Как решать задачи с треугольниками

Наглядная геометрия 7 класс. Ключевые задачи по теме Треугольники

Запомните!

1. Признаки равенства треугольников.

• 1-й. По двум сторонам и углу между ними.
• 2-й. По стороне и двум прилежащим к ней углам.
• 3-й. По трем сторонам.

2. Свойство углов равнобедренного треугольника.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

3. Обратная теорема.

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

4. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника.

Биссектриса, высота и медиана равнобедренного треугольника, проведенные из вершины к основанию, совпадают.

5. Признаки равнобедренного треугольника. Треугольник является равнобедренным, если:

• а) высота является и медианой;
• б) высота является и биссектрисой;
• в) биссектриса является и медианой.

6. Теорема о свойстве точек серединного перпендикуляра.

• Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.
• Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к нему.

7. Теорема о пересечении серединных перпендикуляров.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной около треугольника окружности.

Простые вопросы по теме «Треугольники»

1. В треугольнике провели медиану. Сколько треугольников изображено на рисунке?
2. Если стороны треугольника продлить, то сколько углов всего образуется, не считая развернутых? А считая и развернутые?
3. Верно ли, что биссектриса треугольника лежит на биссектрисе угла?
4. Может ли высота треугольника делить сторону пополам?
5. Может ли биссектриса треугольника быть перпендикулярной стороне треугольника?
6. Верно ли утверждение: «Биссектриса равнобедренного треугольника является высотой и медианой»?
7. Является ли любой равнобедренный треугольник равносторонним?
8. Является ли любой равносторонний треугольник равнобедренным?
9. Может ли биссектриса некоторого равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне, быть медианой?
10. Может ли высота треугольника быть равна его медиане, проведенной из той же вершины?
11. Может ли биссектриса треугольника быть равна его высоте, проведенной из той же вершины?
12. Существует ли треугольник, периметр которого в 3 раза больше одной из сторон?
13. Если медиана образует равные углы с соседними сторонами треугольника, то какой угол она образует с третьей стороной?
14. Что для студентов означает слово «медиум»?
15. Сколько всего теорем в данной теме?

Непростые вопросы по теме «Треугольники»

16* В треугольнике провели 2 медианы. Сколько треугольников изображено на рисунке?
17* В треугольнике провели 3 медианы. Сколько треугольников изображено на рисунке?
18* Может ли в треугольнике высота являться медианой, но не являться биссектрисой?
19* Как звучит теорема о свойстве углов равнобедренного треугольника в форме «Если …, то …»?
20* Как звучит утверждение, обратное теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника, в форме «Если …, то …»?
21* Может ли медиана треугольника равняться соседней стороне?
22* Может ли биссектриса треугольника равняться соседней стороне?
23* Может ли высота треугольника равняться соседней стороне?
24* Может ли серединный перпендикуляр к стороне треугольника иметь общую точку с каждой из двух других сторон?
25* Может ли серединный перпендикуляр к стороне треугольника делить противоположный угол треугольника пополам?

Ответы на простые и непростые вопросы

1. Три. Два маленьких и один данный.
2. 12; 24.
3. Да.
4. Да. В равнобедренном треугольнике.
5. Да. В равнобедренном треугольнике.
6. Нет. Только биссектриса, проведенная из вершины к основанию.
7. Нет.
8. Да.
9. Да. Если треугольник равносторонний.
10. Да. В равнобедренном треугольнике это высота, проведенная к его основанию.
11. Да. В равнобедренном треугольнике это биссектриса, проведенная к его основанию.
12. Да. Например, равносторонний.
13. 90°. Если медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный и эта медиана является и высотой, проведенной к основанию.
14. Медиум — студенческий праздник, знаменующий середину учебы.
15. Тринадцать теорем, включая задачу о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

16* 8.
17* 16.
18* Нет. Если высота является медианой, то треугольник равнобедренный и эта высота является и биссектрисой.
19* «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны». 20* «Если у треугольника два угла равны, то треугольник равнобедренный».
21* Да.
22* Да.
23* Да. В прямоугольном треугольнике.
24* Да. В равнобедренном прямоугольном треугольнике.
25* Да. Если треугольник равнобедренный.

Это конспект по геометрии «Ключевые задачи по теме Треугольники». Выберите дальнейшие действия:

Видео:КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать

Решение задач по геометрии 7 класс, объяснение тем, объяснение задач

В 7 классе ученики начинают изучать новый предмет — геометрию. До этого они уже знакомились с некоторыми геометрическими понятиями, но не так подробно. Чтобы в дальнейшем не возникали трудности с усвоением информации, следует с самого начала усвоить основные моменты: уметь различать типы фигур, знать основные их свойства, выучить теоремы, признаки фигур. В 7 классе изучаются простейшие объекты: точка, луч, отрезок, прямая и т.д. Кроме этого, в учебниках подробно рассматривается треугольник.

Чтобы помочь ученику с усвоением основных тем по геометрии, ниже рассмотрено их содержание, представлены рисунки фигур и задачи по темам треугольников.

Видео:Треугольники. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать

Основные темы по геометрии 7 класс

Ученику 7 класса предстоит познакомиться со следующими основными разделами учебника по геометрии:

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Геометрия 7 класс объяснение основных тем, понятно для детей

первые геометрические объекты

Начать стоит с самого понятия «геометрия». С древнегреческого слово переводится как земля и измерение. Эта древнейшая наука, которая появилась в связи с необходимостью строить здания, дороги, измерять объекты и прокладывать границы.

О равных треугольниках. Равнобедренный треугольник

Треугольником принято считать фигуру, которая состоит из 3-х точек. Причем точки эти не должны лежать на одной прямой, а соединяются они отрезками.

Сумма всех углов в треугольнике равняется 180º. Знание этого факта пригодится при решении задач на нахождение углов.

Треугольники можно различать по двум признакам: размеру сторон и размеру углов.

Если один треугольник (назовем его CFD) наложить на другой (C1F1D1) и они будут соответствовать друг другу, то треугольники равны. У равных фигур все элементы равны.

Чтобы понять, равны ли треугольники, познакомимся с признаками равенства этих фигур.

Остановимся отдельно на равнобедренных треугольниках. Если 2 стороны треугольники равны, то его называют равнобедренным.

На заметку! Если равны все стороны, а не только две, то треугольник уже равносторонний, а не равнобедренный.

Исходя из этого, можно выделить признаки равнобедренного треугольника. Треугольник равнобедренный, если:

• 2 угла в нем равны;
• биссектриса одновременно является высотой и медианой;
• медиана — биссектриса и высота;
• высота, соответственно — медиана и биссектриса.

Если взять треугольник неравнобедренный, то эти три составляющие (высота, биссектриса и медиана) не будут совпадать (это четко прослеживается на рисунке ниже).

параллельные прямые

Если на тетрадном листе кажется, что прямые параллельны, но имеется небольшой уклон, то вполне вероятно, что за пределами листа (ведь они бесконечны), прямые пересекутся.

Чтобы понять, параллельны ли прямые, нужно усвоить 3 основных признака.

Показать параллельность прямых а и б можно так: а ΙΙ б.

прямоугольный треугольник и его свойства

Прямоугольным называют треугольник, в котором один из углов равен 90º. Рассмотрим название сторон такой фигуры.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

Геометрия 7 класс задача по теме треугольники, пояснение решения задач

Решим несколько задач про треугольники:

• нахождение периметра;
• доказательство равенства треугольников.

Чтобы найти периметр в представленной задаче, нашли сперва неизвестные стороны. Потом просто сложили полученные значения.

Для этой задачи понадобилось знание признаков равенства треугольников.

Для решения задачи понадобится знание признаков равнобедренного треугольника. Так, можно утверждать, что в треугольнике сторона АС и АВ равны, как и СМ и МВ. Поскольку периметр — это сумма всех сторон, получается, что сумму периметра АВМ можно записать сложением АВ, ВМ и АМ (ее как раз нужно найти).

Сумму периметра АВС также записали с помощью сложения сторон. Затем упростили это сложение, записав: 32 = 2 АВ + 2 ВМ (так как АВ и АС равны — равнобедренный треугольник; ВМ и СМ тоже равны). Потом эту запись сократили, разделив на 2.

Вышло, что сумма двух сторон равна 16 см. Остается найти третью сторону (АМ). Она входит в треугольник АВМ, периметр которого равен 24 см. Тогда, чтобы найти третью сторону (АМ, нужно просто 24 отнять 16, вышло 8 см. В примере подставили в уравнение, чтобы не запутаться.

Решим задачу на нахождение угла в треугольнике.

Чтобы найти угол С в задаче потребовалось узнать, чему равен угол В. По условиям известно, что внешний В равняется 110º. Знаем, что развернутый угол равняется 180º (это внешний и внутренний угол В в сумме). Поэтому от 180 отнимаем 110. Получается угол В = 70º.

Треугольник равнобедренный, значит углы при основании одинаковые ⇒ угол В = углу А = 70º.

Поскольку сумма углов треугольника равна 180º (по правилу), значит угол С = 180 — углы А и В = 180 — 70 — 70 = 40°.

Задачи на второй и третий признак равенства треугольников подробно представлено в видео-уроке.

Видео:Признаки равенства треугольников. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Геометрия 7 класс тест по теме треугольник

Закрепим материал по треугольникам, решив несколько тестовых заданий.

1. Как называется сумма всех сторон в треугольнике?

а) площадь;
б) периметр;
в) медиана

2. Треугольник называется равнобедренным, если:

а) у него есть основание;
б) все стороны равны;
в) две стороны равны

3. Если в равнобедренном треугольнике к основанию провести высоту, то чем еще она будет являться?

а) биссектрисой;
б) медианой;
в) медианой и биссектрисой;
г) только высотой

4. Сколько всего признаков равенства треугольников?

5. В треугольнике можно провести ___ медиан (-ы)

а) одну;
б) множество;
в) три;
г) две

6. Как называются стороны прямоугольного треугольника, которые образуют угол 90º?

а) гипотенузы;
б) катеты;
в) высоты

7. Про что гласит 3-й признак равенства треугольников?

а) про стороны;
б) про сторону и углы;
в) про угол и стороны

8. Под каким углом в любом треугольнике проходит высота?

а) это зависит от вида треугольника
б) под углом 45 градусов;
в) 90 градусов

9. По каким признакам различаются виды треугольников?

а) по размеру сторон;
б) по размеру углов;
в) по размеру сторон и углов;
г) по периметру и площади

10. Чему равна сумма двух острых углов прямоугольного треугольника?

а) 90 градусов;
б) 180 градусов;
в) 60 градусов

Ответы: 1 — б; 2 — в; 3 — в; 4 — б; 5 — в; 6 — б; 7 — а; 8 — в; 9 — в; 10 — а.

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

7 класс геометрия сложная тема, разъяснить подробно для детей

Решим более сложную задачу, где есть и доказательство равенства треугольников, и поиск углов. Алгоритм решения задачи:

Шаг 1. Начертим, согласно условиям. Дается треугольник АВС, в котором провели медиану (вспоминаем, что медиана делит сторону пополам). В нашей задаче медиана AD уходит за пределы треугольника, создавая дополнительный отрезок DE (он равен AD). Получился треугольник, из которого проведена медиана.

Шаг 2. Первая задача — доказать равенство треугольников ABD и ECD: соединим точку Е и С, чтобы получился треугольник.

Шаг 3. По условиям AD и DE равны (одна сторона треугольника равна другой стороне ⇒ AD = DE

Шаг 4. Получается BD = DC, так как медиана разделила BC пополам (выходит, еще одни стороны треугольников равны).

Шаг 5. Рассмотрим углы между сторонами (на рис. обозначены цифрами 1 и 2). Они вертикальные, так как образовались двумя прямыми. Следовательно, они равны.

Из первого признака равенства треугольников знаем, что если 2 стороны и угол между этими сторонами одного треугольника равен этим показателям во втором, то они равные. Пункт а доказан. Переходим к б.

Шаг 1. Нам нужно найти угол АСЕ. Из рисунка видно, что он состоит из 2-х маленьких углов, получается: угол АСЕ равен сумме углов DCA и DCE.

Шаг 2. По условиям мы знаем, чему равен DCA, осталось найти второй. Так как равенство треугольников доказали, значит воспользуемся правилом: напротив равных сторон треугольников лежат и равные углы. AD напротив ABD; DE напротив DCE. Выходит: угол ABD = углу DCE = 40 градусам (по условию).

Шаг 3. Маленькие углы известны, найдем тот, который требуется: угол ACE = 56º + 40º = 96º.

Равенство доказали, угол нашли. Задание выполнено.

Еще пара видеороликов про решение задачи с прямоугольным треугольником, а также вся геометрия за 7 класс в одной задаче.

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Геометрия. Урок 3. Треугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Определение треугольника

• Виды треугольников

• Отрезки в треугольнике

Видео:Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать

Определение треугольника

Треугольник – многоугольник с тремя сторонами и тремя углами.

Угол ∠ A – угол, образованный сторонами A B и A C и противолежащий стороне B C .

Угол ∠ B – угол, образованный сторонами B A и B C и противолежащий стороне A C .

Угол ∠ C – угол, образованный сторонами C B и C A и противолежащий стороне A B .

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Виды треугольников

Треугольник остроугольный , если все три угла в треугольнике острые.

Треугольник прямоугольный , если у него один из углов прямой ( = 90 ° ) .

Треугольник тупоугольный , если у него один из углов тупой.

Основные свойства треугольника:

• Против большей стороны лежит больший угол.
• Против равных сторон лежат равные углы.
• Сумма углов в треугольнике равна 180 ° .
• Если продолжить одну из сторон треугольника, например, A C , и взять на продолжении стороны точку D , образуется внешний угол ∠ B C D к исходному углу ∠ A C B .

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Отрезки в треугольнике

Биссектриса угла – луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.

Свойства биссектрис треугольника:

• Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
• Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

Замечание: биссектриса угла – это луч, а биссектриса треугольника – отрезок.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Свойства медиан треугольника:

• Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (два треугольника, имеющих одинаковую площадь).
• Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины угла треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону этого треугольника.

Если треугольник остроугольный, то все три высоты будут лежать внутри треугольника. Если треугольник тупоугольный, то высоты, проведенные из вершин острых углов будут лежать вне треугольника, а высота, проведенная из вершины тупого угла будет лежать внутри треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника: средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Всего в треугольнике можно провести три средние линии. Три средние линии разбивают исходный треугольник на четыре равных треугольника. Площадь каждого маленького треугольника будет равна четверти площади большого треугольника.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Площадь треугольника

Площадь произвольного треугольника можно найти следующими способами:

Полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Равнобедренный треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным.

Свойства равноберенного треугольника:

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Равносторонний треугольник

Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Площадь равностороннего треугольника находится по формуле S = a 2 3 4

Высота равностороннего треугольника находится по формуле h = a 3 2

Видео:Сколько треугольников на рисунке? Универсальный алгоритм решения задачиСкачать

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов равен 90 ° .

Свойства прямоугольного треугольника:

• Сумма двух острых углов треугольника равна 90 ° .
• Катет, лежащий напротив угла в 30 ° , равен половине гипотенузы.
• Если катет равен половине гипотенузы, он лежит напротив угла в 30 ° .

Видео:Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой РепетиторСкачать

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны друг другу, следовательно, площадь можно найти по формуле:

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с треугольниками

🔍 Видео

Две задачи по геометрии за 7 класс на тему: "Треугольники"Скачать

Как решать задачи с треугольником на ОГЭ? / Подготовка к ОГЭ 2021Скачать

Треугольники. 7 класс.Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Решение задач по теме "Равнобедренный треугольник"Скачать