Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы прямоугольного треугольника, проведенной из прямого и острого углов, а также разберем примеры решения задач по данной теме.

Примечание: напомним, что прямоугольным называется треугольник, в котором один из углов прямой (т.е. равен 90°), а два остальных – острые ( Содержание скрыть

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника

Свойство 1

Если в прямоугольном треугольнике известны катеты, то длину биссектрисы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, можно вычислить по формуле:

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Свойство 2

Длину биссектрисы в прямоугольном треугольнике, проведенную из острого угла к противолежащему катету, можно вычислить по формуле:

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

  • la – биссектриса к катету;
  • α – острый угол, из которого проведена биссектриса.

Также можно использовать другую формулу, если известны все три стороны треугольника:

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Примечания:

  • Прямоугольный треугольник может быть равнобедренным, и в этом случае к нему, в т.ч., применимы свойства биссектрисы равнобедренного треугольника.
  • Общие свойства биссектрисы в любом треугольнике представлены в нашей публикации – “Определение и свойства биссектрисы угла треугольника”.

Видео:Геометрия В прямоугольном треугольнике через точку пересечения биссектрисы прямого угла и гипотенузыСкачать

Геометрия В прямоугольном треугольнике через точку пересечения биссектрисы прямого угла и гипотенузы

Примеры задач

Задача 1
Найдите длину биссектрисы, которая проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника, если известно, что его катеты равны 21 и 28 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в Свойстве 1, подставив в нее известные значения:

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Задача 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Вычислите длину биссектрисы, проведенной к катету с наименьшей длиной.

Решение
Пример катеты за “a” (9 см) и “b” (12 см).

Для начала найдем гипотенузу треугольника (c), воспользовавшись теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов:
c 2 = a 2 + b 2 = 9 2 + 12 2 = 225.
Следовательно, c = 15 см.

Теперь мы можем применить формулу, рассмотренную в Свойстве 2 для нахождения длины биссектрисы:

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Биссектриса — свойства, признаки и формулы

Базовым понятием и одним из наиболее интересных и полезных объектов школьной математики является биссектриса. С её помощью доказываются многие положения планиметрии, упрощается решение задач.

Известные свойства позволяют рассматривать геометрические фигуры с разных точек зрения. Появляется вариативность при выборе пути доказательств.

Становится возможным использование инструмента алгебры, например, свойство пропорции, нахождение неизвестных величин, решение алгебраических уравнений при рассмотрении геометрических вопросов.

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Что такое биссектриса в геометрии

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Рассматривают луч, выходящий из вершины угла или его часть (отрезок), который делит угол пополам. Такой луч (или, соответственно, отрезок) называется биссектрисой.

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Часто для треугольников определение немного сужают, говоря об отрезке, соединяющем вершину угла, делящем его пополам, с точкой на противолежащей стороне. При этом рассматривается внутренняя область фигуры.

В то же время, часто при решении задач используются прямые, делящие внешние углы на два равных.

Видео:ТОП-5 ОШИБОК в математике | Математика | TutorOnlineСкачать

ТОП-5 ОШИБОК в математике | Математика | TutorOnline

Биссектриса прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника одна из биссектрис образует равные углы, величины которых хорошо просчитываются (45 градусов).

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Это помогает вычислять углы при решении задач, связанных с фигурами, которые можно представить в виде прямоугольных треугольников или прямоугольников.

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

В тупоугольном треугольнике биссектриса делит больший угол на равные части, величина которых меньше 90 0 .

Видео:биссектриса прямоугольного треугольника #SHORTSСкачать

биссектриса прямоугольного треугольника #SHORTS

Свойства биссектрисы треугольника

1. Каждая точка этой линии равноудалена от сторон угла. Часто эту характеристику выбирают в качестве определения, поскольку верно и обратное утверждение для любого произвольного треугольника. Это позволяет находить и радиус вписанной окружности.

2. Все внутренние отрезки, делящие углы пополам, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в фигуру, т. е. точка пересечения находится на равных расстояниях от сторон.

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Данное свойство позволяет решать целый класс разнообразных задач, выводить формулы для радиусов вписанных окружностей правильных многоугольников.

Благодаря этому утверждению, легко доказывается следующее правило:

Площадь описанного многоугольника равна:

где p – полупериметр, а r – радиус вписанной окружности.

Это позволяет находить решение не только планиметрических, но и стереометрических задач.

Важную роль играют внешние биссектрисы треугольника. Вместе с внутренними они образуют прямые углы;

3. Сумма величин двух прилежащих сторон, делённая на длину противолежащей стороны, задаёт отношение частей биссектрисы (считая от вершины), полученных точкой пересечения всех трёх соответствующих линий.

Некоторые виды геометрических фигур, в силу своих особенностей, порождают особые примечательные характеристики;

4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой. Две другие – равны между собой.

В этом случае основание параллельно внешней биссектрисе.

Обратное положение также имеет место. Если прямая проведена параллельно основанию равнобедренного треугольника через некоторую вершину, то внешняя биссектриса при этой вершине является частью этой линии;

5. Для равностороннего многоугольника важной характеристикой считается равенство всех биссектрис;

6. У правильного треугольника все внешние биссектрисы параллельны сторонам;

7. Выделяют несколько особенностей, среди которых есть следующая теорема:

«Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам».

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Обратное утверждение («Прямая делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам») выражает признаки того, что рассматриваемая линия является внутренней биссектрисой;

8. Разносторонний треугольник позволяет определить взаимное расположение его высоты, медианы и биссектрисы, проведённых из одной точки. В частности, медиана и высота располагаются по разные стороны от третьей линии.

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Все формулы биссектрисы в треугольнике

В зависимости от исходных данных, длина биссектрисы, проведённой к стороне C, lc, равна:

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Видео:Найдите биссектрису прямоугольного треугольника с катетами 3 и 5 ★ Как решать?Скачать

Найдите биссектрису прямоугольного треугольника с катетами 3 и 5 ★ Как решать?

Примеры решения задач

Задача №1

В ΔABC ∠C = 90°, проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий её основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти углы заданной фигуры.

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Пусть ∠ACB = 90°, AD – биссектриса, BE – медиана, O – точка пересечения медиан, OD⊥BC.

Тогда OE : OB = 1 : 2по свойству медиан.

Так как OD⊥BC, то ODIIOC, следовательно, ΔBOD ∼ ΔBEC по второму признаку подобия, поэтому, по свойству подобных фигур, CD : DB = 1 : 2.

Это означает, что CA : AB = 1 : 2.

Так как катет равен половине гипотенузы, то ∠ABC = 30°, откуда ∠CAB = 60°.

Задача №2

Диагональ параллелограмма делит его острый угол пополам. Доказать, что этот параллелограмм является ромбом.

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Так как ABCD – параллелограмм, то ∠DAC = ∠ACB, как накрест лежащие при параллельных прямых AD, BC и секущей AC.

По условию, ∠DAC = ∠ACB = ∠BAC, поэтому ΔACB равнобедренный, то есть AB = BC, следовательно, ABCD – ромб.

Видео:№411. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точкуСкачать

№411. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются в центре вписанной окружности

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаютсяСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаютсяФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаютсяВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются.

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникБиссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются
Равнобедренный треугольникБиссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются
Равносторонний треугольникБиссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются
Прямоугольный треугольникБиссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются.

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются.

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Произвольный треугольник
Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются
Равнобедренный треугольник
Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются
Равносторонний треугольник
Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются
Прямоугольный треугольник
Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются
Произвольный треугольник
Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются.

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются.

Равнобедренный треугольникБиссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Равносторонний треугольникБиссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникБиссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Видео:Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать

Пересечение биссектрис треугольника в одной точке,  Геометрия 7 класс

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются– полупериметр (рис. 6).

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

с помощью формулы Герона получаем:

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника

Свойство 1
Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в треугольник окружности.

Свойство 2
Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Если CD — биссектриса угла C ? ABC, то

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Свойство 3
Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла С в отношении a + b c , считая от вершины:

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Свойство 4
Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Биссектриса угла C вычисляется по формулам:

Видео:Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?Скачать

Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?

Свойства биссектрис треугольника

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, вписанной в треугольник

Биссектриса угла треугольника — это луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, при этом разделяя угол на две равные части.

Биссектриса угла треугольника – это множество точек, равноудаленных от его сторон. Это значит, что от любой точки, лежащей на биссектрисе угла, расстояния до сторон угла равны.

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Пусть точка О лежит на биссектрисе угла АВС. Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, поэтому треугольники ВОС и ВОА на рисунке – прямоугольные.

Здесь отрезки ОА и ОС – расстояния от точки О до сторон ВА и ВС угла АВС.

Прямоугольные треугольники ВОС и ВОА равны по острому углу и гипотенузе. Значит, ОА = ОС и любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Пусть биссектрисы углов А и В треугольника пересекаются в точке Р. Тогда точка Р равноудалена от сторон АВ и АС, поскольку лежит на биссектрисе угла А, а также от сторон ВС и ВА, поскольку лежит на биссектрисе угла В. А это значит, что точка Р равноудалена и от прямых АС и ВС, то есть лежит на биссектрисе угла C.

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаются

Задача ЕГЭ по теме «Биссектрисы углов треугольника»

В треугольнике ABC угол A равен , угол B равен . AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Биссектрисы в прямоугольном треугольнике пересекаютсяНайдем третий угол треугольника ABC – угол C. Он равен .

Заметим, что в треугольнике AOC острые углы равны половинкам углов CAB и ACB, то есть и .

Угол AOF – внешний угол треугольника AOC. Он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то есть .

🎬 Видео

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Построение биссектрисы в треугольникеСкачать

Построение биссектрисы в треугольнике

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекции
Поделиться или сохранить к себе: