Как доказать ортоцентр треугольника

Высота треугольника. Задача Фаньяно
Как доказать ортоцентр треугольникаВысота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника
Как доказать ортоцентр треугольникаРасположение высот у треугольников различных типов
Как доказать ортоцентр треугольникаОртоцентр треугольника
Как доказать ортоцентр треугольникаРасположение ортоцентров у треугольников различных типов
Как доказать ортоцентр треугольникаОртоцентрический треугольник
Как доказать ортоцентр треугольникаЗадача Фаньяно

Видео:Конкурентность высот треугольника. Ортоцентр.Скачать

Конкурентность высот треугольника.  Ортоцентр.

Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника

Определение 1 . Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).

Как доказать ортоцентр треугольника

На рисунке 1 изображена высота BD , проведённая из вершины B треугольника ABC . Точка D – основание высоты.

Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.

Утверждение . Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).

Как доказать ортоцентр треугольника

Доказательство . Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD , что и требовалось доказать.

Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:№16 из ЕГЭ2022 и олимпиады. Красивое доказательство свойства ортоцентра остроугольного треугольникаСкачать

№16 из ЕГЭ2022 и олимпиады. Красивое доказательство свойства ортоцентра остроугольного треугольника

Расположение высот у треугольников различных типов

ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникКак доказать ортоцентр треугольникаВсе высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Как доказать ортоцентр треугольника
Как доказать ортоцентр треугольника
Прямоугольный треугольникКак доказать ортоцентр треугольникаВысоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Как доказать ортоцентр треугольника
Как доказать ортоцентр треугольника
Тупоугольный треугольникКак доказать ортоцентр треугольникаВысоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника
Как доказать ортоцентр треугольника
Как доказать ортоцентр треугольника
Остроугольный треугольник
Как доказать ортоцентр треугольникаКак доказать ортоцентр треугольникаКак доказать ортоцентр треугольника
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник
Как доказать ортоцентр треугольникаКак доказать ортоцентр треугольникаКак доказать ортоцентр треугольника
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Тупоугольный треугольник
Как доказать ортоцентр треугольникаКак доказать ортоцентр треугольникаКак доказать ортоцентр треугольника
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Видео:№16 ЕГЭ 2023 по математике. Свойство ортоцентра за 5 минут. Четко и без водыСкачать

№16 ЕГЭ 2023 по математике. Свойство ортоцентра за 5 минут. Четко и без воды

Ортоцентр треугольника

Теорема 1 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Обозначим точки пересечения этих прямых символами A1 , B1 и C1 , как показано на рисунке 3.

Следовательно, точка B является серединой стороны C1A1 .

Следовательно, точка A является серединой стороны C1B1 .

Следовательно, точка C является серединой стороны B1A1 .

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.

Теорема 1 доказана.

Определение 2 . Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.

У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:ВСЕ свойства ортоцентра для №16 на ЕГЭ 2023 по математикеСкачать

ВСЕ свойства ортоцентра для №16 на ЕГЭ 2023 по математике

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Как доказать ортоцентр треугольника

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Как доказать ортоцентр треугольника

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Ортоцентрический треугольник

Решим следующую задачу.

Задача . В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE (рис.5). Доказать, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC .

Как доказать ортоцентр треугольника

Решение . Рассмотрим треугольники ADC и BEC . Эти треугольники подобны в силу признака подобия прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C общий). Следовательно, справедливо равенство

Как доказать ортоцентр треугольника

Это равенство, а также наличие общего угла C позволяют на основании признака подобия треугольников заключить, что и треугольники DCE и ABC подобны. Решение задачи завершено.

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Определение 3 . Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника (рис 6).

Как доказать ортоцентр треугольника

Из определения 3 и следствия 1 вытекает следствие 2.

Следствие 2 . Пусть FDE – ортоцентрический треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис 7).

Как доказать ортоцентр треугольника

Тогда справедливы равенства

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Из следствия 2 вытекает теорема 2.

Теорема 2 . Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис.7).

Доказательство . Воспользовавшись следствием 2, получаем:

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

что и требовалось доказать.

Видео:СВОЙСТВА ВЫСОТ И ОРТОЦЕНТРАСкачать

СВОЙСТВА ВЫСОТ И ОРТОЦЕНТРА

Задача Фаньяно

Задача Фаньяно . Рассматриваются всевозможные треугольники DEF , вершины D, E и F которых лежат на сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника ABC .

Решение . Пусть DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом D1 точку, симметричную точке D относительно прямой AC , и обозначим символом D2 точку, симметричную точке D относительно прямой AB (рис.8).

Как доказать ортоцентр треугольника

Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка D1D2 . Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , вершины F и E которого являются точками пересечения прямой D1D2 с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка D1D2 (рис.9).

Как доказать ортоцентр треугольника

Заметим также, что выполнено равенство

Кроме того, выполнено равенство

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Отсюда вытекает, что длина отрезка D1D2 будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD является высотой треугольника ABC . Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , у которого вершина D является основанием высоты треугольника ABC , проведённой из вершины A , а вершины E и F построены по описанной выше схеме. Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF треугольник с наименьшим периметром является единственным.

Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A , длину стороны AB и радиус описанной около треугольника ABC окружности буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись теоремой синусов, получим:

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF равен

Как доказать ортоцентр треугольника

Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

Лемма . Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).

Как доказать ортоцентр треугольника

В этом случае отрезок D1D2 проходит через точки F и E .

Доказательство . Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Кроме того, в силу равенства треугольников DFK и KFD2 , а также в силу равенства треугольников DEL и LED1 выполняются равенства:

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

Как доказать ортоцентр треугольника

откуда вытекает, что углы AEF и D1EL , а также AFE и D2FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D1 , F, E , D2 лежат на одной прямой. Лемма доказана.

Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.

Видео:✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис Трушин

Свойства высот треугольника. Ортоцентр

Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.
Н – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК

Запомните этот рисунок. Перед вами – схема, из которой можно получить сразу несколько полезных фактов.

Как доказать ортоцентр треугольника

1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
, если Как доказать ортоцентр треугольника, и Как доказать ортоцентр треугольника, если Как доказать ортоцентр треугольника

  1. Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.
  2. Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.
  3. Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.
  4. ,где R – радиус описанной окружности .

Докажем эти факты по порядку.

1) Заметим, что на рисунке есть подобные треугольники. Это АВМ и СВК, прямоугольные треугольники с общим углом В, и они подобны по двум углам

Мы получили, что в треугольниках МВК и АВС стороны, прилежащие к углу В, пропорциональны. Получаем, что по углу и двум сторонам.

2) Докажем, что вокруг четырехугольника АКМС можно описать окружность. Для этого необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов четырехугольника АКМС были равны .

Пусть ∠ACB=∠BKM=γ (поскольку треугольники МВК и АВС подобны), тогда
– как смежный с углом ВКМ. Получили, что , и это значит, что четырехугольник AKMC можно вписать в окружность.

3) Рассмотрим четырехугольник KBMH. Его противоположные углы ВКН и ВМН — прямые, их сумма равна , и значит, четырехугольник КВМН можно вписать в окружность.

4) По теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС,

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника АНС,
Мы помним, что . Значит, синусы углов АВС и АНС равны, и радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС и АНС равны.

5) Докажем, что ,где R – радиус описанной окружности . Поскольку четырехугольник КВМН можно вписать в окружность и углы ВКН и ВМН – прямые, отрезок ВН является диаметром этой окружности. Треугольник МВК также вписан в эту окружность, и по теореме синусов, .

Диаметр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен Поскольку треугольники МВК и АВС подобны, отношение диаметров описанных вокруг них окружностей равно . Получили, что

Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника» (Профильный уровень, №16)

2. В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и

Как доказать ортоцентр треугольника

а) Докажем, что
(по двум углам). Запишем отношение сходственных сторон:
Но это значит, что (по углу и двум сторонам), причем .

— смежный с углом ,
,
,четырехугольник ABNK можно вписать в окружность.
(опираются на одну дугу).

Видео:✓ Красивый факт про ортоцентр | Осторожно, спойлер! | Борис ТрушинСкачать

✓ Красивый факт про ортоцентр | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин

Please wait.

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Свойства ортоцентраСкачать

Свойства ортоцентра

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:✓ Бред, чушь и компот. Человек не пройдет! | В интернете опять кто-то неправ #020 | Борис ТрушинСкачать

✓ Бред, чушь и компот. Человек не пройдет! | В интернете опять кто-то неправ #020 | Борис Трушин

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d613dc8fec575b7 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

🌟 Видео

Ортоцентр треугольникаСкачать

Ортоцентр треугольника

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольника

Свойства ортоцентра треугольникаСкачать

Свойства ортоцентра треугольника

ОГЭ Задание 25 Свойство ортоцентраСкачать

ОГЭ Задание 25 Свойство ортоцентра

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Как найти расстояние от вершины треугольника до ортоцентра? Профиматика и ЕГЭматика знают ответ!Скачать

Как найти расстояние от вершины треугольника до ортоцентра? Профиматика и ЕГЭматика знают ответ!

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.
Поделиться или сохранить к себе:
ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникКак доказать ортоцентр треугольника
Прямоугольный треугольникКак доказать ортоцентр треугольника