Доказать что треугольники равновелики

Медиана делит площадь треугольника пополам

Доказать что треугольники равновелики

Медиана делит площадь треугольника пополам

Два треугольника называются равновеликими. Если они имеют одинаковую площадь.

Теорема 1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Пусть ВМ – медиана треугольника АВС. Докажем, что

Доказать что треугольники равновелики.

Доказать что треугольники равновелики

Проведем высоту BH треугольника АВС. Тогда

Доказать что треугольники равновелики,

Доказать что треугольники равновелики.

Так как ВМ – медиана треугольника АВС, то АМ=МС, поэтому

Доказать что треугольники равновелики.

Доказать что треугольники равновелики,

Доказать что треугольники равновелики.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики

Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Из теоремы, в частности следует, что если точку пересечения медиан треугольника соединить со всеми его вершинами, то треугольник разобьется на три равновеликие части.

Задача 1 Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 3 и 4. Найти площадь треугольника.

Пусть в треугольнике АВС медианы АМ и ВЕ равны 3 и 4 соответственно, Доказать что треугольники равновелики, К – точка пересечения медиан.

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики,

Доказать что треугольники равновелики.

Так как треугольник АВК прямоугольный с прямым углом ВКА, то Доказать что треугольники равновелики.

Так как медиан делят треугольник на 6 равновеликих частей, то Доказать что треугольники равновелики.

Задача 2 Медианы треугольника равны 6, 8 и 10, найти площадь треугольника.

Доказать что треугольники равновелики

Пусть медианы АM, BE и CD данного треугольника соответственно равны 6, 8 и 10, К – точка их пересечения. Отложим на продолжении луча ВЕ за точку Е отрезок EF=KE. Соединим точки С, F и A.

Рассмотрим треугольник KAF.

Доказать что треугольники равновелики,

то Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики.

Далее, Доказать что треугольники равновелики, так как CKAE – параллелограмм (по признаку параллелограмма: ели диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, до данный четырехугольник параллелограмм), получаем Доказать что треугольники равновелики.

Так как Доказать что треугольники равновелики, то есть Доказать что треугольники равновелики, то по обратной теореме Пифагора (если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный) треугольник KAF – прямоугольный и Доказать что треугольники равновелики.

Вычислим площадь треугольника AKF:

Доказать что треугольники равновелики.

Теперь сравним площади треугольников AKF и АВС: так как AE – медиана треугольника AKF, то

Доказать что треугольники равновелики, Доказать что треугольники равновелики,

Доказать что треугольники равновелики.

Доказать что треугольники равновелики.

Отметим, что задачу можно решить по-другому, если воспользоваться тем фактом, что:

площадь треугольника, образованного медианами данного треугольника составляет Доказать что треугольники равновеликиот площади самого треугольника.

Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Вопросы для самопроверки:

1. Какие треугольники называются равновеликими?

2. Площадь треугольника равна S. Чему равна площадь каждого из треугольников, на которые его разбивает медиана, проведенная к какой-либо стороне этого треугольника?

3. На сколько равновеликих частей разбивают треугольник проведенные в нем три медианы?

4. Площадь треугольника равна S. Цент тяжести этого треугольника соединили с его вершинами. Чему равна площадь каждого из получившихся треугольников?

5. Площадь треугольника равна 48, чему равна площадь треугольника, составленного из медиан этого треугольника?

6. Площадь треугольника, составленного из медиан некоторого треугольника равна 24, чему равна площадь треугольника?

Задачи для самостоятельного решения:

1. Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 8. Найти площадь треугольника.

2. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 найти площадь треугольника.

3. Треугольник АВС, стороны которого 13 см, 14 см и 15 см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку М пересечения медиан треугольника с вершинами треугольника. Найти площадь треугольника ВМС.

4. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей, равна 5. Найдите площадь треугольника.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Равновеликие фигуры

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (299 кБ)

Цели урока: Повторить тему «Площадь параллелограмма». Вывести формулу площади треугольник, ввести понятие равновеликих фигур. Решение задач по теме «Площади равновеликих фигур».

Видео:Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Первый признак равенства треугольников. 7 класс.

Ход урока

I. Повторение.

1) Устно по готовому чертежу вывести формулу площади параллелограмма.

Доказать что треугольники равновелики

2) Какова зависимость между сторонами параллелограмма и высотами, опущенными на них?

(по готовому чертежу)

Доказать что треугольники равновелики

зависимость обратно пропорциональная.

Доказать что треугольники равновелики

3) Найти вторую высоту (по готовому чертежу)

Доказать что треугольники равновелики

4) Найти площадь параллелограмма по готовому чертежу.

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики

Решение:

Доказать что треугольники равновелики

5) Сравните площади параллелограммов S1, S2, S3. (Они имеют равные площади, у всех основание a и высота h).

Определение: Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.

Доказать что треугольники равновелики

II. Решение задач.

1) Доказать, что всякая прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей, делит его на 2 равновеликие части.

Доказать что треугольники равновелики

Решение:

Доказать что треугольники равновелики

2) В параллелограмме ABCD CF и CE высоты. Доказать, что AD ∙ CF = AB ∙ CE.

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики

3) Дана трапеция с основаниями a и 4a. Можно ли через одну из её вершин провести прямые, разбивающие трапецию на 5 равновеликих треугольников?

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики

Решение: Можно. Все треугольники равновеликие.

4) Доказать, что если на стороне параллелограмма взять точку A и соединить её с вершинами, то площадь получившегося треугольника ABC равна половине площади параллелограмма.

Доказать что треугольники равновелики

Решение:

Доказать что треугольники равновелики

5) Торт имеет форму параллелограмма. Малыш и Карлсон делят его так: Малыш указывает на поверхности торта точку, а Карлсон по прямой, проходящей через эту точку, разрезает торт на 2 куска и один из кусков забирает себе. Каждый хочет получить кусок побольше. Где Малыш должен поставить точку?

Решение: В точке пересечения диагоналей.

Доказать что треугольники равновелики

6) На диагонали прямоугольника выбрали точку и провели через неё прямые, параллельные сторонам прямоугольника. По разные стороны образовались 2 прямоугольника. Сравните их площади.

Доказать что треугольники равновелики

Решение:

Доказать что треугольники равновелики

III. Изучение темы «Площадь треугольника»

начать с задачи:

«Найти площадь треугольника, у которого основание a, а высота h».

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики

Ребята, используя понятие равновеликих фигур, доказывают теорему.

Достроим треугольник до параллелограмма.

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

Задание: Начертите равновеликие треугольники.

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики

Используется модель (из бумаги вырезаны 3 цветных треугольника и склеены у оснований).

Упражнение №474. «Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой».

Доказать что треугольники равновелики

У треугольников одинаковые основания a и одна и та же высота h. Треугольники имеют одинаковую площадь Доказать что треугольники равновелики

Вывод: Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.

Вопросы к классу:

  1. Равновелики ли равные фигуры?
  2. Сформулируйте обратное утверждение. Верно ли оно?
  3. Верно ли:
    а) Равносторонние треугольники равновелики?
    б) Равносторонние треугольники с равными сторонами равновелики?
    в) Квадраты с равными сторонами равновелики?
    г) Докажите, что параллелограммы, образованные при пересечении двух полос одинаковой ширины под разными углами наклона друг к другу, равновелики. Найдите параллелограмм наименьшей площади, образующийся при пересечении двух полос одинаковой ширины. (Показать на модели: полоски одинаковой ширины)

Доказать что треугольники равновелики

IV. Шаг вперёд!

На доске написаны задания по выбору:

1. «Разрежьте треугольник двумя прямыми линиями так, чтобы можно было из частей сложить прямоугольник».

Доказать что треугольники равновелики

Решение:

Доказать что треугольники равновелики

2. «Разрежьте прямоугольник по прямой линии на 2 части, из которых можно сложить прямоугольный треугольник».

Доказать что треугольники равновелики

Решение:

Доказать что треугольники равновелики

3) В прямоугольнике проведена диагональ. В одном из получившихся треугольников проведена медиана. Найдите соотношения между площадями фигур Доказать что треугольники равновелики.

Решение:

Доказать что треугольники равновелики

Ответ: Доказать что треугольники равновелики

3. Из олимпиадных задач:

«В четырёхугольнике ABCD точка E- середина AB, соединена с вершиной D, а F – середина CD, с вершиной B. Доказать, что площадь четырёхугольника EBFD в 2 раза меньше площади четырёхугольника ABCD.

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики

Решение: провести диагональ BD.

Упражнение №475.

«Начертите треугольник ABC. Через вершину В проведите 2 прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на 3 треугольника, имеющие равные площади».

Доказать что треугольники равновелики

Использовать теорему Фалеса (разделить АC на 3 равные части).

V. Задача дня.

Для неё отвела крайнюю правую часть доски, на которой пишу задачу сегодняшнего дня. Ребята могут решать её, а могут и не решать. На уроке данную задачу мы сегодня не решаем. Просто те, кому они интересны, могут списать её, решить её дома или в перемену. Обычно уже в перемену многие ребята начинают решать задачу, если решили, то показывают решение, и я фиксирую это в специальной таблице. На следующем уроке к этой задаче обязательно возвращаемся, уделяя её решению небольшую часть урока (а на доске может быть записана новая задача).

«В параллелограмме вырезан параллелограмм. Разделите оставшуюся часть на 2 равновеликие фигуры».

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики

Решение: Секущая AB проходит через точку пересечения диагоналей параллелограммов O и O1.

Дополнительные задачи (из олимпиадных задач):

1) «В трапеции ABCD (AD || BC) вершины A и B соединены с точкой M – серединой стороны CD. Площадь треугольника ABM равна m. Найти площадь трапеции ABCD».

Доказать что треугольники равновелики

Решение:

Треугольники ABM и AMK – равновеликие фигуры, т.к. AM – медиана.
S∆ABK = 2m, ∆BCM = ∆MDK, SABCD = S∆ABK = 2m.

2) «В трапеции ABCD (AD || BC) диагонали пересекаются в точке O. Доказать, что треугольники AOB и COD равновеликие».

Доказать что треугольники равновелики

Решение:

S∆BCD = S∆ABC, т.к. у них общее основание BC и одинаковая высота.

Доказать что треугольники равновелики

3) Сторона АВ произвольного треугольника АВС продолжена за вершину В так, что ВР = АВ, сторону АС за вершину А так, что АМ = СА, сторону ВС за вершину С так, что КС = ВС. Во сколько раз площадь треугольника РМК больше площади треугольника АВС?

Доказать что треугольники равновелики

Решение:

В треугольнике МВС: МА = АС, значит, площадь треугольника ВАМ равна площади треугольника АВС. В треугольнике АРМ: ВР = АВ, значит, площадь треугольника ВАМ равна площади треугольника АВР. В треугольнике АРС: АВ = ВР, значит, площадь треугольника ВАС равна площади треугольника ВРС. В треугольнике ВРК: ВС = СК, значит, площадь треугольника ВРС равна площади треугольника РКС. В треугольнике АВК: ВС = СК, значит, площадь треугольника ВАС равна площади треугольника АСК. В треугольнике МСК: МА = АС, значит, площадь треугольника КАМ равна площади треугольника АСК. Получаем 7 равновеликих треугольников. Значит, Доказать что треугольники равновелики

Ответ: Площадь треугольника МРК в 7 раз больше площади треугольника АВС.

4) Сцепленные параллелограммы.

2 параллелограмма расположены так, как показано на рисунке: они имеют общую вершину и ещё по одной вершине у каждого из параллелограммов лежит на сторонах другого параллелограмма. Доказать, что площади параллелограммов равны.

Доказать что треугольники равновелики

Решение:

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновеликии Доказать что треугольники равновелики, значит, Доказать что треугольники равновелики

Список использованной литературы:

  1. Учебник «Геометрия 7-9» (авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев (Москва, «Просвещение», 2003).
  2. Олимпиадные задачи разных лет, в частности из учебного пособия «Лучшие задачи математических олимпиад» (составитель А.А. Корзняков, Пермь, «Книжный мир», 1996).
  3. Подборка задач, накопленных за много лет работы.

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Равновеликие треугольники

Равновеликие треугольники — это треугольники, которые имеют одинаковую площадь.

Равновеликие треугольники могут быть равными (так как равные треугольники имеют равные площади), но также могут иметь разные стороны и разные углы.

Доказать что треугольники равновеликиНапример, треугольники ABC и MKF — равновеликие, так как их площади равны.

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики

Можно заметить, что если сторону треугольника увеличить в k раз, а высоту, проведенную к этой стороне, уменьшить в k раз, то получим треугольник, равновеликий данному.

Равновеликие треугольники в треугольнике

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Равновеликие треугольники в трапеции

При пересечении диагоналей в произвольной трапеции ABCD образуется три пары равновеликих треугольников:

Доказать что треугольники равновелики1) ∆ABD и ∆ACD,

Доказать что треугольники равновелики1) Проведём в треугольниках ABD и ACD высоты BH и CF.

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики

BK=CF (как высоты трапеции), следовательно,

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики3)

Доказать что треугольники равновелики

Доказать что треугольники равновелики

Так как площади треугольников ABD и ACD равны (по доказанному), то и

Доказать что треугольники равновелики

Таким образом, треугольники , образованные боковыми сторонами и диагоналями трапеции, имеют равные площади.

🎥 Видео

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольников

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник

Признаки равенства треугольников. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. Практическая часть. 7 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Третий признак равенства треугольников | Теорема + доказательствоСкачать

Третий признак равенства треугольников | Теорема + доказательство

Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник. 7 класс.

Равновеликие треугольникиСкачать

Равновеликие треугольники

7 класс, 20 урок, Третий признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 20 урок, Третий признак равенства треугольников

Задачи на доказательство по геометрии. Первый признак равенства треугольников.Скачать

Задачи на доказательство по геометрии. Первый признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Второй признак равенства треугольников. 7 класс.

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.

Докажите что треугольники равновеликиеСкачать

Докажите что треугольники равновеликие

Задачи на доказательство равенства треугольников. Первый признак. Простые.Скачать

Задачи на доказательство равенства треугольников. Первый признак. Простые.

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: