Где используются треугольники в жизни

Главная
• Список секций
• Математика
• Польза треугольника для человека.

Видео:Что такое Треугольник Карпмана?Скачать

Польза треугольника для человека.

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эта фигура встречается везде, но не всегда её замечают. B моем проекте, «Польза треугольника для человека», я хочу показать, что треугольник и математика окружают нас везде и всегда. Стоит только внимательно присмотреться.

Как появились треугольники, как изучались их свойства, что несли народу и как влияли на жизнь людей – это интересно и сегодня.

Цель работы: расширить представление о треугольнике и его значимости.

Объект исследования: треугольник.

Гипотеза: предполагаю, что польза треугольника определяется его простотой и значимостью.

Изучить исторические сведения о треугольнике;

Проанализировать роль треугольника в жизни человека;

С содержанием своей работы я хотел бы ознакомить одноклассников, расширить их знания о треугольниках. Результаты данного исследования могут быть использованы учителями, учащимися.

анализ специальной литературы по проблеме, материалов, полученных из информационных источников: учебника геометрии, дополнительной литературы, сети Интернет.

беседа — самостоятельный, дополнительный метод исследования, применяемый с целью получения необходимой информации или разъяснения того, что не было достаточно ясным при наблюдении.

Структура исследовательской работы: Исследовательская работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка информационных ресурсов и приложения.

Во введении обосновывается актуальность исследуемой проблемы, определяются объект, предмет, цель, гипотеза, задачи и методы исследования.

В первой главе раскрывается теоретические аспекты понятия треугольник, его польза в жизни человека. Место треугольника в истории, изучение свойств учеными.

Во второй главе–практическая часть.

В заключении подводятся итоги исследования.

Глава 1. Что такое треугольник

Первые упоминания о фигуре были обнаружены на папирусах Древнего Египта (тут стоит отметить, что некоторым из них уже более 4000 лет). Затем большое внимание к треугольнику проявляли древние Греки: создание теоремы Пифагора и формула Герона. К слову эти открытия были сделаны примерно 2000 лет назад. Самый известный математик древности – Пифагор черпал информацию у египтян. Без полученных там знаний он бы не смог создать свою великую теорему, например, египтянам было известно о том, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 всегда будет являться прямоугольным – основа теоремы Пифагора.

После упадка математики в Древней Греции её центр переместился в Индию, где были проведены тысячи исследований, которые также касались треугольника. Как ни странно, но после стольких открытий заинтересованность к треугольнику спала, и новая волна изучения данной фигуры пришла только в 15-16 веках. Именно в это время у треугольника появилось подавляющее количество признаков и свойств, начал развиваться раздел планиметрии под названием «Новая геометрия треугольника». Столь большая заинтересованность к треугольнику и в целом к геометрии объясняется тем, что математические знания были нужны в навигации и военном деле. Все открытия той эпохи помогают людям и несут хорошую службу до сих пор.

Помимо изображений данной фигуры, в музеях можно встретить папирусы с задачами о треугольниках, их решениями и даже выводами, которые позже приобрели название теоремы.

Особенный вклад в развитие данной отрасли внёс Эйлер Леонгард , который открыл новые факты о свойствах треугольника, в частности известную теорему Эйлера; Иоганн Мюллер — немецкий учёный , автор сочинения “О треугольниках всех видов”; и другие математики. Теперь вы знайте, некоторые факты из истории появления геометрического треугольника.

Т ри точки и три отрезка, соединяющие эти точки попарно, определяют геометрическую фигуру, которая называется треугольником.

«Треугольник является первой фигурой, которую нельзя разложить на более простые фигуры. и поэтому считается фундаментом любой вещи, имеющей границы и форму» (Джордано Бруно). Математики называют треугольник двумерным симплексом, что по латыни означает «простейший». Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которых человек узнал еще в глубокой древности, т. к. эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются во многих папирусах Древней Греции и Древнего Египта. Еще в древности стали вводить некоторые знаки обозначения для геометрических фигур. Древнегреческий ученый Герон (I век) впервые применил знак ∆ вместо слова треугольник. Виды треугольника

Тайна Бермудского треугольника

Одна из самых известных загадок человечества — Бермудский треугольник. Так называют район в Саргассовом море (Атлантический океан) , в котором происходят загадочные исчезновения кораблей и самолётов.

Рис. Фото Бермудского треугольника

Этот район имеет форму треугольника. Версий куда же на самом деле пропадают эти воздушные и морские судна много, начиная от погодных аномалий заканчивая похищением Инопланетных жителей. Власти данного участка земли относятся скептически к таким версиям и утверждают, что эти происшествия происходят не чаще чем где либо, якобы, всё это слухи. Что на самом деле происходит в этом треугольнике, вы можете знать из известной книги Чарльза Берлица “Бермудский треугольник”.

Применение подобия треугольников в жизни

Подобие треугольников применяется в повседневной жизни в различных областях деятельности человека. Взглянем на окружающие нас предметы со стороны геометрии. Геометрические знания широко применяются в любой деятельности человека. Например, в архитектуре, искусстве, строительстве, производстве и так далее.

За 6 веков до н.э. греческий математик Фалес вычислил высоту египетской пирамиды, измерив длину её тени. Он взял длинную палку, воткнул её дальше пирамиды, дождался определенного момента и провел некоторые измерения. В результате он получил точную высоту пирамиды. Если рассмотреть подробнее эту задачу, то мы увидим, что здесь были найдены Фалесом подобные треугольники и применены их свойства. То есть можно сказать, что еще в 6 веке до н.э. математики знали понятие подобные треугольники и умели его применять в повседневной жизни.

Треугольник на дорогах

Дорожный знак, или знак дорожного движения, представляет собой графический рисунок, выполняемый в соответствии с определенными стандартами и устанавливаемой у дороги в целях доведения той или иной информации до сведения участников движения.

Роль дорожных знаков в обеспечении безопасности движения крайне велика: они информируют водителей об опасных участках дороги, обязывают снизить скорость, запрещают обгон там, где он связан с повышенным риском, выполняют множество других полезных задач.

Современные стандарты, определяющие внешний вид дорожных знаков, а также разметки и светофоров, в нашей стране вступили в силу 1 января 2006 года. Обновленные знаки полностью соответствуют Конвенции ООН о дорожных знаках и сигналах, новейшим европейским стандартам в соответствующей области.

Правила дорожного движения, детально регламентирующие вопросы,
связанные с дорожными знаками, определяют восемь их категорий:

предупреждающие: представляют собой треугольники с белым фоном, красной окантовкой и черными рисунками. Предназначены для предупреждения участников движения об опасности;

знаки преимущественного права проезда: определяют порядок проезда узких мест и перекрестков;

запрещающие и ограничивающие знаки: выполняются в виде белого круга с красной окантовкой и черным рисунком. Запрещают те или иные действия;

предписывающие знаки: имеют круглую форму, синий фон и белые рисунки. Предписывают совершение тех или иных действий;

знаки особых предписаний;

информационные знаки: имеют прямоугольную форму и синий (иногда – зеленый) цвет. Используются для информирования участников движения о расположении полос, характере дороги, предприятиях сервиса и многом другом;

информационно-указательные знаки и указатели направлений;

дополнительные знаки (таблички): дополняют основные знаки, перечисленные выше, никогда не используются отдельно. Имеют прямоугольную форму и белый цвет фона, рисунок и окантовка – черные.

Действующая редакция Правил дорожного движения определяет приоритет знаков перед дорожной разметкой. В случае если разметка и дорожные знаки противоречат друг другу, водитель должен руководствоваться требованиями последних.

Рис. Предупреждающие знаки

Треугольник в орнаменте

Треугольники на сосудах. Треугольник является одной из первых геометрических фигур, которая стала использоваться в орнаментах древних народов. В эпоху неолита у ранних земледельческих народов треугольники в орнаментах символизировали воздух, землю и огонь. Они — одни из самых древних символов, связанных с сельскохозяйственными работами, природой и ее календарными циклами.

Треугольник в строительстве

Треугольник – не изменяющаяся фигура или жесткая фигура. В нем нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, в отличие от любого другого многоугольника. В треугольнике нельзя изменить ни один из углов. Это свойство – жесткость треугольника используется на практике:

1. чтобы закрепить столб в горизонтальном положении, ставят подпорку;

2. при установке кронштейна в горизонтальном положении;

3. телеграфные столбы с подпоркой, такие столбы называют анкерными;

4. стрела башенного крана закрепляется стальными канатами, образуя форму треугольника.

Треугольник в античной архитектуре. В античной традиции треугольник, обращенный вершиной вверх, символизировал стремление материи к духу. Поэтому фронтоны древнегреческих храмов в самой глубокой древности делали треугольными и всячески украшали. В отличие от поздних, более северных европейских построек наличие двускатной крыши не было вызвано климатическими условиями. В Древней Греции был теплый климат, и снега зимой не было.

Рис. треугольник в строительстве

Глава II . Практическое применение треугольников в жизни

Нам с детства знакомы такие фигуры, как треугольник, круг, квадрат. И, казалось бы, что в них нет ничего удивительного. Но на самом деле это ошибочное мнение.

В начальной школе уроках математики мы познакомились с геометрической фигурой – треугольником. Оказалось, что мы многого не знали.

Для того, чтобы узнать ещё больше об этой фигуре, решили провести небольшое исследование.

Мы попросили ответить на вопросы (детей и взрослых): что такое треугольник и где он встречается в жизни. В результате проведенного опроса, обобщив и систематизировав данные, получили такие результаты:

Понятие «треугольник» имеет разные значения:

— в математике – это геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла;

— в черчении — линейка в виде такой фигуры, служащая для черчения;

— в музыке – ударный музыкальный инструмент из стального прута, по которому ударяют металлической палочкой;

Писем белые стаи прилетали на Русь.

Их с волнением читали, знали их наизусть.

Эти письма поныне не теряют, не жгут.

Как большую святыню сыновьям берегут.

Эти строки посвящены фронтовому письму.

Уттхита Триконасана — поза вытянутого треугольника, одна из самых популярных асан в хатха-йоге.

Треугольник – самая известная и одна из старейших фигур. С виду треугольник очень прост – три вершины и три стороны и ограниченная ими плоскость, но эта фигура породила собой целую науку – тригонометрию.

Треугольник является одной из ключевых и самых важных и самых изученных фигур в мире, несмотря на это, его изучение продолжается множеством ученых до настоящего времени и закончится еще не скоро. Свойства и признаки, которые находят у треугольника, активно применяются во всех сферах жизни человека и областях промышленности, а законы, открытые несколько тысяч лет назад, никогда не устаревают и являются вечными.

Рассматривая термин треугольник в окружающем нас мире, я понял, что математика часть общечеловеческой культуры и мир геометрии – увлекателен и интересен.

Считаю, что представленная мною информация о треугольнике, поможет учащимся лучше ориентироваться в геометрии, увидеть красоту предмета, научит открывать новое в окружающем мире. Они лучше смогут узнать, что понятия не изолированы друг от друга, а представляют определѐнную систему знаний, все звенья которой находятся во взаимной связи.

Список использованных источников и литературы

Ковалёв Ф.В. Золотое сечение в живописи. – К.: Высшая школа, 1989.

Учебно-методическая газета «Математика».

Час занимательной математики. / Под ред. Л. Я. Фальке. – М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь; Сервисшкола, 2005.

Энциклопедия для детей. Математика. Том 11. – М.: Аванта+, 2015, с. 381

Видео:Треугольники на линии жизниСкачать

Научная работа по геометрии: «Треугольники в нашем мире»

Научная работа по геометрии:

«Треугольники в нашем мире»

Выполнил ученик МБОУСОШ №1, 7б класса, Тараканчиков Егор

Преподаватель: учитель математики

2013 г.

Что такое треугольник и его история. 3

Теоремы и свойства, связанные с треугольником. 5

Как построить треугольник. 11

Решение задач ГИА. 13

Значение треугольников. 15

Введение

Эта тема меня заинтересовала тем, что треугольники очень редко встречаются в жизни человека, а если и встречаются, то их почти никто не замечает и мне стало интересно узнать обо всех значениях треугольников в нашей повседневной жизни. И я попытаюсь ответить на вопросы:

· Какова история треугольника?

· Что собой представляет треугольник?

· Какие свойства и теоремы имеет треугольник?

· Как построить треугольник?

· Где используется треугольник, и какие имеет значения?

Видео:Треугольник Карпмана - Михаил ЛабковскийСкачать

Что такое треугольник и его история.

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Другими словами, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла.

Треугольники бывают разных видов (рис. 1): остроугольный, тупоугольный, прямоугольный, разносторонний, равнобедренный и равносторонний.

Давайте дадим определение этим треугольникам. Треугольник называется остроугольным, если все три его угла — острые, то есть меньше 90° (А). Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов — тупой, то есть больше 90°(Б). Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°(В). У разностороннего треугольника (Г) все стороны и все углы разные. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны (Д). Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (Е) или правильным.

Мы дали объяснение треугольнику и даже узнали, что у него есть шесть основных видов. Давайте изучим и его историю.

Свойства треугольника известны еще с античности.

Теорема Чевы(рис.2)(теорема геометрии треугольника)

была доказана в XI веке арабским учёным

Юсуфом аль-МутаманомХудом, однако, его доказательство

было забыто. Она была доказана вновь итальянским математиком Джованни Чевой в 1678 году.

Дальнейшее изучение треугольника началось в XVII веке: была доказана теорема Дезарга (1636), открыты некоторые свойства точки Торричелли (1659). В XVIII веке была обнаруженапрямая Эйлера и окружность шести точек (1765). В 1828 году была доказана теорема Фейербаха. В начале XIX века была открыта точка Жергонна.

Многие факты, связанные с треугольником, были открыты в конце XIX века. К этому времени относится творчество Эмиля Лемуана, Анри Брокара, Жозефа Нейберга, Пьера Сонда́.

Древнегреческий ученый Герон (I век) впервые применил знак вместо слова треугольник.
Прямоугольный треугольник занимал почетное место в Вавилонской геометрии. Стороны прямоугольного треугольника: гипотенуза и катеты.
Термин «гипотенуза» происходит от греческого слова «ипонейноуза», обозначающее «тянущаяся над чем-либо», «стягивающая». Слово берет начало от образа древнегреческих арф, на которых струны натягиваются на концах двух взаимно-перпендикулярных подставок. Термин «катет» происходит от греческого слова «катетос», которое означает начало «отвес», «перпендикуляр».
Евклид говорил: «Катеты – это стороны, заключающие прямой угол».
В Древней Греции уже был известен способ построения прямоугольного треугольника на местности. Для этого использовали веревку, на которой были завязаны 13 узелков, на одинаковом расстоянии друг от друга.

Видео:Великая скрытая сила и мощь треугольника - Садхгуру на РусскомСкачать

Теоремы и свойства, связанные с треугольником.

1) Определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике и теорема Пифагора

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть

2) Формулы площади треугольника

,

где (Формула Герона)

, где r — вписанной окружности

, где R — радиус описанной окружности

3) Подобие треугольников

Определение: два треугольника называются подобными, если у них соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, то есть
и

Обозначение:

4) Признаки подобия двух треугольников

1-й признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Коротко: если , то

2-й признак:если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то треугольники подобны

Коротко: если и , то

3-й признак:если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны, то есть
Коротко: если , то

5) Свойства подобных треугольников:

если , то

, где

и — любые соответствующие медианы (проведенные к соответствующим сторонам)

и — любые соответствующие биссектрисы (проведенные к соответствующим сторонам)

и — любые соответствующие высоты (проведенные к соответствующим сторонам)

6) Подобие прямоугольных треугольников. Высота, проведенная из вершины прямого угла

Теорема: высота в прямоугольном треугольнике, поведенная из вершины прямого угла образует два треугольника, подобных исходному. Для катетов и высоты исходного треугольника верны следующие формулы:

7) Свойство медиан в треугольнике.

Теорема 1: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника) и деляться этой точкой в отношении 2:1, считая отвершин. То есть

Теорема 2: Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями),

То есть

Теорема 3: все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, то есть

8) Свойство биссектрис в треугольнике
Теорема 1: Каждая биссектриса угла в

треугольнике делит его противолежащую

сторону на отрезки,

пропорциональные к двум другим

То есть

Теорема 2: Все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной с треугольник окружности. В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.

9) Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника:

Теорема: все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность и только одну.

10) Теорема о разделительном отрезке в треугольнике

Теорема: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположнойстороной, делит ее на отрезки, пропорциональные площадям образованных треугольников.

То есть

11) Средняя линия треугольника

Теорема: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине.

То есть и

13) Теорема Менелая

Теорема: Произведение отношений отрезков, на которые произвольная прямая делит стороны треугольника (или их продолжения) равно единице

То есть

Высказывание учителяпо математике: несправедливо выброшенная теорема из школьного курса геометрии. Учитель рекомендует включить ее в подготовку, по крайней мере, к вузовским олимпиадам и вступительным экзаменам по математике в МГУ. В программу ЕГЭ теорема Менелая не входит, но несколько типов задач без нее решаются очень сложно.

14) Теорема Чевы

Теорема: если через вершины треугольника и произвольную внутреннюю точку провести отрезки к противоположным сторонам (чевианы), то их точки пересечения разделят стороны на отрезки, произведение отношений которых равно единице.

То есть

15) Признаки равенства треугольников

Равными называют треугольники, у которых соответствующие стороны равны.

Теорема (первый признак равенства треугольников).
Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (второй признак равенства треугольников).
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (третий признак равенства треугольников).
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Видео:Выживший летчик рассказал, что он увидел в Бермудском треугольникеСкачать

Как построить треугольник?

Геометрическая фигура, которая образуется при соединении отрезками трех точек, не принадлежащих одной прямой. Треугольник однозначно определяется наборами трех данных: тремя сторонами, двумя сторонами и углом между ними, или стороной и двумя прилежащими углами. По этим тройкам строится единственный треугольник. Итак, как построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам?

1. Первым шагом, на прямой откладывается отрезок равный длине заданной стороны. Концы отрезка отмечаем точками А и В.

2. Второй шаг, чтобы построить треугольник – от точек А и В нужно отложить заданные углы. Если заданы величины углов, то для построения воспользуйтесь транспортиром.

3. Нижнюю планку транспортира выравниваем по отрезку прямой. Начало отсчета устанавливаем в точке А для первого угла и в точке В для второго. Затем откладываем величины углов. Рядом с соответствующим делением шкалы ставим точки и обозначаем их М и N. Соединяем прямыми точки А и М, В и N. Пересечение построенных прямых будет третьей последней вершиной треугольника С. Таким образом по данной стороне и двум заданным прилежащим углам построен треугольник.

4. Часто для построения треугольника по данной стороне и двум заданным прилежащим углам, углы задаются графически. Задача усложняется, так как нужно построить угол, равный по величине заданному графическому углу. Можно измерить величину заданного графически угла с помощью транспортира и получить величины прилежащих углов. Затем воспользоваться методом, описанным в предыдущем пункте и построить треугольник.

5. Для другого способа построения угла соответствующего по величине заданному, понадобится циркуль. Циркулем с произвольным раствором проводится окружность с центром в начальной точке угла. Пересечения окружности и сторон угла обозначим М и N.

6. Теперь вернемся к отрезку АВ, равному стороне нужного треугольника. Не меняя раствор, от точки А проведите окружность и отметьте точку пересечения ее с отрезком АВ. Получаем точку М1. Вернитесь к заданному углу. Поставьте ножку циркуля в точку М и сделайте раствор равным МN. Теперь, не меняя раствор циркуля, от точки М1 проведите окружность, до пересечения ее с первой окружностью. Получаем точку N1. Соедините прямой точки А и N1. Угол М1АN1 и будет равен заданному. Так же строим второй угол в точке В. Пересечение сторон построенных углов и будет недостающей вершиной С. Таким способом строиться треугольник с помощью циркуля по стороне и двум данным прилежащим углам.

Еще можно построить треугольник с помощью циркуля.

Геометрическое построение фигур относится к основным знаниям школьного курса геометрии. Помимо практического применения, здесь имеет значение развитие пространственной логики. Именно поэтому построение треугольника, как простой многоугольной фигуры, с помощью циркуля рассматривается подробно. Циркуль – инструмент не только для построения окружности. Он позволяет также отложить равные отрезки заданной длины. Это и поможет нам с его помощью построить треугольник.

1. Возьмите любой листок бумаги. В центре листа поставьте точку. Это будет первая вершина A создаваемого треугольника.

2. Раскройте циркуль на расстояние, точно соответствующее требуемой стороне создаваемого треугольника. Жестко зафиксируйте ножки циркуля в данном положении.

3. Поставьте иглу циркуля в отмеченную точку. Нарисуйте ножкой с грифелем дугу окружности отмеренного радиуса.

4. В любом месте по окружности нарисованной дуги поставьте точку. Это будет вторая вершина B создаваемого треугольника.

5. Аналогичным способом поставьте ножку на вторую вершину. Проведите еще одну окружность так, чтобы она пресекалась с первой.

6. В точке пересечения обоих проведенных дуг и находится третья вершина C создаваемого треугольника. Отметьте ее на рисунке.

Решение задач ГИА

На тему треугольники.

Получив все три вершины, соедините их прямыми линиями с помощью любой ровной поверхности (лучше линейки). Треугольник ABC построен.

Пример 2. Точка O — центр окружности, ∠ACB = 24° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB (в градусах).

Решение. Угол ACB — вписанный (его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность), он опирается на дугу AB. Следовательно, по теореме о вписанном угле градусная мера дуги AB вдвое больше самого угла ACB, то есть равна 24° · 2 = 48°.

Угол AOB — центральный (его вершина лежит в центре окружности), он опирается на ту же дугу AB. По свойству центрального угла его градусная мера равна градусной мере дуги, на которую он опирается, то есть ∠ACB = 48°.

Пример 2. Стороны AC, AB и BC треугольника ABC равны и соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причем отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC > 90°.

Решение. Угол B в треугольнике ABC тупой. В этом легко убедиться на основании теоремы косинусов (см. видео урок). Известно, что в подобных треугольниках соответствующие углы равны. То есть для каждого угла одного из подобных треугольников обязательно найдется равный ему угол из второго треугольника. По условию треугольники CKA и ABC подобны. Следовательно, для тупого угла KAC в треугольнике ABC найдется равный ему угол. Это угол B. Больше тупых углов в треугольнике ABC нет, поскольку в треугольнике не может быть больше одного тупого угла. В противном случае сумма всех его углов была бы больше 180º.

Ищем две оставшиеся пары равных углов. Предположим сперва, что угол AKC равен углу BAC, но тогда угол KCA равен углу BCA, что невозможно, так как второй угол больше первого. Следовательно, на самом деле угол AKC равен углу ACB. Находим его косинус по теореме косинусов для треугольника ABC (см. видео урок). Искомый косинус равен

Ответ:

Значение треугольников

В музыке

-Музыкальный инструмент – стальной прут, согнутый в виде треугольника, по которому ударяют палочкой. Применяется в оркестрах и инструментальных ансамблях.

В астрономии

-созвездие Северного полушария

В условных значках на одежде

Нельзя отбеливать. При стирке не использовать средства, содержащие отбеливатели (хлор)

Можно отбеливать с применением хлора (использовать только холодную воду, следить за полным растворением порошка)

Можно отбеливать, но только без хлора

Отбеливать только без хлора

Видео:треугольник на линии жизниСкачать

В религии

В христианстве треугольник – символ всевидящего ока Бога

В индуизме треугольник – считался первой космической фигурой, возникшей из хаоса.

В письменности

Греческая буква «Д» («дельта») – это треугольник Δ.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Заключение.

В результате исследования можно сделать вывод, что треугольник изучался еще в античности. Мы, наверное, посмотрели не все теоремы и свойства треугольников. Я узнал, что это единственная геометрическая фигура, обладающая свойством жесткости. Треугольник играет важную роль в жизни человека. Без него мы бы не могли строить дома, так как жесткость треугольника широко используется в строительстве. Не было бы большинства созвездий и т. д. Можно очень долго перечислять те вещи, которые не могут существовать без треугольника. Значит треугольник – играет важную роль не только в геометрии и алгебре, а еще в жизни человека эта фигура занимает практически первое место.

Видео:Что скрывает фрактальный треугольник? // Vital MathСкачать

Проектная работа по геометрии «Треугольник в жизни человека»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №199»

Проектная работа по геометрии

Видео:Треугольник внизу линии ЖИЗНИ.Хиромантия.Павел ПочтовыйСкачать

«Треугольник в жизни человека»

Авторы проекта: Учащиеся 9 «Б» класса:

Адамович Семен Руководитель проекта:

Копылова Вера Егоровна

Видео:Бермудский Треугольник - Загадка раскрыта!Скачать

Новосибирск 2020

Глава 1. История треугольника

Глава 2. Треугольники в жизни человека

Глава 3. Треугольники в строительстве

Видео:Что Такое Фракталы? Простое Объяснение!Скачать

Введение

Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два тысячелетия треугольник является служит одним из символов геометрии, но на самом деле он гораздо большее: треугольник – это атом геометрии.

Он постоянно встречается нам не только на уроках, но и в жизни: в нашей одежде, в рисунке улиц, хитросплетении переулков и архитектуре домов — везде. Задумывались ли вы хотя бы один раз когда-либо о значении треугольника в жизни человека? Что скрывается в столь казалось бы незамысловатом предмете? И почему треугольник так часто встречается в повседневной жизни?

Эти и другие похожие вопросы и породили у нас желание заняться этим проектом. Мы захотели попытаться разобраться в основах теории треугольника.

Цель работы: расширить представления о треугольниках и их значимости.

• Изучение исторических сведений о треугольниках;

• Изучение сведений о нахождении треугольников в окружающем мире;

• Исследование свойств треугольника и применения их в практической жизни

Проблема: показать связь геометрической фигуры с окружающими нас предметами.

Актуальность данной темы определяется важностью умения видеть математику в мире, в котором мы живем, необходимостью добывать знания о треугольниках, а также применением полученных знаний в повседневной жизни.

Продукт проекта: звездчатый октаэдр – макет

Видео:Как выйти из синдрома жертвы? Игровой треугольник Карпмана. Созависимость. Транзактный анализ.Скачать

Глава 1. История треугольника

Треугольник – геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и соединенных отрезками. Одна из первых, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни.

Крупнейший древнегреческий историк Геродот (V век до нашей эры) оставил описание того, как египтяне после каждого разлива Нила заново размечали плодородные участки его берегов, с которых ушла вода. По Геродоту, с этого и началась геометрия – «землемерие» (от греческого «гео» –»земля» и «метрео» – «измеряю»).

Древние землемеры выполняли геометрические построения, измеряли длины и площади; астрологи рассчитывали расположение небесных светил –все это требовало весьма обширных познаний о свойствах плоских и пространственных фигур, и в первую очередь о треугольнике.

Треугольник по праву считается простейшей из фигур: любая плоская, то есть простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет треугольником. Так же называют и заключенную внутри образовавшегося контура часть плоскости. Таким образом, любой плоскостной многоугольник может быть разбит на треугольники.

Треугольник всегда имел широкое применение в практической жизни. Так, в строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей.

Из всех многоугольников только треугольник является жесткой фигурой, поскольку его углы невозможно изменить, не изменив длины его сторон. Это свойство треугольника используется во многих конструкциях (мосты, башенные краны, опоры линий электропередач).

Стропила зданий имеют вид треугольников. Это придаёт им крепость и устойчивость.

При устройстве садовой калитки обязательно прибивают планку (доску), иногда две планки, чтобы получились треугольники. Это придаёт крепость калитке, иначе её скоро перекосит.

Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и в других древних документах. В Древней Греции учение о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до н.э. Фалесом, и в школе Пифагора. Уже Фалес доказал, что треугольник определяется одной стороной и двумя прилежащими к ней углами. Учение о треугольниках было, затем полностью изложено в первой книге “Начал” Евклида.

Понятие о треугольнике исторически развивалось так: сначала рассматривались лишь равносторонние, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники.

Равнобедренный треугольник обладает рядом геометрических свойств, которые привлекли к себе внимание еще в древности. На практике часто применялось свойство медианы равнобедренного треугольника, являющейся одновременно и высотой и биссектрисой. То, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, было известно еще древним вавилонянам 4 000 лет назад. А землемеры и поныне прибегают к прямоугольному треугольнику для определения расстояний.

Видео:ПСИХОЛОГИЧЕСКОЕ НАСИЛИЕ: пытка треугольникамиСкачать

Глава 2. Треугольник в жизни человека

Человека окружает множество предметов треугольной формы. Например, предметы мебели, подошва утюга, элементы орнаментов, элементы одежды (концы мужского галстука, косынки, треуголки, пилотки, колпаки и т.п.), линии электропередач. И даже для выпечки пирожков нередко используют данную форму.

Мы даже не задумываемся о том, что иногда безопасность человека на дороге зависит от знаков дорожного движения, имеющих треугольную форму – это некоторые знаки приоритета и предупреждающие знаки, регулирующие дорожное движение.

Первоначальное положение шаров в бильярде, кеглей в боулинге задается треугольной формой.

Существует немало музыкальных инструменты, в основе которых заложена форма треугольника.

Наша флора и фауна переполнена треугольными формами: форма деревьев, форма крыльев насекомых, подвижная голова богомолов, уши у куницы и соболя, клювы птиц, листья некоторых растений, например, кислица, крапива.

Форма некоторых растений подобна треугольнику, например, кипарис, ель. Цветы и соцветия многих цветковых растений также напоминают треугольник.

Причина популярности треугольника: это простота, красота, и значимость. Таким образом, мир треугольника разнообразен. Они широко используются человеком и украшают его жизнь.

Видео:Страхи, которые мешают... (Вебинар)Скачать

Глава 3. Значение треугольников в строительстве

Жесткая фигура – это фигура не подверженная деформации. Из всех многоугольников только треугольник является жесткой фигурой. Это свойство треугольника используется, в частности, при создании железных ажурных конструкций.

Жёсткость — это способность конструктивных элементов сопротивляться деформации при внешнем воздействии. Если возьмём три металлические или деревянные планки, закрепим их концы булавками или гвоздиками так, чтобы получить треугольник. – треугольник – будет жесткой. В полученной конструкции нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т.е. нельзя изменить ни один угол.

Действительно, по третьему признаку равенства треугольников невозможно изменить величины его углов, не изменив длины сторон. Таким образом, треугольник не подвержен деформации при сохранении в целостности его составных элементов (сторон).

Дощечки, собранные в форме квадрата, могут сместиться после приложения силы, т. к. меняются внутренние углы. Таким образом, четырехугольник (квадрат) не является жесткой фигурой, то есть подвержен деформации.

Мосты, башни, подъемные краны, каркасы зданий, вышки сотовой связи, опоры для высоковольтных линий электропередач изготовляют таким образом, чтобы они содержали как можно больше треугольных элементов. Устойчивы они потому, что через три точки всегда проходит плоскость.

Эйфелева башня самая узнаваемая архитектурная достопримечательность. Колебания башни во время бурь не превышает 15 см. Вся конструкция башни сплетена из треугольников, обладающих свойством жесткой фигуры.

При строительстве крыши небольших домов и многоэтажных зданий зачастую используют стропила. Можно сказать, что стропильная система это каркас скатной крыши, её основа (скелет). Стропила выполняют несущую функцию в системе крыши. Вес от крыши через стропильную систему передаётся на несущие стены строения.

В зависимости от вида и типа строения крыши, в состав стропильной системы могут входить стропила, мауэрлаты, подстропильные горизонтальные балки (ригеля), прогоны, лежни и стойки на них, а так же подкосы и прочие элементы.

Элементы треугольника можно наблюдать в чертежах при строительстве самых древних домов и замков. Неизменный атрибут треугольника в крышах домов, на фасадах зданий, оконных проемов и дверей. Некоторые жилища имеют форму треугольника: вигвам, палатка, юрта.

При строительстве мостов, установке ЛЭП и вышек сотовой и телевизионной связи используется не только форма, но и свойства треугольников.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Заключение

Геометрия играет большую роль в жизни каждого человека. С ней мы встречаемся не только на уроках, она находится вокруг нас. Геометрия несет красоту в нашу жизнь, она же участвует во многих сферах человеческой жизни и вносит свой вклад в ряд наук.

Треугольники окружают нас повсюду: детские игрушки, архитектурные сооружения, дорожные знаки, музыкальные инструменты. В повседневной жизни мы перестали их замечать, а ведь это очень интересно, знать историю привычных для всех предметов, тем более, если она так увлекательна. С одной стороны, треугольники имеют тысячелетнюю историю, с другой – это современный раздел математики. Теория треугольника имеет большое значение не только для теоретических исследований по геометрии, но и для других наук.

В ходе нашего исследования мы пришли к выводу, что треугольник действительно является интересной и важной фигурой. Мир треугольников разнообразен. Человека окружает множество предметов быта, одежды, музыкальные инструменты, имеющие треугольную форму.

Треугольник используется человеком с древних времен и до наших дней. Это единственная фигура, которая обладает свойством жёсткости, которое нашло широкое применение в жизни человека. Оно встречается наиболее часто в строительстве

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Список литературы

1. https://mybiblioteka.su/tom2/8-62542.html-История возникновения треугольника

2. https://school-science.ru/2/7/29646-Тайны и загадки треугольника

3. http://alltriangles.blogspot.com/- Изучение треугольников

4. https://doklad-i-referat.ru/- Треугольник (история треугольника)

5. https://ru.wikipedia.org/wiki/- Треугольник

6. https://mybiblioteka.su/tom2/8-62547.html — Применение треугольника в жизни человека.

7. http://www.treugolniki.ru/treugolnik — Треугольник — жесткая фигура

8. https://mnogogranniki.ru/ — Самая прочная конструкция

9. Е.Е.Семенов. Изучаем геометрию. Москва «Просвещение» 1987г.

Приложение 1. Наиболее известные здания, использующие треугольные формы в своей архитектуре

Видео:Ответы. Секрет Успеха. Треугольник эффективности жизни и 8 типов личности.Скачать

Сиднейский оперный театр – визитная карточка Австралии

Видео:Расследование: «УМНЫЙ 3D ФИТНЕС» или «ТРЕНАЖЕРНЫЙ ЗАЛ» ? Как тренироваться, чтобы СОХРАНИТЬ ЗДОРОВЬЕСкачать

Астана – пирамида, Дворец мира и согласия

«Парижский Треугольник», вход в Лувр (Париж)

🎦 Видео

Круговой ченнелинг с Нилом Армстронгом – была ли его высадка на Луне? | Устанавливаем истинуСкачать

Самые влиятельные символы в истории человечества | Часть 2Скачать