Как узнать сторону разностороннего треугольника

Все формулы для треугольника
Содержание
  1. 1. Как найти неизвестную сторону треугольника
  2. 2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
  3. 3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
  4. 4. Найти длину высоты треугольника
  5. Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.
  6. Определение треугольника
  7. Классификация треугольников
  8. 1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.
  9. 2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β
  10. 3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.
  11. 4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°
  12. 5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.
  13. 6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).
  14. Свойства треугольника
  15. 1.Свойства углов и сторон треугольника.
  16. 2.Теорема синусов.
  17. 3. Теорема косинусов.
  18. 4. Теорема о проекциях
  19. Медианы треугольника
  20. Свойства медиан треугольника:
  21. Формулы медиан треугольника
  22. Как найти третью сторону треугольника — формулы и расчеты
  23. Фигура из шести элементов
  24. Дополнительные отрезки
  25. Виды треугольников
  26. Основные свойства и понятия
  27. Важные теоремы
  28. Примеры решения задач
  29. Квадрат и его диагональ
  30. Две высоты и угол
  31. 💥 Видео

Видео:Как найти сторону равностороннего треугольника #shorts | ЕГЭ 2022 по профильной математике | ЭйджейСкачать

Как найти сторону равностороннего треугольника #shorts | ЕГЭ 2022 по профильной математике | Эйджей

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

Как узнать сторону разностороннего треугольника

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

Как узнать сторону разностороннего треугольника

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

Как узнать сторону разностороннего треугольника

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Формулы для катета, ( b ):

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Видео:Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать

Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

Как узнать сторону разностороннего треугольника

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Формулы длины равных сторон , (a):

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

Как узнать сторону разностороннего треугольника H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Видео:Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать

Найдите сторону треугольника на рисунке

Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.

В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры — треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.

Содержание:

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Определение треугольника

Треугольник — это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом — △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Треугольник ABC (△ABC)

  • Точки A, B и C — вершины треугольника. Принято писать их большими буквами.
  • Отрезки AB, BC и СА — стороны треугольника. Обычно сторонам присваивают свои названия маленькими буквами. Имя выбирают по первой вершине каждой стороны. Напр. у стороны AB первая вершина А поэтому эта сторона называется а. Тоесть AB = a, BC = b, CА = c.
  • Стороны треугольника в местах соединения образуют три угла, которым обычно дают названия буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем напротив стороны a лежит угол α, b — β, с — γ.

Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом — . После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:

Видео:Супер ЖЕСТЬ ➜ Найдите сторону треугольника ➜ Решить без тригонометрииСкачать

Супер ЖЕСТЬ ➜ Найдите сторону треугольника ➜ Решить без тригонометрии

Классификация треугольников

Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них.

1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

Как узнать сторону разностороннего треугольника

2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β

Как узнать сторону разностороннего треугольника

3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

Как узнать сторону разностороннего треугольника

4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°

Как узнать сторону разностороннего треугольника

5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

Как узнать сторону разностороннего треугольника

6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Видео:№250. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 смСкачать

№250. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 см

Свойства треугольника

1.Свойства углов и сторон треугольника.

Как узнать сторону разностороннего треугольника

  • Сумма всех углов треугольника равна 180°:
  • Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
  • В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

2.Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c
sin αsin βsin γ

3. Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

4. Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

Видео:Найдите третью сторону треугольникаСкачать

Найдите третью сторону треугольника

Медианы треугольника

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

AO=BO=CO=2
ODOEOF1

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны:

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Как найти третью сторону треугольника — формулы и расчеты

В геометрии первая фигура, которую школьники начинают изучать, это треугольник. Он является одним из самых распространенных и простых замкнутых объектов. Знание свойств фигуры и необходимых теорем позволяет решать разные задачи о том, как найти третью сторону треугольника на плоскости.

Как узнать сторону разностороннего треугольника

Видео:Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольникаСкачать

Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольника

Фигура из шести элементов

Под геометрическим элементом полагают какой-либо объект, который имеет определенную меру и является составляющей частью некоторой фигуры. Например, для сферы основными образующими элементами являются радиус и центр.

Как известно, треугольник — это фигура, которая состоит из трех отрезков и такого же количества вершин. При этом все отрезки попарно пересекаются. Из определения фигуры следует, что ее образуют два типа элементов, общее количество которых составляет 6:

  • сторона (3);
  • вершина (3).

Обычно треугольник обозначают большими латинскими буквами, например, ABC, PQM и так далее. Каждая буква — это название вершины (точка пересечения двух отрезков). AB, BC и CA, которые являются длинами сторон, принято обозначать маленькими латинскими буквами по названию противоположных им вершин, то есть c, a и b, соответственно.

Дополнительные отрезки

Несмотря на всю простоту построения фигуры, она обладает большим количеством дополнительных элементов, которые ее могут определять. Среди них самыми важными являются следующие:

Как узнать сторону разностороннего треугольника

  • Медиана — отрезок, который соединяет вершину и середину противоположной стороны. Таких отрезков в треугольнике три. Все они пересекаются в одной точке, которая является центром масс фигуры. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, начиная от вершины. Каждый из трех названных отрезков делит треугольник на две аналогичных фигуры равной площади.
  • Биссектриса — отрезок, который отличается от медианы тем, что он делит пополам соответствующий угол.
  • Высота — перпендикуляр, который из вершины опускается на сторону фигуры. Его удобно использовать при вычислении площади или при определении его углов через тригонометрические выражения. Для некоторых типов треугольников высота может совпадать со стороной (катет в прямоугольной фигуре).
  • Радиусы вписанной и описанной окружностей. Эти замкнутые симметричные кривые можно провести для любого треугольника. Указанные радиусы однозначно определяются через стороны и углы фигуры.
  • Средняя линия — это соединяющий две середины сторон отрезок. Его особенность заключается в том, что он всегда параллелен третьей стороне и равен половине ее длины.

    Виды треугольников

    Разработана достаточно развитая классификация рассматриваемых фигур. Главными ее пунктами являются значения углов треугольника и взаимоотношение между его отрезками. Так, если в фигуре все углы острые, то она называется остроугольной. Если же один из углов больше 90 °, то треугольник полагается тупоугольным. Чаще всего в задачах рассматривают следующие виды:

    Как узнать сторону разностороннего треугольника

    Основные свойства и понятия

    Треугольник является одной из самых изученных фигур в геометрии. Для него известны многие теоремы, которые с успехом используются при решении задач. Существует два основных свойства фигуры, которые следуют из характеристик евклидового пространства:

    Как узнать сторону разностороннего треугольника

  • Равенство суммы трех углов 180 °, то есть A + B + C = 180 °. Этот факт доказал еще Евклид в своем знаменитом труде «Элементы». По этой причине треугольник не может содержать больше одного прямого или тупого внутреннего угла.
  • Если известны три отрезка a, b и c такие, что выполняется равенство a + b = c, то из них составить треугольник невозможно. Это фундаментальное свойство говорит о том, что для всякого типа рассматриваемой фигуры сумма длин ее двух любых сторон всегда больше длины третьей.

    Помимо названных свойств, следует знать о треугольнике еще такое понятие, как подобие. Его суть состоит в том, что одна из рассматриваемых фигур является точной копией в миниатюре другой. Для подобных треугольников все углы равны попарно, а все три стороны относятся соответственно попарно друг к другу с одним и тем же коэффициентом подобия.

    Еще одной полезной характеристикой рассматриваемой фигуры является ее качество (CT). Вычисляется оно по следующей формуле:

    CT = (a + b — c)*(b + c — a)*(c + a — b)/(a*b*c).

    Величина CT лежит в пределах от 0 до 1. Она показывает степень близости фигуры к равностороннему, то есть к наиболее симметричному объекту. Если CT 0,5, то фигура характеризуется, как имеющая хорошее качество.

    Величина CT применяется для алгоритмов, которые разделяют какую-либо изучаемую геометрическую поверхность на сетку треугольников. Если в этой сетке генерируется много низкокачественных фигур, то будет велика ошибка аппроксимации рассматриваемой величины.

    Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

    Формулы равностороннего треугольника #shorts

    Важные теоремы

    Знание теорем для рассматриваемой фигуры позволяет понять, как найти сторону, зная 2 стороны треугольника. Прежде всего применяются две базовые теоремы:

    Как узнать сторону разностороннего треугольника

  • Синусов. Как известно, синус — это тригонометрическая функция, которая вводится в прямоугольном треугольнике и определяет отношение противолежащего углу катета к гипотенузе. Теорема синусов для фигуры произвольного типа устанавливает следующее математическое взаимоотношение между отрезками и углами: a/sinA = b/sinB = c/sinC. Это означает, что вычислить длину любой стороны можно, если известен еще какой-нибудь отрезок и два угла.
  • Косинусов. Как и синус, косинус тоже является тригонометрической функцией, которая определяет отношение катета прилежащего к гипотенузе прямоугольной фигуры. Теорему косинусов удобно записать в виде следующего математического выражения: c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cosC. С помощью этого равенства можно найти 3 сторону треугольника по 2 сторонам известным и углу между ними.

    К этим двум теоремам следует добавить еще два важных равенства, которые связаны с именами древнегреческих философов.

    Первое выражение базируется на знаменитой теореме Пифагора, которая устанавливает связь между длинами двух катетов (меньшие стороны) и гипотенузы (большая сторона) в треугольнике с прямым углом. Если гипотенузу обозначить буквой c, тогда будет выполняться следующее равенство:

    Если известные любые две стороны, то для определения третьей достаточно взять под квадратный корень соответствующую сумму или разницу квадратов.

    Вторая из дополнительных теорем носит название философа Аполлония Пергского. Соответствующее ей математическое выражение выглядит так:

    a 2 + b 2 = ½*c 2 + 2*Mc 2 .

    Здесь Mc — это медиана, проведенная к стороне c из вершины C. Это равенство также называют в математике теоремой медианы.

    Видео:Задача найти сторону равностороннего треугольника по медианеСкачать

    Задача найти сторону равностороннего треугольника  по медиане

    Примеры решения задач

    Как узнать сторону разностороннего треугольника

    После того как изучены и рассмотрены основные понятия, свойства и теоремы для различного рода треугольников, можно переходить к решению геометрических задач. Поскольку для этого требуется в большинстве случаев знать значения тригонометрических функций, рекомендуется воспользоваться либо соответствующими таблицами, либо инженерным калькулятором.

    Задачи школьного курса с треугольниками, как правило, не являются сложными. Они решаются благодаря однократному применению какого-либо свойства или теоремы.

    Квадрат и его диагональ

    Пусть дан квадрат, сторона которого составляет 11 см. Необходимо определить половину длины его диагонали.

    Эту геометрическую задачу проще всего решить, если увидеть, что две смежные стороны исходной фигуры и ее диагональ образуют прямоугольный треугольник, который к тому же является равнобедренным. Каждая из равных сторон в нем имеет длину 11 см и является катетом. Диагональ c — это гипотенуза. Применяя пифагорову теорему, можно получить следующее равенство:

    c = (11 2 + 11 2 )^0,5 ≈ 15,556 см.

    Поскольку половина диагонали в два раза меньше гипотенузы, то искомым ответом на задачу будет число c/2 ≈ 7,778 см.

    Две высоты и угол

    Дан треугольник ABC. Известно, что при вершине C угол составляет 37 °. Из вершин A и B проведены высоты к сторонам этого треугольника, их длины составляют h1 = 10 см и h2 = 8 см, соответственно. Необходимо узнать длину стороны фигуры, которая лежит против угла C.

    Из условия задачи можно найти длины сторон AC и BC. Для этого следует увидеть, что каждая из высот с двумя другими сторонами треугольника образует прямоугольную фигуру. Воспользовавшись тригонометрическими равенствами, можно получить следующие результаты:

    • AC = h1/sinC = 10/sin (37 °) ≈ 16,616 см;
    • BC = h2/sinC = 8/sin (37 °) ≈ 13,293 см.

    Как узнать сторону разностороннего треугольника

    Против угла C лежит сторона AB, которую следует найти. Получается, что известны две стороны треугольника (AC и BC) и угол между ними. Остается применить теорему косинусов, чтобы получить ответ:

    AB = (AC 2 + BC 2 — 2*AC*BC*cosC)^0,5 = (16,616 2 + 13,293 2 — 2* 16,616 * 13,293 *cos (37 °))^0,5 ≈ 10 см.

    Полученный результат свидетельствует о том, что высота h1 совпадает со стороной AB с рассчитанной точностью, то есть исходный треугольник являлся прямоугольным.

    Таким образом, для нахождения стороны треугольника, если известны две другие его стороны или иные отрезки, следует воспользоваться теоремами. Основными из них являются теорема косинусов и синусов, а также Пифагора и Аполлония.

    💥 Видео

    Нахождение стороны равнобедренного треугольникаСкачать

    Нахождение стороны равнобедренного треугольника

    Нахождение сторон равнобедренного треугольникаСкачать

    Нахождение сторон равнобедренного треугольника

    Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

    Равнобедренный треугольник. 7 класс.

    №107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметрСкачать

    №107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр

    Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

    Теорема Пифагора для чайников)))

    НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

    НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА

    Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

    Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.
  • Поделиться или сохранить к себе: