Действительно, значение угла α может изменяться от 0 ° до 180 °. При этом тригонометрическая функция cos пробегает значения от 1 до -1. Для всех них длина одного отрезка будет меньше суммы двух других. Лишь для значений -1 и +1 получается равенство, что свидетельствует о полном вырождении треугольника в отрезок.

Видео:Соотношение сторон треугольника 30-60-90 (доказательство)Скачать

Решение задач

Для закрепления полученных знаний полезно привести пару примеров решения типичных геометрических задач с треугольниками, в которых нужно будет либо дать качественный ответ, либо получить некоторое количественное значение.

Первая задача требует получить качественный ответ. Пусть имеется треугольник со сторонами 1, 2, 4. Существует ли такая фигура, требуется выяснить.

Для решения этой проблемы абсолютно неважно измеряются стороны в метрах, в сантиметрах, в дюймах или в других величинах. Важно лишь взаимоотношение между ними. Для каждой из длин отрезков следует проверить свойство существования рассматриваемой фигуры. Если получится хотя бы одна ложь, то треугольник построить нельзя:

1 2 + b 2 — c 2 )/(2*a*b)) = arccos ((3 2 + 4 2 — 6 2 )/(2*3*4)) ≈ 51,38 °.

Таким образом, для определения возможности существования того или иного треугольника на плоскости необходимо проверить тот факт, что каждая из его сторон имеет меньшую длину, чем сумма двух других отрезков. Теорема косинусов является удобным инструментом для определения количественных характеристик рассматриваемого типа фигур.

🔥 Видео

Найдите третью сторону треугольникаСкачать

Урок. Как найти длины сторон прямоугольника, по его периметру. Математика 2 класс. #учусьсамСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?Скачать

Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Определение длины гипотенузыСкачать

Задача про соотношение сторон. Геометрия 7 класс.Скачать

Виды треугольниковСкачать