Как найти неизвестные углы треугольника

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

  1. Три стороны треугольника.
  2. Две стороны треугольника и угол между ними.
  3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
  4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Видео:Найдите угол: задача по геометрииСкачать

Найдите угол: задача по геометрии

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем Как найти неизвестные углы треугольника.

Как найти неизвестные углы треугольника
Как найти неизвестные углы треугольника
Как найти неизвестные углы треугольника
Как найти неизвестные углы треугольника(1)
Как найти неизвестные углы треугольника(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Как найти неизвестные углы треугольника.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Как найти неизвестные углы треугольникаНайти Как найти неизвестные углы треугольника(Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Как найти неизвестные углы треугольникаКак найти неизвестные углы треугольника.
Как найти неизвестные углы треугольникаКак найти неизвестные углы треугольника.
Как найти неизвестные углы треугольника, Как найти неизвестные углы треугольника.

И, наконец, находим угол C:

Как найти неизвестные углы треугольникаКак найти неизвестные углы треугольника

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Как найти неизвестные углы треугольника

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Как найти неизвестные углы треугольника.
Как найти неизвестные углы треугольника.

Далее, из формулы

Как найти неизвестные углы треугольника.
Как найти неизвестные углы треугольника.(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Как найти неизвестные углы треугольника.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: Как найти неизвестные углы треугольникаи Как найти неизвестные углы треугольника(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Как найти неизвестные углы треугольника,
Как найти неизвестные углы треугольникаКак найти неизвестные углы треугольникаКак найти неизвестные углы треугольника.

Из формулы (3) найдем cosA:

Как найти неизвестные углы треугольникаКак найти неизвестные углы треугольника
Как найти неизвестные углы треугольника.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Как найти неизвестные углы треугольникаКак найти неизвестные углы треугольника.

Видео:Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углыСкачать

Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углы

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Как найти неизвестные углы треугольника

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Как найти неизвестные углы треугольника.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Как найти неизвестные углы треугольника, Как найти неизвестные углы треугольника.
Как найти неизвестные углы треугольника, Как найти неизвестные углы треугольника.

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: Как найти неизвестные углы треугольникаи углы Как найти неизвестные углы треугольника(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Как найти неизвестные углы треугольникаКак найти неизвестные углы треугольника

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Как найти неизвестные углы треугольника
Как найти неизвестные углы треугольника

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Видео:Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать

Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬ

Как найти углы прямоугольного треугольника

Видео:Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать

Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.

Онлайн калькулятор

Как найти неизвестные углы треугольника

Чтобы найти острые углы прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для угла α:
    • угол β
    • длины катетов a и b
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
  • для угла β:
    • угол α
    • длины катетов a и b
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти угол α зная угол β и наоборот

Формула

Найти углы прямоугольного треугольника зная катеты

Катет a =
Катет b =

Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?

Формулы

Пример

Для примера определим чему равны углы α и β в градусах если катет a = 5 см, а катет b = 2 см:

Найти углы прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Гипотенуза c =
Катет =

Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны гипотенуза c и один из катетов (a или b)?

Видео:7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольникаСкачать

7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Углы треугольника

Геометрическая фигура из трех отрезков, соединенных между собой тремя точками, не лежащими на одной прямой, называется треугольником. Это — многоугольник с тремя углами. Сумма всех углов треугольника равна 180°. Если известна величина двух из них, третий угол определяем вычитанием из 180° величины двух известных углов.

α = 180°-β-γ

Если известны стороны треугольника, можно рассчитать его углы, воспользовавшись теоремой косинусов. Здесь, квадрат одной стороны треугольника (а) равен сумме квадратов двух его других сторон (b,с), образующих искомый угол (α), плюс удвоенное произведение этих сторон (b,с) на косинус угла.

a 2 = b 2 + c 2 + 2abc cos (α)

Отсюда, косинус искомого угла равняется сумме квадратов смежных сторон (b, с) минус квадрат третей стороны треугольника (а), противолежащей искомому углу, и все это делится на удвоенное произведение смежных сторон:

cos (α) = (b 2 + c 2 — a 2 ) / 2bc

,
где а, b, с — стороны треугольника.
Используя теорему косинусов, определяем косинусы остальных углов. Величины углов в градусах находим по тригонометрической таблице.
Как найти неизвестные углы треугольника Как найти неизвестные углы треугольникаКак найти неизвестные углы треугольника

🌟 Видео

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольникСкачать

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольник

Задачи по рисункам. Найти углы треугольника АВС. Сумма углов треугольника.Скачать

Задачи по рисункам. Найти углы треугольника АВС. Сумма углов треугольника.

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

№228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°Скачать

№228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

№234. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.Скачать

№234. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.

9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Угол. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать

Угол. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.

КАК ИЗМЕРИТЬ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ТРАНСПОРТИРОМ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ТРАНСПОРТИРОМ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 класс

№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.Скачать

№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

Смежные и вертикальные углы. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать

Смежные и вертикальные углы. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол
Поделиться или сохранить к себе: