Как доказать что треугольник неравнобедренный

Содержание:

Неравенство треугольника:

Опыт нам подсказывает, что путь из точки А в точку С по прямой АС короче, чем по ломаной ABC (рис. 255), т. е. АС 12+21 (рис. 258).

Замечание. Из неравенств треугольника следует, что то есть любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон. Так, для стороны а справедливо

Пример:

Внутри треугольника ABC взята точка М (рис. 259). Доказать, что периметр треугольника АМС меньше периметра треугольника ABC.

Решение:

Так как у треугольников ABC и АМС сторона АС — общая, то достаточно доказать, что AM + МС B (рис. 108, а).

2) Отложим на стороне АВ отрезок АF, равный стороне AC (рис. 108, б).

3) Так как АF 1.

4) Угол 2 является внешним углом треугольника ВFС, следовательно, 2 > B.

5) Так как треугольник FАС является равнобедренным, то 1 = 2.

Таким образом, BСА > 1, 1 = 2 и 2 > B.

Отсюда получаем, что ВСА > B.

Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

1) Пусть в треугольнике АBС С > B. Докажем, что АВ > АС (см. рис. 108, а). Доказательство проведем методом от противного.

2) Предположим, что это не так. Тогда: либо АВ = АС, либо АВ C.

В каждом из этих случаев получаем противоречие с условием: C > B. Таким образом, сделанное предположение неверно и, значит, АВ > АС.

Из данной теоремы следует утверждение: в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы.

Действительно, гипотенуза лежит против прямого угла, а катет — против острого. Поскольку прямой угол больше острого, то по теореме 2 получаем, что гипотенуза больше катета.

Теорема 3 (признак равнобедренного треугольника). Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны стороны, лежащие против этих углов. В самом деле, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то по теореме 1 угол, лежащий против этой стороны, будет больше угла, лежащего против другой стороны, что противоречит условию равенства углов.

Значит, наше предположение неверно и в треугольнике две стороны равны, т. е. треугольник является равнобедренным.

Неравенство треугольника

Докажем, что длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

Теорема 4. Длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.

1) Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, например, что выполняется неравенство АВ l, следовательно, верно неравенство АВF > 2.

4) Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона (теорема 2), то АВ

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Видео:№111. На рисунке 65 CD = BD, ∠1=∠2. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Видео:Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведенных из этой же вершины

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Ваш ответ

Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

решение вопроса

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,285
• гуманитарные 33,619
• юридические 17,900
• школьный раздел 607,101
• разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

💡 Видео

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

№116. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.Скачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Можно ли так повернуть налево?/Три задачки для опытных водителейСкачать

Самая простая нерешённая задача — гипотеза Коллатца [Veritasium]Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Почему углы при основании равны в равнобедренном треугольникеСкачать

Геометрия Равносторонний треугольникСкачать

ПОМОГИТЕ ДОКАЗАТЬ Если две биссектрисы равны, то треугольник равнобедренныйСкачать

Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольникаСкачать

Задание 25 Доказать что треугольник равнобедренныйСкачать