Аффинные преобразования поворот треугольника

Что за зверь — аффинные преобразования?

Скорее всего, каждый из Вас хоть раз в жизни слышал термин «аффинные преобразования». Действительно, все постоянно о них говорят: «инвариантность к аффинным преобразованиям», «аугментация с помощью аффинных преобразований», «аффинные преобразования в компьютерной графике» и так далее. Однако, далеко не все могут сходу ответить на простой вопрос: «А расскажите, что такое аффинные преобразования простыми словами».

Вы сможете? В любом случае, давайте немного обсудим этот вопрос.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)

Что такое аффинное преобразование?

Начнем с классики — определение из Википедии.

Аффинное преобразование (от лат. affinis «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся.

Внесем немного ясности.

Во-первых, что значит «отображение в себя»? Это значит, что если мы находились в пространстве Аффинные преобразования поворот треугольника, то после образования мы должны остаться в нем же. Например: если мы применили какое-то преобразование к прямоугольнику и получили параллелепипед, то мы вышли из Аффинные преобразования поворот треугольникав Аффинные преобразования поворот треугольника. А вот если из прямоугольника у нас получился другой прямоугольник, то все хорошо, мы отобразили исходное пространство в себя. Формально это описывается так: «преобразование Аффинные преобразования поворот треугольникаотображает пространство Аффинные преобразования поворот треугольникав Аффинные преобразования поворот треугольника». Если записать с помощью формул: Аффинные преобразования поворот треугольника.

Во-вторых, что такое «скрещивающиеся прямые»? Конечно, все это проходили в школе, но на всякий случай напомним. Прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Вот если бы они лежали в одной плоскости и пересекались, они назывались бы пересекающимися. А если в разных плоскостях, то скрещивающимися. Пример — на рисунке.

Аффинные преобразования поворот треугольника

В целом, это определение уже нам что-то говорит и мы начинаем потихоньку рисовать для себя картинку. Как минимум, мы должны остаться в той же плоскости: значит мы представляем себе Аффинные преобразования поворот треугольникадекартову систему координат. Здесь речь идет о нескольких прямых, так что давайте представим 2 параллельных линии. Из определения мы понимаем, что после преобразования эти линии должны остаться параллельными. Ну что ж, тогда просто сдвигаем их куда-нибудь из исходного местоположения, да и все.

По сути, мы с Вами только что описали один из видов аффинных преобразований — сдвиг.

Но давайте пойдем чуть дальше и дадим еще одно определение (не нами придуманное).

Преобразование плоскости называется аффинным, если оно непрерывно, взаимно однозначно и образом любой прямой является прямая.

Звучит это, пожалуй, чуть сложней и путанней, но дает нам больше конкретной информации, чем предыдущее определение.

Преобразование называется непрерывным, если «близкие точки переходят в близкие». Т.е. иначе — если у нас есть две точки и они находятся рядом, то после преобразования они все равно будут находиться где-то поблизости друг от друга.

Далее — преобразование взаимооднозначно, если разные точки переводятся в разные точки и в каждую точку переводится какая-то точка. Например: если мы отобразили отрезок и он слипся в точку — это не взаимооднозначное преобразование. Из отрезка мы должны получить ровно такой же отрезок, тогда будет взаимооднозначно (если это сработает для всех отрезков, конечно).

Итак, с определениями мы разобрались. Давайте теперь запишем в общем виде, а как выглядит преобразование координат в формульном виде.

Пусть у нас есть исходная система координат. Точка в этой системе характеризуется двумя числами — Аффинные преобразования поворот треугольникаи Аффинные преобразования поворот треугольника. Совершить переход к новым координатам Аффинные преобразования поворот треугольникаи Аффинные преобразования поворот треугольникамы можем с помощью следующей системы:

Аффинные преобразования поворот треугольника

При этом, числа Аффинные преобразования поворот треугольникадолжны образовывать невырожденную матрицу:

Аффинные преобразования поворот треугольника

На всякий случай: матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю, т.е.

Аффинные преобразования поворот треугольника

Можно записать и в более общем в виде.

Аффинное преобразование Аффинные преобразования поворот треугольника— преобразование вида Аффинные преобразования поворот треугольника, где Аффинные преобразования поворот треугольника— обратимая матрица, а Аффинные преобразования поворот треугольника. В данном случаеАффинные преобразования поворот треугольника, само собой, Аффинные преобразования поворот треугольника-мерный вектор.

Видео:Видеоурок "Преобразование координат"Скачать

Видеоурок "Преобразование координат"

Примеры аффинных преобразований

Мы с Вами достаточно подробно разобрали, что такое аффинное преобразование и как его можно описать с помощью формул. Давайте теперь рассмотрим популярные примеры.

Приходят ли Вам в голову какие-нибудь претенденты на рольАффинные преобразования поворот треугольника? Позвольте мы внесем свои предложения.

Поворот

Пусть Аффинные преобразования поворот треугольника.

Значит, матрица Аффинные преобразования поворот треугольникапримет вид:

Аффинные преобразования поворот треугольника

И новые координаты будут выглядеть так:

Аффинные преобразования поворот треугольника

Ничего не напоминает? Если Вы еще не узнали, то встречайте — это просто повернутая система координат на угол Аффинные преобразования поворот треугольника. Т.е. мы применили аффинное преобразование и наша система координат повернулась. Пример этого Вы можете видеть на графике.

Аффинные преобразования поворот треугольника

Растяжение-сжатие

Теперь мы предлагаем сконструировать матрицу несколько иначе:

Аффинные преобразования поворот треугольника

Новые координаты тогда принимают вид:

Аффинные преобразования поворот треугольника

В целом, тут даже уже из вида системы уравнений понятно, что мы просто растягиваем наши оси, если коэффициент меньше 1 и сжимаем, если больше 1. Пример на рисунке.

Аффинные преобразования поворот треугольника

Кстати говоря, а попробуйте поставить вместо Аффинные преобразования поворот треугольникачисло -1, а вместо Аффинные преобразования поворот треугольникапросто 1. Что получится? Правильно, мы просто отразим нашу систему координат относительно оси Аффинные преобразования поворот треугольника.

Сдвиг

Ну и давайте напоследок еще один пример.

Пусть теперь матрица Аффинные преобразования поворот треугольниканикак не меняет исходные координаты (т.е. Аффинные преобразования поворот треугольника). А вот Аффинные преобразования поворот треугольникапусть равняется Аффинные преобразования поворот треугольника, а Аффинные преобразования поворот треугольника.

Таким образом, наша система принимает вид:

Аффинные преобразования поворот треугольника

Если отразить это на графике, то мы просто сдвинули начало координат в точку Аффинные преобразования поворот треугольника. Вот, собственно, и вся премудрость.

Аффинные преобразования поворот треугольника

Видео:OpenGL - Урок 3 - Матрица преобразований. Перемещение, вращение, масштаб.Скачать

OpenGL - Урок 3 - Матрица преобразований. Перемещение, вращение, масштаб.

Эпилог

Эта короткая статья позволит Вам чуть сильней прочувствовать «внутренности» аффинных преобразований (мы надеемся на это). После прочтения попробуйте все-таки ответить на вопрос, который мы ставили в самом начале — «А расскажите, что такое аффинные преобразования простыми словами». Теперь сможете?

P.S. Кстати говоря, было бы неплохо не верить нам на слово и проверить самим — а матрицы Аффинные преобразования поворот треугольника, которые мы использовали — точно невырожденные? Может мы вообще что-то противозаконное сделали.

Видео:Семинар №12 "Аффинные преобразования плоскости"Скачать

Семинар №12 "Аффинные преобразования плоскости"

Решение задач с помощью аффинных преобразований

Разделы: Математика

Для начала: на чем основывается метод решения с помощью аффинных преобразований?

Необходим некий краткий теоретический материал для учащихся.

Сообщаем, что система координат не обязательно должна быть прямоугольной. Если выбрать на плоскости 3 точки Аффинные преобразования поворот треугольника, не лежащие на одной прямой, то они и будут задавать аффинную систему координат, а точка Аффинные преобразования поворот треугольникаи векторы Аффинные преобразования поворот треугольникаи Аффинные преобразования поворот треугольникаобразуют аффинный репер (базис).

Аффинные преобразования поворот треугольника

Сообщаем, что система координат не обязательно должна быть прямоугольной. Если выбрать на плоскости 3 точки Аффинные преобразования поворот треугольника, не лежащие на одной прямой, то они и будут задавать аффинную систему координат, а точка Аффинные преобразования поворот треугольникаи векторы Аффинные преобразования поворот треугольникаи Аффинные преобразования поворот треугольникаобразуют аффинный репер (базис).

Определение 1. Пусть в плоскостях Аффинные преобразования поворот треугольникаи Аффинные преобразования поворот треугольниказаданы два аффинных репера Аффинные преобразования поворот треугольникаи Аффинные преобразования поворот треугольника, соответственно. Отображение Аффинные преобразования поворот треугольникаплоскости Аффинные преобразования поворот треугольникана плоскость Аффинные преобразования поворот треугольниканазывается аффинным отображением плоскостей, если при этом отображении точка Аффинные преобразования поворот треугольникас координатами Аффинные преобразования поворот треугольникав системе координат Аффинные преобразования поворот треугольника(репере Аффинные преобразования поворот треугольника) переходит в точку Аффинные преобразования поворот треугольникас теми же координатами в системе координат Аффинные преобразования поворот треугольника(репере Аффинные преобразования поворот треугольника).

Свойства аффинных преобразований:

1) По свойствам координат аффинное преобразование является взаимно однозначным отображением плоскости на плоскость:

— каждая точка имеет образ и притом только один;

— разные точки имеют разные образы;

— каждая точка области значений имеет прообраз.

2) Так как аффинное отображение сохраняет координаты точек, то оно сохраняет уравнения фигур. Отсюда следует, что прямая переходит в прямую.

3) Преобразование, обратное к аффинному, есть снова аффинное преобразование.

4) Точки, не лежащие на одной прямой, переходят в точки, не лежащие на одной прямой, а, значит, пересекающиеся прямые — в пересекающиеся прямые, а параллельные – в параллельные.

5) При аффинных преобразованиях сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной или параллельных прямых.

6) Отношения площадей многоугольников также сохраняются.

7) Не обязательно сохраняются отношения длин отрезков непараллельных прямых, углы.

Замечание 1: Если А, В, С — три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, а Аффинные преобразования поворот треугольника— три другие точки, не лежащие на одной прямой, то существует и притом только одно аффинное преобразование, переводящее точки А, В, С в точки Аффинные преобразования поворот треугольника.

Замечание 2: Параллельное проектирование есть аффинное преобразование плоскости на плоскость. Кстати эта тема “Параллельное проектирование” присутствует в школьном учебнике геометрии 10-11(2000) Л. С. Атанасяна в приложении 1. В основном этот материал используется тогда, когда мы учим изображать пространственные фигуры на плоскости.

Чтобы представить, что могут аффинные преобразования, посмотрим картинки. Учащимся лучше всего именно наглядно показать применение аффинных преобразований на отвлеченном предмете и только потом переходить на геометрические фигуры.

Частным случаем аффинных преобразований являются преобразование подобия, гомотетия и движения. Движения — это параллельные переносы, повороты, различные симметрии и их комбинации. Другой важный случай аффинных преобразований — это растяжения и сжатия относительно прямой. На рисунке 2 показаны различные движения плоскости с нарисованным на ней домиком. А на рисунке 3 и 4 показаны различные аффинные преобразования этой плоскости (параллельное проектирование).

Аффинные преобразования поворот треугольника

Аффинные преобразования поворот треугольника

Аффинные преобразования поворот треугольника

А вот на следующей картинке можно объяснить суть метода.

Аффинные преобразования поворот треугольника

Если перед вами стоит задача о вычислении каких-то соотношений или пропорций на искаженном рисунке, например: найти отношение длины ушей к длине хвоста, то можно найти это отношение на более удобном рисунке (неискаженном), что намного проще, и найденное решение будет соответствовать и искаженному рисунку в том числе. Но нельзя искать отношение, например, длины ушей к толщине зайца, т.к. это отрезки непараллельных прямых.

Теперь перейдем к геометрическим фигурам. Как на них может работать этот метод?

Обычно, задачу можно решить методом аффинных преобразований, если нужно найти отношение длин, отношение площадей, доказать параллельность или принадлежность точек одной прямой. Причем в условии задачи не должны содержаться данные, не сохраняющиеся при аффинных преобразованиях.

Свойства фигур называются аффинными, если они сохраняются при аффинных отображениях. Например, быть медианой треугольника- это аффинное свойство (середина стороны переходит в середину при аффинном отображении), а быть биссектрисой – нет.

Суть метода при решении геометрических задач.

Часто бывает удобно при решении задач на аффинные свойства перейти с помощью аффинных преобразований к более простым фигурам, например, к правильному треугольнику. А затем с помощью обратного аффинного преобразования перенести полученный результат на искомую фигуру.

Для начала можно решить всем известную задачу о точке пересечения медиан треугольника.

Задача 1. Доказать, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Аффинные преобразования поворот треугольника

Решение (по алгоритму).

Пусть дан треугольник ABC. 1) Проверим аффинные свойства фигуры. Треугольник (по замечанию 1) является аффинной фигурой, быть медианой — это тоже аффинное свойство и отношения длин отрезков также сохраняется при аффинном отображении.

2) Значит, можно перейти к более удобной фигуре — равностороннему треугольнику.

3) Возьмем равносторонний треугольник Аффинные преобразования поворот треугольника. У этого треугольника медианы Аффинные преобразования поворот треугольника, пересекаются в одной точке (как высоты или биссектрисы равностороннего треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Действительно, Аффинные преобразования поворот треугольникаи Аффинные преобразования поворот треугольника. А отношение Аффинные преобразования поворот треугольникаиз прямоугольного треугольника Аффинные преобразования поворот треугольника. Значит, Аффинные преобразования поворот треугольника.

4) Зададим аффинное отображение, переводящее треугольник Аффинные преобразования поворот треугольникав треугольник АВС. При этом отображении медианы треугольника Аффинные преобразования поворот треугольникапереходят в медианы треугольника АВС и их точка пересечения переходит в точку пересечения их образов и она делит медианы произвольного треугольника ABC в отношении 2:1, считая от вершины.

5) Утверждение для произвольного треугольника доказано.

Задача 2. Доказать, что в любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой M и N – середины оснований, Q – точка пересечения диагоналей, О – точка пересечения продолжений боковых сторон.

Аффинные преобразования поворот треугольника

1) Проверим аффинные свойства фигуры. Трапеция — аффинная фигура (так как трапеция переходит в трапецию), принадлежность точек одной прямой является аффинным свойством. Таким образом, и условие, и вопрос задачи относятся к аффинному классу задач. Значит, можно применить метод аффинных преобразований.

2) Возьмем произвольный равнобедренный треугольник Аффинные преобразования поворот треугольника. Существует аффинное отображение, переводящее точки А в Аффинные преобразования поворот треугольника, В в Аффинные преобразования поворот треугольника, О в Аффинные преобразования поворот треугольника. При этом аффинном отображении на отрезке Аффинные преобразования поворот треугольникасуществует точка Аффинные преобразования поворот треугольника— образ точки D, а на отрезке Аффинные преобразования поворот треугольника— точка Аффинные преобразования поворот треугольника(образ точки С). Трапеция Аффинные преобразования поворот треугольникаравнобокая.

3) Доказать сформулированную задачу для равнобокой трапеции труда не составит (при чем не одним способом).

4) Таким образом, доказав, что точки Аффинные преобразования поворот треугольника, Аффинные преобразования поворот треугольника, Аффинные преобразования поворот треугольника, Аффинные преобразования поворот треугольникалежат на одной прямой, применим свойство аффинных отображений (отображение, обратное к аффинному, есть снова аффинное отображение) и поэтому точки O, M, Q, N также лежат на одной прямой трапеции ABCD.

5) Доказанный факт справедлив и для произвольной трапеции.

Примечание. Четырехугольники аффинно эквивалентны тогда и только тогда, когда точка пересечения диагоналей делит их в одном и том же отношении.

Задача 3 (из диагностической работы по подготовке к ЕГЭ-2010). Через точку О, лежащую в треугольнике АВС, проведены три прямые, параллельные всем сторонам треугольника. В результате треугольник разбился на 3 треугольника и 3 параллелограмма. Известно, что площади полученных треугольников равны соответственно 1; 2.25 и 4. Найдите сумму площадей полученных параллелограммов (задача из диагностической работы по подготовке к ЕГЭ — 2010)

Решение, предложенное авторами

Аффинные преобразования поворот треугольника

Но эту задачу легко решить с помощью аффинных преобразований.

  1. Проверим аффинные свойства фигуры. Треугольник является аффинной фигурой, параллельность также относится к аффинным свойствам. Так как известны площади, можно найти их отношение, которое будет сохраняться при аффинных преобразованиях.
  2. Пусть даны два треугольника: произвольный и равносторонний. Решить задачу на равностороннем треугольнике намного проще. Возьмем аффинное отображение, переводящее произвольный треугольник в равносторонний.
  3. Решаем задачу на равностороннем.

Треугольники, получившиеся внутри нашего равностороннего, являются подобными (по 2 углам). Следовательно, их площади относятся как квадрат коэффициента подобия, обозначим Аффинные преобразования поворот треугольника— их стороны. Тогда Аффинные преобразования поворот треугольникаи b=1,5Аффинные преобразования поворот треугольника, аналогично Аффинные преобразования поворот треугольникаи Аффинные преобразования поворот треугольника. Сторона нашего равностороннего треугольника будет равна Аффинные преобразования поворот треугольника. Его площадь можно найти, например, по формуле Аффинные преобразования поворот треугольника. Чтобы найти сумму площадей параллелограммов, надо из общей площади треугольника вычесть сумму площадей всех треугольников Аффинные преобразования поворот треугольника.

По свойствам аффинных отображений решение справедливо и для произвольного треугольника.

Мы рассмотрели планиметрические задачи, но свойства аффинных преобразований работают и в пространстве. Например, образом тетраэдра может служить произвольный заранее выбранный тетраэдр. У любого параллелепипеда аффинным образом может быть куб.

Аффинные преобразования поворот треугольника

Задача 4 (стереометрическая). Докажите, что диагональ Аффинные преобразования поворот треугольникапараллелепипеда Аффинные преобразования поворот треугольникапроходит через точки пересечения медиан треугольников Аффинные преобразования поворот треугольникаи Аффинные преобразования поворот треугольникаи делится этими точками на три равных отрезка.

Это №372 из учебника Атанасяна (11 класс). В учебнике дано ее решение векторным методом. Но можно применить метод аффинных преобразований, решив эту задачу на кубе уже в 10 классе.

В этой задаче с помощью аффинных преобразований докажем равенство трех отрезков.

1) Проверим аффинные свойства фигуры и условия задачи. Аффинным образом любого параллелепипеда может быть куб. Деление отрезка в заданном отношении – это аффинное свойство.

2) Рассмотрим одноименный куб Аффинные преобразования поворот треугольника, в котором диагональ Аффинные преобразования поворот треугольникапроходит через точки пересечения медиан треугольников Аффинные преобразования поворот треугольникаи Аффинные преобразования поворот треугольника.

Аффинные преобразования поворот треугольника

3) Докажем, что диагональ делится этими точками на три равных отрезка.

1. Рассмотрим пирамиду Аффинные преобразования поворот треугольника. В ней Аффинные преобразования поворот треугольника= Аффинные преобразования поворот треугольника=Аффинные преобразования поворот треугольника— ребра куба, а Аффинные преобразования поворот треугольника= Аффинные преобразования поворот треугольника= Аффинные преобразования поворот треугольникакак диагонали равных граней, Аффинные преобразования поворот треугольника— точка пересечения медиан треугольникаАффинные преобразования поворот треугольникаАффинные преобразования поворот треугольника, она же точка пересечения биссектрис, следовательно, является центром вписанной окружности, т.е. центром правильного треугольника. Аффинные преобразования поворот треугольника— высота правильной пирамиды Аффинные преобразования поворот треугольника. Вычислим длину Аффинные преобразования поворот треугольника, предварительно взяв ребро куба за Аффинные преобразования поворот треугольника. Тогда Аффинные преобразования поворот треугольника= Аффинные преобразования поворот треугольника= Аффинные преобразования поворот треугольника=Аффинные преобразования поворот треугольника, а Аффинные преобразования поворот треугольника— радиус описанной окружности. Найдем Аффинные преобразования поворот треугольникаиз треугольника Аффинные преобразования поворот треугольника. Тогда Аффинные преобразования поворот треугольника= Аффинные преобразования поворот треугольника.

2. Аналогично найдем Аффинные преобразования поворот треугольника=Аффинные преобразования поворот треугольникав пирамиде Аффинные преобразования поворот треугольника.

3. Из треугольника Аффинные преобразования поворот треугольниканаходим диагональ куба Аффинные преобразования поворот треугольника=Аффинные преобразования поворот треугольника.

4. Вычислим Аффинные преобразования поворот треугольника=Аффинные преобразования поворот треугольника-(Аффинные преобразования поворот треугольника+Аффинные преобразования поворот треугольника)=Аффинные преобразования поворот треугольника.

5. Получили Аффинные преобразования поворот треугольника=Аффинные преобразования поворот треугольника=Аффинные преобразования поворот треугольника. Значит, точки Аффинные преобразования поворот треугольникаи Аффинные преобразования поворот треугольникаделят диагональ Аффинные преобразования поворот треугольникакуба на три равных отрезка.

4) Существует аффинное отображение, переводящее куб в произвольный параллелепипед. Значит, эта задача будет верна и для произвольного параллелепипеда.

5) Обобщения. Какие свойства, доказанные на кубе, сохранятся для произвольного параллелепипеда, а какие нет (обсудить с учащимися).

Например: параллельность плоскостей и отношение сохранится, перпендикулярность диагонали плоскостям нет, правильные треугольники не сохранятся, так же как и центр правильного треугольника, он перейдет в точку пересечения медиан.

Таким образом, уже в 10 классе можно делать с учащимися обобщения для произвольных фигур, пользуясь свойствами аффинных отображений.

Мы рассмотрели задачи программного уровня, а теперь рассмотрим задачи продвинутого уровня.

Вот задача, предложенная учащимся 11-го класса на олимпиаде в этом году. Никто, к сожалению, с ней не справился. Посмотрим, как метод аффинных преобразований поможет нам ее решить.

Задача 5 (олимпиада 11 класс). Треугольная пирамида рассечена плоскостью так, что медианы боковых граней разбиты точками пересечения в отношении 2:1,3:1 и 4:1, считая от вершины пирамиды. В каком отношении, считая от вершины пирамиды, разбиты боковые рёбра? (Из материалов МГТУ им. Баумана). Ответ: 12:7 , 12:5, 12:1

Существует решение, предложенное авторами. В этом решении отсутствуют различные подробные вычисления, поэтому по объему решение недлинное, о сложности будете судить сами.

А решение с помощью аффинных преобразований мы рассмотрим.

1) В задаче фигурирует произвольная пирамида, в которой проведены медианы (а быть медианой — это аффинное свойство), на медианах взяты пропорциональные отрезки ( при аффинном преобразовании сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой). Значит, эту задачу можно решить для “удобной” пирамиды, а затем с помощью аффинного преобразования перенести результат на произвольную.

2) Решим задачу для пирамиды, у которой три плоских угла при вершине прямые. Поместим новую пирамиду в прямоугольную систему координат OXYZ.

Аффинные преобразования поворот треугольника

3) Проведем медиану Аффинные преобразования поворот треугольникана одной из граней. Аффинные преобразования поворот треугольникаи Аффинные преобразования поворот треугольника— средние линии треугольника АОВ. Точка Аффинные преобразования поворот треугольника, такая что Аффинные преобразования поворот треугольника. Тогда координаты точки К Аффинные преобразования поворот треугольникаили, учитывая, что Аффинные преобразования поворот треугольникаи Аффинные преобразования поворот треугольникасередины соответственно ОА и ОВ, КАффинные преобразования поворот треугольника.На другой грани проведем медиану Аффинные преобразования поворот треугольника. На ней отметим точку М, такую что Аффинные преобразования поворот треугольника. Аналогично находим координаты М Аффинные преобразования поворот треугольникаили М Аффинные преобразования поворот треугольника.Наконец, точка N лежит на медиане Аффинные преобразования поворот треугольникаи Аффинные преобразования поворот треугольника, тогда N Аффинные преобразования поворот треугольникаили NАффинные преобразования поворот треугольника.

Итак: КАффинные преобразования поворот треугольникаили К Аффинные преобразования поворот треугольника, МАффинные преобразования поворот треугольникаили МАффинные преобразования поворот треугольника

N Аффинные преобразования поворот треугольникаили NАффинные преобразования поворот треугольника

Анализируя, выберем сами удобные числовые координаты для точек А(40;0;0), В(0;15;0), С(0;0;24).

Плоскость (MNK) пересекает ребра пирамиды в неких точках Аффинные преобразования поворот треугольника. Найдем сначала координаты точки Аффинные преобразования поворот треугольника(х; 0; 0). Точка Аффинные преобразования поворот треугольникаАффинные преобразования поворот треугольника(KMN), если существуют Аффинные преобразования поворот треугольникатакие, что, допустим Аффинные преобразования поворот треугольника(это векторы). Запишем координаты векторов Аффинные преобразования поворот треугольника(15; -5; 1), Аффинные преобразования поворот треугольника(16; 1; -8), Аффинные преобразования поворот треугольника(х; -5; -8). Тогда имеет место следующая система уравнений Аффинные преобразования поворот треугольника. Решаем ее: умножим второе уравнение на 8, получим Аффинные преобразования поворот треугольника.Далее, сложив второе и третье, имеемАффинные преобразования поворот треугольника. Откуда найдем Аффинные преобразования поворот треугольникаи х Аффинные преобразования поворот треугольника Аффинные преобразования поворот треугольника Аффинные преобразования поворот треугольника Аффинные преобразования поворот треугольникаАффинные преобразования поворот треугольника Аффинные преобразования поворот треугольникаАффинные преобразования поворот треугольникаАффинные преобразования поворот треугольника.

Нам надо найти отношение Аффинные преобразования поворот треугольника. Значит, точка Аффинные преобразования поворот треугольникаделит ребро ОА в отношении 12:1. Вычисления тоже приличные, но понятные. Аналогично можно найти отношения и для двух других сторон.

Решив задачу на “удобной” пирамиде, учитывая, что существует аффинное преобразование, переводящее эту пирамиду в произвольную, переносим результат на произвольную пирамиду.

Если бы в условии данной задачи была предложена “удобная” пирамида, наверное, кто-то из учеников сделал хотя бы попытки решить задачу.Метод аффинных преобразований позволяет трудные факты свести к легкому доказательству.

Например, доказать следующую задачу 6: Пусть заданы два треугольника АВС и Аффинные преобразования поворот треугольникав одной плоскости. Прямые, проходящие через соответсвующие вершины этих треугольников пересекаются в одной точке S. Если прямые, содержащие соответсвующие стороны этих треугольников попарно пересекаются, то точки пересечения лежат на одной прямой.

Любой четырехугольник может рассматриваться, как образ тетраэдра при параллельной проекции на плоскость. Рассмотрим четырехугольник SABС.

Аффинные преобразования поворот треугольника

Существует аффинное преобразование f, переводящее его в четырехугольник Аффинные преобразования поворот треугольника, который в свою очередь является изображением некой пирамиды Аффинные преобразования поворот треугольника. Аффинные преобразования поворот треугольникаАффинные преобразования поворот треугольника. При аффинном отображении Аффинные преобразования поворот треугольника. А точки Аффинные преобразования поворот треугольникаявляются изображением точек Аффинные преобразования поворот треугольникапирамиды Аффинные преобразования поворот треугольника, образующих некоторое сечение пирамиды. Решая задачу на аффинном образе, мы получим результат, который с помощью обратного аффинного преобразования перенесем на первоначальный рисунок. Чтобы избавиться от лишней символики, будем смотреть на конфигурацию Дезарга (первый рисунок) как на изображение пирамиды SABC с сечением плоскостью Аффинные преобразования поворот треугольника. А чтобы доказать принадлежность трех точек одной прямой, построим пересечение плоскостей АВС и Аффинные преобразования поворот треугольника(так как две плоскости пересекаются по прямой).

Построение.1) Аффинные преобразования поворот треугольника, 2) Аффинные преобразования поворот треугольникаАффинные преобразования поворот треугольника, 3) Аффинные преобразования поворот треугольника

В пересечении плоскостей три точки, следовательно, они лежат на одной прямой. Эта задача (теорема Дезарга) доказана.

В продолжение такого применения аффинных преобразований (решение пространственной задачи как планиметрической) можно рассмотреть еще одну интересную задачу.

Задача (Соросовская олимпиада)

Даны три луча Аффинные преобразования поворот треугольникав плоскости и три точки A, B, C. Построить треугольник с вершинами на этих лучах, стороны которого проходят через точки A, B, C соответственно (помощью одной линейки).

То есть картинка должна быть примерно такая.

Аффинные преобразования поворот треугольника

Будем рассматривать эту картинку как аффинный образ (при некотором аффинном отображении) пирамиды XOYZ на плоскость. Вершины пирамиды лежат на осях координат, а точки А, В, С — точки в координатных плоскостях. Тогда задача сводится к тому, чтобы построить линии пересечения плоскости (АВС) с координатными плоскостями. Существует, конечно, способ построения с помощью циркуля и линейки, но нам он не нужен. Итак, без циркуля.

  1. Возьмем произвольную точку S на луче Аффинные преобразования поворот треугольника.
  2. Проведем прямые Аффинные преобразования поворот треугольникаи Аффинные преобразования поворот треугольника.
  3. Аффинные преобразования поворот треугольника, Аффинные преобразования поворот треугольникаАффинные преобразования поворот треугольника.
  4. Аффинные преобразования поворот треугольника, такая, что Р и С лежат в одной плоскости.
  5. Аффинные преобразования поворот треугольника, Аффинные преобразования поворот треугольника
  6. Аффинные преобразования поворот треугольника
  7. ZY, Аффинные преобразования поворот треугольника
  8. XYZ — искомый треугольник.

Выводы.

Итак, вам был представлен метод решения задач с помощью аффинных преобразований. Подведем итоги.

  • Метод позволяет перейти от более сложного к более простому для осуществления процесса решения.
  • Носит обобщающий характер.
  • Имеет широкую область применения, в том числе в смежных областях.
  • Позволяет интегрировать разные разделы математики.
  • Осмысление и применение данного метода формирует у учащихся конструктивный подход к решению задач и критичность мышления.
  • Геометрия: Учеб.для 10-11 кл.общеобразоват.учреждений/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. -М.: Просвещение, 2007.
  • И. Кушнир “Математическая энциклопедия”. Астарта. Киев.1995.
  • Р. Хартсхорн “Основы проективной геометрии”. Издательство “Мир”. Москва.1970.
  • Видео:Построение натуральной величины треугольника методом вращенияСкачать

    Построение натуральной величины треугольника методом вращения

    Аффинные преобразования поворот треугольника

    Аффинные преобразования поворот треугольника

    Друзья

    Аффинные преобразования пространства

    При работе с трехмерными объектами, часто требуется совершать по отношению к ним различные преобразования: двигать, поворачивать, сжимать, растягивать, скашивать и т.д. При этом в большинстве случаев требуется, чтобы после применения этих преобразований сохранялись определенные свойства.

    Определение. Преобразование плоскости называется аффинным (от англ. affinity – родство) , если

    • оно взаимно однозначно;
    • образом любой прямой является прямая.

    Преобразование называется взаимно однозначным, если

    • разные точки переходят в разные;
    • в каждую точку переходит какая-то точка.

    Свойства аффинного преобразования в трехмерном пространстве:

    • отображает n -мерный объект в n -мерный: точку в точку, линию в линию, поверхность в поверхность;
    • сохраняет параллельность линий и плоскостей;
    • сохраняет пропорции параллельных объектов – длин отрезков на параллельных прямых и площадей на параллельных плоскостях.

    Любое аффинное преобразование задается матрицей 3 x 3 с ненулевым определителем и вектором переноса:

    Аффинные преобразования поворот треугольника

    Аффинные преобразования поворот треугольника

    Посмотрим на это с точки зрения математики. R представляет собой матрицу линейного оператора над пространством трехмерных векторов. Вектор T требуется для осуществления параллельного переноса: если помножить ( 0 0 0 ) на любую матрицу 3 x 3, опять получим ( 0 0 0 ) – начало системы координат, относительно преобразования R , является неподвижно точкой. Требование, чтобы определитель был ненулевой, диктуется определением. По сути, если определитель матрицы R равен нулю, то всё пространство переходит в плоскость, прямую или точку. Тем самым не соблюдается взаимная однозначность.

    На практике удобно задавать аффинное преобразование одной матрицей. При этом используются однородные координаты, введенные в предыдущей статье. Аффинное преобразование будет задаваться следующей матрицей 4 x 4:

    Аффинные преобразования поворот треугольника

    Заметим, что первые три значения последней строки равны 0. Это необходимое условие того, что преобразование будет аффинным. В общем случае произвольная матрица размера 4 x 4 задает проективное преобразование. Такие преобразования, как можно догадаться из названия, используются для проецирования трехмерной сцены. Подробнее об этом будет рассказано в одной из последующих статей.

    Рассмотрим частные случаи аффинных преобразований.

    Прим. Здесь и в дальнейшем будет использоваться система координат, введенная следующим образом:

    • система координат правая ;
    • ось z направлена на наблюдателя, перпендикулярно плоскости экрана;
    • ось y находится в плоскости экрана и направлена вверх;
    • ось x находится в плоскости экрана и направлена вправо.

    Аффинные преобразования поворот треугольника

    Подробнее мы остановимся на этом при рассмотрении геометрического конвейера.

    Параллельный перенос

    Матрица этого преобразования выглядит следующим образом:

    Аффинные преобразования поворот треугольника

    В данном случае матрица R = E , единичной матрице.

    Преобразования, рассматриваемые ниже, затрагивают только матрицу R , поэтому будет указываться только она.

    Поворот (вращение)

    Аффинные преобразования поворот треугольника Аффинные преобразования поворот треугольника

    Если на плоскости повороты делались вокруг некоторой точки, то в трехмерном пространстве повороты производятся вокруг некоторого вектора. Перед тем, как перейти к построению матрицы поворота вокруг произвольного вектора, рассмотрим частные случаи поворотов вокруг координатных осей.

    Прим. Поворот вокруг произвольного вектора не равно поворот вокруг произвольной направленной прямой.

    Поворот вокруг оси y

    Аффинные преобразования поворот треугольника Аффинные преобразования поворот треугольника

    Заметим, что при повороте вокруг оси y ординаты точек ( у -координаты) не меняются. Также стоит отметить, что координаты x и z точки преобразуются независимо от y -координаты. Это означает, что любая точка p ( x , y , z ) перейдет в точку p ’( x ’( x , z ), y , z ’( x , y )) . Теперь осталось понять, как преобразуются координаты x и z : в плоскости Oxz это будет поворот вокруг начала координат по часовой стрелке (т.к. x z y — левая тройка), т.е. в отрицательном направлении. Матрица такого преобразования известна (см. Поворот плоскости):

    Аффинные преобразования поворот треугольника

    Аффинные преобразования поворот треугольника
    Аффинные преобразования поворот треугольника
    Аффинные преобразования поворот треугольника

    Матрица преобразования Ry ( φy ) :

    Аффинные преобразования поворот треугольника

    Поворот вокруг осей x и z

    Аффинные преобразования поворот треугольника Аффинные преобразования поворот треугольника

    Аналогичными рассуждениями можно получить матрицы поворотов Rx ( φx ) и Rz ( φz ) вокруг осей x и z , соответственно.

    Приведём окончательные результаты:

    Аффинные преобразования поворот треугольника

    Аффинные преобразования поворот треугольника

    Несложно заметить, что определители матриц Rx , Ry , Rz равны 1 . Также матрицы вращений Rrot обладают свойством ортогональности: R T R = RR T = E . Из этого, в свою очередь, следует полезное свойство, что обращение матрицы поворота можно заменить транспонированием: R -1 ( φ ) = R T ( φ ) .

    Масштабирование (сжатие/растяжение, отражение)

    Аффинные преобразования поворот треугольника Аффинные преобразования поворот треугольника

    Коэффициенты сжатия/растяжения, по аналогии с двухмерным пространством, определяются диагональными членами матрицы R :

    Аффинные преобразования поворот треугольника

    Аффинные преобразования поворот треугольника
    Аффинные преобразования поворот треугольника
    Аффинные преобразования поворот треугольника

    Комбинация коэффициентов sx = -1, sy = 1, sz = 1 будет задавать отражение от плоскости Oyz ( x = 0) . При sx = sy = sz = -1 получим центральную симметрию относительно начала координат.

    Интерпретация матрицы R

    Рассмотрим, что представляет собой матрица R с точки зрения линейной алгебры. Оказывается, что матрица R содержит базис новой системы координат.

    переводит вектора декартова базиса:

    Аффинные преобразования поворот треугольника Аффинные преобразования поворот треугольника

    Теперь несложно получить преобразование скоса. Например:

    Аффинные преобразования поворот треугольника

    Прим. Если придерживаться общепринятой терминологии, то приведенное выше преобразование называется сдвигом. Сдвигом ( shear ) будет любое преобразование, главная диагональ матрицы R которого единичная. Если при этом определитель матрицы R равен нулю, то преобразование не является аффинным.

    Сложные аффинные преобразования

    Сложные аффинные преобразования можно получить как комбинацию простых (элементарных) преобразований. При этом выбирать простые аффинные преобразования можно по разному. Например, поворот можно представить как комбинацию масштабирования и сдвига. Тем не менее, для удобства, поворот также считается элементарным преобразованием. Поворот вокруг произвольного вектора представляется как комбинация поворотов вокруг координатных осей. Об этом будет подробно рассказано в следующей статье.

    📸 Видео

    Трехмерные линейные трансформации | Сущность Линейной Алгебры, примечаниеСкачать

    Трехмерные линейные трансформации | Сущность Линейной Алгебры, примечание

    Координаты, аффинные преобразования.Скачать

    Координаты, аффинные преобразования.

    Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | МатематикаСкачать

    Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | Математика

    Определение натуральной величины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали или фронталиСкачать

    Определение натуральной величины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали или фронтали

    Лекция 4 | Компьютерная графика | Виталий Галинский | ЛекториумСкачать

    Лекция 4 | Компьютерная графика | Виталий Галинский | Лекториум

    Матрицы масштабирования, переноса и поворотаСкачать

    Матрицы масштабирования, переноса и поворота

    Преобразование системы координат (поворот)Скачать

    Преобразование системы координат (поворот)

    Определение преобразований | Геометрические преобразования и Конгруэнтность | ГеометрияСкачать

    Определение преобразований | Геометрические преобразования и Конгруэнтность | Геометрия

    Аффинные ПреобразованияСкачать

    Аффинные Преобразования

    Поворот | Задачу на параллелограмм и треугольники решаем поворотом!Скачать

    Поворот | Задачу на параллелограмм и треугольники решаем поворотом!

    9 класс, 33 урок, ПоворотСкачать

    9 класс, 33 урок, Поворот

    Введение в движения | Геометрические преобразования и Конгруэнтность | ГеометрияСкачать

    Введение в движения | Геометрические преобразования и Конгруэнтность | Геометрия

    ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ 9 класс геометрия АтанасянСкачать

    ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ 9 класс геометрия Атанасян

    Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник. Преобразование мостовой схемыСкачать

    Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник. Преобразование мостовой схемы

    A.7.20 Аффинное пространство, параллельный перенос и движениеСкачать

    A.7.20 Аффинное пространство, параллельный перенос и движение
    Поделиться или сохранить к себе:
    Аффинные преобразования поворот треугольника Аффинные преобразования поворот треугольника