Как узнать длину равнобедренного треугольника

Как посчитать стороны равнобедренного треугольника

Видео:Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора | Геометрия | АлгебраСкачать

Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора  |  Геометрия | Алгебра

Онлайн калькулятор

Как узнать длину равнобедренного треугольника

Чтобы вычислить длины сторон равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • длину основания (b) и угол α
  • длину основания (b) и угол β
  • длину основания (b) и высоту (h)
  • длину двух равных сторон (a) и угол α
  • длину двух равных сторон (a) и угол β
  • длину двух равных сторон (a) и высоту (h)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Как посчитать сторону a равнобедренного треугольника

Если известна сторона b и угол α

Чему равна сторона a равнобедренного треугольника если длина основания , а угол

Чему равна сторона a у равнобедренного треугольника если известны длина основания (сторона b) и угол α?

Формула
Пример

Если сторона b = 10 см, а ∠α = 30°, то:

Если известна сторона b и угол β

Чему равна сторона a равнобедренного треугольника если длина основания , а угол

Чему равна сторона a у равнобедренного треугольника если известны длина основания (сторона b) и угол β?

Формула
Пример

Если сторона b = 10 см, а ∠β = 30°, то:

a = 10 /2⋅sin 15 = 10/(2⋅0.2588) = 19.31см

Если известна сторона b и высота h

Чему равна сторона a равнобедренного треугольника если длина основания , а высота

Чему равна сторона a у равнобедренного треугольника если известны длина основания (сторона b) и высота h?

Формула
Пример

Если сторона b = 10 см, а высота h = 20 см, то:

a = √ 1 /10 2 + 20 2 = √ 0.01+400 = 20.61см

Как посчитать сторону b (основание) равнобедренного треугольника

Если известна сторона a и угол α

Чему равна сторона b равнобедренного треугольника если длина стороны , а угол

Чему равна сторона b у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол α?

Формула
Пример

Если сторона a = 10 см, а ∠α = 30°, то:

b = 2⋅10⋅cos 30° = 2⋅10⋅0.8660 = 17.32см

Если известна сторона a и угол β

Чему равна сторона b равнобедренного треугольника если длина стороны , а угол

Чему равна сторона b у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол β?

Формула
Пример

Если сторона a = 10 см, а ∠β = 40°, то:

Если известна сторона a и высота h

Чему равна сторона b равнобедренного треугольника если длина стороны , а высота

Чему равна сторона b у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и высота h?

Формула

b = 2⋅ √ a 2 — h 2 , h

Пример

Если сторона a = 10 см, а высота h = 5 см, то:

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Стороны равнобедренного треугольника

Как узнать длину равнобедренного треугольника

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Свойства

Равнобедренный треугольник имеет две равные по значению боковые стороны a и основание b. Это позволяет рассчитать любые параметры треугольника, необходимые для решения задачи. Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне в сумме с основанием. (рис.88.1) P=2a+b

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника, с половиной основания в качестве второго катета и боковой стороной как гипотенузой. Такая высота одновременно является и медианой и биссектрисой. Найти ее можно по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника. (рис.88.2) h_b=m_b=l_b=√(a^2-(b/2)^2 )=√(4a^2-b^2 )/2

Остальные две высоты равны друг другу и считаются через формулу с произведением разностей полупериметров и сторон, где приравнены боковые стороны. (рис.88.8) h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a

Зная высоту, найти площадь равнобедренного треугольника можно, подставив полученное выражение в формулу, по которой площадь равна половине основания, умноженной на его высоту. S=hb/2=(b√(4a^2-b^2 ))/4

Углы в равнобедренном треугольнике распределяются следующим образом – углы при основании друг другу конгруэнтны, также как и боковые стороны, а в сумме все три угла дают 180 градусов, поэтому найти их можно двумя видами разности. α=(180°-β)/2 β=180°-2α

Если ни один из углов не дан, но есть все стороны, то можно воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти любой угол. cos⁡α=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+a^2-a^2)/2ba=b^2/2ba=b/2a cos⁡β=(a^2+a^2-b^2)/(2a^2 )=(2a^2-b^2)/(2a^2 )

Медиана и биссектриса, опущенные на основание, вычисляются по формуле высоты, приведенной выше, а оставшиеся две медианы (равно как и две биссектрисы) равны друг другу, поскольку строятся на равных боковых сторонах. Вычислить медиану можно, упростив формулу произвольного треугольника. (рис. 88.3) m_a=√(2a^2+2b^2-a^2 )/2=√(a^2+2b^2 )/2

В формуле биссектрисы аналогично приравниваются боковые стороны, и ее становится возможным вычислить по упрощенной схеме. (рис. 88.4) l_a=√(ab(2a+b)(a+b-a) )/(a+b)=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)

Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна его половине, а средние линии, параллельные боковым сторонам, равны между собой и также равны половинам самих боковых сторон. (рис. 88.5) M_b=b/2 M_a=a/2

Радиус окружности, вписанной в равнобедренной треугольник, является производной формулы для произвольного треугольника, и рассчитать его можно, зная боковую сторону и основание. (рис. 88.6) r=b/2 √((2a-b)/(2a+b))

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, также выводится из общей формулы и выглядит упрощенно следующим образом. (рис. 88.7) R=a^2/√(4a^2-b^2 )

Видео:№107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметрСкачать

№107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Как узнать длину равнобедренного треугольника

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Периметр равнобедренного треугольникаСкачать

Периметр равнобедренного треугольника

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

Как узнать длину равнобедренного треугольника

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Как узнать длину равнобедренного треугольника

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Как узнать длину равнобедренного треугольника

Видео:Нахождение сторон равнобедренного треугольникаСкачать

Нахождение сторон равнобедренного треугольника

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

  1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
  2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
  3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
  4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Видео:Сможешь найти основание? Задача про медиану равнобедренного треугольникаСкачать

Сможешь найти основание? Задача про медиану равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Как узнать длину равнобедренного треугольника

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Как узнать длину равнобедренного треугольника

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Как узнать длину равнобедренного треугольника

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Видео:Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, площадь которого равна 1Скачать

Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, площадь которого равна 1

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Как узнать длину равнобедренного треугольника

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

💥 Видео

16 заание ОГЭ . 16.3.4. Равнобедренные треугольникиСкачать

16 заание ОГЭ . 16.3.4. Равнобедренные треугольники

Равнобедренный треугольникСкачать

Равнобедренный треугольник

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА

№259. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведеннаяСкачать

№259. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведенная

Определение угла равнобедренного треугольникаСкачать

Определение угла равнобедренного треугольника

Длина медианы треугольникаСкачать

Длина медианы треугольника

Геометрия Вычислить площадь равнобедренного треугольника если длина высоты проведенная к боковойСкачать

Геометрия Вычислить площадь равнобедренного треугольника если длина высоты проведенная к боковой

Нахождение стороны равнобедренного треугольникаСкачать

Нахождение стороны равнобедренного треугольника

№250. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 смСкачать

№250. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 см

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

№228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°Скачать

№228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: