Четырехугольник из двух треугольников

Как получить четырехугольник из двух треугольников
Содержание
  1. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  2. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  3. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  4. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  5. Параллелограмм
  6. Параллелограмм и его свойства
  7. Признаки параллелограмма
  8. Прямоугольник
  9. Признак прямоугольника
  10. Ромб и квадрат
  11. Свойства ромба
  12. Трапеция
  13. Средняя линия треугольника
  14. Средняя линия трапеции
  15. Координаты середины отрезка
  16. Теорема Пифагора
  17. Справочный материал по четырёхугольнику
  18. Пример №1
  19. Признаки параллелограмма
  20. Пример №2 (признак параллелограмма).
  21. Прямоугольник
  22. Пример №3 (признак прямоугольника).
  23. Ромб. Квадрат
  24. Пример №4 (признак ромба)
  25. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  26. Пример №5
  27. Пример №6
  28. Трапеция
  29. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  30. Центральные и вписанные углы
  31. Пример №8
  32. Вписанные и описанные четырёхугольники
  33. Пример №9
  34. Пример №10
  35. Как за 2 линии получить в треугольнике 2 треугольника 1 четырехугольник и 1 пятиугольник?
  36. В каждом пятиугольнике провести две линии, чтобы получилось три треугольника?
  37. Как из треугольника и прямоугольника получить четырехугольник и пятиугольник?
  38. Как разделить треугольник двумя отрезками так чтобы получилось 2 треугольника, 1 четырехугольник и 1 пятиугольник?
  39. Как разделить треугольник двумя отрезками чтобы получилось два треугольника один четырехугольник и один пятиугольник?
  40. Начертить пятиугольник ипровести прямую линию так чтобы она разбила пятиугольник на треугольник и шестиугольник, на треугольник и пятиугольник, на четырех угольник и пятиугольник, на два четырехугольн?
  41. Нарисовать ломаные , чтобы получился четырехугольник?
  42. Поделить пятиугольник тремя линиями и получить 11 треугольников?
  43. Провести две линии через треугольник чтобы получилась 2 треугольника, 1 четырехугольник, 1 пятиугольник?
  44. Как разделить треугольник двумя отрезками и получить 2 треугольника, 1 четырехугольник и 1 пятиугольник?
  45. Как разделить треугольник двумя линиями чтобы получить два треугольника, один четырехугольник и пятиугольник?
  46. Как разрезать треугольник двумя разрезами на три четырёхугольника и треугольник
  47. Решение задачи про треугольник
  48. Четырехугольник из двух треугольников
  49. Информация
  50. Параллелограмм: свойства и признаки
  51. Определение параллелограмма
  52. Свойства параллелограмма
  53. Признаки параллелограмма

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Четырехугольник из двух треугольников

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Четырехугольник из двух треугольников

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Четырехугольник из двух треугольников

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Четырехугольник из двух треугольников

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Четырехугольник из двух треугольниковуглы Четырехугольник из двух треугольниковявляются внешними.

Четырехугольник из двух треугольников

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Четырехугольник из двух треугольниковГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Четырехугольник из двух треугольниковЧетырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Четырехугольник из двух треугольниковДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Четырехугольник из двух треугольников

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Четырехугольник из двух треугольников

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Четырехугольник из двух треугольников

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Четырехугольник из двух треугольниковЧетырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Четырехугольник из двух треугольников

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Четырехугольник из двух треугольников

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Четырехугольник из двух треугольников

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Четырехугольник из двух треугольников

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Четырехугольник из двух треугольниковто параллелограмм Четырехугольник из двух треугольниковявляется ромбом.

Четырехугольник из двух треугольников

Доказательство теоремы 1.

Дано: Четырехугольник из двух треугольниковромб.

Докажите, что Четырехугольник из двух треугольников

Доказательство (словестное): По определению ромба Четырехугольник из двух треугольниковПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Четырехугольник из двух треугольниковравнобедренный. Медиана Четырехугольник из двух треугольников(так как Четырехугольник из двух треугольников), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Четырехугольник из двух треугольниковТак как Четырехугольник из двух треугольниковявляется прямым углом, то Четырехугольник из двух треугольников. Аналогичным образом можно доказать, что Четырехугольник из двух треугольников

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Четырехугольник из двух треугольников

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Четырехугольник из двух треугольников

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Четырехугольник из двух треугольников

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

План доказательства теоремы 2

Дано: Четырехугольник из двух треугольниковравнобедренная трапеция. Четырехугольник из двух треугольников

Докажите: Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Четырехугольник из двух треугольниковтогда Четырехугольник из двух треугольниковЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Четырехугольник из двух треугольниковпроведем параллельную прямую к прямой Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Четырехугольник из двух треугольниковчерез точку Четырехугольник из двух треугольников— середину стороны Четырехугольник из двух треугольниковпроведите прямую параллельную Четырехугольник из двух треугольниковКакая фигура получилась? Является ли Четырехугольник из двух треугольниковтрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Четырехугольник из двух треугольниковМожно ли утверждать, что Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Доказательство. Пусть дан треугольник Четырехугольник из двух треугольникови его средняя линия Четырехугольник из двух треугольниковПроведём через точку Четырехугольник из двух треугольниковпрямую параллельную стороне Четырехугольник из двух треугольниковПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Четырехугольник из двух треугольниковт.е. совпадает со средней линией Четырехугольник из двух треугольниковТ.е. средняя линия Четырехугольник из двух треугольниковпараллельна стороне Четырехугольник из двух треугольниковТеперь проведём среднюю линию Четырехугольник из двух треугольниковТ.к. Четырехугольник из двух треугольниковто четырёхугольник Четырехугольник из двух треугольниковявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Четырехугольник из двух треугольниковПо теореме Фалеса Четырехугольник из двух треугольниковТогда Четырехугольник из двух треугольниковТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Четырехугольник из двух треугольников

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Четырехугольник из двух треугольников

Доказательство: Через точку Четырехугольник из двух треугольникови точку Четырехугольник из двух треугольниковсередину Четырехугольник из двух треугольниковпроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Четырехугольник из двух треугольниковчерез Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Четырехугольник из двух треугольниковрадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Четырехугольник из двух треугольниковЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Четырехугольник из двух треугольникови Четырехугольник из двух треугольникови точка Четырехугольник из двух треугольниковкоторая является серединой отрезка Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольниковто Четырехугольник из двух треугольникова отсюда следует, что Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

2) По теореме Фалеса, если точка Четырехугольник из двух треугольниковявляется серединой отрезка Четырехугольник из двух треугольниковто на оси абсцисс точка Четырехугольник из двух треугольниковявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Четырехугольник из двух треугольникови Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

3) Координаты середины отрезка Четырехугольник из двух треугольниковс концами Четырехугольник из двух треугольникови Четырехугольник из двух треугольниковточки Четырехугольник из двух треугольниковнаходятся так:

Четырехугольник из двух треугольников

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Четырехугольник из двух треугольниковпараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Четырехугольник из двух треугольниковкак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Четырехугольник из двух треугольников

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Четырехугольник из двух треугольников

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Четырехугольник из двух треугольниковкак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Четырехугольник из двух треугольников

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Четырехугольник из двух треугольников

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Четырехугольник из двух треугольников

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Четырехугольник из двух треугольниковто, Четырехугольник из двух треугольников— прямоугольный.

Четырехугольник из двух треугольников

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Четырехугольник из двух треугольниковявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Четырехугольник из двух треугольниковтакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольника

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Четырехугольник из двух треугольников(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Четырехугольник из двух треугольниковЧетырехугольник из двух треугольников

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Четырехугольник из двух треугольников

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Четырехугольник из двух треугольников, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Четырехугольник из двух треугольников

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Четырехугольник из двух треугольников=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Четырехугольник из двух треугольников+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Четырехугольник из двух треугольников. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Четырехугольник из двух треугольников. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Четырехугольник из двух треугольников

Решение:

Четырехугольник из двух треугольников(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Четырехугольник из двух треугольников(АВ CD, ВС-секущая), Четырехугольник из двух треугольников(ВС || AD, CD — секущая), Четырехугольник из двух треугольников(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Четырехугольник из двух треугольников

Доказательство. Четырехугольник из двух треугольниковпо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Четырехугольник из двух треугольниковкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Четырехугольник из двух треугольников

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Четырехугольник из двух треугольников

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Четырехугольник из двух треугольниковпо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Четырехугольник из двух треугольниковЧетырехугольник из двух треугольниковУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Четырехугольник из двух треугольников

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Четырехугольник из двух треугольников

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Четырехугольник из двух треугольниковпо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Четырехугольник из двух треугольниковкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Четырехугольник из двух треугольниковНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Четырехугольник из двух треугольников

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Четырехугольник из двух треугольниковпо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Четырехугольник из двух треугольниковкак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Четырехугольник из двух треугольниковНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Четырехугольник из двух треугольников

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Четырехугольник из двух треугольников

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Четырехугольник из двух треугольников

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Четырехугольник из двух треугольниковМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Четырехугольник из двух треугольников. Четырехугольник из двух треугольниковпо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Четырехугольник из двух треугольников. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Четырехугольник из двух треугольников. По свойству углов четырёхугольника, Четырехугольник из двух треугольников

Следовательно, Четырехугольник из двух треугольников: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Четырехугольник из двух треугольников

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Четырехугольник из двух треугольников

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Четырехугольник из двух треугольников

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Четырехугольник из двух треугольников

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Четырехугольник из двух треугольников. Четырехугольник из двух треугольников

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Четырехугольник из двух треугольников

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Четырехугольник из двух треугольников(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Четырехугольник из двух треугольниковпо двум сторонами и углу между ними.

Четырехугольник из двух треугольников

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Четырехугольник из двух треугольниковпо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Четырехугольник из двух треугольников

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Четырехугольник из двух треугольников

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Четырехугольник из двух треугольников

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Четырехугольник из двух треугольников

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Четырехугольник из двух треугольников

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Четырехугольник из двух треугольникови Четырехугольник из двух треугольниковПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Четырехугольник из двух треугольниковпараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Четырехугольник из двух треугольниковПри помощи циркуля сравните длины отрезков Четырехугольник из двух треугольниковСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Доказать: Четырехугольник из двух треугольников

Доказательство. Проведём через точки Четырехугольник из двух треугольниковпрямые Четырехугольник из двух треугольниковпараллельные ВС. Четырехугольник из двух треугольниковпо стороне и прилежащим к ней углам. У них Четырехугольник из двух треугольниковпо условию, Четырехугольник из двух треугольниковкак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Четырехугольник из двух треугольникови Четырехугольник из двух треугольниковкак противоположные стороны параллелограммов Четырехугольник из двух треугольников

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Четырехугольник из двух треугольников

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Четырехугольник из двух треугольников

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Четырехугольник из двух треугольниковПроведём прямую Четырехугольник из двух треугольников. Через точки Четырехугольник из двух треугольниковпроведём прямые, параллельные прямой Четырехугольник из двух треугольников. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Четырехугольник из двух треугольников, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Четырехугольник из двух треугольников

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Четырехугольник из двух треугольников(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Четырехугольник из двух треугольников

Доказать: Четырехугольник из двух треугольников

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Четырехугольник из двух треугольников. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Четырехугольник из двух треугольников. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Четырехугольник из двух треугольников

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Четырехугольник из двух треугольников

Поэтому Четырехугольник из двух треугольников. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Четырехугольник из двух треугольников

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРЧетырехугольник из двух треугольников, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Четырехугольник из двух треугольников

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Четырехугольник из двух треугольников

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Четырехугольник из двух треугольников

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Четырехугольник из двух треугольников= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Четырехугольник из двух треугольников

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Четырехугольник из двух треугольниковno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Четырехугольник из двух треугольниковкак вертикальные, Четырехугольник из двух треугольниковвнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Четырехугольник из двух треугольников

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Четырехугольник из двух треугольниковравнобедренный. Поэтому Четырехугольник из двух треугольниковсоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Четырехугольник из двух треугольников

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Четырехугольник из двух треугольников

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Четырехугольник из двух треугольниковЧетырехугольник из двух треугольников

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Четырехугольник из двух треугольников— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Четырехугольник из двух треугольников

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Четырехугольник из двух треугольников. По свойству внешнего угла треугольника, Четырехугольник из двух треугольниковЧетырехугольник из двух треугольников— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Четырехугольник из двух треугольниковизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Четырехугольник из двух треугольников

Из доказанного в первом случае следует, что Четырехугольник из двух треугольниковизмеряется половиной дуги AD, a Четырехугольник из двух треугольников— половиной дуги DC. Поэтому Четырехугольник из двух треугольниковизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Четырехугольник из двух треугольников

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Четырехугольник из двух треугольниковкак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Четырехугольник из двух треугольников, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Четырехугольник из двух треугольников

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Четырехугольник из двух треугольников(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Четырехугольник из двух треугольников(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Четырехугольник из двух треугольников

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Четырехугольник из двух треугольников

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Четырехугольник из двух треугольников

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Четырехугольник из двух треугольников

Доказать: Четырехугольник из двух треугольников

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Четырехугольник из двух треугольников

Тогда Четырехугольник из двух треугольников

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Четырехугольник из двух треугольников

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Четырехугольник из двух треугольников

Докажем, что Четырехугольник из двух треугольников. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Четырехугольник из двух треугольников. По свойству равнобокой трапеции, Четырехугольник из двух треугольников

Тогда Четырехугольник из двух треугольникови, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Четырехугольник из двух треугольников

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Четырехугольник из двух треугольников

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Четырехугольник из двух треугольниковцентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Четырехугольник из двух треугольниковвписанного в окружность. Действительно,

Четырехугольник из двух треугольников

Следовательно, четырёхугольник Четырехугольник из двух треугольников— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Четырехугольник из двух треугольников

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Четырехугольник из двух треугольников

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Как за 2 линии получить в треугольнике 2 треугольника 1 четырехугольник и 1 пятиугольник?

Математика | 1 — 4 классы

Как за 2 линии получить в треугольнике 2 треугольника 1 четырехугольник и 1 пятиугольник.

Четырехугольник из двух треугольников

Надеюсь , что правильно.

Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Видео:Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

В каждом пятиугольнике провести две линии, чтобы получилось три треугольника?

В каждом пятиугольнике провести две линии, чтобы получилось три треугольника.

Четырехугольник из двух треугольников

Видео:Пересечение плоскостей (треугольника и четырёхугольника)Скачать

Пересечение плоскостей (треугольника и четырёхугольника)

Как из треугольника и прямоугольника получить четырехугольник и пятиугольник?

Как из треугольника и прямоугольника получить четырехугольник и пятиугольник.

Четырехугольник из двух треугольников

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекции

Как разделить треугольник двумя отрезками так чтобы получилось 2 треугольника, 1 четырехугольник и 1 пятиугольник?

Как разделить треугольник двумя отрезками так чтобы получилось 2 треугольника, 1 четырехугольник и 1 пятиугольник.

Четырехугольник из двух треугольников

Видео:Если кое-что заметить, то решение будет быстрым ★ Найдите площади двух треугольников на рисункеСкачать

Если кое-что заметить, то решение будет быстрым ★ Найдите площади двух треугольников на рисунке

Как разделить треугольник двумя отрезками чтобы получилось два треугольника один четырехугольник и один пятиугольник?

Как разделить треугольник двумя отрезками чтобы получилось два треугольника один четырехугольник и один пятиугольник.

Четырехугольник из двух треугольников

Видео:Задача с канала PreMath — попробуй найти площадь четырехугольникаСкачать

Задача с канала PreMath — попробуй найти площадь четырехугольника

Начертить пятиугольник ипровести прямую линию так чтобы она разбила пятиугольник на треугольник и шестиугольник, на треугольник и пятиугольник, на четырех угольник и пятиугольник, на два четырехугольн?

Начертить пятиугольник ипровести прямую линию так чтобы она разбила пятиугольник на треугольник и шестиугольник, на треугольник и пятиугольник, на четырех угольник и пятиугольник, на два четырехугольника.

Четырехугольник из двух треугольников

Видео:Между двух треугольниковСкачать

Между двух треугольников

Нарисовать ломаные , чтобы получился четырехугольник?

Нарисовать ломаные , чтобы получился четырехугольник.

Провести внутри линию, чтобы получился равнобедренный треугольник и пятиугольник.

Четырехугольник из двух треугольников

Видео:Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)Скачать

Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)

Поделить пятиугольник тремя линиями и получить 11 треугольников?

Поделить пятиугольник тремя линиями и получить 11 треугольников.

Четырехугольник из двух треугольников

Видео:№474. Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой.Скачать

№474. Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой.

Провести две линии через треугольник чтобы получилась 2 треугольника, 1 четырехугольник, 1 пятиугольник?

Провести две линии через треугольник чтобы получилась 2 треугольника, 1 четырехугольник, 1 пятиугольник.

Четырехугольник из двух треугольников

Видео:Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

Миникурс по геометрии. Четырехугольники

Как разделить треугольник двумя отрезками и получить 2 треугольника, 1 четырехугольник и 1 пятиугольник?

Как разделить треугольник двумя отрезками и получить 2 треугольника, 1 четырехугольник и 1 пятиугольник.

Четырехугольник из двух треугольников

Видео:11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольник

Как разделить треугольник двумя линиями чтобы получить два треугольника, один четырехугольник и пятиугольник?

Как разделить треугольник двумя линиями чтобы получить два треугольника, один четырехугольник и пятиугольник.

Вы перешли к вопросу Как за 2 линии получить в треугольнике 2 треугольника 1 четырехугольник и 1 пятиугольник?. Он относится к категории Математика, для 1 — 4 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Математика. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

Четырехугольник из двух треугольников

— 2 / 3x + 4 = 3 — 1 / 2x — 2 / 3x + 1 / 2x = — 4 + 3 5 / 6x = — 1 x = — 1 : 5 / 6 = 1 * 6 / 5 = 1, 2 x = 1, 2.

Четырехугольник из двух треугольников

— 2 / 3х + 4 = 3 — 1 / 2х | * 6 — 2х + 24 = 18 — 3х — 2х + 3х = 18 — 24 х = — 6.

Четырехугольник из двух треугольников

90 : 3 = 30. 30 * 2 — 10 = 50 50 у брата 40 у сестры.

Четырехугольник из двух треугольников

1) х : 8 / 9 = 3 : 4 4х = 3 * 8 / 9 4х = 8 / 3 х = 8 / 3 : 4 х = 2 / 3 2)х : 2, 8 = 5 : 7 7х = 5 * 2, 8 7х = 14 х = 2 3)12 : 7 = 9 : х 12х = 7 * 9 12х = 63 х = 63 / 12 = 5, 25.

Четырехугольник из двух треугольников

1) 3 + 2i + 1 — 3i = 4 — i 2) 1 — 4i — 3 — i = — 4 — 5i 3) 6 — 4i + 3i — 2i² = 6 — i + 2 = 8 — i 4) i + 3i² = i — 3.

Четырехугольник из двух треугольников

Число х (93 — х)(112 + х) = 2 / 3 3 * (93 — х) = 2 * (112 + х) 279 — 3х = 224 + 2х 2х + 3х = 279 — 224 5х = 55 х = 55 : 5 х = 11 Ответ число 11.

Четырехугольник из двух треугольников

Решение на фото. Записали дробь 93 / 112 от числителя отняли х, а к знаменателю его прибавили, приравняли к 2 / 3. Теперь как обычное уравнение, умножаем крест на крест, то есть (93 — х) на 3 и (112 + х) на 2. Потом перенос, сложение. Получаем х ..

Четырехугольник из двух треугольников

1 задача 1 схема Допустим : У маши было 45 р. Она купила ручку по 10 рублей и тетрадь. Сколько рублей стоит тетрадь? 2 задача 2 схема Например : Данил купил ручку по 10 рублей и тетрадь по 45 р. Сколько всего было денег у Данила? Равенства к 1 з..

Четырехугольник из двух треугольников

1. Увеличится в 9 раз. 2. Уменьшится в 4 раза. 3. Не изменится. 4. Не изменится.

Четырехугольник из двух треугольников

Развернутый угол = 180 град. 180 * 1 / 12 = 180 : 12 = 15.

Видео:Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся

Как разрезать треугольник двумя разрезами на три четырёхугольника и треугольник

Задача: как разрезать треугольник двумя разрезами на три четырёхугольника и треугольник. Задача на смекалку — справится даже первоклассник, но если нужно обоснование решения, то тут придется порассуждать.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Решение задачи про треугольник

Для того, чтобы разрезать треугольник двумя разрезами на три четырехугольника и 1 треугольник нужно понять, что мы не можем разрезать треугольник лучами, исходящими из его вершин, потому что тогда для четырехугольников вершин будет недостаточно. Четырехугольники образованы двумя лучами, значит, каждые две стороны должны быть у них общими с соседними четырехугольниками. Таким образом общими будут 5 вершин. И три вершины — вершины треугольника. Всего получится 8 точек пересечения, одна из которых внутри треугольника, четыре на его сторонах и три — вершины треугольника. Таким образом, нарисовать такой способ разрезания треугольника двумя разрезами можно так:

Четырехугольник из двух треугольников

Разрезать треугольник можно так

Четырехугольник из двух треугольников

Или разрезать треугольник можно так

Четырехугольник из двух треугольников

Или еще так можно разрезать треугольник

Главное, чтобы лучи не выходили из вершин, а давали нам дополнительные вершины для четыреухгольников. Для этого они должны пересекать стороны треугольника.

Любая из этих трех картинок — правильная. И можно нарисовать множество вариаций.

Видео:Урок 6. Треугольники, четырёхугольники, многоугольники. ОГЭ. Вебинар | МатематикаСкачать

Урок 6. Треугольники, четырёхугольники, многоугольники. ОГЭ. Вебинар | Математика

Четырехугольник из двух треугольников

ЗАДАЧА! (С ОБЪЯСНЕНИЕМ!)

Из двух одинаковых треугольников с равными сторонами Антон составил четырёхугольник(ромб).Найди периметр четырёхугольника,если периметр треугольника равен 18см.

Запиши два различных способа нахождения площади многоугольника!

Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Четырехугольник из двух треугольников

Информация

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Видео:Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭ

Параллелограмм: свойства и признаки

Четырехугольник из двух треугольников

О чем эта статья:

Видео:В четырехугольник вписан ромб, стороны которого параллельны диагоналям четырехугольника.Скачать

В четырехугольник вписан ромб, стороны которого параллельны диагоналям четырехугольника.

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Четырехугольник из двух треугольников
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Четырехугольник из двух треугольников
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Четырехугольник из двух треугольников

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:Четырехугольники. Геометрия 8 класс.Скачать

Четырехугольники.  Геометрия 8 класс.

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Четырехугольник из двух треугольников
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Четырехугольник из двух треугольников
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Четырехугольник из двух треугольников
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Четырехугольник из двух треугольников
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Четырехугольник из двух треугольников
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Четырехугольник из двух треугольников

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Четырехугольник из двух треугольников

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Четырехугольник из двух треугольников

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Четырехугольник из двух треугольников

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Четырехугольник из двух треугольников

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Четырехугольник из двух треугольников

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Четырехугольник из двух треугольников

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Четырехугольник из двух треугольников

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Четырехугольник из двух треугольников

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Поделиться или сохранить к себе: