Доказательства площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника доказательство
Содержание
  1. Площадь треугольника — определение и вычисление с примерами решения
  2. Теорема (формула площади треугольника)
  3. Площадь равностороннего треугольника
  4. Как найти площадь треугольника
  5. Основные понятия
  6. Формула площади треугольника
  7. Общая формула
  8. 1. Площадь треугольника через основание и высоту
  9. 2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
  10. 3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
  11. 4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
  12. 5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
  13. 6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
  14. Для прямоугольного треугольника
  15. Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
  16. Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
  17. Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
  18. Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
  19. Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
  20. Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
  21. Для равнобедренного треугольника
  22. Вычисление площади через основание и высоту
  23. Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
  24. Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
  25. Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
  26. Площадь равностороннего треугольника через сторону
  27. Площадь равностороннего треугольника через высоту
  28. Таблица формул нахождения площади треугольника
  29. Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника
  30. Площадь равностороннего треугольника
  31. 📹 Видео

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Площадь треугольника — определение и вычисление с примерами решения

Площадь треугольника:

Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, к ней проведенную.

Доказательство:

Пусть Доказательства площадь равностороннего треугольника

Доказательства площадь равностороннего треугольника

Доказательства площадь равностороннего треугольника

1) Проведем через вершину Доказательства площадь равностороннего треугольникапрямую, параллельную Доказательства площадь равностороннего треугольникаа через вершину Доказательства площадь равностороннего треугольника— прямую, параллельную Доказательства площадь равностороннего треугольникаПолучим параллелограмм Доказательства площадь равностороннего треугольника

2) Доказательства площадь равностороннего треугольника(по трем сторонам). Поэтому

Доказательства площадь равностороннего треугольникаоткуда Доказательства площадь равностороннего треугольника

3) Так как Доказательства площадь равностороннего треугольникато Доказательства площадь равностороннего треугольника

В общем виде формулу площади Доказательства площадь равностороннего треугольникатреугольника можно записать так:

Доказательства площадь равностороннего треугольника

где Доказательства площадь равностороннего треугольника— сторона треугольника, Доказательства площадь равностороннего треугольника— высота, проведенная к ней.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Следствие 2. Если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника, то площади таких треугольников относятся как их высоты, проведенные к этим сторонам.

Следствие 3. Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как стороны, к которым проведены эти высоты.

Пример:

Докажите, что если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Доказательства площадь равностороннего треугольника

Доказательство:

Рассмотрим Доказательства площадь равностороннего треугольникаи Доказательства площадь равностороннего треугольникау которых Доказательства площадь равностороннего треугольникаПроведем высоты Доказательства площадь равностороннего треугольникаи Доказательства площадь равностороннего треугольника(рис. 238).

Доказательства площадь равностороннего треугольника

2) Доказательства площадь равностороннего треугольника(по острому углу), поэтому Доказательства площадь равностороннего треугольника

3) Имеем: Доказательства площадь равностороннего треугольника

Пример:

Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна Доказательства площадь равностороннего треугольника

Решение:

Пусть Доказательства площадь равностороннего треугольника— равносторонний со стороной Доказательства площадь равностороннего треугольникаТогда Доказательства площадь равностороннего треугольникаВ равностороннем треугольнике Доказательства площадь равностороннего треугольникагде Доказательства площадь равностороннего треугольника— медиана. Но Доказательства площадь равностороннего треугольника(§ 18, задача 4), поэтому Доказательства площадь равностороннего треугольника

Следовательно, Доказательства площадь равностороннего треугольника

Ответ. Доказательства площадь равностороннего треугольника

Пример:

Стороны треугольника равны 8 см, 15 см и ^ 17 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его наибольшей стороне.

Решение:

Так как Доказательства площадь равностороннего треугольника(т. е. 289 = 289), то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным. Прямой угол является противолежащим к стороне, равной 17 см.

Пусть на рис. 239 изображен прямоугольный треугольник, у которого Доказательства площадь равностороннего треугольникасм -гипотенуза, Доказательства площадь равностороннего треугольникаи Доказательства площадь равностороннего треугольникасм — катеты, Доказательства площадь равностороннего треугольника— высота. Найдем Доказательства площадь равностороннего треугольника

Доказательства площадь равностороннего треугольника

Площадь этого треугольника можно найти

по формулам: Доказательства площадь равностороннего треугольникаили Доказательства площадь равностороннего треугольника

Тогда Доказательства площадь равностороннего треугольникато есть Доказательства площадь равностороннего треугольникаоткуда Доказательства площадь равностороннего треугольника

Таким образом, имеем: Доказательства площадь равностороннего треугольника(см).

Ответ. Доказательства площадь равностороннего треугольникасм.

Видео:Площадь равностороннего треугольникаСкачать

Площадь равностороннего треугольника

Теорема (формула площади треугольника)

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

Доказательства площадь равностороннего треугольника

где Доказательства площадь равностороннего треугольника— сторона треугольника, Доказательства площадь равностороннего треугольника— проведенная к ней высота.

Пусть Доказательства площадь равностороннего треугольника— высота треугольника Доказательства площадь равностороннего треугольника(рис. 148). Докажем, что Доказательства площадь равностороннего треугольника

Доказательства площадь равностороннего треугольника

Проведем через вершины Доказательства площадь равностороннего треугольникапрямые, параллельные сторонам треугольника, и обозначим точку их пересечения Доказательства площадь равностороннего треугольникаТаким образом, мы «достроили» треугольник Доказательства площадь равностороннего треугольникадо параллелограмма Доказательства площадь равностороннего треугольникав котором отрезок Доказательства площадь равностороннего треугольникатакже является высотой, проведенной к стороне Доказательства площадь равностороннего треугольника

По формуле площади параллелограмма Доказательства площадь равностороннего треугольникаТреугольники Доказательства площадь равностороннего треугольникаравны по трем сторонам (у них сторона Доказательства площадь равностороннего треугольникаобщая, Доказательства площадь равностороннего треугольникакак противолежащие стороны параллелограмма). Эти треугольники имеют равные площади. Тогда площадь треугольника Доказательства площадь равностороннего треугольникасоставляет половину площади параллелограмма Доказательства площадь равностороннего треугольникачто и требовалось доказать.

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

Доказательства площадь равностороннего треугольника

где Доказательства площадь равностороннего треугольника— катеты прямоугольного треугольника.

Действительно, в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к катету, совпадает с другим катетом.

Следствие 2

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

Доказательства площадь равностороннего треугольника

где Доказательства площадь равностороннего треугольника— диагонали ромба.

Действительно, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами Доказательства площадь равностороннего треугольника(рис. 149). Используя следствие 1, имеем:

Доказательства площадь равностороннего треугольника

Доказательства площадь равностороннего треугольника

Следствие 3

Площадь равностороннего треугольника со стороной Доказательства площадь равностороннего треугольникавычисляется по формуле

Доказательства площадь равностороннего треугольника

Обоснуйте это следствие самостоятельно.

Опорная задача

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Докажите.

Решение:

Пусть Доказательства площадь равностороннего треугольника— медиана треугольника Доказательства площадь равностороннего треугольника(рис. 150).

Доказательства площадь равностороннего треугольника

Проведем высоту Доказательства площадь равностороннего треугольникатреугольника Доказательства площадь равностороннего треугольникаЭтот отрезок является одновременно высотой треугольника Доказательства площадь равностороннего треугольникапроведенной к стороне Доказательства площадь равностороннего треугольникаи высотой треугольника Доказательства площадь равностороннего треугольникапроведенной к стороне Доказательства площадь равностороннего треугольникаУчитывая равенство отрезков Доказательства площадь равностороннего треугольникаимеем:

Доказательства площадь равностороннего треугольника

Эта задача имеет интересные обобщения: если высоты двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований; если основания двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот.

Докажите эти утверждения самостоятельно.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг
  • Описанные и вписанные окружности
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположения прямых на плоскости
  • Треугольник
  • Решение треугольников
  • Треугольники и окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:№489. Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле, где а — сторонаСкачать

№489. Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле, где а — сторона

Площадь равностороннего треугольника

Как найти площадь равностороннего треугольника?

Площадь равностороннего треугольника можно найти и через сторону и проведенную к ней высоту, и через три стороны (по формуле Герона).

Но удобнее всего использовать формулу для вычисления площади треугольника по двум сторонам:

Доказательства площадь равностороннего треугольника

Доказательства площадь равностороннего треугольника

Все стороны равностороннего треугольника равны между собой: b=a.

Все углы равностороннего треугольника равны по 60 градусов.

Подставляем b=a и α=60º:

Доказательства площадь равностороннего треугольника

Доказательства площадь равностороннего треугольника

формула для нахождения площади равностороннего треугольника:

Видео:Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Запомни: все формулы для площади треугольника

Как найти площадь треугольника

Доказательства площадь равностороннего треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:ПЛОЩАДЬ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА за 20 секунд!Скачать

ПЛОЩАДЬ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА за 20 секунд!

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

  • квадратный миллиметр (мм 2 );
  • квадратный сантиметр (см 2 );
  • квадратный дециметр (дм 2 );
  • квадратный метр (м 2 );
  • квадратный километр (км 2 );
  • гектар (га).

Видео:Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?Скачать

Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Видео:8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

8 класс, 14 урок, Площадь треугольника

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Видео:Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать

Как найти площадь треугольника без формулы?

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

Видео:Площадь прямоугольного треугольникаСкачать

Площадь прямоугольного треугольника

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Доказательства площадь равностороннего треугольника

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна .

Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .

Доказательства площадь равностороннего треугольника

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Доказательства площадь равностороннего треугольника

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .

Видео:Геометрия Равносторонний треугольникСкачать

Геометрия  Равносторонний треугольник

Площадь равностороннего треугольника

Как найти площадь равностороннего треугольника?

Площадь равностороннего треугольника можно найти и через сторону и проведенную к ней высоту, и через три стороны (по формуле Герона).

Но удобнее всего использовать формулу для вычисления площади треугольника по двум сторонам:

Доказательства площадь равностороннего треугольника

Доказательства площадь равностороннего треугольника

Все стороны равностороннего треугольника равны между собой: b=a.

Все углы равностороннего треугольника равны по 60 градусов.

Подставляем b=a и α=60º:

Доказательства площадь равностороннего треугольника

Доказательства площадь равностороннего треугольника

формула для нахождения площади равностороннего треугольника:

📹 Видео

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)

Площадь равностороннего треугольникаСкачать

Площадь равностороннего треугольника

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13Скачать

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13

Площадь вписанного равностороннего треугольникаСкачать

Площадь вписанного равностороннего треугольника

Площадь по теореме Герона #математика #площадь #треугольник #герона #егэ #огэ #найтиплощадь #теоремаСкачать

Площадь по теореме Герона #математика #площадь #треугольник #герона #егэ #огэ #найтиплощадь #теорема

Геометрия Площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность, равна Q^2 Доказать чтоСкачать

Геометрия Площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность, равна Q^2 Доказать что
Поделиться или сохранить к себе: