Какие прямоугольные треугольники существуют (5 видео)

Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.

Содержание

теория по математике 📈 планиметрия
Свойства прямоугольного треугольника
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Теорема Пифагора
Египетский треугольник
Пифагоровы тройки
Прямоугольный треугольник
Геометрия. 7 класс
💡 Видео

теория по математике 📈 планиметрия

Если в треугольнике есть угол, равный 90 градусов, то такой треугольник называется прямоугольным. Стороны прямоугольного треугольника называются – катеты и гипотенуза. Катеты – это стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза – сторона, которая располагается напротив прямого угла.

На рисунке треугольник АВС – прямоугольный, угол С равен 90º, стороны АС и ВС – катеты, а сторона АВ – гипотенуза.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Свойства прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является наибольшей стороной.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30 0 , равен половине гипотенузы. И обратно, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 0 .

Например, пусть угол А=30 0 , а гипотенуза АВ=28 см, то катет ВС будет равен 14 см, так как лежит напротив угла А=30 0 . Или, например, если катет ВС=6 см, а гипотенуза АВ равна 12 см, то угол А (лежащий напротив катета ВС), равен 30 0 .

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна всегда 90 градусов.
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.

На рисунке изображен прямоугольный треугольник АВС, где CD – медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству – медиана CD=0,5АВ, то есть AD=DB=CD.

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Существует 4 признака равенства прямоугольных треугольников:

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Чтобы быстрее запомнить данные признаки, можно использовать их краткую трактовку:

по катетам;
по катету и прилежащему острому углу;
по гипотенузе и острому углу;
по гипотенузе и катету.

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Теорема Пифагора

Древнегреческий философ, ученый, математик – Пифагор Самосский вывел теорему, которая до сих применима для решения задач. Теорема названа в честь него – «теорема Пифагора».

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На рисунке в прямоугольном треугольнике АВ 2 =АС 2 +ВС 2

Например, если в данном треугольнике катеты равны 9 и 12 см, то можно найти длину гипотенузы, используя теорему: АВ 2 =9 2 +12 2 =81+144=225=15 2 , значит АВ=15 см.

Египетский треугольник

Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 см называют Египетским треугольником.

Пифагоровы тройки

Тройки чисел, которые удовлетворяют теореме Пифагора, называют Пифагоровы тройки, а сами числа – Пифагоровы числа. Например, такими являются числа 16, 12 и 20 – это числа, которые при подстановке в формулу теоремы, дают нам верное равенство: 16 2 +12 2 =20 2 , 256+144=400, 400=400.

Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Видео:Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Виды треугольников.
Прямоугольный треугольник.
Свойства прямоугольного треугольника.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые.

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а третий – тупой.

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол – прямой, т.е. равный 90°. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Давайте рассмотрим виды треугольников. Существуют следующие виды:

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые.
Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а третий – тупой.
Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а один – прямой, т.е. равный 90°. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

Обратите внимание, на рисунке изображён треугольник АВС с прямым углом С, в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является самой большой стороной.

Рассмотрим свойства прямоугольного треугольника:

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Сумма всех углов треугольника равна 180°, прямой угол равен 90 0 , следовательно, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла 30 0 , равен половине гипотенузы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором ∠А – прямой, ∠В = 30° и, значит, ∠С = 60°.

Докажем, что FC = ½ BC

Достроим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как у нас показано на рисунке. Получим треугольник ВСD, в котором ∠В = ∠D = 60°, поэтому DC = BC (по признаку равнобедренного треугольника). Но АС = ½ DC. Следовательно, АС = ½BC, что и требовалось доказать.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого катет АС равен половине гипотенузы ВС. Докажем, что ∠АВС = 30°.

Достроим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как у нас показано на рисунке. Получим равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу (т.к. сумма углов треугольника равна 180°, а в равностороннем треугольнике все углы равны, следовательно, 180° : 3= 60° – каждый угол равностороннего треугольника). В частности, ∠DВС = 60°. Но ∠DВС= 2∠АВС. Следовательно, ∠АВС = 30°, что и требовалось доказать.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Далее из второго признака равенства треугольников следует:

если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему другого, то такие треугольники равны.

Рассмотрим ещё два признака равенства прямоугольных треугольников.

Теорема. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Дано: ∆АВС и ∆НМХ, ∠С = ∠Х = 90°, АВ = НМ, ∠А = ∠Н.

Доказать: ∆АВС и ∆НМХ

Доказательство. Из первого свойства прямоугольных треугольников мы можем сделать вывод, что в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Теорема доказана.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1.Найдите острые углы прямоугольного равнобедренного треугольника.

Объяснение. Мы знаем, что сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, можно вычислить градусную меру острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника: 90° : 2= 45°.

Ответ: острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника равен 45°.

№ 2.Опираясь на рисунок, укажите, по какому признаку равны треугольники.

по катету и прилежащему к нему острому углу;
по гипотенузе и прилежащему к ней острому углу;
по катету и прямому углу;
двум катетам.

Объяснение. На рисунке указано равенство катетов МС и ВС, углы МСН и ВСА вертикальны, значит, они равны. Следовательно, треугольники АВС и НСМ равны по катету и прилежащему к нему острому углу, подходит ответ 1.

Ответ: 1. по катету и прилежащему к нему острому углу.