Где пересекаются высоты треугольников (6 видео)

Точка пересечения высот треугольника — свойства, координаты и расположение ортоцентра

Содержание

Что такое высота
Свойства ортоцентра
Полезные факты
Задача Фаньяно
История изучения
Высота треугольника
Точка пересечения высот треугольника
Высота
Точка пересечения высот
Золотое сечение треугольника
Что мы узнали?
💡 Видео

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Что такое высота

Если из вершины опустить перпендикуляр на противоположную сторону, получится отрезок, который именуется высотой. В равнобедренном треугольнике 2 отрезка равны, а в равностороннем равны все 3.

У фигур с углами 90 и более градусов высота попадает на противоположную сторону. В случае острого угла дело обстоит иначе. Прямая попадет только на продолжение противоположной стороны и будет находиться вне самой фигуры. Таким образом, если все углы острые, отрезки будут находиться внутри, как и ортоцентр. В тупоугольной фигуре два из трех отрезков будут проходить за его пределами — ортоцентр окажется вне фигуры.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№31 - Теорема о пересечении высот треугольника.)Скачать

Свойства ортоцентра

Свойства высот треугольника, пересекающихся в одной точке, давно изучены и описаны. Согласно основному из них, все 3 высоты всегда пересекаются в одном месте. Иногда, чтобы найти это место, отрезки нужно продлить, превратив в ортогональные прямые.

Ортоцентр по отношению к фигуре может быть расположен:

внутри;
снаружи;
в вершине (у прямоугольных треугольников)

Ортоцентр — важная в геометрии характеристика, влияющая на нахождение золотого сечения.

Так называется маленький треугольник, расположенный внутри основного, находящийся на пересечении его трех параметров:

Золотое сечение может представлять собой не только треугольную фигуру, но и отрезок. В правильном треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, значит, золотое сечение превращается в точку.

Полезные факты

Местонахождение ортоцентра имеет некоторые закономерности. Их знание принесет пользу при решении задач.

Пусть:

H — ортоцентр в ABC;
О — центр описанной окружности.

Тогда:

окружности, описанные вокруг АБС, АНВ, CHB, HCA, равны:
отрезок BH вдвое длиннее отрезка АС;
середины отрезков AC и BH разделены расстоянием, равным радиусу описанной окружности.

Задача Фаньяно

Это классическая теорема. Она возникла в процессе поиска фигур с наименьшим периметром. Теорему доказал Фаньяно — итальянский математик и инженер. Это произошло еще в начале XVIII века.

Формулировка: ортотреугольник, то есть фигура, полученная соединением трех оснований треугольника, проведенный внутри остроугольного треугольника, имеет самый маленький периметр изо всех возможных, вписанных в данную фигуру.

Площадь ортотреугольника рассчитывается по формуле:

Здесь S — площадь, а, b, c — стороны.

Существует понятие ортоцентрической системы. Оно включает в себя 3 вершины и место пересечения их высот. Любая из данных четырех точек будет являться ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными.

Видео:8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

История изучения

Важное значение имеет место пересечения медиан или центр тяжести. Вместе с ортоцентром это еще одна «замечательная точка», которая была известна еще древним грекам. Так их стали называть начиная с 18 века, другое название «особенные».

Исследование этих точек стало началом для создания геометрии треугольника, основателем которой считается Леонард Эйлер. Ученый показал, что в любом треугольнике точки соединения высот, медиан и центр описанного круга находятся на одной линии, которую позже назвали прямой Эйлера.

В позапрошлом веке была обнаружена окружность 9 точек или Фейербаха. Она состоит из оснований медиан, высот и центров высот. Оказалось, что все эти точки лежат на общей окружности, центр которой находится на линии Эйлера.

Каждый отрезок, прочерченный из ортоцентра до соединения с описанной окружностью, всегда будет делиться линией Эйлера на 2 равные части.

Треугольник — удивительная фигура, изучением которой занимается целый раздел геометрии. Ортоцентр и его свойства имеют широкое применение в практической жизни, например, в строительстве. Этот показатель настолько важен и распространен, что существуют калькуляторы, позволяющие определить местонахождение точки по координатам вершин.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Высота треугольника

В отличие от медианы или биссектрисы, высота треугольника может быть расположена как внутри треугольника, так и вне его.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

На рисунке BF — высота, проведенная из вершины B к стороне AC.

Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.

Высоты остроугольного треугольника расположены строго внутри треугольника.

Соответственно, точка пересечения высот также находится внутри треугольника.

В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают со сторонами. (Это высоты, проведенные из вершин острых углов к катетам).

Высота, проведенная к гипотенузе, лежит внутри треугольника (позднее рассмотрим ее свойства).

AC — высота, проведенная из вершины С к стороне AB.

AB — высота, проведенная из вершины B к стороне AC.

AK — высота, проведенная из вершины прямого угла А к гипотенузе ВС.

Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла (А — ортоцентр).

В тупоугольном треугольника внутри треугольника лежит только одна высота — та, которая проведена из вершины тупого угла.

Две другие высоты лежат вне треугольника и опущены к продолжению сторон треугольника.

AK — высота, проведенная к стороне BC.

BF — высота, проведенная к продолжению стороны АС.

CD — высота, проведенная к продолжению стороны AB.

Точка пересечения высот тупоугольного треугольника также находится вне треугольника:

Видео:Геометрия 7.Треугольники урок 6. Высота треугольника. Определение, свойства, точки пересечения высотСкачать

Точка пересечения высот треугольника

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 299.

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 299.

Точка пересечения высот треугольника относится к одной из трех замечательных точек треугольника. Замечательными эти точки зовутся не за красоту, а за отношение к золотому сечению треугольника, которое характеризует данную фигуру.

Видео:✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

Высота

Что такое высота? Высота это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону треугольника (может получиться, что высота будет падать на продолжение стороны, как это бывает с тупоугольными треугольниками).

Рис. 1. Высота в треугольнике.

Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Точка пересечения высот

У любого треугольника есть три высоты, и они всегда пересекаются в одной точке. Эта точка является одним из 3 центров треугольника и зовется ортоцентром.

Еще со времен Древней Греции приставкой «орто» обозначали перпендикуляр. Ортогоналями звались перпендикулярные прямые.

Ортоцентр имеет три варианта расположения в зависимости от вида треугольника:

Внутри фигуры. В остроугольных треугольниках точка пересечения высот всегда находится внутри фигуры. Это обусловлено тем, что все высоты в таком треугольнике внутренние.
Совпадает с вершиной. Этот случай характерен для прямоугольных треугольников. В таких треугольниках две из трех высот будут совпадать со сторонами. Если быть точнее, то совпадающие стороны это катеты. Остается одна высота, которая будет опускаться из вершины при остром угле. Именно эта вершина и будет ортоцентром треугольника.
Вне фигуры. Внешнее расположение ортоцентра возможно только в тупоугольном треугольнике. Для того, чтобы получить ортоцентр такого треугольника, иногда потребуется продлить высоты до пересечения с внешней высотой. Почему?

Видео:Высоты треугольника пересекаются в одной точкеСкачать

Золотое сечение треугольника

Золотое сечение треугольника это маленький треугольник внутри фигуры, который определяется как пересечение трех центров треугольника.

Три центра треугольника это:

Точка пересечения биссектрис
Точка пересечения высот
Точка пересечения медиан.

Золотое сечение иногда может вырождаться в прямую или даже точку. В равнобедренном треугольнике точка пересечения высот и медиан совпадает, в результате для построения золотого сечения понадобится только 2 точки и золотое сечение выродится в отрезок.

О центрах треугольника существует целая онлайн энциклопедия. Список центров треугольника и свойств каждого из них был начат Карлом Кемберлингом в 1994 году. Онлайн ресурс пополняется все новыми и новыми данными по мере их открытия в высшей математике. В школьном курсе рассматривается только 3 центра треугольника.

В правильном треугольнике и вовсе каждая высота будет совпадать с соответствующей медианой, биссектрисой и высотой. Значит, все три центра треугольника совпадут, и золотым сечением треугольника будет – точка.

Обратите внимание, что нельзя составить уравнение точки пересечения высот треугольника. Можно составить только уравнение прямой. Например, составить два уравнения высот, затем приравнять их и найти координату точки пересечения.

Видео:ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ВЫСОТ треугольника ТЕОРЕМА 8 класс АтанасянСкачать

Что мы узнали?

Мы узнали, в каких построениях участвует точка пересечения высот треугольника. Поговорили о случаях, когда эта точка совпадает с другими центрами треугольника, выяснили особенности расположения ортоцентра в разных видах треугольников.