В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.
- Определение медианы треугольника
- Свойства медианы
- Свойство 1 (основное)
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Примеры задач
- Медиана треугольника
- Определение
- Свойства медиан
- Задачи
- Что мы узнали?
- Медиана — это золотое сечение треугольника
- Медиана — это.
- Пересечение медиан треугольника
- Медиана равностороннего треугольника
- Медиана прямоугольного треугольника
- Вместо заключения
- Комментарии и отзывы (1)
- 🔍 Видео
Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать
Определение медианы треугольника
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.
Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Свойства медианы
Свойство 1 (основное)
Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.
В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:
Свойство 2
Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.
Свойство 3
Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
Свойство 4
Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.
- AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
- AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.
Свойство 5
Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).
Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:
Видео:🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать
Примеры задач
Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.
Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S△ = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .
Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.
Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать
Медиана треугольника
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 278.
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 278.
Медиана треугольника, так же, как и высота, служит графическим параметром, определяющим весь треугольник, значение его сторон и углов. Три значения: медианы, высоты и биссектрисы – это, как штрих-код на товаре, наша задача – просто уметь его считать.
Видео:Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать
Определение
Медиана – это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. В треугольнике три вершины, а значит и медианы три. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные отрезки.
Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Свойства медиан
- Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике все медианы совпадают с биссектрисами и высотами.
- Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
- Медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы, на 6 равновеликих треугольников.
Видео:Длина медианы треугольникаСкачать
Задачи
Все эти свойства несложно запомнить, они легко закрепляются на практике. Для большего понимания темы, решим несколько задач:
- В прямоугольном треугольнике известны катеты, которые равны a=3 и b=4. Найти значение медианы m, проведенной к гипотенузе c.
Для того, чтобы найти значение медианы, нам необходимо найти гипотенузу, так как медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине. Гипотенузу находим через теорему Пифагора: $$a^2+b^2=c^2$$
Найдем значение медианы: $$m===2,5$$ – получившееся число и есть значение медианы.
Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти.
- В треугольнике известны значения сторон : a=8; b=7; c=9. Найти значение медианы, опущенной к стороне b.
Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться одной из трех формул для нахождения медианы по сторонам треугольника:
Как видно, главное здесь запомнить коэффициент при скобках и знаки у значения сторон. Знаки запомнить проще всего – вычитается всегда сторона, к которой опущена медиана. В нашем случае это a, но может быть любая другая.
Подставим значения в формулу и найдем величину медианы: $$m=sqrt<*(b^2+c^2-a^2)>$$
$$m=sqrt<*(49+81-64)>=sqrt$$ – оставим результат в виде корня.
- В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию равна 8, а само основание – 6. Вместе с оставшимися двумя, эта медиана делит треугольник на 6 треугольников. Найти площадь каждого из них.
Медианы, разбивают треугольник на шесть равновеликих. Значит, площади малых треугольников будут равны между собой. Достаточно найти площадь большего и поделить ее на 6.
Дана медиана, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой и высотой. Значит, в треугольнике известны основание и высота. Можно найти площадь.
Площадь каждого из малых треугольников: $$=4$$
Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое медиана. Определили свойства медианы, и нашли решение типовых задач. Поговорили о базовых ошибках и разобрались как просто и быстро запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника.
Видео:№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать
Медиана — это золотое сечение треугольника
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком понятии в математике, как МЕДИАНА.
У этого слова несколько значений, и обо всех мы упомянем. Но в первую очередь нас интересует то, с которым знакомят школьников на уроках геометрии ближе к старшим классам.
И в этом случае МЕДИАНА имеет непосредственное отношение к такой геометрической фигуре, как треугольник.
Видео:Теорема Менелая. Убийца ГРОБА на ЕГЭ 2020 по профильной математикеСкачать
Медиана — это.
Медиана – это отрезок или часть прямой линии, которая проведена из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Точно так же называется и длина этого отрезка.
Вот обратите внимание на этот простой, но очень наглядный рисунок. На нем изображен треугольник со сторонами АВ, АС и ВС, или как принято писать в математике — треугольник АВС.
Точка М – это середина стороны ВС. И соответственно линия АМ, проведенная из вершины А до середины стороны ВС, и есть МЕДИАНА.
Еще раз повторим! Медиана – понятие, которое имеет отношение только к треугольникам. У других похожие линии называются по-другому. Например, у прямоугольников и квадратов – это диагональ. А у окружности – это диаметр.
Стоит отметить, что сам термин имеет латинский корень. И в переводе дословно означает «средний». А чтобы еще проще было запомнить, что такое медиана, есть прекрасный стишок:
Есть в треугольнике обычном
Отрезок очень непростой
Соединяет он обычно с серединой стороны любой
И каждый должен знать отлично,
Зовется медианой он.
Кстати, если внимательно прочитать это стихотворение, то в нем можно выделить ключевые слова – «с серединой стороны ЛЮБОЙ». То есть в нашем примере медиана может выходить не только из вершины А, но также из В и С. И делить пополам не только сторону ВС, но и АС и АВ соответственно.
И из этого можно сделать логический вывод, что медиан у любого треугольника может быть несколько. А точнее, три!
И выглядят они вот так.
На этом рисунке мы отчетливо видим все три медианы. Они обозначаются отрезками CA, PL и KM.
Видео:Внешний угол треугольникаСкачать
Пересечение медиан треугольника
Точка О, в которой пересекаются все медианы треугольника, также имеет свое особое название. И даже несколько – центр тяжести, центроид, геометрический центр, барицентр, центр инерции. Ну а неформально эту точку называют точкой равновесия.
Чтобы лучше понять, что это такое, представьте себе треугольник, вырезанный из бумаги или картона. Если вы на нем проведете все три медианы и найдете точку их пересечения, то подставив под нее палец, вы сможете удерживать ваш картонный треугольник в равновесии, не давая ему упасть.
Важно! С точкой пересечения медиан связан один математический факт. Она делит каждую медиану на два отрезка, соотношение которых составляет 2 к 1, если считать от вершины.
Если для примера взять указанный выше треугольник, то тогда это правило можно расписать следующим образом:
- Отрезок СО вдвое больше, чем отрезок АО;
- Отрезок РО вдвое больше, чем отрезок LO;
- Отрезок МО вдвое больше, чем КО.
Это правило не требует доказательств. Но если хотите, можете провести в домашних условиях опыт и убедиться в правдивости расчетов.
Видео:Медиана треугольника. Построение. Свойства.Скачать
Медиана равностороннего треугольника
Равносторонний треугольник сам по себе уникален, так как все его три стороны имеют одинаковую длину. Логично предположить, что и медиана в нем какая-то особенная?! Да, так оно и есть.
Медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и биссектрисой.
Если кто не знает, высотой в треугольнике называют отрезок, который опускается из вершины перпендикулярно, то есть под прямым углом к основанию. А биссектриса – это линия, которая выходит из вершины треугольника и делит ее угол ровно пополам.
И наконец, еще одна «фишка» равностороннего треугольника. У него все три медианы равны по длине.
Кстати, присмотритесь к рисунку. С помощью медиан в любом треугольнике образуются внутренние маленькие треугольники. Так вот, в равносторонней фигуре они равны между собой как по длине сторон, так и по площади.
Видео:Формулы для медианы треугольникаСкачать
Медиана прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник, если кто забыл, это треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. И в такой фигуре медиана тоже обладает уникальными свойствами.
Но речь идет только о той медиане, которая выходит из прямого угла. Так вот, ее длина равна половине длины гипотенузы. Так называют самую длинную сторону прямоугольного треугольника.
Соответственно, при решении задач правдиво будет и обратное условие. Так, если указано, что отрезок СМ в нашем примере равен АВ/2, или равен отдельно АМ и ВМ, то можно смело делать вывод, что перед нами прямоугольный треугольник.
Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать
Вместо заключения
А теперь вернемся к тому, о чем мы говорили в самом начале статьи. Термин МЕДИАНА имеет несколько значений.
Например, а в статистике медианой называют уровень показателей, который делит все данные на две равные половины.
Слово «медиана» используется и в дорожном строительстве, обозначая середину асфальтного полотна. Правда, этот термин можно найти только в технических документациях, а в обычной жизни мы говорим просто «разделительная полоса».
И наконец, в Сербии есть археологический памятник, который называется Медиана. Так назвалась древнеримская вилла, руины которой находятся в городе Неш. Она уникальна тем, что была построена при императоре Константине в 300 году и была его резиденцией, в которой он принимал почетных гостей.
Вот и все, что мы хотели рассказать о МЕДИАНЕ. До новых встреч на страницах нашего блога.
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Эта статья относится к рубрикам:
Комментарии и отзывы (1)
Теперь остаётся подумать над тем, как применить это знание о медиане на практике. Если придумаю, вдруг Нобелевскую премию дадут?
🔍 Видео
Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать
Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать
Все свойства медианы в одной задаче.Скачать
17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Задача про медиану треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать
Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать